数学 2・数学演習 2 No.11 2005.12.22（補講）
2.5 有理関数の積分 担当：市原
置換積分の応用として,
∫ 1
ax
2+ bx + c dx
の形の有理関数の積分を計算してみよう.(1)
判別式b
2− 4ac > 0
の場合例
1. (因数分解・部分分数分解)
¶ ³
∫ 1
2x
2+ 9x − 5 dx =
∫ 1
(2x − 1)(x + 5) dx
= 1 6
∫ ( 1
2x − 1 − 1 x + 5
) dx
= 1 6
∫ 1
2x − 1 dx − 1 6
∫ 1 x + 5 dx
= 1
12 log | 2x − 1 | − 1
6 log | x + 5 | + C
µ ´
(2)
判別式b
2− 4ac = 0
の場合例
2.
¶ ³
∫ 1
9x
2+ 6x + 1 dx =
∫ 1
(3x + 1)
2dx
= − 1
3 (3x + 1)
−1+ C
= − 1
3(3x + 1) + C
µ ´
(3)
判別式b
2− 4ac < 0
の場合例
3. (
平方完成・置換積分)
¶ ³
∫ 1
x
2+ 2x + 8 dx =
∫ 1
(x + 1)
2+ 7 dx
= 1 7
∫ 1
(
x+1√ 7)
2+ 1 dx
= 1 7
∫ 1 t
2+ 1 · √
7 dt
=
√ 7
7 arctan t + C =
√ 7 7 arctan
( x + 1
√ 7 )
+ C
µ ´
25
数学 2・数学演習 2 No.11 2005.12.22（補講）
2.5 有理関数の積分 担当：市原
問題
25
以下の積分を計算しなさい. (1)
∫ 1
x
2− 6x − 7 dx
(2)
∫
20
1
x
2− 6x + 9 dx
(3)
∫
42
1
x
2− 6x + 10 dx
(4)
∫ x − 3 x
2− 6x + 5 dx
(5)
∫
53
