フ ァ ジ ィ制 御 に よ る価 格 の 安 定 化

47

フ ァ ジ ィ制 御 に よ る価 格 の 安 定 化

PriceStabilizationbyFuzzyControl

釜 国 男

KunioKAMA

1.は じ め に 2.フ ァ ジ ィ推 論

3.フ ァ ジ ィ 制 御 に よ る 価 格 の 安 定 化 4.む す び

1.は じ め に

フ ァ ジ ィ理 論 は,現 在 急 速 に発 展 して い る 若 い 学 問分 野 で,学 問 と して は未 完 成 な部 分 も多 い が,す で に 制御 分 野 を 中心 に さ ま ざ ま の 分 野 で応 用 され,応 用 と い う点 で は 一 応 市 民 権 を得 た とい え よ う.フ ァジ ィ理 論 の 歴 史 を顧 み る と,1962年 に カ ル フ ォ ル ニ ア 大 学 バ ー ク レイ校 の ザ デ ー 教 授 が フ ァジ ィ集 合 に 関 す る初 め て の論 文 を発 表 した の で あ る が, 当 時 と して は あ ま りに も時代 に先 行 した 内 容 で あ っ た せ い か,し ば ら くの 間 ほ とん ど注 目 さ れ る こ とは な か っ た.し か し,1974年 に ロ ン ドン大 学 の マ ム ダニ教 授 が ス チ ー ム エ ンジ ン の 制 御 へ 適 用 し た の を き っ か け に,フ ァ ジ ィ理 論 へ の 関心 が 高 ま り,フ ァ ジ ィの研 究 は 新 た な発 展 段 階 に入 っ た.理 論 面 の研 究 と 平 行 して,と い う よ りむ しろ先 行 す る 形 で, 産 業 レベ ル で の 実 用 化 が 急 速 に進 み,現 在 で

は フ ァ ジ ィ推 論 専 用 のLSIチ ップ さ え開 発 ・ 実 用 化 され,フ ァジ ィ テ ク ノ ロ ジ ー は ま さ に

日進 月歩 の 勢 い で発 展 して い る.

と こ ろ で,フ ァジ ィ理 論 の 応 用 は これ まで 主 と して 工 学 系 の機 械 的 シス テ ム の 制 御 に限

られ て い るが,理 論 の 主 旨か らす る とそ れ は む しろ 人 間的 シ ス テ ム,つ ま り経 済 シス テ ム の よ う に人 間 が 重 要 な役 割 を演 ず る シス テ ム の 分 析 に最 も適 して い る と考 え られ る.現 在, 経 済 シ ス テ ム の 解 析 に は微 積 分 や 差 分 方 程 式,微 分 方程 式 な ど機 械 的 シ ス テ ム を取 り扱 う た め に開 発 され た手 法 が 広 く用 い られ て い るが,こ れ らの 手 法 は経 済 現 象 を解 明 す る の に は適 してお らず,実 用 的 で 意 味 の あ る成 果 は期 待 で きそ う に な い.こ れ を端 的 に示 して い る の が,高 度 な統 計 理 論 と コ ン ピ ュ ー タ を 駆 使 した計 量 経 済 モ デ ル の 失 敗 で あ る.か つ て 大 きな期 待 を に な っ て登 場 した マ クロ計 量 経 済 モ デ ル で あ るが,結 局 は コス トに見 合 っ た ほ どの 成 果 をあ げ る こ とが で きず,最 近 で は経 済 学 者 の 関 心 も薄 くな っ て い る.計 量 モ デ ル の 失 敗 は,不 幸 に もデ ザ ー の い う 「不 適 合 性 の 原 理 」 が 作 用 した結 果 と見 る こ とが で き る.す な わ ち この 原 理 に よ る と,シ ス テ ム が 複 雑 に な り,あ る 臨界 点 を越 え る と シス テ ムの 挙 動 につ い て 正 確 で か つ 意 義 の あ る記 述 をす る の は 困難 に な る.計 量 経 済 学 は こ れ ま で科 学 的 な厳 密 さ を求 め て ひた す らモ デ ル の 精 緻 化 と規 模 の 拡 大 に努 め て きた が,そ の 結

4$季 刊 創 価 果 で き上 が っ た モ デ ル は複 雑 す ぎて全 体 像 が 見 えず,肝 心 な と き に使 い もの に な ら な い場 合 が 少 な くな い.こ う した こ とか ら見 通 しの よ い 役 に 立 つ モ デ ル が 求 め ら れ て い る が , フ ァ ジ ィ理 論 の考 え方 は 一 つ の有 力 な手 が か り を与 え る もの と考 え られ る.す な わ ち 政 治 や 経 済 シ ス テ ム の よ う に複 雑 な シ ス テ ム を記 述 す る に は,量 的 関係 を犠 牲 に した定 性 的 な ア プ ロ ー チ が 適 して お り,と りわ け 自然 言 語 で シ ス テ ム を記 述 す る の が 望 ま しい.も っ と も 自然 言 語 で 経 済 問 題 を語 り,理 論 的 な 分 析 を加 え る とい うの は,昔 の 経 済 学 者 が や っ て い た こ とで新 しい試 み で は な い.戦 前 の 『エ コ ノ ミ ック ・ジ ャー ナ ル』 をみ る と明 か な よ う に,当 時 の 論 文 の 多 くは英 語 の 文 章 で 書 か れ て お り数 学 的 な記 号 は ほ とん ど見 あ た らな い.現 在 の よ う に数 学 と計 量 経 済 学 の知 識 が な け れ ば読 み こ な せ な い よ う な 論 文 は ほ とん ど掲 載 され て い な い.こ の ため 一般 の 読 者 で も楽 しみ な が ら読 む こ とが で き,経 済 学 は 身 近 な学 問 で あ っ た.現 在 の よ う に数 学 と計 量 経 済 学 の用 語 で あ ふ れ る よ う に な っ た の は 第 二 次 大 戦後 の こ とで あ る .英 語 や フラ ンス語, ドイ ツ語 な ど で経 済 学 を語 っ て い た戦 前 の 経 済 学 者 は,経 済 学 にふ さ わ しい表 現 手 段 を用 い て い た と言 え よ う.最 近 米 国 や英 国 で は 経 済 学 の 過 度 の 数 学 偏 重 に対 して 軌 道 修 正 の動 きが 見 られ る が,ラ フな 思 考 と表 現 を重 視 す る フ ァ ジ ィ理 論 を取 り入 れ る の も一 つ の 行 き 方 で あ ろ う.

現 在 ま で の とこ ろ,経 済 関 係 で は わず か に ゲ ー ム 理 論 で応 用 され て い る だ け で あ る が, 工 学 分 野 で の実 績 か らみ て,今 後 フ ァ ジ ィ応 用 の 中心 と な る の は や は り制 御 と経 済行 動 の モ デ ル化 の 問 題 で あ ろ う.現 在 これ らの分 野

経 済 論 集VoLXXIII,No.2

で は最 適 制 御 理 論 そ の 他 の 高 度 な 数 学 手 法 を 駆 使 した 研 究 が 盛 ん で あ る が,上 で述 べ た よ っ に ご っ した ア プ ロ ー チ の 仕 方 は 経 済 学 に は 適 さ な い.理 論 経 済 学 で は 極 大 化 モ デ ル に も とつ くペ ー パ ー で な け れ ば,ま と もな論 文 と して 受 け入 れ られ な い 風 潮 が あ る が,改 め て 言 う まで もな く,普 通 の消 費 者 や企 業 の経 営 者 が 経 済 学 で い う合 理 的 な最 適 化 行 動 を取 っ て い る わ け で は ない.彼 らは そ も そ も高 度 な 数 学 的手 法 を知 ら な い し,数 学 と は無 縁 の 生 活 を して い る.そ れ で も大 過 な く企 業 経 営 や 家 庭 生 活 を営 む こ とが で き る の は,幼 い 頃 か らの経 験 や 学 習 を も とに形 成 した行 動 規 則 に 従 っ て 行 動 して い る か らで あ る,身 近 な例 と して消 費 行 動 を取 り上 げ る と,消 費 者 は毎 日 の 買 物 に際 して次 の よ う な ル ー ル に従 っ て い る の で は なか ろ うか.

「も し牛 肉 の 値 段 が 少 し下 が れ ば,牛 肉 の 購i入を こ こ ろ も ち増 や しな さい 」

「も し価 格 が 一 定 で 所 得 が 大 幅 に 増 加 す れ ば,牛 肉 を も っ と た く さん 食 べ な さ い」

数 式 で表 現 され た 需 要 関 数 と異 な り,こ れ ら の ル ー ル は 言 葉 で 表 現 され,し か も下 線 部 の あ い ま い な 表 現 を含 ん で い るが,消 費 者 は適 当 に解 釈 して 実 行 して い る.フ ァ ジ ィ理 論 で は こ う した行 動 規 則 を フ ァジ ィ ア ル ゴ リズ ム と呼 び,フ ァジ ィ集 合 を用 い て 表 現 す る.消 費 者 は これ らの ル ー ル に実 際 の価 格 や 所 得 を 当 て は め て,妥 当 な購 入 量 を決 定 す る.こ の よ う に ル ー ル と事 実 か ら結 論 を導 き出 す 過 程 は フ ァ ジ ィ推 論 と呼 ば れ,詳 し く研 究 さ れ て い る.

多 くの 経 済 行 動 の 基 礎 に あ る 思 考 過 程 を フ ァ ジ ィ推 論 で 近 似 で き る とす れ ば,そ れ は 消 費 者 の み な らず 生 産 者 や投 資 家 の 行 動 を説

Septemberユ993釜 国男:

明 す る の に も役 立 つ で あ ろ う.さ ら に 政 策 ル0ル も一 種 の フ ァ ジ ィア ル ゴ リズ ム で あ る こ とか ら,政 府 そ の他 の 政 策 行 動 を フ ァ ジ ィ ル ー ル の 観 点 か ら見 直 す こ と も面 白 い 試 み で あ ろ う1).し か し何 とい っ て も フ ァ ジ ィ推 論 の 応 用 と して も っ と も重 要 で あ る の は,制 御 の 問 題 で あ る.筆 者 は す で に ク ラ イ ンモ デ ル を対 象 に フ ァジ ィ制 御 の 応 用 研 究 を行 っ て い るが,本 稿 の研 究 も制 御 に 関係 して い る.た だ しク ラ イ ンモ デ ル と異 な り,今 回 は微 分 方 程 式 で 記 述 さ れ る連 続 時 間 の モ デ ル を取 り上 げ る.以 下 で は,ま ず 次 節 で マ ム ダ ニ の フ ァ ジ ィ推 論 法 につ い て や や詳 し く説 明 す る.論 文 の 中 心 と な る第3節 で は 単 純 な投 機 的 市 場 の価 格 安 定 化 の 問題 を取 り上 げ,種 々 の 条 件 の下 で フ ァ ジ ィ制 御 を適 用 した結 果 を紹 介 す る.最 後 に 第4節 で は,い くつ か の 新 しい 推 論 法 につ い て 述 べ る.

2.フ ァ ジ ィ 推 論

フ ァジ ィ制御 に よ る価 格 の 安 定 化

2値 論 理 に お け る 推 論 は,ふ つ う 「Aな ら ばB」 と い う イ ン プ リ ケ ー シ ョ ン を 用 い て 行 わ れ,モ ダ ス ポ ネ ン ス(modusponens)と モ ダ ス ト レ ン ス(modustollens)が よ く知 ら れ て い る.モ ダ ス ポ ネ ン ス は 「Aな ら ばBが 真 」 で あ る と き,「Aが 真 」 な ら ば 「Bは 真 」 で あ る こ と を推 論 す る も の で,論 理 式

((A‐ｺB)andA}‐ｺB(1)

で 表 さ れ る.モ ダ ス ト レ ン ス は モ ダ ス ポ ネ ン 1>釜 〔3〕で は,ニ ュー ラ ル ネ ッ ト駆 動 型 フ ァ ジ ィ 推 論 と い う ニ ュ ー ラ ル ネ ッ トワー ク を 組 み 込 ん だ フ ァジ ィ推 論 法 を 用 い て,マ ネ ー サ ブ ラ イ が ど の よ う な ル ー ル で 決 定 され て い る の か 明 らか に した.ふ つ う の 回帰 分 析 で は捉 え る こ と の で きな い非 常 に 複 雑 な マ ネ ー サ プ ラ イ の 決 定 プ ロ セ ス も,こ の 方 法 に よ る と か な り の程 度 まで 解 明 で き る.

49 ス の 対 偶 で

((AFB)andB}‐ｺA{2)

と表 さ れ る.つ ま り 「Aな ら ばBが 真 」 で あ る と き,「Bが 真(Bが 偽)」 な ら ば 「Aは 真(Aは 偽)」 で あ る こ と を推 論 す る.

2値 論 理 の 命 題 は,「 部 屋 の 温 度 は20℃ で あ る 」 の よ う に 明 確 に 定 め ら れ て い る の に 対 し て,フ ァ ジ ィ 論 理 で は,「 部 屋 は 暖 か い 」 と い う よ う な フ ァ ジ ィ命 題 を 扱 う.フ ァ ジ ィ 命 題 を 用 い て ふ つ う の モ ダ ス ポ ネ ン ス を 一 般 化 す る と

規 則:IfxisAthenyisB 事 実:xlSA'(3) 糸 吉論:yisB'

の よ う に な る.こ こ で,A,A',B,B'は そ れ ぞ れ 全 体 集 合X,X,Y,Yに お け る フ ァ ジ ィ 集 合 で あ る.2値 論 理 に 基 づ く普 通 の 推 論 で

は 事 実 と イ ン プ リ ケ ー シ ョ ン の 前 提 は 厳 密 に 一 致 し な け れ ば な ら な い が

,フ ァ ジ ィ 推 論 で はAとA'は 必 ず し も 一 致 し て い な くて も よ い.同 様 に,モ ダ ス ト レ ン ス も フ ァ ジ ィ 化 す る こ と が で き る が,フ ァ ジ ィ制 御 で は 使 わ な い の で 省 略 す る.フ ァ ジ ィ 推 論 で は,あ い ま い な 情 報 ど う し の ソ フ トマ ッ チ ン グ か ら,厳 密 で は な い に し て も,ほ ぼ 妥 当 な 結 論 が 得 ら れ る こ と か ら,近 似 的 推 論(approximate reasoning)と 呼 ば れ る.

一 般 に フ ァ ジ ィ 推 論 に は

,A→BとA'か

ら 直 ・ を 推 論 す る 直 接 法 と,命 題 の フ ァ ジ ィ真 理 値 を 求 め て 真 理 値 空 間 で 推 論 を行 う 間 接 法 が あ る が,こ こ で は 直 接 法 を 使 う の で 間 接 法 の 説 明 は 省 略 す る.

直 接 法 は,(3)式 の フ ァ ジ ィ 条 件 文"Ifxis

AthenyisB"(以 下 で は 簡 単 の た め,A→B

と 記 す こ と に す る)をX×Y上 の フ ァ ジ ィ 関

50季 刊 創 価 係 に 変 換 し て,フ ァ ジ ィ 関 係 の 合 成 則 に 基 づ い て 推 論 を 行 う も の で あ る.す な わ ち,(3>の 結 論B'を,フ ァ ジ ィ 集 合A'とA→Bの 合 成

B'=A.'。(A→B)(4)

か ら 直 接 求 め る.こ こ で,(4)の 合 成 にmax‑

min合 成 を 用 い れ ば,B'の メ ン バ ー シ ッ プ 関 数 は

μB'ω=辮 ακ{砺'(x)〈 μ 五̲B(x,y)}

(5) で 与 え ら れ る.こ こ で,〈 はminを 表 す.

し た が っ て 残 さ れ た 問 題 は,フ ァ ジ ィ 条 件 文 、4→Bを ど の よ う に 定 義 す れ ば よ い か と い う こ と で あ る が,こ れ に つ い て は こ れ ま で 多 くの 方 法 が 提 案 さ れ て い る.そ の う ち 最 も 広 く使 わ れ て い る の は,マ ム ダ ニ の 方 法 で あ る.こ れ はA→Bと し てAとBの 直 積 を 採 用 す る も の で,

μ直→B(x,y)=μ 凶(x)〈 μBω(6)

で 与 え ら れ る.(5)式 に 代 入 す る と,結 論B' は

μ β'ω 一 解・・{玲 ω 〈 μみω 〈 μBω}

=祝 ακ{μA'ω 〈 μ 且ω}〈 μB(y)

=a/＼ μB(y)(7)

の よ う に な る(図1参 照).こ こ で, 図1

1

経 済 論 集Vo1.XXIII,No。2

αニmax{μ み'(x)〈 μ 凶ω}(8)

は,フ ァ ジ ィ 集 合AとA'の 適 合 度 を 表 し て い る.図 か ら 分 か る よ う に,結 論B'の メ ン バ ー シ ッ プ 関 数 は αの 高 さ でBの 頭 を カ ッ ト し た も の に な っ て い る.こ の た め こ の 方 法 は 「頭 切 り法 」 と 呼 ば れ る こ と が あ る,

と こ ろ で,実 際 の 制 御 で は,A'は フ ァ ジ ィ 集 合 で は な く,偏 差 や 偏 差 の 変 化 分 の よ う に 確 定 し た 数 値 で あ る 場 合 が 多 い.A'が 確 定 値xoで あ れ ば,

鰯 一{1 0濡

と な る こ と に 注 意 す れ ば,(7)式 は μB・ω={1〈 μ五(xo)〈 μBω}>

max{o〈 砺 ω 〈 μBω}

x≠xp

=/∠A(xo)〈 μB( .v)(9)

の よ う に 簡 単 に な る.

次 に,(3)式 の 規 則 がandで 結 ば れ た フ ァ ジ ィ 命 題 で あ る 場 合 に つ い て 考 え る.

規 則:IfxisAandyisBthenzisC 事 実lxisA'andyisB' 糸吉論:zisC'

(lo) こ こ で,A,A';B,B';C,ぴ は,そ れ ぞ れ 全 体 集 合X,Y,Zに お け る フ ァ ジ ィ 集 合 で あ る.

頭 切 り法

へ 'へ、uB 1、 、

,'、 、

y

September1993釜

便 宜 上,andで 結 ば れ た フ ァ ジ ィ 命 題"lfx isAandyis8'をA∩Bと 表 せ ば,A∩B はAとBの 直 積A×Bと 解 釈 す る こ と が で

き る.す な わ ち, AnB=AxB

幽 ∩B(x,y)=μA(x)〈 μ β(Y)(11) で あ る.こ の と き,規 則 の フ ァ ジ ィ 条 件 文"If xis.4andyisBthenzisC"をA∩B→Cと

書 く こ と に す る と,結 論Cは 推 論 の 合 成 規 則

C'=r.4'∩Bり ・(A∩B→C)(zz)

に よ り 求 め ら れ る.マ ム ダ ニ の 推 論 法 で は, イ ン プ リ ケ ー シ ョ ンA→B=A×Bを 拡 張 し て,フ ァ ジ ィ 条 件 文 は

A∩B→C=A×B×C(13)

と な る.し た が っ て(12}に お い てmax.min合 成 を 用 い れ ば,推 論 結 果C'は

μc'(z)=窺 傷{(μ み'ω 〈 μ β《y))〈

x,y

(μAω 〈 μ8ω 〈 μc(z))}

=max{μA'ω 〈 砺 ω 〈 μc(創 く

x

max{侮 ω 〈 μBω 〈 μc(副

y

(1り で 与 え ら れ る.つ ま り

C=(A'∩B')。(A∩B→c)

=〔A'。(A→C)〕 ∩ 〔B'。(B→C)〕

(15) が 成 立 し,(10)の 推 論 結 果 は 個 々 の 推 論 結 果 の 交 わ り で 表 さ れ る こ と が 分 か る.(1φ 式 は さ ら

に

μC{z)=max{(μA・(x)〈 μ8ω)〈

z,y

('uAfix)〈 μBω 〈 ・αc㈲}

=max{μA'ω 〈 μ 月(x)}〈

max{μ ぢ ω 〈 μB(y)〈

y

μz(z)}(16)

と 変 形 す る こ と が で き る の で,(7)の 拡 張 と

国 男:フ ァジ ィ制 御 に よる価 格 の 安 定 化

な っ て い る こ と が 分 か る.

最 後 に,複 数 の 規 則 か ら な る 次 の よ う な 多 重 フ ァ ジ ィ 推 論 に つ い て 考 え る.

規 貝町1:IfxisAlandyisBIthenzisCl else

規 則2:IfxisA2andyisB2thenzisCZ else

■

規 貝 旺n:IfxisAnandyisBηthenzis(㌦

事 実:xisA'andyisB'

糸吉論:zisC'

(1の こ こ で,Ai,A';Bi,B';C2,C'は,そ れ ぞ れ 全 体 集 合X,Y,Zに お け る フ ァ ジ ィ 集 合 で あ る.簡 単 の た め,フ ァ ジ ィ 命 題"Ifxis AiandyisBf"をAi∩B{と 表 す と

μ 海 ∩Bi(x,y)=μ 所(x)〈 μB②ω(18) で あ り,マ ム ダ ニ の 方 法 で は フ ァ ジ ィ 条 件 文 は

ノ4f∩Bi→Ci=Ai×.Bi×Ci⑲

と な る.こ の た め,㈲ の"else"は 結 び(∪) と 解 釈 さ れ,結 論0'は

C'==(A'∩B')・ 〔(Ar∩Br→CI)∪ …U An∩Bn→Cn)〕

=〔(A'∩B')。(AI∩BI→C1)∪ … ∪

(A'∩B')。

(An∩Bn)→Cn)〕

・=C1'UUC'⑳

の よ う に 与 え ら れ る.こ こ で,推 論 の 合 成 規 則 と し てmax‑min合 成 を 用 い れ ば,㈲ よ り

Ci'=(A'∩B')・(A∩Bti→Cl)

=〔A'。(Ai→Ci)〕 ∩ 〔B'。(Bz→ α)〕

⑳

52季 刊 創 価 と な る.⑯ 式 よ り,G'は さ ら に

μ01(z)=wi〈 μoi(z)⑳

の よ う に 簡 単 化 さ れ る.こ こ で,砺 は 事 実 とi番 目 の 規 則 の 適 合 度 で

1,Ui=max{砺'ω 〈 砺 、(x)}〈

max{μB《 ッ)/＼Bi(y)}(23)

Y

な お,前 件 部 変 数 が 確 定 値 の 掬 とyoで 与 え ら れ る 場 合 に は,結 論C'は

μ α(z){ω1〈 μCl(z)V{w2〈 μc、

(z}V… …

V{ω η〈 μcπ(剛 ⑳

で 与 え ら れ る.こ こ で,

w2=μ 窺(xo)〈 μB、(yo)(25)

推 論 結 果 で あ るC'は フ ァ ジ ィ 集 合 の 形 で 求 め ら れ る が,こ の ま ま で は 制 御 対 象 を 実 際 に 動 か す こ と は で き な い.そ こ で フ ァ ジ ィ 制 御 で は,非 フ ァ ジ ィ な 操 作 量 を 求 め る た め に 非 フ ァ ジ ィ 化(defuzzification)を 行 う.非 フ ァ

ジ ィ 化 の 方 法 と し て 重 心 法,最 大 平 均 法,最 大 中 点 法,中 央 値 法 な ど が 提 唱 さ れ て い る が, 最 も よ く使 わ れ る の は

経 済 論 集iVol.XXIII,No.2

掬一鴇 器 ⑫⑤

をC'の 代 表 値 とす る重 心 法 で あ る.図2は, 規 則 規 則 が2個 の 場 合 の推 論 過 程 を示 して い

る.図 か ら分 か る よ う に,推 論 過 程 は4つ の 部 分 か ら な っ て い る.ま ず,与 え られ た事 実 xa,yoか ら各 規 則 の 適 合 度wtiを 求 め る部 分, つ ぎ に,規 則 ご と に推 論 結 果q'を 計 算 す る 部 分,3番 目 に これ らの 結 果 を総 合 して 規 則 全 体 の 推 論 結 果C'を 計 算 す る部 分,最 後 に

C'の 重 心 を求 め る部 分 で あ る.

3.フ ァジ ィ制 御 に よ る価 格 の 安 定 化

フ ァ ジ ィ制 御 の応 用 と して,次 の よ うな 財 市 場 の 動 学 的 な モ デ ル を考 え る.財 に対 す る 市 場 需 要 量,す な わ ち企 業 の 販 売 量 は,価 格 p(t)と,そ の時 間 変 化 分 うω に よ っ て 決 ま り, 需 要 関 数 は

D(の=α 十 βρ(の十7う(の ￠の と表 され る.同 様 に,供 給 側 に も投 機 的 要 素 が存 在 し,供 給 関 数 は

図2マ ム ダ ニ 法 の 推 論 過 程

Az

_B1

Aa

掬

,

「 1 1 1 1 1 1

」 ,

B2/

1 1 1 圏 8

「 1 1

1 1 1 [ 聖

yo

za

September1993釜 国 男:フ ァ ジ ィ 制 御 に よ る 価 格 の 安 定 化

∫(の一 ・+by(の+・ う(の ￠8) で 与 え られ る.価 格 は企 業 に よ っ て設 定 さ れ, 企 業 は 在 庫L(t)が 望 ま しい 水 準 じ を超 過 す れ ば価 格 を引 き下 げ,適 正 水 準 を切 れ ば 価 格

を引 き上 げ る もの と仮 定 す る.式 で 示 す と

カ(t)=δ(五*‑L(t))㈲

こ こ で,δ>0は 価 格 の 調 整 ス ピ0ド を 表 す.

在 庫 ス ト ッ ク は

●

五(の=Dω 一s(の(3◎

に 従 っ て 変 化 す る.㈲ をtで 微 分 し,(30},(27), fig)を代 入 し て 整 理 す る と,価 格 に 関 す る2階 微 分 方 程 式

う(t)+五p(t)+勲(t)一 漁 ⑳

が 得 ら れ る2).こ こ で,五=δ(o‑Y),歪e

δψ 一 β),f=δ(a一 α)で あ る.価 格 の 定 常 解 は グe(a一 α)/(b一 β)で あ る が, 任 意 の 初 期 条 件 か ら 出 発 し た と き,価 格 が こ の 解 に 収 束 す る と は 限 ら な い.モ デ ル の パ ラ メ ー タ に よ っ て は,価 格 は 定 常 解 の ま わ り を 振 動 し た り,幾 何 級 数 的 に 限 り な く増 大 す る.

こ う し た 価 格 の 変 動 を 避 け,速 や か に 定 常 解 へ 近 づ け る た め に ,政 府 が 市 場 介 入 を行 う.

そ の 際 政 府 は,現 在 外 国 為 替 市 場 で 行 っ て い る よ う に,売 手 の 一 員 と し て 手 持 ち の ス ト ッ ク を 市 場 へ 放 出 し た り,市 場 か ら財 を 買 い 上 げ て 価 格 を 安 定 化 さ せ る.こ う し た 政 策 を 考 慮 し て,{31)式 の 右 辺 は ぎ=f3+uで 置 き 換 え る.こ こ で 問 題 と な る の は,uを ど の よ う に し て 決 定 す る か で あ る が,そ れ に は フ ァ ジ ィ 制 御 の 方 法 を 用 い る.

2)こ の 形 の微 分 方 程 式 で 表 され る経 済 モ デ ル は 他 に も少 な くな い.例 え ば,投 資 が 所 得 の増 加 に 比 例 して部 分 的 に調 整 され,生 産 も需 給 ギ ヤ ッ プ に お う じ て徐 々 に調 整 され る 乗 数 一 加 速 度 モ デ ル で は,国 民 所 得 は2階 微 分 方 程 式 を み た す.

表1

e

制御 規則表 e

53

NB

ノ>B

ノ>NI

NS

NB NB ノ>M

PM

ZO NB NM NS ZO PS PM PB

PS NM NS ZO PS

PM

PM NS ZO PS PM PB PB PB

PB

フ ァ ジ ィ制 御 の 基 礎 とな る制 御 規 則 を作 成 す る に は,前 件 部 変 数 と して何 を選 ぶ か を決 め な け れ ば な ら ない が,こ こ で は 目標 値(定 常 解)か ら の 偏 差e(t)と そ の 変 化 分e(t)を 前 件 部 変 数 とす る.後 件 部 変 数 は,も ち ろ ん

膨で あ る.表1は 使 用 す る制 御 規 則 を2次 元 の 制 御 規 則 表 と して ま とめ て表 現 した も の で あ る.eとeに 関 す る フ ァ ジ ィ集 合 は,三 角 型 の メ ンバ ー シ ッ プ 関 数 を も ち,釜 〔1〕 の 図4で 示 した もの と同 じで あ る.フ ァ ジ ィ集 合 の フル ス ペ ル と意 味 は次 の通 りで あ る.

NB=NegativeBig

NM=NegativeMedium

NS=NegativeSmall

ZO=Zero

PS=PositiveSmall

PM=PositiveMedium

PB=(positiveBig)

表1の 規 則 は,例 え ば,

(非 常 に 小 さ い) (ノJ、 さ い) (や やJf、さ い) (適 当 で あ る) (や や 大 き い) (大 き い) (非 常 に 大 き い)

IfeisZOandeisNBthenuisNB

と 読 む.図3は,三 角 型 の メ ン バ ー シ ッ プ 関 数 と表1の 制 御 規 則 を 用 い た と き の 入 出 力 関 係 を 示 し て い る.な お,フ ァ ジ ィ 集 合 は[‑

6,6]の 範 囲 で 定 義 さ れ て い る の で,入 出 力 変 数 は 適 当 な ス ケ ー リ ン グ フ ァ ク タ を掛 け て 調 整 す る 必 要 が あ る.つ ま り

6ω'=Se・e('}

ラ4

5.33

1.78

一1 .78

一一5 .33

季 刊 創 価 経 済 論 集 図3コ ン トロ ール マ ップ

Vol.XXIII,No.2

e(t)'=Sd・e(t)(32) u(t)'eSu・u(の

と正 規 化 し て,新 し い 変 数 θω',e(t)',餌 の' に 対 し て フ ァ ジ ィ 制 御 を 適 用 す る.そ こ で ス ケ ー リ ン グ フ ァ ク タ の 調 整 が 問 題 と な る が, こ れ に は シ ン プ レ ッ ク ス 法 と 呼 ば れ る 直 接 探 索 法 を 使 用 す る3).こ の 場 合,目 的 関 数 と し

て は

E=」z(p(t)一 グ)・dt㈱

0

を使 用 す る.

モ デ ル の 動 的 挙 動 は(31)式の パ ラ メ ー タ の 値 と 初 期 条 件 に よ っ て 異 な る の で,い く つ か の ケ ー ス に 分 け て 検 討 す る.な お,微 分 方 程 式 は0.Olの タ イ ム メ ッ シ ュ で オ イ ラ ー 法 に よ り 解 き,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン はt=2に な る と 終

わ る.

3)シ ン プ レ ッ ク ス 法 の ア ル ゴ リズ ム に つ い て は, 釜 〔2〕 を 参 照 の こ と.

6

(ユ)漸 近 的 安 定 の ケ ー ス パ ラ メ ー タ が 五=2,歪=16,f3=10で,

初 期 値 がp(0)=0.3,p(0)=0で 与 え ら れ た と き,政 府 が 市 場 介 入 を 行 わ な い と,価 格 は 振 動 を 繰 り返 し な が ら,時 間 と と も に ゆ っ く

り定 常 解 へ 収 束 す る(図4).一 方,表1の 制 御 規 則 を 用 い て 価 格 の 安 定 化 制 御 を 行 う

と,ほ と ん ど 瞬 間 的 に 定 常 解 へ 達 す る4).す な わ ち,制 御 結 果 を(33)式のEで 評 価 す る と, E=0.000944と な る.こ れ に 対 し て 制 御 を 行 わ な い 場 合 に はE=0.032151で あ る の で,

フ ァ ジ ィ制 御 の 結 果,誤 差 は 実 に97.1%も 減 少 し た こ と に な る.し た が っ て 価 格 の 安 定 化 と い う 政 府 の 目 標 は ほ ぼ 完 全 に 達 成 さ れ る5).

② 不 安 定 の ケ ー ス(そ の1)

パ ラ メ ー タ が 五e‑0.8,ji=16,ノ §=ユ0

4)ス ケ ー リ ン グ フ ァ ク タ は,Se=21。33,Sde=

Q.51,Su‑=‑351.57で あ る.

September1993釜 国 男:フ ァ ジ ィ 制 御 に よ る 価 格 の 安 定 化 55

図4フ ァジ ィ制 御 に よ る価 格 の シ ミ ュ レー シ ョ ン結 果

o.o 1.o

で,初 期 値 がp(0)=0.625,う(0)=0.7で あ れ ば,価 格 は 不 安 定 で 振 幅 を増 大 させ な が ら 定 常 解 の 回 りを振 動 す る.し か しフ ァ ジ ィ制 御 を も と に需 給 量 の 調 整 を行 う と,価 格 は す ぐに 目標 水 準 へ 達 し,以 後 そ の水 準 に完 全 に 釘 付 け され る6).市 場 は 本 来 不 安 定 で あ る が, フ ァジ ィ制 御 を適 用 す る と不 安 定 性 は 除 か れ 価 格 は 速 や か に安 定 す る.

と こ ろ で,現 実 問 題 と して は価 格 を あ る水 準 に固 定 す る代 わ りに,価 格 安 定 帯 を 設 定 し て そ の 中 で 価 格 を安 定 化 させ る場 合 が 考 え ら れ る.つ ま り価 格 に対 して適 当 な 目標 区 間 を

5)簡 単 の た め 規 則 を 一 挙 に13個 に 減 ら し,ZO に 対 応 す る 行 と 列 の 部 分 だ け を 残 し て 他 は す べ て ブ ラ ン ク と す る と,誤 差 は0.00531と い く ぶ ん 増 加 す る.し か し こ れ で も 制 御 し な い 場 合 に 比 べ て83.5%の 削 減 と な る.

6)誤 差 は 制 御 し な い と き の021739か ら0.00005 へ 縮 小 す る .こ れ は 実 に99.98%の 減 少 を 意 味 す る.

時間

2.0 3.0

設 定 し,も し価 格 が 区 間 内 に あ れ ば そ の ま ま 放 置 し,区 間 の 外 側 に 出 そ う に な っ た と き に は じ め て 市 場 介 入 を行 う よ う な 政 策 を 考 え る.定 常 解 を 中心 と した 上 下0.1の 区 間 を価 格 安 定 帯 と し,こ れ に表1の 制 御 規 則 を適 用 す る と,価 格 の 変 動 は小 さ くな り常 に安 定 帯 の 内 側 に と ど ま る(図5)7)8).u'の 値 を 見 る と(図6),政 府 は価 格 が 上 限 を突 破 し そ う に な る と市 場 へ 財 を供 給 し,逆 に下 限 を切 りそ う に な る と市 場 か ら財 を買 い 上 げ る こ と が 分 か る9).し か も政 府 は こ れ らの 対 策 を 瞬 間 的 か つ 等 間 隔 で 行 う(図 で は連 続 時 間 の 離 散 化 の た めuは あ る 幅 を持 っ て い る が,実

7)ス ケ ー リ ン グ フ ァ ク タ は,Se=‑821.73, Sde=‐1067.34,Su=18.66で あ る.

8)よ く見 る と,価 格 は 上 下 の 境 界 線 を わ ず か ば か り 突 破 し て い る が,こ れ は 微 分 方 程 式 を 0.Olの 時 間 間 隔 で 離 散 化 し て 解 い た た め で, 連 続 時 間 で は こ う し た こ と は 生 じ な い,

6 5

季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXIII,No.2

図5価 格 安 定 帯 の 下 での シ ミ ュ レー シ ョン 結 果

1.1 1.0 0.9

制 御 し な い と き

一 一 一 一 一 一 一   一

0.7

一   一 一 一 一 一 『一

0.6 ^{一 一 一 『一 一}̲ 一一一}

一 一 一 一 一 『

0.5 0.4

0.3 0.2 o.1

11

1引 脚 闘'圏1匹lI・1 III 国Illl[ II国1LI 臼II

0.0 1.0 2.0 3.0

時間

図6制 御 出 力

'.潔搦㎜‑︒‑︒如‑︒9遡端端瑠

0.0 1.0 2.0 3.0

時間

9)捻'ef3+uのuは ,正 確 に は 一 δ × 政 府 供 給 量 と 書 くべ き も の で あ る.し た が っ てuが 負

で あ る こ と は,政 府 に よ る財 の供 給 を意 味 し,

uが 正 で あ る こ と は 政 府 が 需 要 者 と な る こ と

を意 味 して い る.

September

格﹂‑価2

1993釜 国男:フ ァ ジ ィ制 御 に よ る価 格 の安 定 化 図7価 格 の シ ミ ュ レ ー シ ョン 結 果

ラ7

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5

時 間

際 に は 一 時 点 で 正 ま た は 負 の 値 を と る).こ れ は 価 格 の 変 動 に 一 定 の 条 件 を 設 け た 一 種 の 非 線 形 制 御 問 題 で あ る が,フ ァ ジ ィ制 御 の 考 え 方 を 適 用 す る と い と も簡 単 に 解 け る こ と が 了 解 で き る.

(3)不 安 定 の ケ ー ス(そ の2)

最 後 に,価 格 が 単 調 に 増 大 す る 場 合 を 取 り

上 げ る.五=‑2,ゑ=1,f3=1で,初 期

値 と し てp(0)‑0.4,う(0)=0が 与 え ら れ る と,価 格 は 時 間 と と も に 限 り な く増 大 す る(図

7).し か し フ ァ ジ ィ 制 御 を 適 用 す る と,多 少 の 時 間 は か か る も の の 価 格 を完 全 に 安 定 化

さ せ る こ と が で き る10),フ ァ ジ ィ 制 御 を 導 入 し た 結 果,不 安 定 な 解 か ら減 衰 振 動 の 解 を も つ よ う に モ デ ル の 動 的 特 性 が 変 わ っ た わ け

10)こ の と き の 正 規 化 ゲ イ ン は,Se=̲95.09, Sde=‑1.59で,制 御 ゲ イ ン は,Su=15.08 で あ る.

で あ る.こ こ で,フ ァジ ィ制 御 の 安 定 化 能 力 を これ まで とは違 っ た 角 度 か ら見 る た め に, 次 の よ う な実 験 を行 う.は じめ市 場 は均 衡 状 態 に あ り,価 格 は定 常 解 に等 しい.し か る に, t‑0。3の と き シ ョ ッ クが 加 わ り,(31)式 の 右 辺 が 瞬 間 的 に105だ け 増 加 した と仮 定 す る.

も し政 府 が 何 らの 介 入 も行 わ な い と,在 庫 は 減 少 して価 格 は い つ まで も上 昇 す る.一 ・方, 価 格 安 定 化 政 策 が 実 施 さ れ る と,シ ョ ッ ク は

吸 収 さ れ て価 格 はす ぐに元 の水 準 へ 戻 る(図 8).こ の よ う に シ ョ ッ ク が 加 わ っ て も価 格 に反 映 さ れ れ ば,供 給 調 整 が 行 わ れ て 価 格 へ の波 及 を 防 ぐこ とが で きる.

4.む す び

人 間 の勘 や コ ッ を生 か した親 しみ や す い 制 御 方 式 と して,フ ァ ジ ィ制 御 は 多 くの 産 業 分 野 で 導 入 され つ つ あ る が,本 稿 で は これ を経

8 5

価 格 1.8

1

季刊 創 価 経 済 論 集 図8シ ョックに対 す る価格 の反応

Vol.XXIII,No.2

o.a 0.1 0.2 a.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

時間

済 の 問 題 と くに市 場 価 格 を安 定 化 させ る 問 題 に適 用 した.フ ァ ジ ィ制 御 の 性 能 は,主 と して制 御 規 則 と メ ンバ ー シ ッ プ関 数 に よ っ て 決 ま る が,前 節 の 結 果 か らみ て,表1の 規 則 と標 準 的 な三 角 形 の メ ンバ ー シ ップ 関 数 で ほ ぼ 完 全 に 安 定 化 の 目 的 を達 成 で き る,し た が って マ ム ダ ニ の 直 接 法 を使 用 す る限 りそ れ ほ ど改 善 の 余 地 は ない が,も っ と難 しい シス テ ム を制 御 す る場 合 に参 考 とな る で あ ろ う3 つ の推 論 法 を最 後 に紹 介 して お こ う.今 回 取

り上 げ た問 題 は基 本 的 に線 形 シ ス テ ム の 定 値 制 御 問 題 で あ る た め に,制 御 規 則 は プ ロ トタ

イ プ の もの で 済 ます こ とが で き た.し か し, 複 雑 で 高 度 な 制 御 動 作 が 要 求 され る 問 題 で は,制 御 規 則 の 設 定 は 一 節 縄 で は行 か な い で あ ろ う,こ の た め種 々 の 方 法 が 提 案 され て い る が,遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム に基 づ く探 索 法 は 一 つ の 有 望 な ア プ ロ ー チ と考 え られ る

.制 御

規 則 を設 定 す る こ と は,ル ー ル テ ー ブ ル の 升 目 に後 件 部 変 数 の フ ァ ジ ィ ラベ ル を割 り当 て る作 業 で あ り,一 種 の 組 合 せ 最 適 化 問 題 とみ な す こ とが で き る.遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム は, 突 然 変 異 と 自然 淘 汰 に よ る生 物 進 化 の 過 程 を 模 した ア ル ゴ リズ ム で,組 合 せ 最 適 化 問 題 の 有 力 な解 法 と して 注 目 され て い る.こ の ア ル ゴ リズ ム を利 用 して 制 御 規 則 を作 成 した ら, 専 門 家 で も思 いつ か な い よ う な意 外 な制 御 規 則 が見 つ か るか も しれ な い.二 番 目 の有 望 な ア プ ロ ー チ と して,ニ ュ ー ラ ル ネ ッ トワー ク で フ ァ ジ ィ推 論 を実 現 す る フ ァ ジ ィニ ュ ー ラ ル ネ ッ トワー ク が 考 え ら れ る.ニ ュ ー ラ ル ネ ッ トは 複 雑 な 非 線 形 シ ス テ ム の 入 出 力 関係 を記 述 す る能 力 に優 れ て お り,人 間 の 制 御 行 動 を こ の 方 法 で モ デ ル 化 す れ ば 人 間 が 行 う よ

う な制 御 を コ ン ピ ュ ー タで 再 現 す る こ とが 可 能 で あ る.た だ 問 題 は い か に し て 学 習 用 の

Septemberl993釜

デ ー タを得 る か で あ る が,こ れ に は計 算 機 を 用 い た実 験 が 利 用 で きる で あ ろ う.同 じ く実 験 デ ー タ を用 い る もの に,ニ ュー ラ ル ネ ッ ト 駆 動 型 フ ァジ ィ推 論 法 が あ る.前 稿 〔3〕 で

は政 策 関 数 の 同 定 に使 用 した が,も と も と こ の方 法 は倒 立 振 子 の 制 御 を 目 的 と して 開発 さ れ た も の で あ る.し か し動 的 モ デ ル の制 御 と い う点 で は 共 通 して お り経 済 分 野 の 制 御 問 題 に も適 用 で きる で あ ろ う.

国 男:フ ァ ジ ィ制 御 に よ る価 格 の安 定 化

引 用 文 献

〔1〕 釜 国 男 「フ ァ ジ ィ に よ る ク ラ イ ン 戦 間 期 モ デ ル の 制 御(1)」,『 創 価 経 済 論 集 』 第21巻,

1号,pp.13‑36

〔2〕 「フ ァ ジ ィ に よ る ク ラ イ ン 戦 間 期 モ デ ル の 制 御(II)」,『 創 価 経 済 論 集 』 第21巻,

2号,pp.29‑40

〔3〕 「フ ァ ジ ィ ニ ュ ー ラ ル ネ ッ トワ ー ク に よ る 反 応 関 数 の 同 定 」,『 創 価 経 済 論 集 』 第 22巻,1号,pp.45‑55

(経 済 学 部 教 授)