7. 曲面上の積分 (1) ここでは曲面上の積分を学びます. 微分幾何とは点の周りの状態を調べる学問 ( 曲面の局部理論 ) ですが, ガウス ボンネの定理が示すように曲面全体の状況すなわち大域的な内容を研究することも大切です. 曲面の大域的な内容を扱うには当然積分が必要です. ここでは曲面上の積分

７．曲面上の積分（１）

ここでは曲面上の積分を学びます．微分幾何とは点の周りの状態を調べる学問（曲面の 局部理論）ですが，ガウス・ボンネの定理が示すように曲面全体の状況すなわち大域的な 内容を研究することも大切です． 曲面の大域的な内容を扱うには当然積分が必要です．ここでは曲面上の積分について分 かりやすく解説します．すなわち，微分積分で学ぶグリーンの公式やラプラス作用素の意 味を曲面上できちんと理解することが目標です． 平面上の点は，座標軸を導入することにより，２つの実数の組（ｘ，ｙ）と対応する． すなわち，座標軸を導入することにより，平面はＲ と１対１に対応する．２ しかし，平面上に直交座標を導入する方法はい くらでもあります．今考えている性質が，２つ の座標系のうち片方では成り立つがもう一方で は成り立たないことが起こってはその性質を直 交座標を用いて議論することができません． すなわち，座標を導入することにより調べられ る性質は，他の座標系でも成り立つ性質です． この性質を座標変換で保たれる性質といいます． このように，微分幾何では，座標を変えたとき 保たれる性質であるかどうかに注目することが 大切なことです．平面ではぴんとこないかもしれませんが，単位球面の ｘ ＋ｙ ＋ｚ ＝１ ，ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０２ ２ ２ について，いろいろな座標の設定の仕方があります．ｘｙ平面への正射影，ｙｚ平面へ の正射影，ｚｘ平面への正射影の逆写像や極座標が標準的です．すなわち （ｘ，ｙ）→（ｘ，ｙ， ） （ｙ，ｚ）→（ ，ｙ，ｚ ）， （ｘ，ｚ）→（ｘ， ，ｚ ）， （θ，φ）→（cosθcosφ，cosθsinφ，sinθ） 等いろいろありますが，どの座標でも成り立つ性質が，微分 幾何の対象となる性質です． 以下積分の解説に入るのですが，どうしても外積と外微分の概念が必要です．テンソル 代数を学んでからのベクトル空間Ｖ上の交代多重線形変換と見る方法は後で扱うとして， ここでは，必要な性質だけ学びます Ｖをベクトル空間，Ｖ をＶの双対ベクトル空間とします．＊ このとき，ｆ，ｇ，ｈ∈Ｖ ，ｕ，ｖ，ｗ∈Ｖに対して＊ ｆ∧ｇ：Ｖ×Ｖ→Ｒを

1－ x

2

_{－ y}

2

1－ y

2

－ z

2

1－ x

2

－ z

2

ｆ∧ｇ（ｕ，ｖ）＝ｄｅｔ ｆ∧ｇ∧ｈ（ｕ，ｖ，ｗ）＝ｄｅｔ によって定義する． ， ． これから扱うベクトル空間Ｖの次元は３ですから 上の２種類の外積しか出てきません 定義よりつぎの性質が成り立ちます． １．ｆ∧ｇ＝－ｇ∧ｆ ２ （ｆ＋ｇ）∧ｈ＝ｆ∧ｈ＋ｇ∧ｈ， 性質１よりｆ∧ｆ＝０が成り立つことが分かります． 次に外微分です．外微分作用素ｄの定義は次の通りです． １．ｆが関数のとき，ｄｆは１次の微分形式で ｄｆ＝ｆ ｄｕ＋ｆ ｄｖｕ ｖ ２． αが１次の微分形式 α＝ｆｄｕ＋ｇｄｖ のとき ｄα＝ｄｆ∧ｄｕ＋ｄｇ∧ｄｖ ＝ｆ ｄｖ∧ｄｕ＋ｇ ｄｕ∧ｄｖ＝（－ｆ ＋ｇ ）ｄｕ∧ｄｖｖ ｕ ｖ ｕ 次の命題は容易に証明できる 命題 ｆが関数，αが１次の微分形式とする．このとき次の式が成り立つ． １．ｄ（ｆα）＝ｄｆ∧α＋ｆｄα ２．ｄ（αｆ）＝ｄαｆ－α∧ｄｆ ３．ｄ（ｄｆ）＝０ Ｐ ｕ ｖ 曲面ｆの各点Ｐに接ベクトル空間Ｔ （Ｓ）が定義されます．通常基底としてｆ ，ｆ を考えますが，Ｔ （Ｓ）とｕｖ平面の接ベクトル平面とを同一視しＰ を を で表す． ｆｕ ｆｖ さらに， ， の双対基底をそれぞれｄｕ，ｄｖで表す． Ｐ Ｐ すなわち，点Ｐにおける接空間Ｔ （Ｓ）の双対空間（これを点Ｐの余接空間という）Ｔ

f(u) f(v)

g(u) g(v)

f(u) f(v) f(w)

g(u) g(v) g(w)

h(u) h(v) h(w)

∂ u

∂

∂ v

∂

∂ u

∂

∂ v

∂

（Ｓ）の双対基底は｛ｄｕ，ｄｖ｝である． ＊ 以下，曲面 ３ （ｕ，ｖ）→ｆ（ｕ，ｖ）∈Ｒ について考えます． 曲面ｆの第１基本形式を Ⅰ＝Ｅｄｕ ＋２Ｆｄｕｄｖ＋Ｇｄｖ２ ２ ・・・① とします．ちなみに①の意味は ｕ ｕ ｕ ｖ ｖ ｖ Ｅ＝ｆ ・ｆ ，Ｆ＝ｆ ・ｆ ，Ｇ＝ｆ ・ｆ でＥ，Ｆ，Ｇを定義し， │ａｆｕ＋ｂｆｖ│ ＝（ａ２ ｆｕ＋ｂｆｖ）（・ ａｆｕ＋ｂｆｖ） ２ ２ ＝Ｅａ ＋２Ｆａｂ＋Ｇｂ となることです．見方を変えれば， と を と を同一視して考えれば，曲面 は ｆｕ ｆｖ ｆ ｕ，ｖ平面上で ， が ・ ＝Ｅ ・ ＝Ｆ ・ ＝Ｇ を満たすとして考えればよいという意味です． 曲面の性質を調べるときは，これに第２ 基本形式も考えれば，曲面ｆの状況が完璧にｕ，ｖ平面に現れる．すなわち曲面ｆとｕ， ｖ平面がまったく同じものであることを示したのが曲面の基本定理でした．しかしリーマ ンの提唱は，第１基本形式だけで曲面の状況を考えようという内容です．これは曲面を外 から見ることはしないで調べようという意味です．曲面の第１基本形式より得られる内容 を曲面の内在量とか内蘊（ないうん）量といいます． さて，領域Ｕで定義された関数ｆの積分とは，Ｕを細かく分割しそれを｛Ｕ ｝とし，ｉ Ｕ 上の１点をＰ とすればｉ ｉ ∑（Ｕ の面積）ｆ（Ｐ ）ｉ ｉ の分割を小さくしていったときの極限です．したがって，曲面上で積分するには，曲面の 面積を調べる必要あります．

∂ u

∂

∂ v

∂

∂ u

∂

∂ v

∂

∂ u

∂

∂ u

∂

∂ u

∂

∂ v

∂

∂ v

∂

∂ v

∂

以下 ＝ｕ， ＝ｖと表します． ２つのベクトルｕ ｖ， の決める平行四辺形の面積を求めましょう． ・ ＝Ｅ， ・ ＝Ｆ， ・ ＝Ｇ ｕ ｕ ｕ ｖ ｖ ｖ を利用します．平行四辺形の面積をＳとすると Ｓ ＝│ │ │ │２ _ｕ ２ _ｖ ２ ２θ sin ２ ２ ２ ２ ＝ │ │ │ｕ ｖ│ －（ｕ・ｖ） ＝ＥＧ－Ｆ ∴ ここで，２次微分形式ωを ω＝ ｄｕ∧ｄｖ 定義すると． ω（ ， ）＝ ｄｕ∧ｄｖ（ ， ） ＝ ＝ （ ， の決める平行四辺形の面積） ω（ａｕ＋ｂｖ，ｃｕ＋ｄ ）＝（ａｄ－ｂｃ）ω（ｖ ｕ ｖ， ） が成り立つことより， ２つのベクトルｘ ｙ， にたいしてω（ ， ）ｘ ｙ はｘ ｙ， の決める平行四辺形の面積 符（ 号も含める）であることが分かります．この２次微分形式ωを曲面ｆの面積要素といいま す． 体積要素ωのω（ ，ｘ ｙ）はｘ，ｙの決める平行四辺形の面積であるという性質は座標 系に関係ないので，ωは座標によらないことが分かります． ３ ここで，ユウクリッド空間に積分の公式の復習をしましょう．すべて３次元空間Ｒ で考えます． ベクトル解析の用語から． １． ｘ，ｙ，ｚの関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の偏導関数ｆ ，ｆ ，ｆ が成分であるベクトｘ ｙ ｚ ル場（ｆ ，ｆ ，ｆ ）をｆの勾配またはグラディエントといいｘ ｙ ｚ gradｆと表す． ｆ＝（ｆ ，ｆ ，ｆ ） grad ｘ ｙ ｚ ２．ベクトル場Ｘ＝（α，β，γ）に対して，次のベクトル場を回転または rotation とい いrotＸとあらわす． Ｘ＝ rot

∂ u

∂

∂ v

∂

S= EG－ Ｆ

２

EG－ F

2

∂ u

∂

∂ v

∂

EG－ F

2

∂ u

∂

∂ v

∂

EG－ F

2

∂ u

∂

∂ v

∂

(

∂ γ

∂ y

-∂ β

∂ z

,

∂ α

∂ z

-∂ γ

∂ x

,

∂ β

∂ x

-∂ α

∂ y

)

なお， ＝ gread より外積×を用いて Ｘ＝ ×Ｘ rot grad となる． ３．ベクトル場Ｘ＝（α，β，γ）に対して次のスカラーを発散といいdivＸで表す． Ｘ＝ div ＝ の記号を用いれば内積・をつかい gread Ｘ＝ ・Ｘ div grad となる． ４．関数ｆに対して gradとdiv の合成を△で表しラプラス作用素という． ｘｘ ｙｙ ｚｚ △ｆ＝div〇gradｆ ＝ｆ ＋ｆ ＋ｆ 以上の関数やベクトル場に関する作用素で， ＝０ div〇rot となることは簡単な計算でできる． 以上の作用素が，微分形式の外微分の中でどのような形で現れるかを知ることは大切な ことです． ω＝αｄｘ＋βｄｙ＋γｄｚ η＝Ｐｄｙ∧ｄｚ＋Ｑｄｚ∧ｄｘ＋Ｒｄｘ∧ｄｙ ω，ηをそれぞれ外微分すると ｄ ω ＝ ｄη＝（Pｘ＋Qｙ＋Rｚ）ｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚ

rot div stokes gauss

このように， ， は外微分の係数として現れる この性質は積分の． の公式， の公式で利用される． 次のR２の積分について考える．まず， 上の重積分はD と書くが，ここのｄｘｄｙはｄｘ∧ｄｙと書いた方がわかりやすい． ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ ，ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ））

(

∂ x

∂

,

∂ y

∂

,

∂ z

∂

)

∂ α

∂ x

+

∂ β

∂ y

+

∂ γ

∂ z

(

∂ x

∂

,

∂ y

∂

,

∂ z

∂

)

(

∂ γ

∂ y

-∂ β

∂ z

)dy∧ dz+(

∂ α

∂ z

-∂ γ

∂ x

)dz∧ dx+(

∂ β

∂ x

-∂ α

∂ y

)dx∧ dy

D

f(x,y)dxdy

のとき， ｄｘ＝ｘ ｄｕ＋ｘ ｄｖｕ ｖ ｄｙ＝ｙ ｄｕ＋ｙ ｄｖｕ ｖ より， ｄｘ∧ｄｙ＝（ｘ ｄｕ＋ｘ ｄｖ）∧（ｙ ｄｕ＋ｙ ｄｖ）ｕ ｖ ｕ ｖ ＝（ｘ ｙｖ－ｘ ｙｕ）ｄｕ∧ｄｖｕ ｖ ＝ ｄｕ∧ｄｖ となり，積分の変数変換で現れるヤコビ行列式が自然に現れる． さらに，２次元のユークリッド空間Ｒ におけるグリーンの定理は２ ３次元のユークリッド空間Ｒ におけるストークスの定理，ガウスの定理は３ ＝ ＋ ＝ において，グリーンの公式は ω＝Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ ストークスの公式は ω＝Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ ガウスの公式は ω＝Ｐｄｙ∧ｄｚ＋Ｑｄｚ∧ｄｘ＋Ｒｄｘ∧ｄｙ とおけば または

∂ (u,v)

∂ (x,y)

∂ D

Pdx+Qdy=

D

(

∂ Q

∂ x

－

∂ P

∂ y

)dx∧ dy

∂ D

Pdx+Qdy+Rdz

D

(

∂ R

∂ y

－

∂ Q

∂ x

)dy∧ dz＋ (

∂ P

∂ z

－

∂ R

∂ x

)dz∧ dx

(

∂ Q

∂ x

－

∂ P

∂ y

)dx∧ dy

∂ D

Pdy∧ dz+Qdz∧ dx+ Rdx∧ dy

D

(

∂ P

∂ x

+

∂ Q

∂ y

+

∂ R

∂ z

)dx∧ dy∧ dz

∂ D

ω ＝

D

dω

∂ D

ω ＝

D

dω

と表せる．曲面ｆ上の積分は が使われる． ガウスの公式のＰ，Ｑ，Ｒをそれそれｖ ｕ，ｖ ｕ，ｖ ｕで置き換えると，ｘ ｙ ｚ ｘ ｙ ｚ Ｐ ＋Ｑ ＋Ｒ ｘｘ ｙｙ ｚｚ ｘ ｘ ｙ ｙ ｚ ｚ ＝（ｖ ＋ｖ ＋ｖ ）＋ｖ ｕ ＋ｖ ｕ ＋ｖ ｕ ｘ ｘ ｙ ｙ ｚ ｚ ＝△ｖ＋ｖ ｕ ＋ｖ ｕ ＋ｖ ｕ よ り ガ ウ ス の 公 式 は ＝ ・・・① ①でｕとｖを入れ替え辺々引けば ＝ △はラプラス作用素であり，この等式もグリーンの公式と呼ばれる ∂ D

ω ＝

D

dω

D

v△ udx∧ dy∧ dz+

D

(v

xux

+v

yuy

+v

zuz

)dx∧ dy∧ dz

∂ D

vux

dy∧ dz+vu

y

dz∧ dx+vu

z

dx∧ dy

D

(v△ u－ u△ v)dx∧ dy∧ dz