−Sinθ3COS（RO＋u）＝COSθ2一一COSθ3≧一COSθ3 2 2 2
が得られる．以下
COtθ3
・0・（R。十u）≧
凶
伽…一・・ ic㍗3）一・・
・・一・・一・・
ic等3）一・・
（2．11）
とおく．このとき，次が成り立つ．
0≦u≦吻
u：uOのときはθ2＝θ3が成り立つ． u＝0のときはθ1＝θ2が成り立つ．従っ 31
2．3次元Kissing Number
て，O＜u＜吻のときはθ1＜θ2〈θ3が成り立つ．さて
H（眈，μ。）：∫（1）十∫（一…θユ）十∫（一…θ。）
とおくと
∬（γ）＝H（μ1，μ2）十∫（一COSθ3）
と表される、γとしてH（γ）＝ん3となる点配置eO，μ1，吻，μ3を選んだのであ るが，以下，θ1，θ2，θ3を変数と考えて，どこで〃（γ）が最大となるか，そのとき の値は13を超えないのか，を考察することにする．
θ3をθ3＝ψで固定する．このとき，式（2．11）より，H（μ1，μ2）は5＝co舳の 連続関数であるから，区間［co舳。，1］で最大値乃（ψ）をとる．式（2．10）より，θ3 は区間風，θOlに含まれるが，〃（γ）を評価するために区間固，θO1を
／l1，／・，ψ・，1・一ψ・コ1・／−
Pη・苓嵜等等1・／
で公害一」する．uを固定してθ3を増加させると，前述の球面正三角形△（仇，μ2，μ3）
の図からわかるように，θ1，θ2は減少し，
∬（ひ1，ひ・）＝∫（1）十∫（一…θ。）十∫（一…θ。）
は∫（t）の性質から，増加する．これより，
∬（吻、ひ2）≦凡（ψ4＋ユ） （ψ∈［ψ｛，ψ毎十11）
が成り立つ。」方，∫（＿CoSθ3）はθ3の単調減少関数である．ゆえに
〃（γ）＝H（Vユ，μ2）十∫（一COSθ3）≦易（ψ｛十1）十∫（一COSψ｛）
が得られる．これを5つの区間で計算する．
区間風，38π／180］の場合は，H（μ1，μ2）のグラフを，θ3＝38π／！80として，変 数uの範囲［O，uolで描画すると次のようになる（グラフでは ＝u）．
32
2．3次元Kissing Number 33
12．072
0 0」02 0．凹 O．鵬 O03 0．1 口．1！
グラフより，∬（眈，μ2）はu＝uoで最大値（島12．0852818301）をとるので，
H（γ）≦易（38πノ180）十∫（一。os Ro）馬12−94252829397461
が得られる．その他の区間も，H（ψ1，吻）の最大値を与えるuが異なることを除 けば，同様に計算することができて，それぞれ
12．942528， 12．964798， 12．950834， 12．960647， 12．951894
の値が得られるので，ん3〈13が示された． ■
注意区間を分割せずに
∬（γ）〈易（θ。）十∫（一…月。）馬13．72936625009385 と評価しても望む結果は得られない．
以上で8（X）＜13ηが証明された、
3章 Gegenbauer多項式の加法公式
3章では，調和多項式の基本事項，Gaussの公式などをを説明した後，Gegen−
bauer多項式の加法公式を証明する．また，2章において，た（3）＝12の証明で 用いだしegendre多項式に関する不等式（定理3．19）を証明する、
この章では，多項式はR係数であるとし，R上のη変数多項式環をP（R帆）と表
す。特に断らない限り，P（Rη）の変数は 1，．．．， 、である。通常はR［ 1ゾ．一， 、1
などと表されるが，この論文では多項式をRn上の多項式関数と見なす場合も あり，記号ρ（Rη）を用いる．なお，2章で 1ゾ．．， 。は82土の点を表していた が，3章では変数を表すことに注意されたい．
3．1 斉次多項式と調和多項式
まず用言吾と基本事項について説明する．
．P（Rn）の4（≧0）次斉次多項式全体のなす部分ベクトル空間をHo叫（R帆）と表すご とにする．
㎞ψ）一 ^11眼）
伽，…刈 諛e乏軌パ…刈
このとき次の直和分解が成り立つ、
P（Rη）一㊥H・m・（Rn）
4≧O これより，∫∈P（R几）は
∫一Σ力（カ∈H・m・（Rn））
ゼ≧O
と分解できるが，ルを∫の斉次成分という．
34
3．Gegenbauer多項式の力口法公式 35
．4次単項式 宇 ＿坤は（n†1）個あることから，次式が成り立っ1ただしdimはR 上のベクトル空間の次元を表す1
・i・…側一 i∵1）
（3．1）．微分作用素，ラプラシアン△を
・一
i∂ξ）2・十（÷）2
と定める．△はP（R冊）からP（Rn）への線形写像である．
．△∫＝Oをみたす多項式∫を調和多項式という．調和多項式全体をHarm（Rη）と表 す・Harm（Rn）は線形写像△の核であるからP（Rη）の部分空間をなす、
・4次の斉次調和多項式全体をHar叫（Rη）と表す．
Har叫（R帆）＝Harm（Rη）∩Hom乏（R几）
●Harmo（Rn）＝Homo（腿n），Harm1（Rη）：Hom1（R几）である．
．△は4次斉次多項式を4＿2次斉次多項式に写すので，調和多項式の斉次成分も調和 多項式である．従って，次の直和分解が成り立つ．
H・・m（R几）一㊥H・・m・（Rη）
4≧O
・u・・（u1，。。、，u、），り：（〃1ゾ。、，り几）に対して内積／u，ω／を
n ／u，・／＝Σ舳 ｛＝1 と定める．ψ，Uゴは多項式でもよい。
・r2＝ぺ十…十靖でr2を定義する、r2は変数 1，、．、， 、の多項式であるが，η≧2 のとき，rは多項式でない．変数を成分とするベクトルを ＝（ 1、．．．， 几）とすると，
〈π，Z〉＝r2となる．
・ω＝（ 1，＿， 几）とおき，∫（エ1，＿， 帆）∈P（R几）を，簡単のために∫（κ）と表す、u＝
（u1，＿，uη）∈R几のときは，∫（u）：∫（u1，．．。，uη）である．
3．Gegenbauer多項式の加法公式 36
．∫∈P（Rη）に対して，∫のグラディエント▽∫を，多項式を成分とするη項ヘクト ルとして，次のように定める、
・∫一
i若r…去）
命題3・1次が成り立っ・ただし，∬：（エ1，…， 仰）， 1ツー， 。は変数である・
（1）△（∫9）＝9・△∫十∫・△9＋2／▽∫，▽9／ （∫，9∈P（Rn））
（2） 〈▽∫，π〉＝〃 （．戸∈Homゼ（R帆））
（3）▽（・2道）＝24・2（乏■1㌦ （セ≧1）
（4）△（・2石）＝（4ψ一1）十2石η）・2（H〕 （4≧1）
【証明】 （1） 次の式変形から導かれる．
・（1・）一
瘁j一斗（1島・・島）一喜（l1幕1・箒・・出
＝9・△∫十∫・△9＋2／▽∫，▽9／
（2） ∫は4次単項式の一次結合であるから，∫が4次単項式の場合に成り立 つことを示せばよい．
∫（ 1、．1．，工n）＝沖… 会几， 人1＋… 十λn＝石
とすると，
∂∫＿λ、 全・一・ 会・
∂z1
且一人、、1・ 1・一1一
∂Z2
、 会九二λ1工，
1 プ
・ψ＝λr，
2
島一町πタ…ぺ一ぺ
となるので
／巾／一Ση島一（λ1・…
｛＝1
十λη）∫＝乏∫
3．Gegenbauer多項式の加法公式
37
が成り立つ．
（3） ▽（r2乏）のゼ成分が ∂
一（〆十…十・貫）㌧伽千十…十朴■1（2π4）一24・2（4−1）軌 ∂軌
であることから，求める等式を得る．
（4） 4に関する帰納法で証明する．4＝1のときは ・げ2）一‡∂；隻：）一ξ・一・η
となり，成立する。次に，4：た＿1のときに成り立つと仮定する（ん≧2）．4＝た
のとき，（1），（2），（3）より，
△（・2た）一△（・2（お一1）・2）
一・2・△（・2（為一 ））十・2（お一1）
＝・2・△（・2（た一 ））十・2（島一1〕
一・2・△（・2（た■1））十・2（トユ）
帰納法の仮定を適用すると
・△（・2）十2／▽（・2（た一 〕），▽（・2）／
・△（・2）十2／2（た一1）・2（k−2）・，2・／
・△（ヅ2）十8（ん一1）・2（ト 〕
一（・（パ1）（／一・）・・ψ一1）・・η・・（／−1））・・（一1）
一（・／（／−！）・・小・（k−1〕
となり，4＝んのときも成り立つので，（4）が示された． ■
定理3．24次斉次多項式のなす空間Hom4（Rη）は次のように直和分解される．
Homぜ（Rη）＝Harm老（Rη）①r2Homゼ＿2（Rη）
ただし，Hom−1（Rn）＝Hom．2（R帆）＝｛0｝と定める．
【証明】 4＝0，1のときは明らかである．以下4≧2と仮定する．まず
Ha工m正（R帆）∩r2Homゼ＿2（Rn）：｛O｝
3．Gegenbauer多項式の加法公式
であることを示そう。そのために，Harm乏（Rη）∩r2Hom仁2（R几）の中に多項式
∫≠oが存在したと仮定して矛盾を導く．さて，r2＝ 12＋．、．十π。2が2次で あり，∫が4次であるから，
・2ひ1∫，・2（ひ十1）十∫
をみたす整数レは！以上，ξ以下である．これより ∫＝・2レg，・2＋9
となる多項式gが存在する．次数を考えると，g∈Hom4−2 （R仰）である．∫∈
Harm乏（R几）であることと，命題3．1より，
O＝△∫＝△（・2レg）＝・2レ・△9＋9・△（・2レ）十2／▽（・2リ），▽9／
一・ ・… i・リ（レー1）・・一）・・1−1〕・…一ψ一・）／・，・・／
一・ル…十
i・リ（レー！）・・一）・ψ一1）…リ（・一・リ）・ψ一 ）・一・ル・・…レ i・（リー1）・η十・（・一・レ））・・1・・）・
が得られるが，リ≧！であるから，r2−gとなり仮定に反する．以上で，
Har叫（R帆）∩r2Hom乏＿2（Rη）＝｛O｝
が示された、次に，Hom4（Rn）⊇Harm乏（Rn）①r2Ho叫＿2（R几）であることから，
dimHom4（Rn）≧dimHarm乏（Rn）十dimHom4＿2（Rη）
が得られる．ここで，線形写像△をHo叫（Rn）に制限して考えると，その核は Har叫（Rη）であり，像はHom乏一2（Rη）の部分空間となる1ゆえに
・i・…側一・i…一1（㎜）・・i・・（・…一・（膿））
となるので，
≦d1mHarm乏（Rn）十d1mHom4＿2（R几）
一・i・i・・一側㊥・・叫一・（肥））
Homセ（Rn）＝Harmセ（Rn）θr2Hom4＿2（Rπ）
38
3．Gegenbauer多項式の加法公式 39
が示された． ■
定理3．3次が成り立つ．ただし，［1はガウス記号である．
（1）・i・邸）一 ^1111111㈲∵1：き
（・）・…（・几）一・…1（・帆）冊2…叫一・（・帆）①…㊦（・2）I姜］・…。．。【姜］（・n）
【証明】 （1） 式（3．1）より，
・i・…炸（∵1）
であり，
・i−2…1川・（膿）一・i・…ゼー・（・・）一（㌃1；3）
である．一方，定理3．2より，
Hom乏（Rm）＝Ha．rm乏（Rn）①r2Homゼ＿2（Rn）
であるカ・ら，
dim Harm乏（Rη）：dimHom乏（Rη）＿dimr2Homゼ＿2（Rn）
一／：llll∴∵1：き
が得られる．
（2） Hom−1（Rn）＝Hom−2（Rn）＝｛O｝に注意して，定理3−2を順次適用すれぱ
よし・．
Hom4（R几）：Harm6（R刊）㊤r2Hom乏．2（Rれ）
：Harm4（R刊）①r2Harm虐＿2（Rη）（D（γ2）2Homゼ＿2．2（Rn）
＝Harm乏（R帆）①r2Ham｛＿2（Rn）①（r2）2Harmゼ＿2．2（Rn）①（r2）3Homセ＿2．3（Rη）
一…叫（・η）θ・2…m仁・（・n）①……θ（・2）【姜］…m追．。一ξ］（・れ） ■
3．Gegenbauer多項式の加法公式
40
3．2 球面上の多項式
η次元ユークリッド空間R肌の単位球面
3卜1：｛u∈Rn l〈u，u〉＝1｝
の上の実数値関数gは，ある∫∈P（Rn）が存在して，
ρ（ξ）＝∫（ξ） （∀ξ∈3n■1）
をみたすとき，5n−1土の多項式（関数）であるという、3η一1土の多項式全体の作るベクト ル空間をP（8n−1）と表す．∫∈P（Rn）はRn上の多項式（関数）と見なすことができるが，
その定義域を8n−1に制限することにより8九一1土の多項式が得られる．この対応をρと
おく．
ρ：P（R刊）∋∫Hρ（∫）＝∫1。・一・∈P（3η一1）
明らかに，ρは環準同型，かつ全射である．
ρ（P（R帆））＝P（8n一工）
補題3．4ρ（Ham（R冊））＝P（3η一1）
【証明】 任意にψ∈P（8冊一1）を選び，ψ：ρ（∫），∫∈P（Rη）であるとする。
∫を
∫一Σル∫1∈H・叫（Rれ）
4
と斉次成分の和に分解する．定理3．3，（2）より，
∫Fい・2〜．・十…十・2｛ん1．・1＋…（〜凹・1∈H・・叫・1（Rn））
と表される．3η一1土ではρ（r2）＝1となることに注意すると，
ρ（∫乏）＝ρ（んゼ）十ρ（ん仁・）十…十ρ（ん・一・1）十…
＝ρ（〜十伽＿2＋… 十わ仁2｛十… ）
が成り立つ．ここで
切；伽十伽＿2＋…十伽＿2｛十…
3．Gegenbauer多項式の加法公式 41 とおくと
ρ（〃；ρ（ん董）， ん麦∈Harm（R几）
であり，
！−！（／）一 閨^（カ）一手／（ll）一！（手11）1／（・…（・））
が得られるので，
ρ（Harm（R帆））：P（3n■1）
が示された． ■
ここで改めて，
q（Z）＝r2＝〆十… 十垢 とおき，g−1で生成されるP（Rn）のイデアルを∫とする．
∫：〈q−1〉：（q−1）P（Rη）
命題3．5∫は環準同型ρ：P（Rn）→P（3卜1）の核である．
【証明】 ρ（q＿1）は3η■1土で恒等的にOであるから
∫⊆Kerρ
が成り立つ．逆にKerρ⊆∫であることを示そう、そのために，任意の∫∈
Kerρ，∫≠0について（q＿1），∫が成り立つことを示す、∫≠Oであるが，
ρ（∫）＝Oであるから，∫は定数でない．これより，∫の⑦。に関する次数がOで ないと仮定して一般性を失わない．ザ1は ηについて2次多項式で，べの 係数が1であるから，∫をグユで割った商gと余りんユzη十ん2が定まる．す
なわち，
∫＝（ザ1）9＋h。π。十ん。，
と表される．
に対し七，
g∈町1，。。一， 。1、ん1，ん。∈帥1，。。．，・。一11
∫，g−1∈Kerρであるから，球面8肌■1土の任意の点（ξエ，．．．，ξ。）
んユ（ξユ，．。．，ξ。一ユ）ξ、十ん。（ξユ，＿，ξ。一。）：O
3．Gegenbauer多項式の加法公式
42
が成り立つ．これより，η一1次元単位球体Bη一1：｛（・ユ，．．．，・利一）14＋…十・貫一1≦1｝
内の任意の点（ξ1，… ，ξ。一ユ）に対して，
ん1（ξユ，．．、，ξ帆一。）1一（ξ子十…十ξ貴一。）十ん。（ξ1，＿，ξ。一。）：O
となることから，
ん1（ξユ，＿，ξ、．1）2（1山（ξ1＋…十ξ貫．1））一ん。（ξ・，＿，ξれ一1）2；O
の成り立つことがわかる．従って，多項式としての等式
ん・（・・、＿，・帆一・）2（1一（朴…十ぺ．。））一ん・（・・ゾー一、1・、一・）2
が成り立つ、仮にん2≠Oとすると，R［均，。。一， 冊一1］は素元分解整域であるから
（cf．［8，定理26，131），1一（4＋…十端一1）は，ある一次式の平方となり、べの 係数が＿ユであることに矛盾する．よって，ん2＝。0，従って，ん1＝0となるので，
∫；（q−！）9
となり，g＿1．∫が示された、 一
補題3．6ρをHarm（Rn）に制限して得られる写像ρ：Ham（Rη）→P（3冊．1）は線形 同型である、
【証明】 ρ：P（R几）→P（S帆■1）は環準同型であるから，線形写像でもある．
従って，部分空間Harm（Rn）への制限
ρ：Harm（Rη）→P（8n■1）
も線形写像であり，その核は命題3．5より，
Harm（Rη）∩∫＝Harm（Rれ）∩〈q−1〉
である．Harm（R帆）∩∫＝0を示したいのであるが，g∈Harm（R几）∩∫となる g≠0が存在すると仮定して矛盾を導くことにする．g∈∫より，g：（σ＿1）∫
となる多項式∫が存在する．∫の次数をんとする．明らかに仁1≠Ham（Rη）
3，Gegenbauer多項式の加法公式 43
であるから，9∈Ham（Rn）であるためには，ん≧1でなければならない．一方 0＝△9：△（∫ザ∫）＝△（∫q）一△∫より
△∫＝△（∫q）
が成り立つ．命題3・1，（1）より，
△（∫q）＝∫・△q＋q・△∫十2＜▽∫，▽q〉；2η∫十q・△∫十2＜▽∫，2・／
であるカ・ら
△∫＝2τ1∫十q・△∫十4＜▽∫，・／ （3・2）
を得る．ここで
た
∫一Σル∫1∈H・叫（R帆）
乏＝0
と分解し，式（3．2）の両辺に代入し，命題311，（2）を適用すると，
κ た 此 た
Σ△ルー2ηΣノ｛Σ△∫・十4Σ舳 （3・3）
乏＝0 ゼ：0 4＝O 七三〇
が得られる．先次の項を比較すると，左辺はOであるから，
2（η十2た）∫た十q・△ム＝O （3．4）
が得られる．さて，定理3．3，（2）より，
W21