1複 素 数 と複 素 関 数
本章 で は §1複 素 数,§2複 素 平 面,§3複 素 関数,§4べ き級 数 を 主 要 項 目 とし て取 り上 げ た.複 素 平 面 上 で 定 義 され た 複 素 関 数 は複 素z平 面 か ら複 素w平 面 へ の写 像 であ る が写 像 と い う言 葉 は こ こで は用 い な い.べ き級 数 を 早 い時 期 に 導 入 した.指 数 関 数,正 弦 関 数,余 弦関 数 な どの 見通 し の よい展 望 を 期 待 す る故 で あ る.
基 礎 事 項
§1.複 素 数
1.1複 素 数 と は 実 数x,yと 虚 数 単 位iに よ っ て 結 ば れ たz=x+iy, (i2=‑1)と か か れ た 数 で あ る.xをzの 実 部,yをzの 虚 部 と い い,そ れ ぞ れRez,Imzで 表 す.
1.2複 素 数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2が 相 等 し い と はx1=x2, y1=y2を 意 味 す る.zk=xk+iyk(k=1,2)に 対 し て 加 法,乗 法 を
(1)加 法:
(2)乗 法:
と 定 義 す る.
複 素 数x+i0と 実 数xと を 同 一 視 す る.‑z=(‑1)zと 約 束 す る.z=
x+iyに 対 しx‑iyをzの 共 役 複 素 数 と い い,zで 表 す.zzを￨z￨2と 表
し,￨z￨をzの 絶 対 値 と い う.乗 法 の 定 義 か ら,
1.3つ ぎ の 公 式 が 成 り立 つ:
(i) (ii) (iii) (iv) (v)
§2.複 素 平 面
2.1複 素 数z=x+iyを 平 面 上 の1点(x,y)に 対 応 さ せ る こ と に よ り複 素 数 全 体Cと 平 面R2と が1対1に 対 応 し,複 素 数 は 平 面 上 の 点 で 表 さ れ る.こ の よ う に 定 め ら れ た 平 面 を 複 素 平 面 と い い,x軸,y軸 を そ れ ぞ れ 実 軸,虚 軸 と い う.複 素 平 面 をCと 表 す こ と も あ る.
2.2平 面 上 の 点(x,y)を 極 座
標(r,θ)で 表 す と,x=rcosθ,y
=rsinθ だ か らz=x+iyは,z
=r(cosθ+isinθ)と 表 さ れ る.こ
れ をzの 極 形 式 と い う.z〓0の と
き,θ をzの 偏 角 と い いargzで 表 す.θ がzの 偏 角 な ら ば,θ+2kπ(k
=0 ,±1,±2,…)もzの 偏 角 で あ
る.
2.3つ ぎ の 公 式 が 成 り立 つ:
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)と す る と,
(i)
図1.1
(ii)
(iii)De Moivre(ド ・モ ア ブ ル)の 公 式:
2.4a∈Cに 対 しU(a;ε)={z∈C;￨z‑a￨<ε}をaの ε‑近
傍 と い う.適 当 に ε>0を 選 べ ばU(z;ε)⊂Aで あ る と きzをAの 内 点 と い う.Aの 内 点 全 体 をAの 内 部 と い う.Aの 各 点 がAの 内 点 で あ る と き Aを 開 集 合 と い う.複 素 平 面 に 関 してAの 補 集 合Acが 開 集 合 で あ る と きA
を 閉 集 合 と い う.Acの 内 点 をAの 外 点 と い う.Aの 外 点 全 体 をAの 外 部 と い う.Aの 内 点 で も 外 点 で も な い 点 をAの 境 界 点 とい う.Aの 境 界 点 の 全 体 をAの 境 界 と い い ∂Aと 表 す.
U(a;r)を￨z‑a￨<rと 表 しaを 中 心 とす る半 径rの 円 と い う.特 にa
=0,r=1の 場 合 単 位 円 と い う.十 分 大 き なrを と る と きA⊂U(0;r) と な る な らばAは 有 界 で あ る とい う.
集 合Aが 連 結 で あ る と は 空 集 合 φ で な い 開 集 合O1,O2が
で あ る よ うに は 存 在 し 得 な い 場 合 を い う.連 結 な 開 集 合 を 領 域 と い う.
§3.複 素 関 数
3.1複 素 数 列{zn}〓 に つ い て,任 意 の ε>0に 対 し て あ るn0が あ っ て,す べ て のn>n0に 対 し て￨zn‑a￨<ε で あ る と き{zn}はaに 収 束 す
る と い い,〓zn=aま た はzn→a(n→ ∞)と 表 す.
(i)zn→a(n→ ∞)で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はRezn→Reaそ し て Imzn→Imaで あ る こ と で あ る.
(ii)zn→a,wn→bと す る と,
zn+wn→a+b,znwn→ab,〓 → 〓(た だ し,wn〓0,bn〓0),
が 成 り立 つ.
zn∈A,zn〓zそ し てzn→zで あ る と き,zをAの 集 積 点 と い う.
例 題
【1】 §1
z1=2+i,z2=3‑2i,z3=‑〓+〓iと す る と き,次 の 計 算 を せ よ.
(i) (ii)
【解 】(i)
(ii)
【2】
§2次 の 複素 数 を極 形 式 で 表 せ.
(i) (ii)
【 解】(i)絶 対値r=￨2+2〓i￨=〓=4,
偏 角 θ:sinθ=〓=〓 か ら θ=60°(=〓).ゆ え に,
演 習 問 題A
【1】‑§1次 の 計 算 を せ よ.
(i) (ii)
【2】‑§2次 の 複 素 数 を 極 形 式 で表 せ.
(i) (ii)
【3】‑§2次 の方 程 式 を 解 け.
(i) (ii)
【4】‑§2z平 面上 の 円 の方 程 式 は
(*) (a,cは 実 数,a〓0,α α>ac)
で 与 え られ る.円 の 中心 は,‑α/a,半 径 は(〓)/aで あ る.
【5】‑§2次 の よ うな 条 件 を 満 足 す るzの 集 合 を 複 素 平 面 上 に 図示 せ よ.
(i) (ii)
【6】‑§2次 の等 式 が 成 り立 つ こ とを 示 せ.
(i) (ii)
【7】‑§3次 の数 列 の 収束,発 散 を調 べ よ.
【8】‑§3複 素 数 列{αn}が α0に 収 束 し な い と い う こ とは つ ぎ の4つ の う ち ど の 命 題 と 同 等 で あ る か.
(1)ど ん な 正 の 数 ε に 対 し て も,あ る 番 号n0を 選 ん で,n≧n0で あ る す べ て の
(i)P,P'が 直 径 の 両 端 と な る 条 件 はzz'+1=0.
(ii)P,P'がz平 面 に 平 行 な 大 円 に 関 し て 対 称 と な る 条 件 はzz=1.
【25】‑§4C=C∪{∞}の2点z,z'に 対 応 す る Σ 上 の 点 を そ れ ぞ れP,P'と す る と,3次 元 空 間 に お け る 距 離PP'を2点z,z'の 弦 距 離 と い い 記 号 で[z,z']と 表 す.そ の と き,
(i)z〓 ∞,z'〓 ∞ な ら ば
(ii)z〓 ∞,z'=∞ な ら ば
が 成 り立 つ こ とを 示 せ.
[補 注]中 心O,半 径Rの 円 をKと す る.点Oを 通 る 同 じ半 直 線 上 に あ る2点P,Q に 対 してOP・OQ=R2と な る と き,PとQはKに 関 して 鏡 像 の 位 置 に あ る とい う.
解 答
【1】(i)n=4k,4k+1,4k+2,4k+3(k=0,±1,±2,…)の と き,そ れ
ぞ れ1,i,‑1,‑i.
(ii)
【2】(i) ゆ え に,
(ii)r=￨‑3i￨=￨0‑3i￨=〓=3,θ=270°=3π/2.ゆ え に,
演 習 問 題B
【1】 次 の 計 算 を せ よ.
(i) (ii) (iii)
【2】 ζ=exp(〓)と す る とき,
(i)ζ+ζ2+ζ5=1+〓 〓 を満 足す る 正 の 整 数 νjを求 め よ.
(ii)ζ+ζ5+ζ6=1+〓 〓 を 満 足 す る 正 の整 数 νjを求 め よ.
【3】 つ ぎ の 複 素数 を 極 形 式 で 表 せ.
(i) (ii) (iii) (iv)
【4】 つ ぎ の 等 式 を 示 せ.
(i) (ii)
【5】z平 面 上 の2点z1,z2を 直 径 の 両端 とす る円 の 方 程 式 は
で与 え られ る.
【6】(i)相 異 な る3点z1,z2,z3が 同 一 直 線 上 に あ るた め の必 要 十 分 条 件 は
〓 が 実 数 と な る こ とで あ る.
(ii)z1,z2,z3が 同一 直 線 上 に あ る た め の必 要十 分 条 件 は 行 列 式
期 とす る関 数 に 対 し て,n>1を 自然 数 と して ω/nと い う周 期 が 存 在 しな い と き ω を 基 本 周 期 とい う.2πiがezの 基 本 周 期 で あ る こ と を示 せ.
【22】 つ ぎ の公 式 が 成 り立 つ こ とを示 せ.
(i) (ii)
【23】cosz,sinzは い ず れ も2π を 基 本 周 期 と す る 関 数 で あ る こ と を 示 せ.
【24】(i)ez‑1の 零 点 は2nπi(n=0,±1,±2,…)に か ぎ る.
(ii)sinzの 零 点 はnπ(n=0,±1,…)に か ぎ る.
(iii)coszの 零 点 は(n‑〓)π(n=0,±1,…)に か ぎ る.
【25】 双 曲線 関 数 は
で定 義 され る.つ ぎの 関 係 式 が成 り立 つ.
(i) (ii) (lii)
解 答
【1】(i)(ii)
(iii)
【2】(i)
(ii)
【3】(i)
(ii)
(iii) (iv)
【4】(ヒ ン ト)sinθ=〓,cosθ=〓 を 用 い る.
【5】z1+z2の 中 点(z1+z2)/2を 中 心 と し,z1,z2を 結 ぶ 線 分 の 長 さ の 半 分
￨z1‑z2￨/2を 半 径 と す る 円 の 方 程 式 は
で与 え られ る.こ れ を変 形 して求 め る式 を得 る.
【6】(i)z1,z2,z3が こ の 順 序 で 同 一 直 線 上 に あ る と い う こ とは
z2,z1,z3の 順 序 で 同 一 直 線 上 に あ る とは
と な る こ と で あ る.
(ii)(i)か ら
すなわ ち
これ を行 列 式 で表 せ ば よい.
【7】(i)
(ii)
【8】z∈Wに 対 し て,r=1‑reiθ と お け ば￨θ￨<α<π/2.
cosθ>cosα,r=￨1‑z￨<cosα,￨z￨<1だ か ら
【9】
2複 素微 分 と 複 素 積 分
本 章 で は §1複 素 微 分,§2複 素 積 分,§3積 分 記 号 下 の 微 分 積 分 を 主 要 項 目 と して 取 り上 げ た.1点 に お け る 微 分 可 能 性 よ り,そ の点 の 近 傍 に お け る 微 分 可 能 性,す なわ ち関 数 の 正 則性 に 着 目す る.§2は 線積 分 を 取 り扱 い, Green‑Riemannの 公 式 に 着 目す る.§3は 計 算 の 方 法 上 非 常 に 重 要 で あ る.
基 礎 事 項
§1.複 素 微 分
1.1z0∈Cの 近 傍 で 定 義 さ れ た 関 数f(z)に 対 し て,極 限 値
が 存 在 す る な ら ば,f(z)はz0で 微 分 可 能 で あ る と い い,こ の 極 限 値 をf'(z0) で 表 し,f(z)のz=z0に お け る 微 分 係 数 と い う.領 域Dの 各 点 で 微 分 可 能 な 関 数f(z)はDの 点 で 正 則,Dで 正 則 で あ る と い う.こ の と きDの 各 点z にf'(z)を 対 応 させ て 関 数 が 定 義 さ れ る.そ れ をf(z)の 導 関 数 と い う.
[注]無 限遠 点 ∞ を 含 む 領域 で 定 義 され た 関 数f(z)に つ い て,z=1/ζ とお くと き,f(1/ζ)が ζ=0で 微 分可 能 な ら ば,z=∞ で 微 分 可 能 で あ る とい う.
1.2定 理1.(i)f(z)がz=z0で 微 分 可 能 な ら ばz=z0で 連 続 で あ る.
(ii)f(z),g(z)が 共 にz=z0で 微 分 可 能 な ら ば
も微 分 可能 で あ る.
(iii)f(z)がz=z0で,g(w)がw=w0(=f(z0))で 微 分 可 能 な ら ば 合 成 関 数F(z)=g(f(z))はz=z0で 微 分 可 能 で
定 理2.f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iyがz0=x0+iy0で 微 分
可 能 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,u(x,y),v(x,y)が 点(x0,y0)で 全 微 分 可 能 で,Cauchy‑Riemannの 関 係 式
が 成 り立 つ こ とで あ る.
1.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)に お い て,uとvのx,yに 関 す る2階 偏 導 関 数 が 連 続 で,さ ら にu,vはCauchy‑Riemannの 関 係 式 を 満 足 す る とす
る.そ の と き,つ ぎ の 式 が 成 り立 つ:
作 用 素 Δ=〓+〓 と お い て,こ れ を Δφ=0,Δ ψ=0と 表 し,
Δ をLaplacian(ラ プ ラ ス 演 算 子)と い う.一 般 に 偏 微 分 方 程 式:ΔU=0を ラ プ ラ ス の 微 分 方 程 式 と い い,そ れ を 満 た す 関 数Uを 調 和 関 数 と い う.
f=u+ivが 正 則 関 数 で あ る と き,u(x,y),v(x,y)は 調 和 関 数 で あ る.
v(x,y)はu(x,y)に 共 役 で あ る と い う.
1.4閉 区 間J={t;0≦t≦1}で 定 義 さ れ た 複 素 数 値 関 数z(t)と す る.
z(t)が 連 続 で あ る と き,複 素 平 面 へ のzに よ るJの 像 を 曲 線 と い う.z(0)を そ の 始 点,z(1)を そ の 終 点 と い う.z(0)=z(1)で あ る と き,曲 線 を 閉 曲 線,0<t1<t2<1な らばf(t1)〓f(t2)で あ る と き 単 純 と い う.曲 線 Γ を 定 義 す る 関 数z(t)(=x(t)+iy(t))に つ い て そ のtに 関 す る 微 分 を
