複素数

・  … (     ）   ・  … (     ) 

・  … (        ）

a b

i

名前 (       ）

例題

複素数

複素数  a + bi

解  (     ）

i

=

・(       ） 

 …   と実数   ，  を用いて  i a b a + bi  で表される数

a + bi

−1

複素数

実部 虚部

虚数単位

(2) 1 + 2i 3

実部と虚部を見つけにくいときは，(      )の  形に変形して考える。

a + bi

(3) 10 ⁽⁴⁾100i

(1) 2− 3i (2) 1 + 2i 3

(3) 10 ⁽⁴⁾100i

実部：

虚部：

実部：

虚部：

実部：

虚部：

実部：

例 5 + 3i  の実部は   ，虚部は  5 3 虚部：

→ 2 + (−3)i ^→ 1

3 + 2 3 i

→ 10 + 0i ^→ 0 + 100i

2

−3

1 3

2 3

10 0

0 100

練習問題１ 練習問題２

次の複素数の実部と虚部をいいなさい。

次の複素数の実部と虚部をいいなさい。

名前 (       ）

解 解

(1) (2)

(1) (2)

2

複素数

名前 (       ）

例題

複素数の区別

複素数の区別

複素数   ，実数   ( ) ，虚数   (   ) ，  純虚数   (  ， ) 

の2つの数は，下図のように区別される。

a+bi a b = 0 a+bi b ≠ 0

bi a = 0 b ≠ 0

実数   ( a b = 0 ) 複素数  a + bi

虚数  a + bi b  (  ≠ 0  ) 純虚数   ( bi a = 0  ， b ≠ 0 )

次の複素数が実数か虚数かをいいなさい。ただし，純虚数の  場合は純虚数といいなさい。

(1) 4 −3i ⁽²⁾5

(3) 6i ⁽⁴⁾ i− 1

(1) 4− 3i ⁽²⁾5

(3) 6i ⁽⁴⁾i− 1

虚数 実数

純虚数 虚数

まとめると…

 だけ → 実数，虚数   (   ) ，  だけ → 純虚数

a a+bi b ≠ 0 bi

⇒

解

練習問題１ 練習問題２

次の等式を証明しなさい。

次の等式を証明しなさい。

名前 (       ）

解 解

(1) (2)

(1) (2)

4

複素数の区別

名前 (       ）

例題

次の複素数と共役な複素数をいいなさい。

解

共役な複素数

共役な複素数

きょうやく

2つの複素数   ，  を互いに   共役な複素数 という。

a + bi a − bi

 2 + 3i ⁽²⁾4− i

(3) i ⁽⁴⁾−1 + 2i 3

共役な複素数を見つけにくいときは，(      )  の形に変形して考える。

a + bi

(1) 2 + 3i ⁽²⁾4 −i

(3) i ⁽⁴⁾−1 + 2i

3

2−3i 4 +i

−i −1 − 2i

3

共役な複素数は   にかかる数 (   )の (     ) を 

変えただけ。

i b ^符号

6

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

解 解

共役な複素数

名前 (       ）

例題

複素数の相等の活用 次のような実数   ，  をそれぞれ求めなさい。 x y a + bi = c + di

解

複素数の相等

a + bi = 0

⇔ a = c  かつ  b = d

⇔ a = 0  かつ  b = 0

例  の実数   ，  を複素数の相等で 求める。

x + 3i = 5 − yi x y

x = 5  かつ  3 = − y x + 3i = 5 − yi x + 3i = 5 + (−y)i

よって x = 5  ， y = − 3

(1) (2x −y) + (3x− 2y)i = 7 + 4i (2) (x + y) + (y + 2)i = 0

(1) (2x −y) + (3x− 2y)i = 7 + 4i

(2) (x + y) + (y + 2)i = 0

※   ，  ，  ，  が実数であるときのみ成り立つ a b c d

 ，  は実数であるから

x y

 ，  は実数であるから

2x − y 3x − 2y

2x − y = 7 3x  ， − 2y = 4 x = 10  ，

これを解いて y = 13  

 ，  は実数であるから

x + y y + 2

x + y = 0  ， y + 2 = 0 x = 2  ，

これを解いて y = − 2  

8

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

解 解

複素数の相等

名前 (       ）

例題

次の式を計算しなさい。

解

複素数の加減法

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + di )

実部どうし，虚部どうしでそれぞれ計算をする。

複素数の加法・減法

(a + bi) − (c + di ) = (a − c) + (b − di )

(1) (3− 2i) + (5 + 4i) ⁽²⁾(−2 +i) + (−5−7i) (3) (2 + 6i) −(3 −5i) ⁽⁴⁾(−4− 3i)− (−3 +i)

(1) (3 −2i) + (5 + 4i)

(2) (−2 +i) + (−5 −7i)

(3) (2 + 6i)− (3− 5i)

(4) (−4 −3i)− (−3 +i)

= (3 + 5) + (−2 + 4)i

= (−2− 5) + {1 + (−7)}i

= (2−3) + {6 − (−5)}i

= {−4− (−3)} + (−3− 1)i

= 8 + 2i

虚数単位   は文字のように扱う。 i

= −7 −6i

= −1 + 11i

= −1− 4i

10

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

解 解

複素数の加減法

名前 (       ）

例題

次の式を計算しなさい。

複素数の乗法

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi

複素数の乗法でも，文字   の式として計算する。 i 複素数の乗法

ただし，  は (     ) におき換える。 i

= (ac − bd ) + (ad + bc)i

−1

i²= −1

(1) (2 + i)(3 + 4i) ⁽²⁾(1− 2i)(4 + 3i) (3) (2− 3i)²

解

(1) (2 + i)(3 + 4i)

(2) (1 −2i)(4 + 3i)

(3) (2 −3i)²

= 2⋅3 + 2⋅4i+ i⋅3 +i⋅4i

= 2 + 11i

= 6 + 8i+ 3i+ 4i²

= 6− 4 + 8i+ 3i ^{= + 4⋅(−1)}

= 1 ⋅4 + 1⋅3i+ (−2i) ⋅4 + (−2i)⋅3i

= 10−5i

= 4 + 3i− 8i−6i²

= 4 + 6 + 3i− 8i ^{=−6⋅(−1)}

= 2² + 2⋅2⋅(−3i) + (−3i)²

== 4−−5 −12i12i−9 ^{= (−3i)}_{= (−3)}^2⋅_⋅⁽⁻³ⁱ⁾_i²

= + 9⋅(−1)

= ac + adi + bci − bd

= ac + adi + bci + bd × (−1)

12

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

解 解

複素数の乗法

名前 (       ）

例題

次の式を計算しなさい。

解

複素数の除法

(1) 1 + 2i 5−i

複素数の除法 c + di

a + bi = ( c + di )(a − bi) (a + bi)(a − bi)

= ac + bd

a

+ b

+ ad − bc a

+ b

i

複素数の除法では，分母 (   ) と共役な複素数を，

分母と分子にかけて計算するだけ。

a+ bi

(2) 3 i

(1) 1 + 2i 5− i

(2) 3 i

= (1 + 2i)(5 + i) (5− i)(5 + i)

= 3⋅ (−i) i⋅(−i)

= 1⋅5 + 1⋅i+ 2i⋅5 + 2i⋅i 5² + i²

= 5 + i+ 10i− 2 25− 1

= 3 + 11i 24

= −3i

−i² = −3i = − 3i

−(−1) = −3i 1

14

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

解 解

複素数の除法

名前 (       ）

例題

次の数を   を用いて表しなさい。i

解

負の数の平方根

(1)  −3

負の数の平方根

 とする。 このとき   の平方根は  

             である。

a > 0 −a

± −a = ± ai

(2)  −27

また，        −1 = i          である。

(3)  −4 ⁽⁴⁾−9

^の平方根

(1)  −3 ⁽²⁾ −27

(3)  −4 ⁽⁴⁾−9

^の平方根

= 3i = 27i

= 3 3i

= 4i

= 2i ± −9 = ± 9i

= ± 3i

(    ) の中のマイナスを   に換えて出す。 i

16

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

解 解

負の数の平方根

名前 (       ）

例題

次の数を   を用いて表しなさい。i

解

負の数の平方根の乗除

(1)  −3 −7

負の数の平方根の乗除

1. はじめに，(       ）の中のマイナスを      にする。 i

(2)  −2

−9 (3) (2 + −5)²

 ( ルート )

2. 複素数の乗除と同様に，文字   の式として計算。 i

3.   は (     ) におき換える。 i

− 1

(2)  −2

−9

(3) (2 + −5)²

= 3i × 7i = − 21

= 2i 9i

= (2 + 5i)²

= 21i²

= 2

9 = 2 3

= 2²+ 2⋅2 ⋅ 5i+ ( 5i)²

= 4 + 4 5i−5

= − 1 + 4 5i

= ( 5i)⋅( 5i)

= ( 5)²⋅i²

= + 5⋅(−1)

 は文字としてみるので，

約分ができる

i

18

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

解 解

負の数の平方根の乗除