熱伝導問題の数値解における

熱伝導問題の数値解における

        Implicit型とExplicit型の比較

藤 ^{田 士♂じ、 郎}

1） 序 論

 熱伝導問題の数値解法は一般にExplicit型とImplicit型 に分けられる。Implicit型の利点とされているのは時間軸方 向のきざみが大きくとりうるということである。これに対 してExplicit型はこのきざみの大きさに制限があり，それ によって，必要なある時間までの数値解を求めるためには time stepの数が大きくなり，計算時間が長くなるといわれ ている。しかし，Implicit型の解法は連立型であるので時間 軸のOne stepに必要な計算時間は前進型の解法であるEx−

plicit型に比べて非常に長くなる。従って時間軸のきざみを 大きくしうるという理由のみで計算時間が短くなると必ずし も結論しえない。このことはすでにDusinberrei） によっ て指摘されている。これに対してImplicit型の方が時間軸 のきざみを大きくしうること，精度がよいこと等によって 数値解法として有利であるという報告もなされている。2・3）4）

数値解は勿論電子計算機を用いるのだが，計算機を用いた解 法においてはいつもComputer timeが一つの大きな要因と なる。特に時間軸のきざみを大きくするとImplicit型にお いても精度は悪くなる。そこで，両者の比較においては全体 のComputer timeと精度の両方を検討する必要がある。上 記文献はこの点について必ずしも十分比較検討なされたもの ではない。ここではその点について考慮した数値実験の結果 を報告する。

2）熱伝導方程式

数値実験例として次の如き問題を考える。

  ∂U  ∂2U

       （0＜x＜1）      （1）

   ニんへ

  ∂t  ∂X2

  u＝0    （xニO，x＝1）        ^（2）

  u＝Vo    （t＝0）       （3）

ただし，π：温度，お時刻，κ：一次元座標，κ：熱拡散

係数

 ここで変換

   ・講・一・一多

を行うと無次元式として    oe 02e

   6T−642    e＝＝o    e＝＝1 をうる。

（O〈4〈1）

（g 一一 o， 4 ＝＝ 1）

（T ＝＝ O）

（4）

（5）

（6）

 この方程式の解は明らかに       オ

   ・一門麟、） 伽＋Dπτs・・（・・＋・）・・（・）

で与えられる。5）

3） 数 値 解 法

 ξ方向のきざみをli 9，τ方向のきざみを4τとする。この ときExplicit型差分近似式で（4）を表わすと

   em，n＋i ＝ 7（em＋i，n十em一！． n） 十 （1−2r） em．n （8）

となり，lmplicit型（特にCrank−Nicholson型を用いる）

差分近似式は

   ・m・・＋・・＝、（r｛．；？）｛・m・1・n＋・m・1・n・・＋（3一・）・m・n

     ＋Om−Ln＋em−1，n＋1｝ （9）

となる。

 ここでθm，n＝θ（mdξ， ndT）（n ・＝ 1， 2， 3……， m＝1，2，3…・一，

M−1，ただしMはξ方向の分割数でdξ＝1／Mである○）

 rは7＝」∀（Aξ）2で与えられるパラメーターである。Ex−

Plicit型ではr〈1／2の制限が必要でるが， Implicit型では 解の安定性に関する限りその制限はない。

 （8），（9）式をξ軸及びγ軸のアミ目により図式化する

＊第28回応用物理学会講演会q967．10．金沢大学）に発表．

       一 369 一

（n＋1）dr

ndT

（m一ユ）4ξ

md8

Fig．1． Sche皿atic Representation of Explicit Difference Method

  津山高専紀要（第1巻 第5号）

         値と（n＋1）dT線上の値を用いて△印の格子点の値を求める          ことを反復する。第k回目と第（k＋1）回目の値の差の絶対          値がすべての格子点についてある値（これをεとする）よ          り小さくなったとき収敏したものとしてこれらを＠＋1）tiT          における値とする。この反復法は手順としては計算機に適し          ているが，Mの値が大きくなると収解するまでの反復回数

（m ＋1） 4e

         が非常に大きくなり，one stepを求める時間が前進型に比          べてずっと長くなる。

4） 数値解の結果と検討

（n＋1）dτ

ndT

    （m−1）ds mlie （m十1）ti，e

Fig． 2． Schematic Representation of lmplicit

   Difference Method とFig．1， Fig．2の如くなる。

 Fig．1で分るようにExplicit型ではn∠7線上の○印の格 子点の値を用いて＠＋1）∠τ線上の△印の格子点の値を求め るから，初期条件と境界条件が存在すれば前進的に順次数値 解をうる。rの値は％， Y2等が用いられるが，％では精度 が悪くなり，この実験例の如く境界条件が不連続のときは解 が不安定になることがある♂）r＝％は精度はよいが，時間 軸のきざみAfの値が小さくなるので必要な時間までの解を

うるにはstep数が多くなる欠点を持っている。

 Implicit型ではFig．2にある如く，加7線上の○印の格子 点の値と（n＋1）∠7線上の●印の格子点の値を用いて（n＋

1）dτ線上の△印の格子点の値を求めるので，初期条件と境 界条件のみでは●印の格子点が未知となり，前進的に解をう

ることはできない。即ち，m＝1からm＝M−1までの式を

 この数値解におけるImplicit型の解法は反復法を用いた。

その理由は，行列式を用いて連立方程式を解く方法はMが 大きくなると計算機の機種により不可能となり，もし可能な 場合でもone stepの計算時間は非常に長くなる。一次元の 問題においてもξ方向の小さいきざみでの解を必要とすると

きはMの値を大きくしなければならない。特に，二，三次 元の問題を取扱う場合には当然格子点の数が多くなりMは 大きくなるので連立方程式の方法は一般的でないためであ

る。

 この実験例においてはM＝20とした。数値解は小数第5 位まで求め，四捨五入して第4位までをその解としている。

従って，反復の際のεの値は10一5を用いた。

 従来の報告ではExplicit型とImplicit型の両者を比較す る際に7の値を固定して行っているが，問題となるのは精度 と全体の計算時間であるから当然rの値を変えた場合も考え るべきである。

 まず，Explicit型ではr＝1／2は非常に大きい誤差（不安 定性のため）の結果をえたのでr・＝1／6についてのみFig．3 にその誤差を示した。Implicit型についてはr＝＝1はやはり 誤差が非常に大きい結果をえた。従って，r＝1／2，1／4の場 合について誤差をFig．3に示した。

 Fig．3におけるATはr＝1／6の場合についてのものであ

る。

 Fig．31t ＊り精度の面のみではImplicit型の方がよい結 果であることが分る。しかし，このような例の場合にはr＞

1では精度がずっと悪くなるので利用しえないことが分っ た。即ち，Implicit型では精度をある程度保つためにはrの 値をExplicit型の場合と同様に小さくしなければいけない ので，rを大きくしうるという利点はあくまでも精度を犠牲 にした場合に存在するものといいうる。

 計算時聞は，Explicit型とImplicit型ではone stepに ついて約1：6であった。従って，Explicit型のr；1／6と，

一 370 一

藤田 志郎  熱伝導問題の数値解におけ る重1np1三。三t型とExplic三t型の比較

10

︵訳︶     5

﹄o旨畠Φb︒￡g8お山

o

K

Il lmplicit Method      （r＝一1／2）

III lmpllcit Method     （r 一一 1／4）

た計算機のプログラミングもImplicit型に比べずっと簡単 であり，二，三次元問題のように格子点が多くなった場合は 十分役立つ方法といいうる。

 なお，計算機は岡山大学理学部電子計算室のNEAC 2203

を使用した。

Table 1． r一一1／2 8一＝As

Time

@ Solution

E。pli。it iM・・h・dl Ilnplicit

@ Method EIM

∠τ 0．6827 0．5000 0．6569 0．6528

247

34τ 0．4363 0．3750 0．4350 0．4274

4」γ 0．3829 0．3750 0．3830 0．3767

54τ 0．3453 0．3125 Q．3458 G．3407

5） 結

      n＝一5

Fig． 3． Dimensionless time ndT （dr：r＝＝1／6）

Implicit型のr＝1とが丁度全体の計算時間が同じになる。

故にこの両者の比較の場合にはExplicit型の方がよりよい 方法といいうる。精度をあまり要求しない場合の数値解法と

してはExplicit型で十分である。しかし，精度を必要とす るときは，Implicit型を用いるべきである。この場合rの 値は小さいほど精度はよいが，実際の計算結果ではr＝1／4

とr＝1／6ではその誤差はほとんど同じであった。Implicit 型を用いると当然計算時間は増してくる。そこでlmpllcit型 の反復法におけるone stepの計算時間を短くするために次 のような計算法を導入した。

 この方法は収敏するまで反復するというこれまでの方法と 違って，第1近似としての（n＋1）∠7線上の値をExplicit型 の方法で求める。次に，上に求めた値を用いてlmplicit型 の手法により＠＋1）zlT線上の△印の格子点の値を求めて行

くものである。即ち，one step進むために， Explicit型と Implicit型の両者の手法を用いるものである。（これをEIM

と甜）も・，・4の条件・・存在すれば…pl・…型によ り求める第1回目の結果がすでによい近似を与えているか ら，反復をしなくて十分よい結果をうることが期待される。

Tab］e 1にその数値解の一部を示す。これで明らかな如く Implicit型の解法とほとんど誤差は変らない。計算時間は one stepについてExplicit型の場合の約2倍強である。ま

論

 熱伝導問題の数値解法におけるlmplicit型とExplicit型 を数値実験例によって比較検討した。その結果，次の事柄を 結論しうることが分った。

 （1）Implicit型の解法においてもパラメーターrの値が 1以上の場合は誤差が大きくなり実際の数値解に利用しえな いQ

 （2）．Implicit型ではone stepの計算時間が長くかかる のでrの値を小さくすると全体のComputer timeも長くな

り，この点においてExplicit型より有利とはいえない。

 （3）rの値が小さいときは，精度の面のみではImplicit 型の方がExplicit型よりも，よりよい数値解を求めうる。

 なお補足的ではあるが，Implicit型の計算時間を短くする ためにExplicit型とImplicit型の計算手法を交互に用いて 前進的に解を求める方法を導入し，十分解法として利用しう

る結：果をえた。

文 献

1） G．M． Dusinberre： J． Heat Transfer， Trans． ASME，

 83， p． 94 （1961）．

2） 」． T． Anderson， J． M． Botje and W． K． Koffel ： 」． Heat  Transfer， Trans． ASME， 83， p． 516 （1961）．

3）L．L． Lynn and J． E。． Meyer：丁． Heat Transfer， Trans．

 ASME， 85， p． 280 （1963）．

4） R． C． Campbell， B． Kaplan， A． H． Moore： J． Heat  Transfer， Trans． ASME， 88， p． 324 （1966）．

s） Carslaw and Jaeger：  Conduction of Heat in Solid  p． 96 （1959， Oxford）．

6）森口・高田： 数値計算法且 p．120〜ユ2ユ（1958，岩波現代  応数）．

       （昭和42年10月10日受理）

nt Q71 一  り． L