1 複素数

1 _複素数

1. 虚数単位 : i=√

−1

2. 複素数平面 : C={z =x+iy|x, y ∈R}

ユークリッド平面としての位相をあたえる．

3. 実部: ℜz =x 虚部: ℑz =y

4. 複素共役 : ¯z =x−iy 5. 絶対値 : |z|=p

x²+y² (=r)

6. 偏角: argz(= θ) (2π を法として理解する) 7. 極形式 : z =r(cosθ+isinθ)

8. 二つの複素数の積に対する絶対値と偏角の変化 (1) |zz^′|=|z||z^′|

(2) argzz^′ = argz+ argz^′

(3) arg¹_z =−argz とくに arg _z^z_′ = argz−argz^′ 9. ド・モアブルの定理 : (cosθ+isinθ)ⁿ= cosnθ+isinnθ 10. 1の n 乗根は cos2kπ

n +isin2kπ

n (k = 1,2,· · · , n−1) と表せる．

2 _複素関数

1. 開集合 : D⊂C (領域ともいう) 2. 複素関数 : f :D→C

変数が複素数で値も複素数の関数(写像)．

3. 値域: ∆ ={f(z)|z ∈D}

4. 複素関数をしばしば w=f(z) で表す．

定義域D を含む複素数平面をz-平面，値域の複素数平面をw-平面として区別する．

5. 例 : 平行移動 w=z+a ( a∈C は定数) 6. 例 : 相似変換 w=az (a∈C は定数 ̸= 0)

7. 例 : 反転 w= 1/z (C に ∞ を加えると見やすい) 8. リーマン球 : ˆC=C∪ {∞}

位相は一点コンパクト化 (∞ の近傍は C のコンパクト集合の補集合)．

立体射影によりリーマン球を可視化する．

9. 演習 : 平行移動，相似変換，反転はリーマン球上の(小)円を円にうつす．

10. 例 : 一次分数変換 w= az+b

cz+d (a, b, c, d は ad−bc ̸= 0 をみたす複素数) 11. 一次分数変換は平行移動，相似変換，反転の合成で表せる．

たとえば c̸= 0 であれば w= a

c −ad−bc c

1 cz+d また，c= 0 ならw= a

dz+ b d

12. 系 : 一次分数変換は Cˆ の円を円にうつす．

13. 例 : 多項式 w=a0+a1z+· · ·+anzⁿ 14. 例 : 有理関数 w= a₀zⁿ+· · ·+a_n

b₀z^m+· · ·+b_m ただしa0b0 ̸= 0 15. 例 : 指数関数 w=e^z :=

X∞ n=0

1 n!zⁿ 16. 定理 :

(1) (指数法則) e^z+z′ =e^ze^z′

(2) (オイラーの公式) e^iθ = cosθ+isinθ

(3) z=x+iy のときe^z =e^xe^iy =e^x(cosy+isiny) とくに指数関数e^z は 2πi を周期にもつ

17. 指数関数が定める対応:C→C を可視化する 18. 例 : 三角関数 sinz = e^iz−e^−iz

2 =

X∞ k=0

(−1)^k

(2k+ 1)!z^2k+1, cosz = e^iz+e^−iz

2 =

X∞ k=0

(−1)^k (2k)! z^2k 19. 例 : 累乗根 √ⁿ

z

z に wⁿ=z の解の一つを対応させる多価関数 20. 例 : 対数関数 logz (指数関数の逆関数)

多価で logz = log|z|+iargz となる

なぜなら w= logz =u+iv とおくと z =e^w なので，2πiを法とすれば

• ℜlogz =ℜw=u= loge^u = log|e^w|= log|z|

• ℑlogz =ℑw=v ≡arge^w ≡argz 主値 Logz は偏角を限定したもの

21. 対数関数が定める対応:C− {0} →Cを可視化する 22. 命題 : logzz^′ = logz+ logz^′

23. 例 : 一般の累乗関数や指数関数は z^a =e^alogz, a^z =e^zloga により定義する

3 _複素微分

1. 開集合 D⊂C

2. 定義 : f :D→C が正則

⇔ f が D の各点で微分可能 すなわち ∀z₀ ∈D に対し lim

z→z0

f(z)−f(z₀) z−z0

が存在する．

3. 微分(導関数)を f^′f^′(z) あるいは df

dz などで表す．

4. 補題 :

(1) f, g:D→C が正則

⇒ f ±g, f·g, f /g は {z ∈D|g(z)̸= 0} で正則．

(2) (微分法則)

(f ±g)^′ =f^′±g^′, (f ·g)^′ =f^′·g+f·g^′, (f /g)^′ = (f^′·g−f·g^′)/g² (3) (合成関数の微分法則)

f :D→∆, g: ∆ →C が正則

⇒ F =g◦f :D→C も正則で dF

dz =g^′(f(z))f^′(z) 5. 例 : (zⁿ)^′ =nzⁿ⁻¹

6. 例 : w=|z|² は z ̸= 0 で微分不可能．

実関数としては至るところ微分可能であることに注意．

7. 定理 :

(1) f(z) =u(x, y) +iv(x, y)が D で正則

⇒ ∂u

∂x = ∂v

∂y かつ ∂v

∂x =−∂u

∂y (コーシー・リーマンの方程式)．

(2) u, v:D→R が C¹ 級で，コーシー・リーマンの方程式をみたす

⇒ f =u+iv は D で正則．

8. 証明 :

(1) については z を実軸に沿って近づけたときと，虚軸に沿って近づけたときの極 限を比較する．

(2) については f を2変数関数の2次元ベクトル値関数とみなして，その(全)微分 にコーシー・リーマンの方程式を適用する．

9. 演習 : e^z, sinz, cosz,logz の導関数を求めよ．

10. 演習 : ラブラシアン: ∆ = ∂²

∂x² + ∂²

∂y²

⇒ f =u+iv が正則なら ∆u= ∆v = 0 (調和関数) であることを示せ．

4 _複素積分

1. C : [0,1]→D⊂C なめらかな曲線．

f :D→C 複素関数．

2. 複素積分の定義: Z

C

f(z)dz = Z 1

0

f(C(t))dC

dt dt， ただしdC

dt = dℜC

dt +idℑC dt ． C の像のみにより，パラメータの取り方には依存しない．

3. C =z(t) = x(t) +iy(t) および f(z) =u(x, y) +iv(x, y)と表すと Z

C

f(z)dz = Z 1

0

(u+iv)(dx dt +idy

dt)dt

= Z ₁

0

udx dt dt−

Z ₁

0

vdy dt dt+i

µZ ₁

0

vdx dt dt+

Z ₁

0

udy dt dt

¶

= Z

C

(u dx−v dy) +i Z

C

(v dx+u dy) のように線積分で表される．

4. 注意 : 曲線 C には向きがある．

向きを逆にした−C や，二つの曲線上の積分の和をとるC+C^′ なども意味をもつ．

5. 積分の性質 : (1) (向き)

Z

−C

f dx=− Z

C

f dx (2) (線形性)

Z

C

(λf +µg)dx=λ Z

C

f dz+µ Z

C

g dx (3) (加法性)

Z

C+C^′

f dz = Z

C

f dz+ Z

C^′

f dz (4) (当たり前の評価) ¯¯

¯¯Z

C

f(z)dz¯¯

¯¯≤L(C) sup

z∈C|f(x)|, ただしL(C)はCの長さ．

6. 例 : C を a∈C を中心とする半径 r の半時計周りに向き付けられた円とすると，

Z

C

(z−a)ⁿdz =

( 0, n̸=−1 2πi, n=−1 7. 定義 : 領域 Dが単連結

⇔ D 内のかってな単純閉曲線が囲む領域は D に含まれる．

領域D が k 重連結(やや古典的な術語)

⇔ D 単連結な領域からk 個の穴を空けた領域とトポロジーが等しい．

8. コーシーの積分定理 : f(z) が D⊂Cで正則で，D の閉曲線がC が D 内の単連 結領域を囲むとき Z

C

f(z)dz = 0

9. 証明 : C が囲む閉領域を D^′ とすると，グリーンの定理とコーシー・リーマンの方 程式からZ

C

f(z)dz = Z

C

(u dx−v dy) +i Z

C

(v dx+u dy)

= Z

D^′

µ

−∂u

∂y − ∂v

∂x

¶

dx dy+i Z

D^′

µ

−∂v

∂y + ∂u

∂x

¶ dx dy

= 0

10. 系 : D が単連結領域，f はD で正則，C1, C₂ が D内の始点と終点が一致する曲

線のとき， Z

C1

f dz= Z

C2

f dz

11. 系 : 単純閉曲線 C₁ と C₂ が1重連結領域 D を囲み，f が D の閉包を含む領域

で正則のとき， Z

C1

f dz= Z

C2

f dz

ただし C₁ と C₂ の向きは同じとする．

12. 系 : 単純閉曲線C と，C が囲む領域に含まれる互いに交わらない単純閉曲線の組 C₁, C₂,· · · , C_k が，k重連結領域を囲み，f が D の閉包を含む領域で正則のとき，

Z

C

f dz = Z

C1

f dz+ Z

C2

f dz+· · ·+ Z

Ck

f dz

ただし C, C₁,· · · , C_k の向きは同じとする．

13. 例 : C を 0∈C を中心とする半径 r(1< r < 2)の半時計周りに向き付けられた 円とする．

Z

C

2z−1

(z²+ 1)(z+ 2)dz = Z

C

µ1 2

µ 1

z−i + 1 z+i

¶

− 1 z+ 2

¶ dz

= Z

C1

1

2(z−i)dz+ Z

C2

1 2(z+i)dz

= 2πi

ここで C₁, C₂ はそれぞれ i, −i の周りの半時計周りに向き付けられた小さな円．

14. 定理 : f(z)は単連結領域 D⊂Cで正則とする．このとき F(z) =

Z z a

f(z)dz

は D で正則で，f の原始関数，すなわちF^′(z) =f(z) をみたす．

(証明は実の場合と同様)．

15. 演習 : D ⊂Cを単連結領域，u:D→R を調和関数とする．このとき D 上定義 された調和関数v :D→R で，u+iv が D で正則になるものが定数項を除いて一 意的に存在することを示せ．

5 _正則関数

1. コーシーの積分表示 : f(z) :D→Cは正則，C を D の中の単連結領域を囲む単 純閉曲線，a を C が囲む領域の任意の点とする．このとき

f(a) = 1 2πi

Z

C

f(z) z−adz さらに，任意回微分可能で

f⁽ⁿ⁾(a) = n!

2πi Z

C

f(z) (z−a)ⁿ⁺¹ dz

2. 証明 : コーシーの積分定理の系より，C が a の周りの半径 R が十分小さな円 {z =a+Re^iθ|0≤θ ≤2π} の場合に帰着．

右辺−左辺= 1 2πi

Z

C

f(z)−f(a) z−a dz ここで ε_R= sup_z∈C|f(z)−f(a)| とおけば

¯¯¯¯f(z)−f(a) z−a

¯¯¯¯≤ ε_R R なので

|右辺−左辺| ≤ 1 2π

ε_R

R 2πR →0 (R→0) 微分については，|h| を十分小として

f(a+h)−f(a)

h = 1

2πih Z

C

µ f(z)

z−(a+h) − f(z) z−a

¶ dz

= 1 2πi

Z

C

f(z)

(z−(a+h))(z−a)dz ここで h→0とすると，被積分関数は一様に f(z)

(z−a)² に収束．したがって f^′(a) = 1

2πi Z

C

f(z) (z−a)² dz 以下，同じ操作を繰り返す．

3. 系 (グルサーの定理) : 正則関数は無限回微分可能で，導関数も正則．

4. 系 (モレラの定理(コーシーの積分定理の逆)) : f :D→ C を連続関数で，D 内 の任意の閉曲線C に対して

Z

C

f(z)dz = 0 が成り立つとする．このとき f は Dで 正則．

5. 証明: F(z) = Z z

a

f(z)dz とおけば，D上の関数として矛盾なく定義され，F^′(z) = f(z) なので F は正則．したがって f も正則．

6. リウビリの定理: 複素数平面全体で定義された正則関数(整関数という)f :C→C は，有界ならは定数関数である．

7. 証明 : C(θ) =a+Re^iθ とおくと f^′(a) = 1

2πi Z

C

f(z) (z−a)² dz したがって

|f^′(a)| ≤ 1 2π

Z

C

|f(z)|

R² dz ≤ M

2πR² 2πR →0 (R→ ∞) とくに任意のa∈C に対して f^′(a) = 0

8. 代数学の基本定理 : f =a₀+a₁z+· · ·+a_nzⁿ= 0 (n≥1, a_n̸= 0) は解をもつ．

9. 証明 : f = 0 が解を持たないとすると，1/f は C で定義された有界な正則関数に なるので，リウビリの定理より定数．

10. 系 : 複素係数多項式は1次式の積に分解する．

11. 定義 : a∈C を中心とするべき級数とは X∞

n=0

c_n(z−a)ⁿ =c₀+c₁(z−a) +c₂(z−a)²+· · · (1) で表わされる適当な領域(?)で定義された関数．

べき級数 (??)が z ∈C で絶対収束するとは

⇔ X∞ n=0

|cn(z−a)ⁿ| が収束するとき．

12. 定理 : (??)が z₀(̸=a)で収束すれば，(??) は |z−a| <|z₀−a| をみたす z で絶 対収束する．

(証明は実の場合と同じ)．

13. 定義 : (??) が |z −a|< R のときに収束し|z−1| > R のときに発散するような 0≤R≤ ∞ を，(??) の収束半径，|z−a|< R を収束円という．

14. 定理(コーシー・ハダマールの判定条件)) :

(1) (??) の収束半径 R は R = 1 lim sup_n→∞ pⁿ

|c_n|． であたえられる．

(2) lim

n→∞

¯¯¯¯ cn

c_n+1

¯¯¯¯ は，存在すれば R に一致する．

15. べき級数は収束円内で複素関数を定義する．

16. 定理 : 複素関数 f(z) = (??) は収束円内で微分可能(正則)で，

(1) (項別微分)

f^′(z) = X∞ n=0

nc_n(z−a)ⁿ⁻¹ =c₁+c₂(z−a) +· · · (2) (項別積分)

Z _z

a

f(z)dz = X∞ n=0

c_n

n+ 1(z−a)ⁿ⁺¹ =c₀(z−a) + c₁

2(z−a)²+· · · (これも証明は実の場合と同様)．

17. 定理 : f :D →C を正則関数とする．任意の a∈D に対し，R =d(a, ∂D) とお くと，f は |z−a|< R でテイラー展開可能，即ち

f(z) = X∞ n=0

f⁽ⁿ⁾(a)

n! (z−a)ⁿ

18. 証明 : コーシーの積分表示を変形することを考える．まず，r < R をえらび，a を中心とする半径 r の円をC とする．C 上に点ζ ∈C，および C で囲まれる円の 中にz をとると

1

ζ−z = 1

(ζ−a)−(z−a) = 1

(ζ−a)(1− ^z_ζ⁻₋^a_a) = 1 ζ−a

X∞ n=0

µz−a ζ−a

¶n

ここで¯¯

¯¯z−a ζ−a

¯¯¯¯= |z−a|

r <1より，この級数はζ ∈C に関して一様収束する．した がって f(z) のコーシーの積分表示をこの展開で書き換えれば，積分と無限和の順

序を取り替えることができ，

f(z) = 1 2πi

Z

C

f(ζ) ζ−z dζ

= 1 2πi

Z

C

f(ζ) ζ−a

X∞ n=0

µz−a ζ−a

¶n

dζ

= 1 2πi

X∞ n=0

Z

C

f(ζ)(z−a)ⁿ (ζ−a)ⁿ⁺¹ dζ

= X∞ n=0

µ 1 2πi

Z

C

f(ζ) (ζ−a)ⁿ⁺¹ dζ

¶

(z−a)ⁿ

最終辺は|z−a|< r で収束しているので，その収束半径はr 以上．さらに r(< R) は任意だったので，少なくともR．

19. 注意 : コーシーの積分表示はこれからも分かる．

20. 注意 : a= 0 のときはマクローリン展開という．

21. 例 : (1) e^z =

X∞ n=0

zⁿ n!

(2) log(1 +z) = X∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹zⁿ n

6 _有理関数

1. 定理 : C₁, C₂ を a を中心とする同心円，D を，外側は C₁，内側は C₂ で囲まれ た 円環領域，f をD を含む領域で一価正則な関数とする．このときf は a でロー ラン展開可能，即ち

f(z) = X∞ n=−∞

c_n(z−a)ⁿ さらに，C を a を囲むD の単純閉曲線とすると，

c_n = 1 2πi

Z

C

f(ζ) (ζ−a)ⁿ⁺¹ dζ

2. 証明 : z ∈D とし，コーシーの積分表示を少し変形しすると f(z) = 1

2πi µZ

C1

f(ζ) ζ−zdζ −

Z

C2

f(ζ) ζ−z dζ

¶

ここで ζ ∈C₁ のとき，|z−a|/|ζ−a|<1より 1

ζ−z = 1

(ζ−a)(1−^z_ζ⁻₋^a_a) = 1 ζ−a

X∞ n=0

µz−a ζ−a

¶n

で，級数部分は ζ ∈ C₁ に関して一様に収束する．したがって，積分と無限和の順 番を交換して

第1項= 1 2πi

X∞ n=0

µZ

C1

f(ζ) (ζ−a)ⁿ⁺¹ dζ

¶

(z−a)ⁿ となる．さらに積分路は C に変えても不変．

一方ζ ∈C₂ のとき，|ζ−a|/|z−a|<1 より 1

ζ−z =− 1

(z−a)−(ζ−a) =− 1

(z−a)(1− ^ζ_z⁻₋^a_a) =− 1 z−a

X∞ n=0

µζ−a z−a

¶n

で，級数部分は ζ ∈ C₂ に関して一様に収束する．したがって，積分と無限和の順 番を交換して

符号込の第2項= 1 2πi

X∞ n=0

µZ

C2

f(ζ)(ζ−a)ⁿdζ

¶ 1

(z−a)ⁿ⁺¹

= 1 2πi

X−∞

n=−1

µZ

C

f(ζ) (ζ−a)ⁿ⁺¹dζ

¶

(z−a)ⁿ

3. 例 : 3

(z−2)(z+ 1) = 1 z−2 −1

3 + 1

3²(z−2)− · · ·+ µ−1

3

¶n+1

(z−2)ⁿ+· · ·

4. 特異点の種類 :

(1) a∈ D が f :D → C の特異点 ⇔ f は a で正則でない(定義されていない 場合も含む)．

(2) a が孤立特異点 ⇔ f は a の近傍で a 以外では正則．

(3) aが k 位の極 (k≤1) ⇔ f の a でのローラン展開が−k 次の項から始まる．

(4) aが除去可能な特異点 ⇔ f が a で定義されていないが，f の a でのローラ ン展開が負べきの項を含まない．

例 : (e^z−z−1)/z² = 1 2! + z

3! +z² 4! +· · ·

(5) a が真性特異点 ⇔ 極でも除去可能でもない特異点．

例 : e^1/z = 1 +z⁻¹ +z⁻²

2! +z⁻³ 3! +· · ·

5. 留数の定義 : f を領域D− {a} で一価正則な関数，C をa を含む Dの単連結領 域を囲む閉曲線とするとき，

Res[f, a] = 1 2πi

Z

C

f(z)dz

を f の a における留数という．

6. 観察 :

(1) f が a で正則 ⇔ Res[f, a] = 0

(2) f が一価で a が孤立特異点 ⇔ Res[f, a] =c₋₁ (3) a が f の1位の極 ⇒ Res[f, a] =c₋₁ = lim

z→a(z−a)f(z) (4) a が f のk位の極 ⇒ Res[f, a] =c₋1 = 1

(k−1)! lim

z→a

d^k−1

dz^k−1(z−a)^kf(z) 7. 留数定理 : f は D− {a1, a2,· · · , ak}で一価正則，C を {a1, a2,· · · , ak}を含む D

の単連結領域を囲む閉曲線とすると Z

C

f dz= 2πi(Res[f, a₁] + Res[f, a₂] +· · ·+ Res[f, a_k]) (証明は容易)．

8. 例 : C を単位円とする．f = cosz

z(z−π)² に対しては，

Z

C

f dz = Res[f,0] = 2i π