複素関数

複素関数

桂田 祐史

2014

9

20

, 2020

2

23

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/complex/

2019

3

(304),

2

(310)

序にかえて

この文書は、「複素関数・同演習」という講義科目のためのノートです

(

昨年度の講義ノートを書き換えて行きます)。

この科目は、明治大学総合数理学部現象数理学科の

2

変数と関数の値が複素数である

(複素変数・複素数値の)

1

関数論は

19

日本の理工系の学科における関数論入門で取り上げる項目は、伝統的にほぼ固まっていま す。関数論で何をどこまで学ぶかについては、検討の余地があり、私は折に触れて考えていま すが、この科目では、今のところ、定番の項目を講義することで、時間をほぼ使い切ってし まっているのが現状です。具体的な内容については、

0

(結果として、取り上げる題材に特色はまったくありません。やや脱線になりますが、計算

(

)

)

関数論には、実関数の微積分と比べると、次のような特徴があります

(私の個人的な見解)。

•

定理などに不思議な感じがするものが多いです。証明が理解できても、その感じが消え ないものもあります。「美しい」という人が非常に多いです²。

•

(

)

“

”

少なくても最初のうちは、定理の仮定の条件が満たされることを一つ一つ確かめること に時間がかかります。慣れるとそういうことが瞬時に出来るようになるけれど、省略出 来るわけではありません

(

)

1私は、授業の説明は十分詳しく、参考書は必要ないはずと考えていますが、どういう説明が分かりやすいか は人それぞれですし、複数の説明を読んで初めて分かるようになった、より深く分かるようになった、というこ とはごく普通に起こるので、ぜひ色々な本を読んで欲しいと思っています。

2「美しい」というのは、数学的事実ではなくて「個人の感想」に過ぎないかもしれませんが、「関数論の美 しさ」について語る人が多いのは経験的事実である、とは言えるでしょう。

•

微積分では、各週の授業ごとに、考える問題を述べて、それについての解決策と根拠

(

このような特徴があるため、単に定理・公式を紹介して、適用の練習をすることに^とど止めず、

なぜそうなるか、十分に理解してもらうことを目標にしています。原則として、すべての定理 の証明を与えます。そのため、半期週

2

(

1

2

)

講義内容を理解するために必要となる予備知識は、主に、実関数の微積分と

2

この講義ノートは、それなりに時間をかけて整備してあるので、大きな間違いはほとんど 残っていないと信じていますが、細かい³ミスはまだたくさん残っていると思われます⁴。もし、

書かれている内容がおかしい、納得がいかない、という場合は、面倒がらずに、指摘していた だけると助かります。

受講している人に、ミスを指摘してもらえることは稀で、なぜか、受講していない人から教 えてもらえることが多いです。

2018

12

50

このノート中にも問題を載せてありますが、別に練習問題のプリントも用意してあります

(

WWW

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/complex/

)

3誤植のようなミスも、初めて学ぶ人にとっては、大混乱の原因になりうるので、それを「細かい」と言うの は、書く人(今の場合は筆者)の自己中心的な考えなのかもしれません。数学者は、論理的なミスを重大なものと 考えるのが普通ですが、計算ミス、書き間違い・書き落としのようなものは、論文を書くときでもないと、かな りルーズに考えがちです。この辺は工学系の先生とは大きな差があるようです。…こういうのも図々しい言い訳 ということになるのかな。

4何度も読み返すけれど、ほぼ毎回直すべきところが見つかるので…

目 次

0

9

0.1

. . . . 9

0.2

. . . . 9

0.3

. . . . 10

0.3.1 Cardano . . . . 10

0.3.2 Bombelli . . . . 12

0.3.3 de Moivre . . . . 12

0.3.4 Euler . . . . 13

0.3.5 Gauss . . . . 13

0.3.6 Cauchy . . . . 14

0.3.7 Abel, Jacobi . . . . 14

0.3.8 Weierstrass, Riemann . . . . 14

0.3.9

. . . . 14

1

15 1.1

. . . . 15

1.2 C

. . . . 17

1.3

. . . . 19

1.4

. . . . 20

1.5

. . . . 20

1.6

. . . . 23

1.6.1

. . . . 24

1.7

. . . . 24

1.8

(前倒し)

. . . . 26

1.9

. . . . 29

1.10

. . . . 30

1.11 n

. . . . 31

1.12 C

. . . . 36

1.13

. . . . 37

2

38 2.1

. . . . 38

2.2

. . . . 38

2.3

. . . . 39

2.4

. . . . 41

2.5 Cauchy-Riemann

. . . . 43

2.5.1

. . . . 46

2.5.2

. . . . 48

2.5.3

. . . . 50

2.5.4

. . . . 50

2.5.5

Cauchy-Riemann

. . . . 51

2.6

. . . . 52

3

53

3.0

. . . . 53

3.1

. . . . 54

3.2

. . . . 60

3.2.1

. . . . 60

3.2.2

. . . . 63

3.2.3 Weierstrass

M-test . . . . 64

3.3

,

=Taylor

,

. . . . 67

3.4

e

, cos z, sin z, cosh z, sinh z . . . . 74

3.5

, Abel

, Abel

76 3.5.1

. . . . 77

3.5.2 Abel

2

. . . . 77

4

82 4.1

log z . . . . 82

4.1.1 log

Taylor

(

) . . . . 82

4.1.2

e

= z

. . . . 83

4.1.3

log z

. . . . 84

4.2

z

. . . . 86

4.3

. . . . 92

5

93 5.1

. . . . 93

5.2

. . . . 98

5.3

. . . . 101

5.4

R

(ベクトル解析との関係) . . . . 103

6 Cauchy

103 6.1

. . . . 104

6.2

. . . . 105

6.3

⇔

0 . . . . 109

6.4

,

. . . . 111

6.5

Cauchy

. . . . 114

6.6

(1),

Cauchy

. . 117

7

Cauchy

118 7.1

Cauchy

. . . . 118

7.2

. . . . 119

7.3 Cauchy

(

7.1)

. . . . 122

7.3.1

. . . . 123

7.3.2

. . . . 123

7.3.3

. . . . 124

7.3.4 Green

. . . . 125

7.3.5

. . . . 126

8

: Green

,

(2) 127

8.1 Green

. . . . 127

8.2 Green

Cauchy

. . . . 129

8.3

(2) . . . . 130

8.3.1

. . . . 130

8.3.2

Green

(熱核)

. . . . 131

8.3.3 . . . . 133

今後の方針説明

(

) 135 9

135 9.1

. . . . 135

9.2

. . . . 137

9.3

. . . . 141

9.4 Liouville

. . . . 143

9.5

. . . . 145

9.6 Schwarz

. . . . 149

10 Laurent

,

,

150 10.1 Laurent

. . . . 150

10.2

. . . . 154

10.3 Laurent

. . . . 155

10.3.1 Laurent

. . . . 160

10.4

lim

. . . . 162

11 Laurent

,

,

166 11.1

(

)

. . . . 167

11.2

. . . . 170

11.3

. . . . 171

12

(residue theorem) 174 12.1

. . . . 174

12.2

. . . . 178

12.2.1 Laurent

. . . . 178

12.2.2

. . . . 180

12.2.3

. . . . 183

13

184 13.1

(この問題を取り上げる意義と広義積分についての注意) . . . . 184

13.2

R

Z

f (x) dx . . . . 185

13.3

× e

R

Z

f(x)e

dx (

Fourier

) . . . 190

13.4

Z

r(cos θ, sin θ)dθ . . . . 193

13.5

R

(

1

) . . . . 196

13.6

:

13.11

. . . . 199

13.6.1

. . . . 199

13.6.2 (77)

. . . . 200

13.7

. . . . 201

14

203 15

203 16

213 16.1

. . . . 213

16.2

. . . . 214

16.3 (

)

. . . . 214

A

215 A.1 C

. . . . 216

A.2

. . . . 217

A.3 Cauchy-Hadamard

. . . . 220

A.3.1

. . . . 220

A.3.2

Cauchy-Hadamard

. . . . 222

A.3.3

Cauchy-Hadamard

. . . . 223

A.3.4 lim sup √

a

. . . . 224

A.4

. . . . 225

A.5

. . . . 229

A.6 Abel

. . . . 231

A.7

. . . . 235

A.8 “

” . . . . 236

B

238 C

239 C.1 x

×

Z

x

f(x)dx . . . . 239

C.2

Z

f (x) dx . . . . 242

C.3

× (log x)

Z

g(x)(log x)

dx . . . . 244

C.4

× (log x)

Z

f (x)(log x)

dx . . . . 245

C.5

. . . . 246

C.6

. . . . 247

D

252 D.1

—

. . . . 252

D.2 tan

. . . . 253

D.3 Bernoulli

tan

. . . . 256

E Cauchy

256 E.1

. . . . 256

E.2

. . . . 259

E.3

. . . . 260

E.3.1

(

)

. . . . 261

E.3.2

(拡張)

. . . . 261

E.4

Cauchy

. . . . 263

E.5

Cauchy

. . . . 265

E.6

. . . . 267

E.7

[1] (1957)

VI

§4

. . . . 269

E.8

. . . . 269

F

Cauchy

,

,

269 F.1

. . . . 269

F.2

. . . . 270

F.3

Cauchy

,

. . . . 270

F.4

. . . . 272

F.5

. . . . 273

G

273

H

276

I

: ± 1

6

, 8

286

以下、お仕事

(TODO)

(ずいぶん長いこと関数論の授業を担当しているけれど、なか

)

付録の「絶対収束に関する命題」も完成させて、公開したい。

X

n

a

X

n

b

= X

n

X

k+ℓ=n

a

b

一様収束の説明を最近の講義内容

(2018

9,10

)

対数関数の不連続性を説明する図を描くこと。

問

62

線積分のところももっと図を描こう。

10

11

(

)

記号・取り決め

•

N = { 1, 2, 3, · · · }

(0

)

•

Z ,

Q ,

R ,

C

• ( ∀ x) P (x) ⇒ Q(X)

( ∀ x: P (x)) Q(x)

例えば

( ∀ x) x > 0 ⇒ x +

≥ 2

( ∀ x: x > 0) x +

≥ 2

( ∀ x > 0) x +

≥ 2

• ( ∃ x) P (x) ∧ Q(X)

( ∃ x: P (x)) Q(x)

例えば

( ∃ n) n ∈ N ∧ na > b

( ∃ n: n ∈ N ) na > b

( ∃ n ∈ N ) na > b

•

c,

r

D(c; r) := { z ∈ C | | z − c | < r }

c

r

r = 0

r = + ∞

•

2

a, b

[a, b] := { (1 − t)a + tb | t ∈ [0, 1] }

図形としては

a, b

φ(t) = (1 − t)a + tb (t ∈ [0, 1])

• Ω ⊂ C

Ω := { z ∈ C | ( ∀ ε > 0)D(z; ε) ∩ Ω 6 = ∅}

とおき、

Ω

(closure)

•

(領域とは連結な開集合のこと、とする方が普通だけれど、開集合の場合は、連結も弧連

)

•

∞

∞

∞

+ ∞

(

n → ∞

n → + ∞

n → ∞

n ∈ N

)

• Ω ⊂ C , f : Ω → C , c ∈ Ω, A ∈ C

lim

f (z) = A

⇔ ( ∀ ε > 0)( ∃ δ > 0)( ∀ z ∈ Ω) ( | z − c | < δ ⇒ | f(z) − A | < ε) . (多くの本で 0 < | z − c | < δ ⇒ | f(z) − A | < ε

<

• c

f

( ♥ ) ( ∃ ε > 0) f

0 < | z − c | < ε

ε)

(

[2]

( ∃ ε > 0) f

0 < | z − c | < ε

(

)

( ♥ )

)

0

ついつい長いイントロをしたくなるのだが

(

)

複素変数の複素数値の関数を複素関数、微分可能な複素関数を^せいそく正則関数と呼ぶ⁵。正則関数 の理論

(

)

0.1

(繰り返しになるが、この講義は神保 [2]

講義の名前は「複素関数」だが、参考となる書籍のタイトルには、「関数論

(

)

II

単に「関

(

)

具体的な本の紹介は、付録

H (p. 276)

0.2

Cauchy

(定理)

f(z) = 1 2πi

Z

C

f (ζ)

ζ − z dζ (適当な図を添える)

c

f

f(z) = X

a

(z − c)

, a

= f

(c) n! = 1

2πi Z

C

f(ζ) (ζ − z)

dζ

と

Taylor

(よって無限回微分可能である)

るようになることが、この講義科目の最終目標である。

留数定理の応用

Z

−∞

dx

x

+ 1 = 2πi Res 1

z

+ 1 ; i

= 2πi lim

z→i

(z − i) 1

z

+ 1 = 2πi 1 z + i

z=i

= 2πi · 1 2i = π.

(tan

Z

−∞

dx

x

+ 1

)

Cauchy

て来る。留数定理はその代表例である。解析概論で有名な高木貞治は、このあたりのことを、

「帝王道路のドライヴ」と評した⁶。

到達目標は、教科書

(

[2])

1

4

5正確には、Cの開集合を定義域とする微分可能な関数を正則関数という。Cの開集合としておかないと、実 関数を排除できない。

6アレクサンドリアのプトレマイオス1世がエウクレイデス(ユークリッド)に「幾何学を学ぶのに『原論』よ

0.3

0.3.1 Cardano

虚数

(

)

2

3

1576

)

Ars magna de Rebus Algebraicis (1545)

(

)

3

4

(

3

x

+ px + q = 0

(1) x =

s

− q 2 +

r q

4 + p

27 +

s

− q 2 −

r q

4 + p

27

実は、3次方程式にも判別式と呼ばれるものがある。今の場合は

∆ := − 27q

+ 4p

= − 108 q

2

+ p

3

(108 = 2

· 3

).

これを用いると、(1) は次のように書き換えられる:

x =

s

− q 2 +

r − ∆ 108 +

s

− q 2 −

r − ∆ 108 .

∆

• ∆ > 0 ⇔

3

• ∆ = 0 ⇔

• ∆ < 0 ⇔ 1

(

3

)

∆ ≤ 0

q

−

(1)

x

3

(1)

∆ < 0

問題は、∆

> 0 ( ⇔ q

/4 + p

/27 < 0)

3

x

+ px + q = 0

3

Cardano

(1)

この場合を、「不還元の場合」

(Casus irreducibilis)

Cardano

Ars Magna

> 0

(

)

Cardano

10,

40

5 ± √

− 15

(

PDF

67

)

り近道はないかと尋ねたところ、エウクレイデスは「幾何学に王道なし」と答えた、という伝説がある。学問を 学ぶためには、王様のような偉い人でも、特別に楽な方法はなくて、一歩一歩地道に歩みを進める必要がある、

ことのたとえに使われる(使われた？)。それを踏まえた上で、複素関数論の理論はCauchyの積分公式までたど り着けば後は快調に進む、まるで王様のために作られた道を車で疾走するようだ、ということを言っているわけ である。

7http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf

8ax³+bx²+cx+d= 0 (a6= 0)が与えられたとき、簡単な式変形でy³+py+q= 0の形の方程式に帰着で きる。問2 を見よ。

93次方程式は(重複度を込めて数えると)3つの解(根)を持つ。1つ求まれば、後は2つは、2次方程式を解 けば求まる。実際、それらを式で表すのは簡単である。問6を見よ。

図

1:

10,

40

2

5 ± √

− 15 (Ars Magna

)

3

(

)

3

(

)

たのが

Cardano

高校で「

(

)2

虚数を導入すると、虚数の範囲では解が存在する」と説明される。それ自体はまったく正しい が、それだけではわざわざ虚数というものを考える理由が分かりにくい

(虚数解なんて役に立

)

3

(

)

問

1.

10,

40

2

(Cardano

)

以下の

5

3

(興味がなければ解く必要はない)。

(

2

0

)

2.

(1) f(x)

3

, α

A, B, C, D

f

α

f(x) = A(x − α)

+ B (x − α)

+ C(x − α) + D.

(2)

3

x

+ ax

+ bx + c

y = x − α

x

+ ax

+ bx + c = y

+ py + q (2

)

という形に変形するには、α をどう選べばよいか

(Cardano

(

p. 203)

((p/3)

+ (q/2)

)

3. p, q

(1) 3

x

+ px + q = 0

3

p 3

+ q

2

< 0

(2) 3

x

+ px + q = 0

3

p 3

+ q

2

≤ 0

10問6 (2)以外は高校数学で解ける。

11∆ :=−3³·2²

(p/3)³+ (q/2)²

は、x³+px+qの判別式である。

(3) 3

x

+ px + q = 0

(他の 2

p 3

+ q

2

> 0

問

4. X

+ Y

+ Z

− 3XY Z = (X + Y + Z )(X

+ Y

+ Z

− Y Z − ZX − XY ) = (X + Y + Z )(X + ωY + ω

Z)(X + ω

Y + ωZ)

ω := − 1 + √

3i

2

する。

問

5. p, q

p 3

+ q

2

> 0

x

+ px + q = 0

(

: x =

s

− q 2 +

r q 2

+ p

3

+

s

− q

2 − r q 2

+ p

3

—

Cardano

)

ヒント

3

x, α, β

x = α + β

α

+ β

= − q

αβ = − p

3 ⇒ x

+ px + q = 0 (すなわち x

+ β

= − q, α

β

= − p

3

を満たす

α, β

問

6. (1)

5

2

(2) p

q

z

+ pz + q = 0

0.3.2 Bombelli

Bombelli (

, Rafael Bombelli, 1526

Bologna

1572

Rome

Algebra (1572

3

x

= 15x + 4

という方程式

(

x = 4, − 2 ± √

3

)

Cardano

x =

q

2 + √

− 121 +

q

2 − √

− 121

が得られるが、虚数に関する計算法則を導入した上で、これが

4

3

(2016/9/21

:

Bombelli

が何をしたか、もう少し調べる必要がある。

Wikipedia

Klein [3], Smith [4]

Algebra

PDF

)

0.3.3 de Moivre

de Moivre (アブラーム・ド・モアブル, Abraham de Moivre, 1667

Citry-le- Fran¸cois

1754

London

)

1730

cos nx = cos

x − n(n − 1)

1 · 2 sin

x cos

x + n(n − 1)(n − 2)(n − 3)

1 · 2 · 3 · 4 sin

x cos

x − · · · , sin nx = n sin x cos

x − n(n − 1)(n − 2)

1 · 2 · 3 sin

x cos

x + · · ·

12と書いてあるそうだけれど、この講義の立場では、虚数の3乗根は値が一意に確定しないので、4に等しい と断定することは出来ない。

という公式を与えた。これはいわゆるド・モアブルの公式

(de Moivre

) (2) cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ)

を与えたことになる¹³。複素数を用いると見通しが良くなることの代表例である。

0.3.4 Euler

「

Euler

Euler

Euler (

Basel

)

Euler

e

= cos θ + i sin θ

指数関数を複素関数

(

)

e

= cos θ − i sin θ

cos θ = e

+ e

2 , sin θ = e

− e

2i .

複素指数関数について指数法則を証明すると、

de Moivre

複素対数関数については論争があったが、

Euler

(

[5]

Euler

0.3.5 Gauss

Gauss (

, Johann Carl Friedrich Gauss, 1777

4

30

– 1855

2

23

,

Brunswick

G¨ ottingen

Gauss

Gauss

認識して、生涯で様々な証明を発表した。最初に証明を発表した当時は、まだ複素数が市民権 を得ていなかったため、「次数

1

1

2

(

1

(結局、重複度を込めて、ちょう

n

)

)

この講義では、代数学の基本定理の、複素関数論を用いた証明を紹介する

(関数論の定番メ

)

Gauss

Cauchy

関数の冪級数展開可能性などを良く認識していて

(高木 [6]

WWW

13何となくスッキリしない書き方、と感じられたかもしれません。実は有名な(2)そのものは、de Moivreの 書いたものには載っていない、とのことです。

14Liesez Euler, Liesez Euler, c’est notre maˆıtre `a tous. Laplaceが学生に言ったとされる有名な言葉。英訳す ると、“Read Euler, read Euler, he is the master of us all”となるとか。

15例えば、フランス人は代数学の基本定理のことをd’Alembertの定理と言うそうである。またGaussの証明 は現代の基準では証明とは認められないとか、Gauss以外の誰それが証明していたとか、その手の話も色々ある みたい。

サイトに掲載

)

)

(

,

,

)

(Gauss

[7]

複素平面は、

Gauss

Gauss

(1811

)

Wessel (

, Caspar Wessel, 1797

), Argand (

, Jean-Robert Argand, 1806

)

diagram

)

Gauss

Gauss

(a + bi (a, b ∈ Z )

)

0.3.6 Cauchy

Cauchy (コーシー, Augustin Louis Cauchy, 1789

8

21

– 1857

5

23

ンスの

Paris

Sceaux

)

Cauchy

Cauchy

Cauchy-Riemann

Cauchy

らしい。

Cauchy

[8]

0.3.7 Abel, Jacobi

Abel (

, Niels Henrik Abel, 1802

8

5

– 1829

4

6

,

Frind¨ oe

Froland

(この講義で

)

Jacobi (

, Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804

12

10

– 1851

2

18

,

Potsdam

Berlin

)

19

0.3.8 Weierstrass, Riemann

Weierstrass (

, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815–1897,

の

Ostenfelde

数の理論などで豊富な業績がある。

Riemann (

, Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826

9

17

– 1866

7

20

Breselenz

Selasca

Cauchy-Riemann

, Riemann

(

[5]

)

楕円関数論, 代数関数論の発達については、古典と言える高木「近世数学史談」

([6])

(

)

(

[9])

0.3.9

私自身は関数論を学んで複素数が身近でリアルな存在になった。多くの数学者が同じ思いを 持っていると想像するのだが、ある有名な物理学者は、次のように言っていた。