3．Gegenbauer多項式の加法公式
と表す、ψ∈Zぜ（3n−1）より，任意のσ∈0（Rn■1）と，任意のξ∈3九一1に対 して
∫（ξσ）＝9（ξσ）＝ψ（ξ）＝∫（ξ）
が成り立つ．σが線形写像であることに注意すると， ：（ 1，．．．，zη）≠0に対 して
1（・）一1（・1・・端（万≒）σ）
一（ザ端プ1（（ 子十 十 貴）σ）
3．Gegenbauer多項式の加法公式 58 が得られる．以上から，COが与えられると，上述の式より，∫（ ）が一意に定ま
る．ゆえに，dimZ4（8n一ユ）≦1が成り立つ．η≧2のときは，補題3−12より，
dimZゼ（8帆＾1）；1が得られる． ■
Gegenbauer多項式
定理3．15の証明の中の式（3．16），式（3．！7）より，0 ：（0，．．．，0）∈Rn■1とすると，
老
ゾ（・、）一Σルゴ（・ ）一Σ・1一〃（・ ）宇一・・
j＝O 乏一ゴ≡0（mod2）
となる．これより，帯球関数はeηでの値によって一意に定まる．特に，補題3．12の証明の 中で定義した〜，ηはe。で値Mをとる唯一の帯球関数である一
さて，8卜1土から任意に点ξ＝（ξ1，ξ2，．．．，ξ、一1，亡）を選ぶ1ξ ＝（ξ1ジ．．，ξ、．1）はR卜1
の原点を中心とする半径口の球面∫ 上の点である．0（Rη一1）は3 上司移に作用 するから
ξσ一（0，．．1，O，口，f）
となるσ∈0（Rト1）が存在する．このとき，式（3．！6），式（3，17）より，
人1 （ξ）一入，η（ξσ）一Σ・1一パゴ（1−12）宇 （・・！・）
4一ゴ≡O（mod2〕
が成り立つ．
定義3．16次式で定まるGぜ，、（亡）をGegenbauer多項式という。
0。η（1）一Σ・・一パj（1−12）宇 ｛一5≡O｛mod2）
O≦j≦埋 ただし，CHは次式で定める．
・・＝N＝ル，几，・ゼー〃一ゴ）（4一ゴ十η一3）十（ゴ十1）（ゴ十2）・ぜ一ゴー・＝O
・定義より，G乏，、（1）＝co＝N＝（肌†1）一（n㌫3）である。
3．Gegenbauer多項式の加法公式 59 定理3．17（Gegenbauer多項式の加法公式）任意のξ，η∈3卜1に対して，次式が成
り立つ．
G伽（／ξ，η／）＝F（ξ，η）
【証明】 〈ξ，η／＝亡であるとする・ 0（Rη）の可移性から，ησ：e冊とな るσ∈0（Rn）が存在する．このとき，
t＝〈ξ，η／：／ξσ，ησ／＝〈ξσ，e．／
であることから，
n−1
ξσ一（π1ヨ…，・η一1，t），Σ・l l−12 壱＝1
と表される．命題3．11，式（3．19），および，〜，。，0乏，帆の定義より，
F（ξ，η）二ρ（ξσ，ησ）＝F（ξσ，・帆）；〜，η（ξσ）一q，、（トG・，。（／ξ，η／）
が導かれる． ■
定理3．19の証明
ここではLegendre多項式とGegenbauer多項式の関係式
0ゼ，。（t）＝（24＋1）昂（t） （3，20）
を導き，2章，§2．1で用いた，Legendre多項式についての不等式（定理3．19）を証明する．
以下，式（3．20）をいくつかのステップに分けて示すことにする．
・定理1−4より，Legendre多項式｛片（土）｝κ≧oは区間［一1，11における直交多項式系で ある．
．上のことから，｛P島（t）｝ゐ≦、はη次以下の実係数多項式からなるベクトル空間即］、
の基底をなす．従って，O≦m＜ηのとき 1 ∫
＾（f）尤m批；O （3・21）
1
3．Gegenbauer多項式の加法公式 60 が成り立つ．
・ベクトル空間R［f1几は2元g（t），ん（f）の内積（g，ん）を
（・，1）一
?E（1）w
で定めると，η十1次元ユークリッド空間と見なすことができる．
●式（3．21）より
＜1，t，．．．，士伸一1＞⊥ ＝ ＜片（亡）＞
が成り立つ．ただし＜1， ，＿，fη■1〉は1，tゾ．1，ザ1で生成された即］、の部分空間 であり，〈1，亡，．．．，亡η 1＞⊥はその直交補空間である．
・多項式の族｛軌（亡）｝k≧oが区間卜1，1］における直交多項式系であるならば，上と同様 にして
く1，t，．．．，ln−1＞⊥＝＜Q、（f）〉
が得られるので
＜ρ帆（亡）＞ ＝ ＜片（t）〉
が成り立ち
ρη（亡）＝β冊片（亡） （η＝O，1，2，一一1） （3．22）
をみたす実数β、の存在が導かれる、すなわち，区間卜1，1］における直交多項式系は 実数倍を除いて一意に定まる．
ここで次の補題を示す、
補題3・18Gegenbauer多項式G4，3（t）について次が成り立つ．
1∫
G乏，・（1）0m，・（1）批＝δ・帆4ル＝δゼ仰2（24＋1）
1
【証明】 ます
を求めることにする．
／ 〜，・（ξ）λm，・（ξ）∂ξ
2
4≠mのとき，Ham垣（32）⊥Harmm（S2）であるから
ノ1
〜，。（ξ）λm，。（ξ）dξ＝0
2
3．Gegenbauer多項式の加法公式
が成り立つ．また，N＝ルとして，ψ1，＿，卯をHarmゼ（82）の正規直交基とす
ると
であるから，
N
〜，・（ξ）一Σ・1（ξ）｛）
｛＝1
ム柄（／）柵（／）・／一ん（‡紬（／））（ξ柵（／））・／
jV
一着柵〃レ（／）州／
w
一ξ紬（・・）レ（／）仰（／）・／
」V jV
−1821Σψ1（小（・・）一4πΣψ1（ε・）｛）
｛＝1 ｛＝1 ：4πF（・。，・。）
となるが，Gegenbauer多項式の加法公式から
4πF（・・，ε・）＝4πG乏，。（／ε。，・。／）＝4πGl，。（1）＝4πN＝4π（24＋1）
となるので
ノニ
〜，3（ξ）〜，3（ξ）dξ：4π（24＋1）
2 が得られる．以上で ノ；
〜，。（ξ）λm，。（ξ）dξ＝δぜm4π（24＋1）
（3．23）
2
が示された．次に，上式の左辺を別の方法で計算する．82土の点ξ＝（ξ1，ξ2，ξ3）
は
ξ1；sinθ2sinθ1， ξ2＝sinθ2cosθ1， ξ3：cosθ2 （O≦θ！＜27r，0≦θ2≦π）
と極座標表示される、このとき，p．46で述べたように積分要素dξは ∂ξ＝Sinθ2dθ2dθ1
61
3．Gegenbauer多項式の加法公式 62
となるので，
ム／・・（／）／一・（／）・／イ（ズ／・・（／）1一・（／）・i・1・・1・）・1・
と表される．ここで
COSθ2＝ ， 一Sinθ2dθ2：dt と変数変換し，
ξ＝（ξ1，ξ。，1）
とおくと，式（3．19）とGegenbauer多項式の定め方（定義3．16）より λ1，・（ξ）一Σ・｝ゴ（H2）宇一・1，・（1）
ぜ一j≡O（mod2〕
o≦j≦
である力・ら
レ（／）／一・（／）・／一八ズ／・・（／）／一・（／）・i・1・・1ユ）・1・
一！一 （∫㌦・（／）／一・（／）・1・）（一批）
一川㌦・（1）｝l1）批 一・十・・（t）M批
が得られる．これと式（3．23）とから 1
∫
Q，・（士）Gm，・（士）批：δ4m2（2七十1）
ユ
が導かれる． 一
・補題3．18より，Gegenbauer多項式｛Gゼ，3（f）｝4≧oは区間［一1，11における直交多項式系 である．従って，
0ゼ，3（ご）＝βゼ片（ ） （4＝O，1，2，…）
をみたす実数β乏が存在する．
3．Gegenbauer多項式の加法公式 63
・補題3．18，式（3．22），定理1．4より
・（・／・・）十ル・（t）批一画・人舳（1）批一／ゼ・2、÷1
となるので
βゼ2＝（2老十1）2
が成り立つ．ここで，定義！．3より，片（f）の4次の係数は正であるから，
1im R（t）＝十〇c f→oo
が成り立つ．また，定義3．16より，co＞o，c2＜O，．．．と正負が交互に表れるので，t〉1 のとき，Gゼ，3（t）は正となる、ゆえにβゼは正であるので
β・：2老十1⇒G。，。（1）＝（24＋1）帥）
が得られ，式（3．20）が示された。
定理3．19X：｛ 1ヨz2，＿，π、｝を単位球面82土の有限集合とし，φむ：砺とおく。
このとき次の不等式が成り立つ．ただし，局（f）はLegendre多項式である．
n
Σ片（…φ11）≧O
壱，ゴ＝1
【証明】 ψ1，，州をHar叫（32）の正規直交基として，32×32土の関数F
を
N
F（ξ，η）一Σψ1（ξ）州 ｛＝1
と定めると，・o・φ幻＝／均，㏄ゴ〉であるから，式3−20，定理3，17を用いて，
n n η
（・／・1）Σ局（…φ1ゴ）一ΣGl，・（／吻，πゴ／）一Σ・（州）
｛，ゴ＝1 ｛，ゴ＝1 ｛，ゴ＝1
一六（き州州）一き（宍州州）
一き（書州）2・・
となり，求める不等式が得られる、 ■