複素数

基礎数学 No.11 2006. 6.26

3.2

複素数

! 虚数単位 "

2乗すると−1となる数を虚数単位といい,iで表す.つまり,i²=−1である.

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! 複素数 "

実数a,bを用いてz=a+biと表される数zを複素数という.

• aをzの実部,bをzの虚部という.

• 複素数z=a+biに対して,a−biをzの共役複素数といい, ¯zで表す.

• 複素数z=a+biに対し,√

a²+b²をzの絶対値といい,|z|で表す.

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定理14 (複素数の計算)z=a+bi, w=c+diに対し,

• z+w= (a+c) + (b+d)i, z−w= (a−c) + (b−d)i

• z×w= (a+bi)(c+di) =ac+bd·i²+ad·i+bc·i= (ac−bd) + (ad+bc)i

• z÷w=a+bi

c+di （分子分母にc−diをかけることで分母を実数にできる）

問題48 次の複素数zの共役複素数を求めて,その絶対値を計算しなさい.

(1)z= 6 +i

(2)z=−5i

(3)z= (6 +i) + (3 + 4i)

(4)z= (1−i)(2 +i)

問題49 次の計算をして,なるべく簡単にしなさい.ただしiは虚数単位を表す.

(1)i(7−8i) + (3−i)(2 + 5i)

(2) (5−i)÷(6 +i)

(3)−2(2 +i)−4((3−i)−5(i+ 3i))

(4) (1 +√2i)(2−√2i)

(5)1 +i 3 +i−2 +i

1−i

(6) 1

(1 +i)(2−i)

(7)3 + 6i

−i

問題50 次の式においてz= 1 +i,w= 2−iと代入し計算しなさい．

(1)w+1 z

(2)zw¯−¯zw

(3)|w−z+ 1|

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