Musin による３次元 Kissing Number の決定について

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(1)平成24年度学位論文. Musinによる3次元KissingNumberの決定について. 兵庫教育大学大学院. 学校教育研究科. 教育内容・方法開発専攻. 認識形成系教育コース. M 1 1 1 4 9 G. 井口景視.

(2) 次 1. ○章. 序. 1章. 準備. 1．1. 余弦定理．．. 1．2. 球面座標．．. 1．3. Legendre多項式. 2章. 3次元Kissing Number. 10. 2．1. k（3）＝12の証明一．. 11. 2．2. S（X）＜13nの証明．. 12. 3章. Gegenbauer多項式の加法公式. 34. 3．1. 斉次多項式と調和多項式．. 34. 3．2. 球面上の多項式．. 40. 3．3. 球面上の調和多項式の内積．1. 45. 3．4. 帯球関数とGegenbauer多項式. 50. 参考文献. 64.

(3) ○章序 η次元ユークリッド空間R帆において，互いに重ならないように1つの球に接することのできる（その球と）同じ半径の球の最大個数をη次元のkissing numberといいた（η）と表す．このた（η）を求める問題をKissing Number Prob1emという．ん（3）≧！2であることは，実験すれば容易にわかる．ん（3）＝12であるか，ん（3）＝13で. あるかは，1694年のIsaac NewtonとDavid Gregoryの論争に遡るといわれているが，事の真偽は定かでない、た（3）＝！2の最初の証明は，1953年にSchutteとvan der WaeIden によって発表された．次いで，1956年にLeechによる，短く難解な証明が発表されている． 1979年には，A，M，Od1yzkoとN．J．A．S1oaneにより，De1sarteの方法を用いたん（8）＝240，た（24）二196560，およびん（4）≦25の証明が得られる。そして，遂に，2003年，O．Musin121. はDe1sarteの方法を拡張して，た（4）＝24の証明に成功するが，証明の詳細は，2008年の. 論文［5］を待つことになる一2006年，Musinはた（4）＝24の証明方法を3次元に適用し，ん（3）＝！2の新しい証明を与えた一本論文では，このMusinエ4］の新しい証明について考察する．なお，現在1，2，3，4，8，24次元のkissing numberのみが確定している．. 1章では，後章で必要となる用語や定理について説明する1§1．1で球面上の余弦定理， §1．2でRれの球面座標，§1．3ではLegendre多項式について，説明する．. 2章では，3次元KissingNumberん（3）が12であることを，Musin141の方法で導く・ん（3）≧12はよく矢口られた事実であるが，ん（3）＜13を示す部分が難しい．Musinは. Legendre多項式局（4≧O）の非負係数一次結合として表される9次多項式∫（t）を巧妙に選び，単位球面∫2土の有限集合X＝｛均，＿，”、｝に対して，叫，〃ゴの球面距離をφ力として，. n. 8（X）一Σプ（…φ1ゴ）＝｛，ゴ＝1. と定め，Legendre多項式乃の加法定理を用いて不等式 n Σ片（…φ1ゴ）≧0 4，ゴ＝1 1.

(4) O．序を示し，それより8（X）≧η2を導いた．この論文では，Legendre多項式の加法定理ではな. く，より一般なGegenbauer多項式の加法公式を用いて上の不等式を導く1 §2．2では，互いに交わることなく32に接する単位球面の接点のなす集合Xに対して， 3（X）＜13ηが成り立つことを示す．3（X）≧η2に注意すれば，直ちにん（3）：12が得ら. れる、8（X）＜13ηを示すために肌 W）一Σ∫（…φ1ゴ）ゴ：1 とおき，さらに，∫（cosφ｛ゴ）＞Oの部分の和. η（X）一Σ∫（…φ1j）. j を取り出す．η（X）＜13を導くために，∫（cosφ｛ゴ）＞Oとなるような点的と，吻の対極点eoからできる点配置eo，μ1，．．．，ひmを考察し，m≦4を示す、m＝3の場合はμユ，μ2，脆. か球面正三角形の頂点であること，m：4の場合もμ1，μ2，〃3，〃4が等辺な球面四角形の頂点であることを利用して，刀（X）＜13を導く．. 3章では，調和多項式の基本事項，Gaussの公式などをを説明した後，Gegenbauer多項式の加法公式を証明する一また、2章のみ（3）＝12の証明で用いだしegendre多項式に関する不等式（定理3．19）を証明する．. §3．1では，ラプラシアン△，グラディエント▽などを定義し，R上のη変数多項式環 P（R几）の線形変換△の核Harm（R帆）に含まれる多項式として，調和多項式を定義する．ま. た，4次斉次多項式のなす空間Ho叫（Rη）が・…（・η）一・…1（・n）①・2・・…一・（肥）㊥…①（・2）「ξ］・…老一。［ξ］（・η）. と直和分解されることを示す．. §3．2では，Rn上の多項式関数を球面3η■1に制限して得られる，3η■1土の多項式関数が，調和多項式を制限して得られるものに一致することを示す．さらに，多項式関数の間の環準同型 ρ：P（醍れ）→P（8η’ユ）. から誘導される線形写像 ρ：Harm（Rn）→P（8η一1）.

(5) 3. O．序が線形同型であることを示す．これより，直和分解 P（8n−1）一㊥H・ml（8n−1） ‘≧O が導かれる．. §3．3では，まず，Harm（3冊L1）の2元ψ，ψに対して，内積（，）を（州■、÷ユ，ん、1（／）ψ（／）・／. と定義する．ただし，I3冊■1Iは3η■1の面積，dξは積分要素である．次に，Gaussの公式. ム・舳一ん1／∼／・／を示し，それを用いて，直和分解 H・・m（3帆一’）一㊥H・・叫（8η■1）. 4≧O が直交分解であることを導く． §3．4では，直交群0（R肌）のHar叫（3帆■1）への作用について考察する．. σ∈0（Rη），. ψ∈Ham4（3η■1）に対して（σヰψ）（ξ）㍉（ξσ）（ξ∈5ト1）. と定めると，σ㌻∈Har叫（3η■1）となり，σ→σヰは0（Rn）から直交群0（Har叫（8η＾！））. への群準同型となる、0（R九一1）によって固定されるHar叫（8η一1）の多項式を帯球関数と. 呼び，その全体をZ4（3n−1）と表す．Harm乏（8卜1）の正規直交基物を選び，3η一1x3n−1. 土の関数 w. F（ξ。η）一Σψ1（ξ）州（ξ，η∈3η一ユ）. ｛＝1. を定義し，その性質を利用して，肌≧2のとき，Z4（8η■1）が1次元であることを示す． Z4（3n■ユ）に含まれる多項式からGegenbauer多項式G4，、（f）を定義し，加法公式 Gゼ，η（／ξ，η／）＝F（ξ，η）. を証明する．最後に，Legendre多項式についての不等式を導く．.

(6) O．序. 4. なお，2章での3（X）＜13の証明では，グラフの作成，実根や最大値などの数値計算を多用するが，そのために，GNU Genera1Pub1ic Licenseのもとに配布されているフリーの. 数式処理ソフトMaxima［121を利用した．また、唖X用の図やグラフの描画にフリーソフトWinTpicを利用した．最後に，本論文作成にあたり，2年間ご指導頂いた松山廣先生を始め，ご助言いただい. た自然系数学分野の諸先生方，さらにはこのような機会を与えて下さった兵庫県教育委員会，並びに兵庫県立相生高等学校長を始めとする諸先生方に，心より感謝申し上げます．.

(7) 1章準備 1章では，後章で必要となる用語と定理について説明する．ただし，参考文献エ7］にあるような線形代数学の基本事項，参考文献エ6］，［11］にあるような微分積. 分学の基本事項，参考文献［8］にあるような群・環・体についての基本事項，参考文献エ10］，5節にあるような球面幾何の基本事項，などは既知とする。なお，この論文を通して次の記号を用いる．. R ［・1. C1亀C2. 実数全体. ガウス記号，実数C以下の最大の整数実数C1，C2が近似的に等しい. → 一一一→. 一一→ 一一一→. Rn. ＝ R×一、。XR （η次元ユークリッド空間）. 0λ・0B. 空間ベクトル0λと0Bの内積. ｝. n個／π，μ）. ㏄＝（エ1ゾー．，爆η），μ＝（帆，＿，gn）の内積均腕十。。。十π〃肌. 3卜1 （剛. R冊内の原点を中心とする単位球面. 砺. 球面3n−1土の2点”，リの球面距離，（W）の長さ. Cap（”，θ）. 球面8n−1土の2点”，リを結ぶ大円の劣弧. 球面8n−1土の点”からの球面距離がθ以下の点全体のなす集合. ψ）. n次元kissing number. P（Rη）. R上のη変数多項式環（Rη上の多項式関数全体）. P（3n一ユ）. 球面3冊一1土の多項式関数全体. Hom（Rn）. P（Rn）の斉次多項式全体. Homゼ（R几）. P（Rη）の乏次斉次多項式全体. Harm（Rn）. 」P（Rn）の調和多項式全体. Ha．rm4（R几）. 4次斉次調和多項式全体. lx」. 有限集合Xの元の個数. プ19. 多項式！が多項式gを書1」り切る. ∀α∈λ. 集合λの任意の元αに対して. ■4⇒3. λ⇔B 0（R帆）. λならば3である λとBは同値である η次直交群（η次直交行列全体のなす群）.

(8) 6. 1、準備. 1．1 余弦定理 3次元ユークリッド空間R3内の球面をその中心0を通る平面で切断してできる円を大円という．球面上の2点λ，Bを通る大円の劣弧（2つの円弧の短い方）の長さをλ，Bの（球面）距離といい，λ8で表すことにする．球の半径がr，∠λ0B；θ≦πのとき，λB：rθ. である．半径1の球面を単位球面という．以下，特に断らない限り球面は単位球面を意味す. るものとする．球面上の3点λ，3，0でできる球面三角形λB0（以下△λB0と記す）につレ、て. ，. λB＝θ1， λσ；θ2， Bσ＝・φ. であるとする．また，点λにおける2つの大円の接線のなす角をψ一とする．. λ. θ2. ．。・・．. @ θ1. 0. q. B. 定理1・1（余弦定理）θ1，θ2，φを上に定めたものとする．. このとき次の等式が成り立つ．. COSφ三COSθ1COSθ2＋SinθユSinθ2COSψ. 一一一→ 一一．÷ 一一一→ 一一一→. 【証明】ベクトル0Bとベクトル00の内積0B．00を2通りに計算す. 一一一→ 一一一→. る．0Bと00のなす角がφであることと，0B：00＝1であることに注. 意すれば，次式が成り立つ．一一一. ｨ →. 08・00＝cosφ → 一一一÷ → →. 次に，0B，00を，0λに平行な成分と，0λに垂直な成分とに分解して内積を計算する．.

(9) 7. 1、準備 λ. σ B. 点B，0から直線0λに下した垂線の足をそれぞれ∬，H’とすると一一一→ 一一一一→ 一一一一→ 一一一十 → 一一一一一≒ 一一一一→ 一一一一≒≒ 一一一→ 一一一■｝. 0β＝0〃十〃B， 0σ＝0〃’十π’0， 0〃一〃’0＝0〃’・〃B＝O 一一一→ →. が成り立つ．ここでH3と〃0のなす角がψに一致することと 0H＝cosθ1，0H’＝cosθ2，HB＝sinθ1，H’σ＝sinθ2 であることに注意すれば一一→ → 一一→ 一一一→ 一一→ 一一一→. cosφ；0B・00：0∬．0∬’十∬B．∬’0 ：COSθ1COSθ2＋SinθユSinθ2COSψ 一. が得られる．. 1．2 球面座標補題1．2Rn（肌≧2）の点”：（”1，”2，．．，”、）に対して，O≦θ1＜2π，O≦θ｛≦π（2≦. づ≦η＿1）が定まり，次が成り立つ．ただし，rは”の原点からの距離である． π1＝r Sinθn＿ユSinθn＿2・. ・・. rinθ3Sinθ2Sinθユ. ”2＝r Sinθ帆＿ユSinθη＿2・. ・・. rinθ3Sinθ2COSθ1. ”3＝r Sinθ帆＿1Sinθη＿2・. ・・. rinθ3COSθ2. π4＝τSinθn＿1Sinθη＿2・ −COSθ3. 工η＿1＝r Sinθn＿1COSθη＿2 ”η＝r COSθ帆＿1.

(10) 1．準備. 【証明】 ηについての帰納法で示す、η＝2のときは明らかである、次に， η〉3としてτ卜1のときは成立していると仮定する．・ユ2＋”。2＋…十・帆2＝・2⇒一・≦・。≦・となるので”η＝rcosθη一1をみたすO≦θη＿1≦πが一意に定まる．このとき・、2＋・。2＋…十・九一。2＝（・・i・θ、一）2. であるから，点（π1ゾ．．，πn．1）∈Rれ一1の原点からの距離はrSinθ肌＿1である1従っ. て，帰納法の仮定から ”ユ＝（γSinθη＿1）Sinθη＿2… Sihθ3Sinθ2Sinθ1. π2＝（r Sinθη＿1）Sinθn＿2… Sinθ3Sinθ2COSθ1. πη一1＝（γ・i・θト1）CO・θ。一。. をみたすO≦θ1＜2π，O≦θ｛≦π（2≦｛≦η＿2）が定まり，Tムのときも成り. 立つことがわかる． ■. ○sinθκ：0のときはθ1＝．．．＝θた一1：0となるようにθ1，．．，θη一1を選べば，（z1ゾ．．，エ、）に対して（r，θユ，．。，θ、一1）が一意に定まる．. ・（γ，θ1，．．，θト1）を（均，．．．．π刊）の球面座標（極座標）という．. 特に，原点を中心とする単位球面3ト1土の点の球面座標は（θ1，。一，θれ一。），O≦θ1〈2π，0≦θ｛≦π（2≦｛≦上1）. となる．82土の点戸＝（”，V，Z）の場合は，慣習的に工＝sinθcOs g， μ＝sinθsinψ， z二。osθ （1．1）. → と表して，（θ，ψ）を球面座標ということが多い．θは0Pとz軸のなす角である（0 → は原点）．Pからπμ平面に下した足をP’とすると，0P’と”軸のなす角がψである．.

(11) 9. 1．準備. 1．3 1Legendre多項式定義1．3非負整数んに対して，次式で定まる多項式片（亡）をLegendre多項式という． 2ん＿1 ん一1 片（1）：1，P1（1）：亡，れ（1）＝出一。（t）一片一。（1）（ん≧2）んん. Legendre多項式をいくつか計算すると次のようになる．. 31 53 35ユ53 2 2 2 2 8 4 8 帥）＝一12一一，帥）＝一13一一t，則）＝一t4一一2＋一. 実係数ん次多項式八（’）≠Oからなる多項式の族｛八（‘）｝た≧oが区間［α，わ］における直交多. 項式系であるとは. …の1き∫b肌（t）・f一・が成り立つときにいう。Legendre多項式｛片（‘）｝κ〉oが区間卜1，1jにおける直交多項式系をなすという次の定理を3章，§3，4で用いる．. 定理1．4（［6，第6章，§711，［11，p．76，側201）Legendre多項式片（t）について次の等式が成り立つ．. 1 2 ∠ 凡（亡）み（む）批：δ㎜. 1 2η十1 ただし，δnmはKroneckerのデルタである．. ．文献［11］のp．76に，Rodrigues’fomu1a片（之）＝六券（t2＿1）kと部分積分を用いた定理1．4の証明がある．その他，本論文では必要としないが，次の事実が知られている（証明暗）．・Legendre多項式片（エ）は区間（一1，1）にん個の解を持つ．. ・ん次モニック実係数多項式∫（”）の中でプ1∫（”）2桁を最小にするのがLegendre多. 項式片（”）をモニック化したものである．ただ㌧最高次係数が1の多項式をモニック多項式という．. ・Legendre多項式汽はLegendreの微分方程式（1＿π2）μ”＿2〃十々（ん＿1）〃：Oの解である．.

(12) 2章 3次元Kissing Number kissing mmberん（η）は，π次元ユークリッド空間Rηにおいて，1つの球に接. することのできる同じ半径の球の最大個数である．この章では，3次元Kissing Numberん（3）が12であることを，Musinエ4］の方法で導く．ん（3）≧12はよく. 知られた事実であるが，ん（3）＜13を示す部分が難しい．MusinはLegendre多項式の非負係数一次結合として表される9次多項式∫（t）を巧妙に選び，単位球面82土の有限集合X：・｛エ1，．．．，”、｝に対して，. η 8（X）一Σ∫（…φ1ゴ），φザ刷 ∼＝1 と定め，Legendre多項式の加法定理を用いて次の不等式（定理3．！9，3章で証明）. を示し，それより3（X）≧η2を導いた．この論文では，Legendre多項式の加法. 定理ではなく，より一般なGegenbauer多項式の加法公式を用いて次の不等式を導く．. 定理3．19 X＝｛均，”2，＿一，”。｝を原点を中心とする単位球面82土の有限集合と. し，φ｛ゴ＝砺を球面距離とする．このとき次の不等式が成り立つ、ただし，片は Legendre多項式である1 n Σ片（…φ1ゴ）≧O ｛，ゴ＝1. §2．1では，3（X）く13nを認めて，ん（3）＝12を導く、§2，2では，Xが，互いに. 交わることなく52に接する単位球面の接点であるとき，3（X）＜13ηが成り立つことを示す．. 10.

(13) 11. 2．3次元Kissing Number. 2．1 k（3）＝12の証明多項式∫（亡）を次のように選ぶ．. ∫（1）一些1・一里1・。型1・。些t・一壁t・一型1・。⊥1一⊥（・．！） 80 20 400 40 10 100 10 200. このとき 8 87 33 49 1 8. ∫＝片十一P1＋一P2＋一片十一乃十一片十一局（2．2） 5 25 20 25 10 25 と表される（計算略）．すなわち. 9 ∫一Σ・lpl た＝O と，Legendre多項式の非負係数一次結合として表される．co＝1であることを注意しておく．次に，82土の有限集合X＝｛”1，。、．，”、｝に対して. 冊. 3（X）一Σ∫（…φ1ゴ）壱，ゴ＝1. と定義する、ここで，φむ：砺である．. 定理2，132土の任意の有限集合Xに対して，8（X）≧η2が成り立つ、【証明】. 定理3．19を適用することにより，次のように導かれる．. ・（・）一. ∼1）一夫（さ帆㎏φ1））. 一シ（宍伽伽1））・シ∼一が. 原点0を中心とする単位球面32に，重なり 0｛. がないように接する単位球がη個あったとして，その接点からできる有限集合を吻. X＝｛”。，z。，…，”η｝. 0 巧. とおく．叫，巧で接している球の中心を，それぞれ0台，0ゴとする。. 0ゴ. ■.

(14) 12. 2．3次元Kissing Number このとき0ρゴ≧2に注意すると π. 砺；φ11≧百. （1≦ゼ≠ゴ≦γL）. が成り立つ．. 定理2・2X＝｛”1，z2，．・，”、｝を32土の有限集合で，任意の乞≠ゴに対してφ幻≧π／3. をみたすものとする．このとき，次の不等式が成り立つ． η 3（X）一Σ∫（…φ1ゴ）・13η 金，ゴ＝1. 定理2，2の証明は次節で行うことにする．さて，X＝｛”1，z2，… ，π帆｝が，単位球面32に接. する単位球の接点からなる有限集合の場合，定理2，1，定理2．2が適用できるので. η2≦8（X）＜13η⇒η＜13 が成り立つ1これよりk（3）＜13が導かれ，々（3）≧12であることから，次の定理を得る．. 定理2．3た（3）＝12. 2．2 S（X）＜13nの証明この節ではX＝｛”1，”2，．．．，”η｝・を32土の有限集合で，任意の｛≠ゴに対して φ｛ゴ≧π／3をみたすものとする．このとき＿1≦cosφ｛ゴ≦1／2であることに注意されたい、. 以下，定理2．2の主張である不等式. 皿 3（X）一Σ∫（…φlj）・13η ｛，j＝1. をいくつかのステップに分けて導くことにする．まず，多項式∫（亡）の区間卜1，1／2］における値の変化について考察する。 ∫（t）の区間卜1，1／21におけるグラフは次のようになる、ただし∫（一to）＝Oとする。.

(15) 13. 2．3次元Kissing Number. O．5. 一1−f。. O. また，区間卜0．65，0，121におけるグラフは次のようになる（グラフではπ：t）一. これらのグラフから，∫（‘）は区間［一1，1／21において，ただ一つの実根一‘oを持つことがわ. かる．Maximaで計算すると次のようになる．. 37 −f。馬一05907，∫（0）：一0005，ブ（05）＝報一00001807 204800 以上から次の結果を得る．（1） ∫（t）はト1，一folで単調減少であり，区間卜1，1／21においてただ一つの実根一士。を持ち，（＿‘o，1／2］において∫（‘）＜0となる．. さて. れ W）一Σ∫（…φ1ゴ）ゴ＝1.

(16) 14. 2．3次元Kissing Number とおく．このとき n 5（xトΣ31（x）｛＝1 となる．従って，3｛（X）＜13（づ＝1，．．，η）を示せば3（X）＜13ηが得られる．. 次に J（ゼ）＝｛ゴl cosφ幻∈正一1，一士。）｝とおく．｛. ∫（cosφむ）＞O，ゴ∈J（乞） ∫（cosφむ）≦O，ゴφJ（乞）. であるカ・ら. 叩）一∫（1）・Σ∫（…φ1ゴ）ゴ∈J（4〕. とおくと 5｛（X）≦乃（X）. （2．3）. が成り立つ．これより次を得る．. （2）刀（X）＜13（乞。。1ゾ．．，η）を示せば8（X）＜13ηが得られる1. ゴ∈ノ（乞）となる点巧について考察する．θo＝arccos士。とおくと，θo島0．9388＿であり，. 度数法で，ほぼ53．7940である．特に 7r θO＝a．rCCOS t0＜一 3 が成り立つ．さて，ノ（乞）の定め方から. ゴ∈ノ（乞） ÷＝⇒ COSφ勿＜一tO く＝⇒ φむ＞π一θO. が成り立つ．すなわち，θゴ＝π＿φ｛jとすると，θj＜θOが成り立つ。.

(17) 2．3次元KissingNumber. 15. 軌 0 εo ここでeO＝＿軌を吻の対極点（中心に関して点対称な点）とすると（3）ゴ∈J（乞）であるすべての点巧はeoからの球面距離がθoより小さい範囲内にある1. （2）より. 刀（X）一∫（1）・Σプ（…φ1ゴ）く13（1−1，…，η）ゴ∈J（｛）. を示せばよいのであるが，. …φザ…（π一θj）：一…θj に注意すれば η（X）一∫（1）・Σ∫（一…θj）・13（1−！一・・，η）ゴ∈J（4〕を示せばよいことになる．そのためには，32土の点eO，V1，、．．，μmで，〈 π 〈 φ幻：挑吻≧一（｛≠ゴ）， θ｛＝eo挑くθo（1≦｛≦m）. （2．4）. 3. をみたしているものについて，常に ∫（1）十∫（一・o・θ、）十∫（一…θ・）十…十∫（一…θ帆）＜13. （2．5）. が成り立つことを示せばよい．. （4）以下，式（2．4）をみたす点eo，μ1、・．．，ひm（m≧1）について考察する・. m；Oならば∫（1）＝10．11＜13より，式（2．5）が成り立つので，m≧1であるような点 εO，μ1，．．．，ひmについて示せばよい．.

(18) 2．3次元Kissing Number （5）式（2．4）をみたす点εo，μ1，＿，ツm（m≧1）についてm≦4が成り立つ．. ’．’. j m≧5であると仮定して矛盾を導くことにする．∫2の中心0を原点と. し，eo＝（0，0，1）となるようにπμ軸を定め，p．8の式（1．1）のように82に球面座標を導入する．跳の球面座標が（θ4，ψ乞）であるとする．θ｛＝0と仮定する. と，εO＝挑となるので，吻≠軌を選び，θo＜葦に注意すれば 7「 7「. 百≦蛎＝砺くθ、となり，矛盾が生じる．ゆえにθ壱＞0（｛：1，．．，m）が成り立っ1｛≠ゴとして，. 三角形eo舳jに余弦定理（p．6）を適用すると， …φザ…θ1…θゴ十・i・θ1・i・θゴ…（物一9ゴ）となるが，O＜θ｛，θゴ＜θoであるから，sinθ｛，sinθゴ≠Oとなる。cosφむ≦まに注. 意すると. ト…θ1…θゴ. …（ψ、一ψ。）≦ （26） Sinθ壱Sinθj. が得られる．ここでO＜α，β≦θoに対して. 芸一…α…β ρ（α，β）＝. SinαSinβ とおく．cosα，cosβは共に1／2より大きいから ∂Q（α，β） 2cosβ一。osα ∂Q（α，β） 2cosα一。osβ. ＝。〉O，＝〉O ∂α 2sinαsinβ ∂β 2sinαsin2β が成り立つ．これより ρ（α，β）≦ρ（θO，β）≦ρ（θO，θO）. となるので，θO：arCCoS元Oに注意すると. ・・い・）・；盾P1；毒θコ・烹θo−1＋・・・…. i1≡；1）一・・・…，・・・…（ll11）÷・… ・・・…. を得る．. 従って，物一物は度数法に換算すると，ほぼ76．附で，72。より大. 16.

(19) 2．3次元Kissing Number. 17. きくなる．一方，点μ1，．．．，蝪から，eoを通り，0eoに垂直な平面に下した足を z1ゾ1．，zmとすると，半直線eozゼ（｛＝1ゾ．．，m）は36びをm個の角に分割する．. 上述のことから，それらの角の大きさが72。より大きくなるが，これはm≧5 であることに矛盾する．一. ここで，いくつか記号を導入する、. ・”∈32に対して，Cap（”，θ）＝｛ひ∈821⑳≦θ｝と定める．．式（2．4）をみたすような点εo，μ1，．．．，ツmのあらゆる選び方の中でのmの最大値をμ とする．（5）の結果から，μ≦4である．・式（2・4）をみたす点eo，リ1，．．・，蝪（m≧1）に対してγ＝｛ひ1，…，μm｝とおき，∬（γ）. を次式で定義する． H（γ）＝∫（1）十∫（一…θ1）十∫（一・o・θ。）十…十∫（一・・sθm）. ．点μ1，．．．，帆が式（2．4）をみたすように動くときのH（γ）の上限をん㎜とおく．㌦は点ツ1，．．．，ひmが. 7「. φザ秘≧百（4≠ゴ），θF砺≦θ・（1≦乞≦m）をみたすように動くときのH（γ）の最大値である．・んm、、をん1，．．一，んμの中の最大のものとする、. ・刀（X）≦んm、、であるから，んm、、〈13を示せば，（2）の主張より，8（X）＜13ηが導かれる．. ・以下，ん1，ん2，ん3，ん4を評価して，んm弧＜13であることを示すことにする．．んmを与える点μ1，．．．，ツ肌が式（2．4）をみたさないとすると，θゴ＝θoとなる吻が存在. する一∫（一。osθj）＝Oであるから，砂1，＿，ひmから的を除いたm−1個の点γ’が〃（γ’）；ん仰をみたす．従って，んm≦んm−1が成り立つので，ん伽一1＜13を示せば，. んm＜13はそれより導かれることになる．これより，ん帆を与える点μ1ゾ、．，μmが式（2．4）をみたす場合についてのみんm＜13を示せばよいことがわかる。. （6）ん1＜13.

(20) 18. 2．3次元Kissi㎎Number ．・. j eo，μ1が式（2．4）をみたすとする．γ二｛μ1｝より. 〃（γ）＝∫（1）十∫（一…θ。）. となるが，0≦θ1〈θoより，＿1≦＿cosθ1＜＿亡。となる．（1）の主張から，区間エ＿！，to）で∫（t）は単調減少であるから. H（γ）＝∫（1）十∫（一…θ、）≦∫（1）十∫（’1）＝12．88＜13. が成り立つ、よってんユ＜13が示された．. 1. ・∫（一1）＝2．77の数値計算にはMaxima［！21を用いた．. ・以下のm＝2，3，4の場合も，数値計算にはMaximaを用いている1. （7）式（2，4）をみたす点eo，μ1、＿，Vm（m≧2）について，eo≠挑（｛＝1ゾ。。，m）である、. ．・. j eO：挑と仮定すると，ゴ≠壱に対して π 〈＾ 7r. 百≦舳＝舳＜θ・＜言となり，矛盾が生じる．. 一. （8）式（2，4）をみたす点配置eo，ひ1，．．．，μm（m≧2）が∬（γ）＝んmをみたすとき，どの. 挑も，挑とεoを結ぶ大円に沿って，式（2．4）を保ったまま，eoに近づけることはできない。すなわち，眺をeoに近づけると，式（2．4）が成立しなくなる．. ．・. j ある眺を，挑とeOを結ぶ大円に沿って，eOに近づける。ただし，他の. 点吻≠晩は固定しておく。このとき，θ｛は減少するので，＿CoSθ｛は減少し， ∫（一。osθ｛）は増加する．新しい点配置が式（2．4）をみたせば，∬（γ）；ん㎜であ. ることに矛盾が生じる．ゆえに，式（2．4）を保ったまま，眺をeoに近づけるこ. とはできない． ■. （9）式（2．4）をみたす点配置εo，ツ1ゾ・・，伽（m≧2）がH（γ）＝んmをみたすとする・こ. のとき，任意の挑に対して，砺：書をみたす的≠炊が存在する、.

(21) 19. 2，3次元Kissing Number ．’. j ある挑が，すべての的≠挑に対して，⑭＞音をみたすと仮定するとヨ. 仏を，眺と。oを結ぶ大円に沿って，式（2．4）を保ったまま，eoに近づけることができることになり，（8）の主張に矛盾が生じる． ■ （10）式（2．4）をみたす点配置eo，吻，吻が∬（γ）＝ん2をみたすとする．. このとき，. 〈疵＝春であり，eOはμ1，吻を結ぶ大円の劣弧（舳2）の上にある・〈 j 疵：青であることは（9）の主張からわかる、次に，εO￠（V1地）と仮定す．．. る1このとき，式（2．4）から，eoはV1，吻を結ぶ大円の上にもないことがわかる。. 〈簡単のため，eoがz軸上にあるとして，eo＝（0，0，1）とする．（ひ1μ2）を含む平. 面をnとして，32の直径dで，n上にあり，Z軸と直交するものを軸として， nをz軸との角度が小さくなるように回転する（下図はdに直交する平面による切断面）．. て・一．．. eO. n 物リ1. 0. このとき，Vユ，V2のZ座標が増加するので，θユ，θ2は小さくなる．従って，∬（γ）. は増加し，式（2．4）は保たれるので，H（γ）；ん2であったことに矛盾が生じる．. ゆえにeOはμエ，吻を結ぶ大円の劣弧上にある． ■ （11）ん。＜13. ’．I. j 式（2．4）をみたす点配置eo，μ1，物がH（γ）：ん2をみたすとする。（10）よ. くり，⑰＝葦であり，eo∈（舳2）である。これより π θ、十θ。＝一（θ、＝砺，θ。＝砺） 3. が成り立っ1従ってん2：〃（γ）＝∫（1）十∫（一。osθ1）十∫（一。osθ2）＝∫（1）十∫（＿cosθ1）十∫（一。os（π／3一θ1））.

(22) 20. 213次元Kissing Number を得る．ここで F（θ）＝∫（一…θ）十∫（一…（π／3一θ））とおく．. π O≦θユ＜θo，0≦π／3一θ1＜θo＝李一一θ。＜θ。＜θo 3 よりF（θ）を妾一θo≦θ≦θOでグラフ表示すると次のようになる（グラフでは π＝θ）。. 2，765 ！＼＼／・．. … ／＼. 2，755 ！. 2．75. ＼. ＼. ／。．。4。！. ＼ノ＼！. ＼、∵ 。二二1. ∵ノ. O．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0」7 0．8 0．9. 比 F（θ）〈2，765よりん。：∫（1）十F（θ。）＜12，875＜13. が得られる． ■ 残るはん3，ん4の評価である．. ここで，球面幾何に関わる必要事項を整理しておく．．球面32土の2点刎，ωを結ぶ最短経路は大円の劣弧（剛である（cf．［10，p．70，系］）．. ・82の部分集合γは「u，U∈γならば（剛⊆γ」をみたすとき，凸であるという。・82の凸部分集合の共通部分は凸であるが，点ツ1，吻ゾ．．，μm∈32を含む32の凸部分集合すべての共通部分を△（ツ1，…，ツm）と表すことにする・△（ツ1，。。・，ツm）は〃1，μ2，…，〃m. 〈を含む最小の凸部分集合である。また△（眈，μ2）：（舳2）となる。.

(23) 21. 2．3次元Kissing Number ．32の大円の片側と，その大円との和集合を半球面という．半球面は凸である．. 〈．球面上の3点吻，吻，u3が同一大円上にないとき，（u1吻）を含む大円によってできる. く半球面でu3を含むもの，（仙1u3）を含む大円によってできる半球面で吻を含むもの，（吻u3）を含む大円によってできる半球面でu1を含むもの，これら3つの共通部分は，〈〈〈（仙1α2），（伽1仙3），（吻u3）で囲まれる球面三角形△（〃1，吻，㏄3）となる。．球面三角形△（吻，吻，吻）について，三角不等式「2辺の長さの和は他の1辺の長さよ. り大きい」が成り立つ．証明は，3頂点を弦で結んでできる平面三角形における三角不等式と，sinθ／θが区間（O，π／2）で単調減少であることから導かれる（詳細略）．（12）式（2．4）をみたす点配置eo，μ1，．．．，μmについて，次が成り立つ。. （i）弼＜2θoが成り立つ、（ii）相異なる3点挑，的，挑は同一大円上にない。従って，△（軌，的，挑）は球面三角形で. ある．〈〈 j （i）（〃O）と（eOひゴ）をつなぐと，挑と吻を結ぶ一つの経路となる．その．・. 長さは2θoより小さく，最短経路の長さ感以上であるから，砺＜2θoが得られる．. （ii）簡単のために，リ1，μ2，V3が同一大円上にないことを示す．μ1，V2，リ3がこの. く順で同一大円上にあったと仮定する。2θo＜誓であることと，（i）から，（舳1）は〃2を含まないので，下図のような点配置になる．. 脆く。μ。）. 〈（螂。）. μ2. 眈（舳。）これより＾〈＾クr. 2π：V1μ2＋μ2μ3＋V3μ1＜6θo＜6x一＝2π 3 となり，矛盾が生じる．ゆえに，μ1，吻，V3は同一大円上にない．. 一. （13）式（2．4）をみたす点配置εo，μ1，μ2，μ3がH（γ）＝ん3をみたすとすると，eoは球面三角形△（挑，〃2，ツ3）に含まれる．.

(24) 22. 2．3次元Kissing Number ．．. j εOが球面三角形△（リュ，μ2，リ3）の外部にあると仮定する．適当に番号を付け. くかえて，（μIμ2）を含む大円に関して，eoと〃3は反対側にあるとしてよい．（10）〈の証明と同様に，eoがz軸上にあるとして，εo：（O，O，1）とする．（舳2）を含. む平面をnとして，32の直径dで，n上にあり，Z軸と直交するものを選び，d を軸として，nとμ3をZ軸との角度が小さくなるように回転する．ツ1，μ2，μ3 がすべてCap（eo，θo）に含まれる（上半球にある）ことと，脆がnに関して，eo と反対側にあることに注意すれば，それらのZ座標は増加し，〃（γ）＝ん3であ. ることに矛盾が生じる．ゆえにeOは球面三角形μ1脚3に含まれる、 ■. （14）式（2．4）をみたす点配置eo，μ1，吻，脆がH（γ）＝ん3をみたすとすると，挑≠吻. に対して，砺：妾が成り立つすなわち，△（ツ1，μ2，ツ3）は球面正＝角形となる. ．・. j （9）の主張より，△（μ1，ツ2，μ3）の少なくとも2辺の長さは妾である・今，. △（リ1，リ2，リ3）が正三角形でないと仮定し，. ＾＾ π ＾ π. μ1μ2＝μ1ツ3＝一， μ2μ3〉一. 3 3. であるとする．V2，ツ3はCap（μ1，π／3）の周上にある．Cap（μ1，π／3）の周を含む. 平面に，ツ1，eOから下した垂線の足をそれぞれ〃，∬とする．. π／3. μ2. P. P. ッはCap（ツ1，π／3）の周↓の点，∠μ〃P二2θ，〃P＝rとする．△〃〃Pに余弦. 定理を適用すると（物）2＝（HP）2＋（μp）2−2（∬P）（ひp）…（π／2一θ）. ＝（HP）2＋（2・・inθ）2−4・・in2θ・〃. ＝（HP）2＋4…i・2θ・（・一〃）. となる．従って吻一は0≦θ≦π／2の範囲で単調増加である．これより，V をPに近づけると，吻が減少し，弦μeOの長さも減少する．ゆえにμ2，また.

(25) 23. 2．3次元Kissing Number はリ3をCap（μ1，π／3）の周に沿ってeoに近づけるとθ2，またはθ3が減少し， π（γ）＝ん3が増加することになり，矛盾が生じる、以上で，△（μ1，μ2，ツ3）が球面. 正三角形であることが示された． ■ （15）式（2．4）をみたす点配置εo，μ1，ツ2，μ3，μ4について，△（吻，μ2，ツ3，μ4）はμ1，μ2，脆，地. を頂点とする球面四角形となる．. ．・. j （12），（ii）より，任意の相異なる3点挑，吻，肌に対して，△（挑，吻，肌）は球. 面三角形である、残る点を物とすると，眺φ△（挑，吻，ωが成り立つことを示そう．記号を簡単にするため，μ4￠△（μ1，吻，ツ3）を示すことにする．そのために，V4∈△（V1，μ2，V3）と仮定して矛盾を導くことにする1（12），（ii）より，ツ4は. △（眈，ひ2，ひ3）の内部にある．（εoひ4）に直交し，μ4を通る大円からできる2つの. 半球をH1，π2とする．eo∈H1とする．ひ4は△（仇，吻，μ3）の内部にあるから，. 少なくとも1つの挑がH2に存在する．μ1∈H1，V3∈H2とする．〃3. H2 ∬ユ μ4 eo. 眈 μ2 このときeO，ひ4，晩は同一大円上にないので，球面三角形△（εO，μ4，リ3）ができる．. これに余弦定理を適用すると COS（砺）：COS（廊）COS（ε砿）十Sin（感）Sin（ε続）COS（∠eOμ4μ3）. となるが，∠eoV4μ3はπ／2より大きいから，. 7r …（砿）＜…（感）＝＞θ。＞砺〉蔽≧一 3 となり，矛層が生じる．ゆえに△（軌，μ2，μ3，μ4）は三角形でない．θ｛＝砺を最大にする点をリ1とすると，μ1，晩，μ3，μ4はCap（eo，θ1）に含まれる．適当に吻，晩，μ4の番号をつけ変えて，μ1，μ2で定まる大円とCap（eo，θ1）の共通部分，的，μ3で定まる大円とCap（eo，θ1）の共通部分，Gap（eo，θ1）の周，とに囲まれた部分にV4が存在するようにできる．これより，△（ひ1，μ2，V3，μ4）がV1，μ2，ひ3，ひ4. を頂点とする球面四角形（4つの劣弧で囲まれた図形）であることがわかる．1.

(26) 24. 2．3次元Kissing Number （16）式（2．4）をみたす点配置eo，吻，吻，V3，μ4がH（γ）＝ん4をみたすとする．このと. くき挑と他の的を結んだ3つの（舳j）の中の，少なくとも2つは長さがπ／3である．〈 j 背理法で示す。一般性を失うことなく，仇と他の坊を結んだ3つの（舳3）．‘. の中の，疵，疵がπ／3より大きいとする．疵＞π／3ならば，式（2．4）を保ちながら，μ1をeOに近づけることができるので，〃（γ）＝ん4であることに矛盾が生じる．従って，感＝π／3である． eo，ひ1，μ2が同一大円上にないときは，μ1をCap（μ2，π／3）の周に沿って，εoに. 近づけることができる。従って，H（γ）：ん4に矛盾が生じる、 εO，ひユ，μ2が同一大円上にあるときは，△（μ1，μ2，ひ3，ひ4）が球面四角形であること. に注意すると，（14）の証明と同様に，脆，リ4の適当な方吻を，Cap（吻，砺）の. 周に沿って，ひ1に近づくように移動させることができる．従って，H（γ）が増加し，H（γ）＝ん4に矛盾が生じる． ■. 以下，ん4＜13を示すために，点配置εo，μ1，吻，μ3，μ4は次の条件をみたすとする、｛. 式（24）をみたし，H（γ）；ん4である球面四角形△（リ1，リ2，リ3，リ4）の頂点が，順に，ツ1、腕，ひ3，ひ4であり，. 〈〈その対角線が（舳3），（舳4）である. （17）条件（2．7）をみたす点配置eo，μ1，μ2，μ3，μ4について，次が成り立つ．. （i）⑰，疵のいずれかはπ／3より大きい．（ii）△（μ1，吻，μ3，μ4）の4辺の長さはすべてπ／3である．. 〈〈（iii）（川ノ3）と（！舳4）は互いに他を2等分し，直交する．. ．・. j （i）疵：疵＝π／3であると仮定する、対角線の交点をωとする．. ⑭：π／3より，⑰か⑩のいずれかはπ／6以下である．仮に，⑰がπ／6. 以下であるとする1同様に，⑫か⑳のいずれかはπ／6以下であるので， ⑰がπ／6以下であるとする．. （2．7）.

(27) 25. 2．3次元KissingNumber. μ3. V1. このとき，球面三角形△（μ1，ω，μ4）において. 7r ＾＾＾ π. 一≦ひ1μ4＜μ1ω十μ4ω≦一 3 3. となり矛盾が生じる・ゆえに，感，感のいずれかはπ／3より大きい．（ii）上の（i）より，対角線の少なくとも1本はπ／3より長い．今，感＞π／3 であるとする．このとき，（16）の主張から，. 疵＝疵二π／3 が成り立つ．ツ3についても同様に考えて，. 感＝感＝π／3 が得られる、ゆえに△（μ1，晩，μ3，μ4）の4辺の長さはすべてπ／3である．. （iii） R3において，2点V2，ツ4は〃1，〃3から等距離にあるから，中心0と共. に，線分舳3の垂直2等分面上にある．従って，線分舳3と平面0㈱4は直交する．対角線の交点ωは平面0脚4土にあるので，弦の長さの等式μユω：岬3. が成り立ち，⑫＝⑫が得られる．同様に，⑰＝⑳も得られるので，対角線は互いに他を2等分する．また，ωにおける（舳3）の接線は，線分舳3と平くく. 竹となり，1〃における（舳4）の接線が線分卿4と平行となるので，（舳3）と. く. （ひ2V4）は交点ωで直交する． ■ （18）条件（2．7）をみたす点配置eo，μ1，μ2，μ3，μ4において，d1：疵，d2二愈とすると，cos（d1／2）cos（d2／2）＝1／2が成り立つ．. ．・. j 球面三角形舳2ωに余弦定理を適用すると. 。osπ／3＝cos（∂1／2）cos（d2／2）十sin（d1／2）sin（d2／2）cosπ／2＝cos（∂1／2）cos（d2／2）.

(28) 26. 2．3次元KissingNumber となることから導かれる．. 9. 次の（19）を示すために，関数ρを導入する．. ／（・）一…一・・（、c。、1、／2））（・…芸）. （218）. 式（2．8）は次式と同値である．. 1. …（ρ（・）／2）…（・／2）＝一. （2．9）. 2. ρ（5）の定義と（18）の結果に注意すれば，ρ（8）は次のような値をとる（計算略）．. ρ（d1）＝d2， ρ（d2）＝d1， ρ（7r／2）：7r／2， ρ（ρ（8））＝5. （19）条件（2．7）をみたす点配置eo，〃1，〃2，〃3，〃4において，d1：1疵，∂2＝1励，d！≦∂2. とすると，不等式ρ（2θo）≦d1≦π／2≦d2≦2θoが成り立つ．. ．’. j 式（2，9）より，. 1 …（ρ（2θ。）／2）…θ。＝…（d1／2）…（d。／2）＝一. 2. が成り立っl d1＝‘i2ならば，d2／2＜θo＜π／3に注意すれば 1 7r. …2（∂1／2）＝…2（d。／2）二一⇒d1：d。：一 2 2. となる．d1＜∂2のときは 1 π …（d1／2）＞一＞・・s（d。／2）・⇒∂。＜一＜d。. 凶 2 となる．同様にして ρ（2θ。）≦｛≦π／2≦d。≦2θ。. が得られる．. （20）ん。＜13. ・．. j条件（2・7）をみたす点配置e・，ひ1＝ひ・舳において，∂・＝感・，d・：疵・，. d1≦d2とする．このときん4：〃（γ）：∫（1）十∫（一。osθ1）十∫（一。osθ2）十∫（一。osθ3）十∫（一。osθ4）. ■.

(29) 27. 2．3次元KissingNumber であるが，ψ1＝θ1＋θ3，ψ2＝θ2＋θ4とおくと ∫（一COSθ1）十∫（一COSθ3）＝＝∫（一COSθ1）十∫（一COS（ψ1一θ1）） ∫（一COSθ2）十∫（一COSθ4）＝∫（一COSθ2）十∫（一COS（ψ2一θ2））. と表される．ここで F1（θ，ψ）＝∫（一COSθ）十∫（一COS（ψ一θ））. とおくとん4＝H（γ）＝∫（1）十Fユ（θ1，ψ1）十F1（θ2，ψ2）と表される．F1（θ1，ψ1），F1（θ2，ψ2）を評価したいのであるが，F1（θ1，ψ1）は. ψ1／2≦θ1≦θo の範囲で評価すればよい。同様に，F1（θ2，ψ2）は. ψ。／2≦θ。≦θ。. の範囲で評価すればよい．またψ1，ψ2については（19）より ρ（2θo）≦d1≦ψユ：θ1＋θ3＜2θo， ρ（2θo）≦d1≦d2≦ψ2＝θ2＋θ4＜2θo. をみたす1ここでハ（ψ）一. 揩ﾓ／可（1，ψ）／. とおく。F1（θ，ψ）はθを固定すると，ψについて単調減少であるから，F1（ψ）. もψについて単調減少である．従って ∫（一。・sθ。）十∫（一…θ。）≦F。（ψ。）≦F。（d1）≦F。（ρ（2θ。））. ∫（一COSθ2）十∫（一COSθ4）≦F1（ψ2）≦F1（d2）＝F1（ρ（d1））. が得られる、（イ）ρ（2θo）≦d1＜77π／180のときは，ρ（d1）＞ρ（77π／180）に注意すれば. ん。≦∫（1）十F1（ρ（2θ。））十F1（ρ（77π／180））.

(30) 28. 2．3次元Kissing Number F1（θ，ρ（2θo））のグラフは次のようになる（グラフでは”二θ）。. O．6 0．6ヨ O」ア O．〒5 0．日 O．85 0」O. これより，. F1（ρ（2θo））島2．692544826938538 を得る．また，F1（θ，ρ（77π／180））のグラフは次のようになる（グラフでは”＝θ）．. O．115 0．11. 0．105. 0．1. 0．095. 0，09. 0．o肪. 。．oヨ. ∵ ○嚇 `㌻「」■一」続；一■ o．目. ＿．、」口．日1 0．ヨ2. これより，. F1（ρ（77π／180））剛ユ1454166218519. を得る．以上からん。＜∫（1）十F。（ρ（2θ。））十F1（ρ（77π／180））. ＜10．11＋2．692544826938538＋O．11454166218519 島12．9ユ7086489ユ2373〈ユ3 が得られる．. （口）77π／180≦d1≦π／2のときは，（イ）と同様にして H（γ）≦∫（1）十F1（77π／180）十Fユ（π／2）.

(31) 2．3次元Kissing Number となる．また，F1（θ，77π／180）のグラフは次のようになる（グラフでは”＝θ）．呈．1 −r一一一一一r一一一τ一一. 2 1．9 1．8 1．7 1」6 1」5 1．4 1．3 1．2 1．1 0−7 0，75 0．8 0．ヨ5 0．日. これより， F。（77π／180）馬2．037407815616842 を得る．また，F1（θ，π／2）のグラフは次のようになる（グラフでは”＝θ）． 0．日 o」プヨ. o．7. 0．閲 o．6 0．彗5 0．5 0．価 o．4 0，35 0．8 0．目2 0．凹 o．朋 o．日日 o．9 0．盟. これより， F。（π／2）霜O．77078226620763. を得る．以上から，ん。＜∫（1）十F、（77π／180）十F。（π／2）. ＜10．11＋2．037407815616842＋O．77078226620763. 馬12．91819008182447＜13. が得られる・以上でん4〈13が干された・ ■. 注意ρ（2θo）≦dユ≦π／2≦d2から単純にん。：〃（γ）＜∫（1）十F、（ρ（2θ。））十F1（π／2ト13．5733. 29.

Musin による ３次元 Kissing Number の決定について

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