線形代数
II演習
2012年11月7日
学籍番号 氏名
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例題
9-1.[クラメールの方法.]次の連立一次方程式をクラメールの方法にならって解け
(1)
2x1+ 2x2 = 3 x1−x2 = 0
(2)
x1+ 2x3 = 1 2x1+x2−x3 = 1 x1+x3 = 4
(3)
−x1+x2+x3 = 6 3x1−4x2 = 3
−x1−x2 =−3
1
例題
9-2.[行列のランク]0
にならない小行列式を見つけることで
rankの値を確かめよ．
(1) (
1 2 3 0 2 3
)
(2)
1 −1 1 −1
−1 1 −1 1 1 −1 1 −1
(3)
5 −6 −1 −1
−1 1 0 0 4 −6 −2 −2
(4)
0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
(5)
0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 −1 0
線形代数
II演習
2012年11月3日
学籍番号 氏名
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問題
9-1.[クラメールの方法．]次の連立一次方程式
−2x1+x2 = 1
xi−2xi+1+xi+2 = 1 (i= 1,· · · , n−2) xn−1−2xn= 1
の解を
x= (x1, x2,· · · , xn)とおく．
(1) n = 5
のとき、x
2を求めよ．
(2) n = 6
のとき、x
3を求めよ．
(3)
一般の
nのとき
x2を求めよ．
3
問題
9-2.[余因子行列．]n×n
行列
Aの余因子行列を
A˜とおく．このとき、次の問題に答えよ．
(1) A
の
rankが
n−2以下であるとするとき、
A˜=Oであることを示せ．
(2) A
の
rankが
n−1のとき、rank( ˜
A) = 1であることを示せ．
（Hint:
Aを簡約化して考えよ． ）
[略解答]
例題8-1 ハミルトン・ケイリーの定理より、A2+A+E = Oである．(1-1) f(A) = A2+E = (−A−E) +E = −A =
(−4 −3
7 5
)
(1-2) (A−E)(A2+A+E) = A3−E = O であるので、
f(A) =A15= (A3)5=E5=E (1-3)A10−A+E=A−A+E=E (3) ΦA(x) =x3+ 2x2−2．ハ ミルトン・ケイリーの定理から、A6= (−2A2+2E)2= 4A4−8A2+4E= 4A(−2A2+2E)−8A2+4E=
−8(−2A2+ 2E)−8A2+ 8A+ 4E= 8A2+ 8A−12E=
−4 8 0 0 −20 8 8 −24 4
例題8-2(1-1)固有値{1,0,−1}固有ベクトルはそれぞれ
1 0 0
,
−a 1 0
,
a
−2 1
(1-2)固有多項式は
ハミルトンケイリーの定理からA3−A=Oなので、An =A(n奇数)or A2(n偶数)なので、nが 奇数の時、固有値と固有ベクトルは(1-1)と同じ．nが偶数の時固有値は{1,0}で固有ベクトルは
それぞれ{
0
−2 1
,
1 0 0
},
−a 1 0
(2) A = (
2 1 3 −1
)
とする．固有値をa, b（x2−x−5 = 0の
解）とする．このとき、固有ベクトルは (
a+ 1 3
) ,
( b+ 1
3 )
となる．P = (
a+ 1 b+ 1
3 3
)
とおくと
P−1AP = (
a 0 0 b
)
. よってAn=P (
an 0 0 bn
)
P−1を計算することでAnが得られる．(3)kを固有 値とする．v̸= 0を固有ベクトルとする．Av=kvであり、Aはべき零であるからあるmに対して Am=Oであるから、Amv =kmv = 0よって、km= 0よってk= 0よって、固有値は0のみ．A の固有多項式の根は0しかないのでΦA(x) =xnである．よって、An =O 例題9-1 (1) (3/4,3/4), (2) (7,−16,−3) (3) (15/7,6/7,51/7)例題9-2 (1) 2 (2) 2 (3) 2 (4) 3 (5) 3
問題7-1(1); (1-1)固有値3,1、非自明な解はそれぞれ (
1 1
) ,
( 1
−1 )
(1-2)固有値1,2,3、非自明な解
はそれぞれ
0
−1 2
,
1
−1 2
,
1
−1 1
(2) f(A) =A2−4A+ 4E= (A−2E)2=
11 10 −20
1 2 8
−1 −1 13
問題7-2 (1)aはuとvの両方に直交する、例題7-2(4)からu×vはuとvの両方に直交するからaは u×vと平行となる．aと(u×v)の作る角は0◦か180◦である．ゆえに、|a·(u×v)|=||a||· ||u×v||
となる．一方||a·(u×v)||=|det(auv)|なのでa,u,vで作られる平行六面体の体積になる．(2) (1) から|a·(u×v)|=||a|| · ||u×v||平行六面体の体積を表すが、aはu,vで張られる平面に垂直だか ら||a||はその六面体の高さになる．ゆえに||u×v||はuとvで作られる平行四辺形の面積である．
(3)|det(uvw)|= 1、||u×v||=√
2．よって、高さをhとすると、1 =h√
2より、h= 1/√
2となる．問 題8-1(1) (a−1)(a−b)(b−c) (2) (a+b+c+d)(a−b+c−d)(a+ib−c−id)(a−ib−c+id) (3)A=
( 1 1 1 0
)
のAnを求めればよい．α, β= (1±√
5)/2とすると、これらは固有値で、固有ベクトルはt(α,1),t(β,1)．
Anを計算し、Fn = 1
√5(αn+1(1−β) +β1+n(α−1))となる．lim
n→∞Fn/Fn−1 = 1 +√ 5
2 （黄金比）
問題8-2 (1)
(a·a a·b b·a b·b )
(2)行列式のベクトルの和による分解を用いる．(3)基本変形(II)を用 いて整理する．(4) (1)と(3)の公式の右辺が正の整数であることから分かる．問題9-1(1)−4 (2)−6 (3)−n+ 1問題9-2 (1)Aのランクがn−2以下であるとすると、どのn−1次のどの小行列式をっ ても0になるから、余因子行列の書く成分は全て0になる．(2) rank=n−1のとき、あるn−1次 の小行列式は0でないのでA˜̸=Oである．AA˜=Oであり、Aを簡約化して階段行列にしたものを Bとすると、BA˜=Oも成り立つ．Bx=0の解はあるベクトルに平行であるから、A˜の全ての列 はあるベクトルに平行である．よってA˜を列の基本変形によりrank= 1となる．
5
問題
9-3.[おまけ．バネで繋がれた質点の動き．]どこからも重力の影響の受けない宇宙空間において、ばね定数が全て
kとなるばね で繋がれた質点
Mi(i = 1,· · · , n)（全て質量m）がばねの自然長で下の位置に置かれているとする．
· · ·
Mn
M1 M2
x1 x2 xn
このとき、時刻
t = 0の瞬間に
M1に初速
vを与えることでこの系を動かし始める．
時刻
tにおいて質点
Miの自然長の位置からのずれを
xiと表し、ニュートンの運動 方程式を立てると、
k(−x1+x2) =mx′′1
k(xi−2xi+1+xi+2) =mx′′i (i= 1,· · · , n−2) k(xn−1−xn) =mx′′n
となる．以下
n = 2もしくは
3で行ってよい．
(1) ω2 =k/m
とし、ある対称行列
Aを用いてこの方程式を書きなおせ．
(2) A
の固有値、固有ベクトルを求めよ．
(3)
正則行列
Pを用いて
Aを対角化せよ．
(4) a
が正の実数のとき、微分方程式、
−x′′=axの解は
cos√at
と
sin√at
