一幕ら1搬
一声∂静）一・
となるので，σヰ∫∈Har叫（R机）が示された．
（2） 上の（1）より，σ＊はHar叫（∫れ■1）からHar叫（∫卜1）への写像となるが，
線形変換であることは容易にわかる．また，
（・州一
C、÷・，んユ（〜（／）（・ψ）（／）・／■、÷ユIん、州㌘）・／
■、÷。Iん1！（／）ψ（／）・（ピ）
となるが，8η11の積分要素は直交変換σの作用で不変であるから，
一I、÷1Iん、！（／）ψ（／）1／一（州
が得られる．σ｝がHam乏（3作1）の内積を不変にすることから，σ‡∈0（Harm老（8η■1））
が成り立つ．
3．Gegenbauer多項式の加法公式 53
（3） σ，τ∈0（Rn）とする一このとき
（（σ‡〆）9）（ξ） ＝ （σ｝（〆ψ））（ξ）＝（τ串ψ）（ξσ）
＝ψ（（ξσ）T）：9（ξστ）
＝ （（στ）‡ψ）（ξ）
より，（στ）申＝σ‡ゲが成り立つ、ゆえに，σHσヰは0（Rれ）から0（Ham乏（3n−1））
への群準同型である． ■
帯球関数
・e1，e2，．．．，e几をRηの標準的正規直交基，すなわち，
◇
・F（0，＿，1，0，＿，0） （乞＝1，2，．．。，η）
とおく、
・0（Rn）の部分群0（R几■1）を次式で定義する．
o（Rη一1）＝｛σ∈o（Rれ）l eニニe、｝
．0（Rn−1）により不変なHarm4（3n■ユ）の元全体の集合をZ4（3n■1）と表す．
Zぜ（8n一ユ）＝｛ψ∈Harmゼ（8n−1）1σ｝：ψ，∀σ∈0（Rn−1）｝
である．Z4（8れ■1）に含まれる関数を4次の帯球関数という、
命題3．11ψ1，．．．，榊を内積（，）に関するHarm4（3n−！）の正規直交基として，3n■1×
3仰■1土の関数F（ξ，η）を次式で定義する．
M
F（ξ，η）一Σψ1（ξ）州（ξ，η∈8n−1）
｛土1 このとき，次の（1），（2）が成り立つ、
（1）任意のσ∈0（Rη）とξ，η∈3η一1に対して，F（ξσ，ησ）＝F（ξ，η）が成り立つ．
（2）F（ξ，η）は正規直交基のとり方によらずに定まる、
3．Gegenbauer多項式の加法公式 54
【証明】 （1） 命題3．ユ0，（2）よりσヰ∈0（Harm4（8n■1））である．から，σ‡の作
用はN次の直交行列丁によって
（σま（9。），…，σヰ（卯））＝（ψ。，…，州）T
と表すことができる．Tの転置行列を印とすると，叩丁が単位行列である
から，
N
F（ξσ，ησ）一Σψ1（ξσ）・州σ）
マ
一Σ（σwξ）・（〜）（η）
｛＝1
一（州（／），…｛）（／））て〜）（1）一・・一・（！・）（1））
斗1（／）一…榊（／））グ（（l1（1），…〃（1））・）
一（ll（／）r…洲（／））（・・ゲジ（州，…榊（1））
十（／）一・・〃（／））て！1（1），…州（1））
w
一Σ・1（ξ）刈η）
｛！1 ＝F（ξ，η）
（2） 正規直交基の間の変換行列は直行行列であるから，（1）と同様にして証明
できる． ■
補題3．12η≧2のとき，任意の老≧0に対して，Z4（3n−1）≠Oである．
【証明】 ∫皿11土の関数入，九を
柵（／）一・（叶シ（／）州一（ξ｛小）（／∈ポ）
で定義する．さて，σ∈0（Rη一1）を任意に選ぶと，命題3．11，（1）より
〜，几（ξσ）；F（ξσ，・。）＝F（ξσ，・ζ）＝F（ξ，・。）；〜，れ（ξ）
3．Gegenbauer多項式の加法公式 55 が得られる．従って
〜，、∈Z乏（3作1）
が成り立つ．一方，次に命題3，11，（1），および0（Rn）が8n．1上司移に作用する ことから，
／｛）■、÷ユーん1／〃／■、÷。人1伽）・／
一，、÷・，L、榊／＋、ムー（シ（／）小 一‡（一）一・一／：二∵プ∵1：き
（η十i−1）≠Oであり，η≧2のときは（n＋i11）一（ηだ；3）≠Oであるから，入，、≠O
となり，補題3．12が証明された． ■
・〜，。∈z4（∫卜1）であることに注意されたい．
補題3．13∫∈Hom乏（Rη）が，任意のσ∈0（ ）に対して，σヰ∫＝∫をみたすならぱ 4は偶数で，∫：Cφと表される（Cは定数）1
【証明】 ∫≠0としてよい．0（Rπ）が3nI1上司移であるら，仮定より，∫は 3η■1土で定数である．3冊■1土で∫（ξ）＝Cであるとする．
＝（・。，，・帆）∈R肌，・≠0⇒ ∈8几■1
月
となるので，∫が4次斉次多項式であることより，
1（六）一・一ル）一・（朴…イ
が成り立つ．これより，多項式としての等式
∫（・）2一・2（・1・・；・…・・三プ
が得られる1η≧2のとき，π言十ω；十…十端は既約多項式であるから，左辺 が平方式であることより，4は偶数となる．η＝1のときは， 1が既約多項式で あるから，
∫（π）＝cパ
3．Gegenbauer多項式の加法公式 56 となるが，右辺が3o＝｛土1｝で一定値をとるためには，4は偶数でなければな
らない．以上で，∫：Cqξが示された． ■
補題3．14∫∈HomぺRn）とする． ：（ 1，．．．， 帆）：（π ，π。）∈Rηとおき，
セ
ル）一Σ∫H（小ズルゴ∈H・m・一ゴ（Rn■1）
ゴ＝O と表す．また
・一・・ i÷）㌧一（去）2・・（、÷1）2
とする．このとき，次の（！），（2）は同値である．
（1）△∫＝0
（2）△ ∫H＋（ゴ十1）（ゴ十2）∫・十・＝O （ゴ＝0，1、＿、グ2）
【証明】 次の計算より導かれる．
・1一・
iξ｝）づ
一年ル州）・（÷）2（妄＾ぽ以）
望一2 垣
一Σψ ∫・一ル ）十Σゴ（ゴー1）∫り（似一2
卜0 ゴ＝2 4−2 4−2
一Σψ∫・一ル ）・Σ（ゴ・2）（ゴ・1）机一1一・（・ ） トO 戸0
4−2
一ξ小｝1・1）！l・・レ）（・）
■定理3．15dimZゼ（8卜1）≦1であり，η≧2のときはdi㎞Z乏（8何一1）＝1である．
【証明】
ように
ψ∈Z乏（8η皿1），ρ（∫）＝ψ，∫∈Har叫（Rn）とする、∫を補題3．14の
4
ル）一Σ∫1一〃）払 ∫・一ゴ∈H・叫一1（Rn一 ） （3・16）
ゴ＝O
3．Gegenbauer多項式の加法公式
と表す、ψ∈Zぜ（3n−1）より，任意のσ∈0（Rn■1）と，任意のξ∈3九一1に対 して
∫（ξσ）＝9（ξσ）＝ψ（ξ）＝∫（ξ）
が成り立つ．σが線形写像であることに注意すると， ：（ 1，．．．，zη）≠0に対 して