LLG-R8.Nisus.pdf

Landau-Lifshitz-Gilbertの方程式と

目   次 1．フェロ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式 3 2．フェリ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式 3 3．単磁区構造におけるLandau-Lifshitz-Gilbertの解 7 4．磁壁移動速度(マイクロマグネティックシミュレーション) 10 5．磁壁移動速度(近似解析式) 11  (1)Walkerの限界以下の場合 11  (2)Walkerの限界以上の場合 13  (3)垂直ブロッホラインを考慮した場合 16  (4)水平ブロッホラインを考慮した場合 17 6．パラメーターの数値 18 7．近似解析式によるシミュレーション結果 20 8．実験結果 26 9．まとめ 27

1．フェロ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式  磁壁移動速度を考えるためには，Landau-Lifshitz-Gilbert(LLG)の方程式を扱わなければならな い．実際の材料は，フェリ磁性体であるが，まずはじめにフェロ磁性体のLLGの方程式 d M d t = −γ M×H+ α Ms M×d M d t (1) を考える．ここで， M は磁化ベクトル， Msは飽和磁化，γ は磁気回転比(ジャイロ磁気比，ジャイロ 磁気定数，単位は 1/ Oe sec

[

(

)

]

)，αは損失定数(Gilbertの制動定数，Gilbertのダンピング定数，無次 元)である．  γ は， γ = gµ_B h (2) であり，g はg 係数，µ_{BはBohr磁子， h はPlanck定数/ 2}πである．DWDDでは温度勾配による磁壁 移動を考えるので，パラメータの温度変化は重要であるが，これより，γ は温度変化がないと考えら れる．磁気モーメントがスピンのみから生じる場合，g=2 となり，γ =1.76×107

[

1/ Oe sec

(

)

]

となる．  一方，αは， α = λ γ Ms (3) であり，λはLandau-Lifshitzの損失定数である．フェロ磁性体のλの実験結果

S. M. Bhagat and P. Lubitz: "Temperature variation for ferromagnetic relaxation in the 3d transition metals" Phys. Rev. B 10 (1974) 179.

より，低温を除いて，λに温度変化はあまりない．従って，αの温度変化は， M_sの逆数の温度変化 になる．  γ やαは，強磁性共鳴(FMR)の測定から求めることができる．特に，αは，FMRの共鳴曲線の半値 幅∆H より， α = γ ∆H 2ω (4) から求めることができる．ここで，ωは共鳴周波数である．  ∆H には，一般に，αによる寄与のほかに，膜の不均一性による寄与(例えば，異方性の分散，す なわち，異方性が場所場所でミクロに異なる)が含まれるので注意が必要である．この両者を分離す るためには，マイクロ波の周波数を変えるとよい．すなわち，αによる寄与は，損失が周波数によっ て変わらなければ，マイクロ波の周波数を倍にすれば∆H も倍になる．一方，膜の不均一性による寄 与は，周波数に関わらず，ほぼ一定になる．  例えば，異方性 K が∆K だけ揺らいでいるとすると，∆H も2∆K / M_sだけ幅が広くなるが，これは マイクロ波の周波数には無関係である． 2．フェリ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式 太田恵造：“磁気工学の基礎II”(共立出版，1979) p.368

earth - transition metal alloys" J. Magn. Soc. Jpn. Vol.15 (1991) Suppl.S1, 299.  希土類-鉄族非晶質(RE-TM)合金において，REの副格子磁化をM1(ベクトル)， Ms1>0(大きさ)， 磁気回転比をγ₁，損失定数をα₁，TMの副格子磁化を M₂(ベクトル)，M_s2 >0 (大きさ)，磁気回転比を γ2，損失定数をα2とする．ここで，γ1，γ2は， γ1 = g₁µ_B h (5) γ2 = g2µB h (6) であり，g1はREのg 係数，g2はTMの g 係数である．

 g₁はLandeのg 係数で，例えば，RE = Gdならばg₁=2 ，RE = Tbならばg₁=3/ 2=1.5 であるし，g₂ はほぼ2 となる．γ1，γ2に温度変化はない．  一方，α₁と，α₂は， α1 = λ1 γ1Ms1 (7) α2 = λ2 γ2Ms2 (8) であり，λ₁はREのLandau-Lifshitzの損失定数，λ₂はTMのLandau-Lifshitzの損失定数である．  λ1，λ2には温度変化がないと考えるが，α1，α2には温度変化があり，各副格子磁化に反比例する ことになる．  論文

R. Giles and M. Mansuripur: "Dynamics of magnetization reversal in amorphous films of rare earth - transition metal alloys" J. Magn. Soc. Jpn. Vol.15 (1991) Suppl.S1, 299.

では，Tb-Fe-Coを扱っていて，α₁ = α₂ =0.1としている．すなわち，αには温度変化がないとして いる．  そして，LLGの方程式をM₁， M₂の両方に対して立てる． d M1 dt = −γ1M1×H1+ α1 M_s1 M1× d M1 d t (9) d M2 d t = −γ2M2×H2+ α2 M_s2 M2 × d M2 dt (10) ここで， H₁には， M₂からの分子磁界も含まれているし， H₂には， M₁からの分子磁界が含まれてい る．  分子磁界は非常に強力なので， M₁と M₂は反平行と考え，ベクトル M₁方向の単位ベクトルをm と すると， M1 =Ms1m (11) M2= −Ms2m (12)

となる．(11)式，(12)式を，それぞれ(9)式，(10)式に代入すると， M_s1dm dt = −γ1 Ms1m×H1+ α1Ms1m× dm dt (13) −Ms2 dm d t = γ2Ms2m×H2 +α2Ms2m× d m dt (14) となる．(13)式，(14)式を，それぞれγ₁，γ₂ で割り， M_s1 γ1 dm dt = −Ms1m×H1+ α1Ms1 γ1 m×d m d t (15) −Ms2 γ2 dm dt =Ms2m×H2 + α2Ms2 γ2 m×d m d t (16) (15)式，(16)式を加えると， Ms1 γ1 −Ms2 γ2       dm d t = −m×

(

Ms1H1 −Ms2H2

)

+ α1Ms1 γ1 +α2Ms2 γ2       m×d m dt (17) となる．(17)式の両辺に， Ms1−Ms2 Ms1 γ1 − Ms2 γ2 (18) を掛け，正味磁化 M (ベクトル)が， M=

(

M_s1−M_s2

)

m (19) であり，正味磁化が Ms= Ms1 −Ms2であることを考慮すると， d M d t = −γeffM×Heff + αeff Ms M× d M dt (20) が得られる．  ここで， γeff = Ms1 −Ms2 Ms1 γ1 −Ms2 γ2 (21) Heff = Ms1H1 −Ms2H2 M_s1−M_s2 (22) αeff = α1Ms1 γ1 +α2Ms2 γ2 Ms1 γ − Ms2 γ (23)

である．  なお，この Heffには，分子磁界 Hmは含まれていない．なぜならば， Hmは M と平行であるので， M×H_m=0 となるからである．  (21)式より，γ₁，γ₂が温度によって変わらなくても， Ms1， Ms2が温度によって変わるので，γeffは， 温度によって変わることになる．  ただし，REがGdの場合，g1 =g2 =2となるので，γ1 = γ2 = γ となり， γeff = γ (24) となって，γ_effの温度変化がなくなる．  一方，(7)，(8)式を(23)式に代入すると， αeff = λ1 γ1 2 + λ 2 γ2 2 Ms1 γ1 − Ms2 γ2 (25) となる．  ただし，REがGdの場合，γ₁ = γ₂ = γ なので， αeff = λ1 + λ2 γ

(

M_s1 −M_s2

)

(26) となり， λeff = λ1+ λ2 (27) と置くと， αeff = λeff γ M_s (28) となり，(3)式と比較すると，同じ形になる．  (28)式から，補償温度では Ms=0 となりαeffが発散するが，Gd-CoのFMRの実験結果

P. Lubitz, J. Schelleng, C. Vittoria and K. Lee: "FMR in some amorphous RE - 3-d transition metal" AIP Conf. Proc. 29 (1976) 178.

で，∆H が補償温度で広くなることとつじつまが合う．また，

C. Vittoria, P. Lubitz and J. Schelleng: "Magnetic properties of Gd_1-xFe_x films" AIP Conf. Proc. 29 (1976) 196. でも，∆H の温度変化から，∆H は， 1 Ms (29) に比例すると言っているが，これともつじつまが合う．

 移動層は磁壁抗磁力を小さくする目的でGd-Fe-Coが用いられるので，シミュレーションでは(24)， (28)式を用いる． 3．単磁区構造におけるLandau-Lifshitz-Gilbertの解  LLGの方程式 d M d t = −γ M×H+ α Ms M×d M d t (30) を単磁区構造の磁化に対して解き，磁化の運動について考えてみる． 内山，増田：“磁性体材料”(コロナ社，1980) p.127.  t=0において，磁界 H を z 方向に印加したとする．磁化の方向を通常の極座標を用いて表わすと， φ = ωt+ φ0 (31) θ =2arctan tan θ0 2     _  exp −t τ     _        (32) となる．ここで， ω = γ H 1+ α2 (33) τ = 1 α ω = 1+α2 α 1 γ H (34) であり，φ0，θ0は初期値である．  ωは z 軸の周りを歳差運動するときの角周波数を表わし，τは磁化が磁界方向に倒れていく時間を 表わしている．  α，すなわち損失が大きくなると歳差運動の周期が長くなる．  α →0 の場合，τ → ∞となる．すなわち，損失が無い場合，磁化は磁界の周りを永久に歳差運動し， 磁化が磁界方向に向くことはない．損失が存在すると，最終的に磁化が磁界の方向に向くが，その 早さはτに比例し，(34)式において， d dα α 1+α2 = 1 1

(

+α2

)

− α2α 1+α2

(

)

2 = 1−α2 1+α2

(

)

2 (35) より，α =1のときが最も早くなる．  αが小さいと歳差運動が激しく，磁化が磁界の方向に向くのに時間がかかる．αが大きいと，磁化 がゆっくり磁界の方向に向くので，やはり時間がかかる．

 (33)，(34)式を用いて，磁化の運動の様子をMovs.1 - 3 (QuickTime movie)で示す．  条件は， H=200 Oe

[ ]

で，α = 0.1，1，10 であり，磁界は下にかかっている．  3つのファイルで時間軸をそろえてあるので，磁化が磁界の方向に向く早さを比較できる． τ =1+α2 α 1 γ H = 1+ α2 α * 0.28 nsec

[

]

(36)

であるので， α =0.1 τ =2.9 nsec

[

]

α =1 τ =0.56 nsec

[

]

α =10 τ =2.9 nsec

[

]

となっている．  また，1コマ0.3 nsec

[

]

であるので，全体では， α =0.1 18 nsec

[

]

(61コマ) α =1 3.6 nsec

[

]

(13コマ) α =10 18 nsec

[

]

(61コマ) である．  1,677万色(24bit)でレンダリングしてあり，シネパックで圧縮してある．  データ転送速度が遅い周辺機器を用いると，コマ落ちする．  α =0.1の場合には，歳差運動は激しいが，磁化が倒れていく時間は長い．一方，α =10の場合に は，歳差運動はしないが，やはり磁化が倒れていく時間は長い．  α =1の場合には，わずかに歳差運動をし，速やかに磁化が倒れていく． Mov.1 単磁区における磁化の運動(α = 0.1)

Mov.2 単磁区における磁化の運動(α =1)

Fig.1 単磁区における磁化の運動  磁化の先端の軌跡をFig.1に示す． 4．磁壁移動速度(マイクロマグネティックシミュレーション)  磁壁移動検出(DWDD)媒体をメッシュに切って計算する場合を考える． Fig.2 メッシュ  各メッシュで温度が異なり，磁化の方向はメッシュ内で一様と考える．  各メッシュで温度が異なるので，異方性は各メッシュで異なるが，さらに，磁壁坑磁力の効果を 取り入れるために，異方性の大きさを正規分布に従いランダムに分布させる．  また，各メッシュは，隣接メッシュから交換力を受けている．例えば，Fig.2で，"22"のメッシュ は，"12"，"21"，"23"，"32"のメッシュから交換力を受けている．  さらに，外部磁界のほかに，自己のメッシュの磁化が作る反磁界，それ以外のメッシュの磁化が 作る浮遊磁界も考慮する．  そして，各メッシュで，LLGの方程式(20)式を解く．  その際， H_effには，外部磁界，反磁界，浮遊磁界，交換力による磁界，異方性磁界がはいる．  初期条件として，時間t=0で磁壁を作っておき，時間とともに磁壁が動いていく様子をシミュレー ションすることになる. 仲谷，鎌田，小林，白鳥：“磁壁エネルギーによる磁壁移動シミュレーション”日本応用磁気学会 学術講演概要集 (1999) 5pD-4．

 その結果をMovs.4 - 6 (QuickTime movie)に示す．計算セルの大きさは，幅50 Å

[ ]

，高さ 300 Å

[ ]

，半径方向は無限大で，媒体の移動速度は3 m / sec

[

]

である．パラメータは，(28)式より， αeff =1/ Ms，10 / Ms，100 / Msとしている．

 αeff =1/ Msの場合には，初期段階において，磁化の歳差運動が激しく磁壁がなかなか移動していか ない．これはMov.1に相当している． Mov.5 DWDDにおける磁化の運動(α_eff =10 / M_s)  α_eff =10 / M_sの場合には，磁化の歳差運動があまりなく磁壁が速やかに移動している．これは Mov.2に相当している． Mov.6 DWDDにおける磁化の運動(αeff =100 / Ms)  αeff =100 / Msの場合には，磁化がゆっくり反転していき，結果磁壁の移動も遅い．これはMov.3に 相当している．これらの結果の意味は“7．DWDDに対するシミュレーション結果”で詳しく説明す る．

 位置と速度の結果をα_eff =10 / M_sについてFig.3に示す．横軸はfront processが始まってからの時 間，縦軸は磁壁の位置と速度である．速度が振動的に変化しているが，これはWalkerの限界を越え ているためである． Fig.3 DWDD媒体における磁壁移動速度(α_eff =10 / M_s) 5．磁壁移動速度(近似解析式) 飯田，小林 編：“磁気バブル”(丸善，1977) p.59.  駆動磁界が小さい場合，磁壁はその構造を保ったまま移動するが，駆動磁界が大きくなると，磁 壁構造自体が変化しながら移動する．前者では，磁壁移動速度は駆動磁界にほぼ比例するが，後者 では，磁壁移動速度は駆動磁界に対して複雑な挙動を示す．前者と後者の境をWalkerの限界とよぶ． ここでは，Walkerの限界の前後にわけて考える．  (1)Walkerの限界以下の場合  LLGの方程式(20)式を解くと，磁壁移動速度V は，

V= γeff αeff A KH 1+ π M_s2 K 1− 1− H 2π M_sα_eff       2                 −1/2 (37) となるが， H>2π M_sα_effでは，複素数になるので使えない．ここで， A は交換スティフネス定数， K は実効的異方性定数， H は駆動磁界である． H=2π M_sα_eff (38) をWalkerの限界とよぶ．REがGdの場合，(28)式を代入することにより，(38)式は， H=2πλeff γ (39) となり，温度変化はなくなる．  また， ∆0 = A K (40) と置くと， V= γeff αeff ∆0H 1+ π Ms 2 K 1− 1− H 2π Msαeff       2                 −1/2 (41) となるが，∆₀のことを磁壁幅パラメータとよぶ． A も K も温度変化があるが， A / K の温度変化はあ まりなく，従って，∆₀の温度変化もあまりない．   K>>2π M_s2の場合，(41)式は， V= γeff αeff ∆0H (42) と簡単になる．浮遊磁界が磁壁移動に影響するので，移動層の磁化は小さく設定されるので，DWDD 媒体ではK>>2π Ms 2 が成立すると考えられる．さらに， µw= γeff αeff ∆0 (43) と置くと， V= µ_wH (44) となるが，µ_wを磁壁移動度とよぶ．  (42)式において，REがGdの場合，(28)式を代入すると， V= γ 2 Ms λeff ∆0H (45)

となる．すなわち，V は Msに比例するが， Msが大きくなれば H との相互作用が大きくなり，V が速 くなるのは自然である．  駆動磁界が磁壁エネルギーσdの温度勾配の場合， H は， H= 1 2Ms ∂ σd ∂ x (46) となるが，REがGdの場合，(46)式を(45)式に代入すると， V= γ 2 2λeff ∆0 ∂ σd ∂ x (47) となり，補償温度で Ms=0 においても，磁壁移動が起きることがわかる．  最後に， v= V 2π M_sγ_eff∆₀ (48) h= H 2π Msαeff (49) で定義される規格化速度v ，規格化磁界h を導入すると，(38)式のWalkerの限界は， h=1 (50) となり，(42)式の磁壁移動速度は， v=h (51) となる．  (2)Walkerの限界以上の場合  次に，Walkerの限界以上 h>1 (52) のときを考える． K>>2π M_s2の場合，v は， v= 1 1+αeff 2 αeff 2 h+ 1 h+ h2 − 1     _  (53) となる．浮遊磁界が磁壁移動に影響するので，移動層の磁化は小さく設定されるので，DWDD媒体では K>>2π Ms 2 が成立すると考えられる．h=1のとき，(51)式は， v=1 (54) (53)式も，

v= 1 1+αeff 2 αeff 2 ₊ 1

(

)

=1 (55) となり，h=1で，(51)式と(53)式は連続となっている．  h>>1/α_effでは， v= αeff 2 1+α_eff2h (56) となり，再びh に比例する．  結局，h<1(Walkerの限界以下)で(51)式，h>1(Walkerの限界以上)で(53)式になるが，これらの 関係をFig.4に示す．h>1では，v は一旦1より小さくなった後，h とともに増加する．α_effが小さい と，Walkerの限界を超えた途端，v が急激に減少する．

Fig.4 v=V / 2π Msγeff∆0とh= H / 2π Msαeffの関係  (56)式に，(48)式と(49)式を代入すると， V 2π M_sγ_eff∆₀ = αeff2 1+ αeff 2 H 2π M_sα_eff = αeff 1+ α_eff2 H 2π M_s V= αeff 1+αeff 2γeff∆0H (57) となるが，αeffに関しては， d dαeff αeff 1+ αeff2 = 1 1+ αeff 2

(

)

− αeff2αeff 1+α_eff2

(

)

2 = 1− α_eff2 1+α_eff2

(

)

2 (58) より，α_eff =1のときV が最大になる．  ところで，(57)式から，α_eff = α，γ_eff = γ として，磁壁幅パラメータ∆₀を移動する時間を計算す ると，

∆0 V = ∆0 α 1+α2 γ ∆0H =1+α2 α 1 γ H = τ (59) となり，単磁区構造における(34)式のτと一致する．  h>1(Walkerの限界以上)で，h>>1/αeffの場合には，磁壁の中の磁化の運動は，磁界が大きいので 単磁区の磁化の運動に近づくと考えられる．

 これらの関係をFig.5に示す．h>1(Walkerの限界以上)でh>>1/α_effの場合，V は H に比例し，

αeff =1のときV が最大になっている．なお，計算に用いたパラメータは，

M_s=30 emu/cm

[

3

]

，γ_eff =1.76×107

[

1/ Oe sec

(

)

]

，∆₀=200 Å

[ ]

=200×10−8

[ ]

cm である．

Fig.5 V と H の関係  さて，α_effが1よりかなり小さいとき，(57)式の αeff 1+α_eff2 (60) は，1+αeff 2 _→ 1となるから， αeff 1+αeff 2 → αeff (61) となる．(57)式において，REがGdの場合，(61)式，(28)式を代入すると， V= λeff M_s ∆0H (62) となり，V は1/ M_sに比例することになる．  一方，α_effが1よりかなり大きいときは，(60)式は，1+α_eff2 _{→ α} eff 2 となるから， αeff 1+α_eff2 → 1 αeff (63)

となる．REがGdの場合，(57)式に(63)式，(28)式を代入すると， V= γ 2 Ms λeff ∆0H (64) となって，(45)式と同じ形になる．この場合は， Msが大きいほうがV が速い．  (60)式，(62)式，(64)式の意味であるが， 内山，増田：“磁性体材料”(コロナ社，1980) p.127. にあるように，制動(α_eff)が小さいと，磁化は磁界の周りをいつまでも歳差運動し，なかなか磁界の 方向に向かない．一方，αeffが大きいと，歳差運動はしないけれども，ゆっくり磁界の方向に向いて 行くので，やはりなかなか磁界の方向に向かない．結局，α_effは小さくても大きくてもなかなか磁界 の方向を向かず，磁化が速やかに磁界の方向に向くためには適当な制動が必要で，それが(60)式で表 わされ，具体的にはα_eff =1のときである．  αeffが小さい場合， Msが大きいと H との相互作用が大きくなり， H の周りをいつまでも歳差運動 を続け，磁化がなかなか H の方向を向かず，却ってV が遅くなる．一方，α_effが大きい場合， M_sを大 きくして H との相互作用を大きくすると，磁化が速やかに H の方向に向くため，V が速くなると解 釈できる．  ところで，(42)式，(57)式で，∆₀は1/ K に比例し， H は K に比例するので，速度に関しては， K は影響がほとんど無いかもしれない．  ただし，磁壁坑磁力が同じなら， K が大きいほどジッターが少なくなるように思える．  (3)垂直ブロッホラインを考慮した場合 飯田，小林 編：“磁気バブル”(丸善，1977) pp.53-69.  (1)Walkerの限界以下の場合や，(2)Walkerの限界以上の場合は，ブロッホラインを考慮していな かった．ここでは，垂直ブロッホラインを考慮する．ただし，Walkerの限界は考慮しない．  垂直ブロッホラインが周期a で並んでいるとする．磁壁移動速度V は， V= 1+ π 2Λ 2αeff 2 a       −1 γeff αeff ∆0H (65) となる．ここで，Λは， Λ = A 2π Ms 2 (66) で定義されるブロッホラインの幅パラメータである．a が， a= π 2Λ 2 (67) の程度になると，(65)式は， V= αeff 1+α_eff2γeff∆0H (68)

となり，(57)式と一致する．  a がパラメータであるが，これは不明である．  記録時に記録層に垂直ブロッホラインができれば，移動層にも垂直ブロッホラインが転写される が，記録時に記録層に垂直ブロッホラインができるかどうか，そして，どのようにできるかが不明 である．  また，たとえ記録時に垂直ブロッホラインがなくても，移動層の磁壁が移動していく途中で垂直 ブロッホラインが現れる可能性もある．やはり，これも詳細は不明である．  磁壁の移動速度をV ，VBLの磁壁接線方向の移動速度をV_VBLとすると， V_VBL = −π Q 2αeff V (69) Q= K / 2π M_s2

(

)

であるから， K=5×104 erg cm3       (70) Ms=30 emu cm3       (71) αeff =0.33 (72) を代入すると， V_VBL = −14 V (73) となり，DWDDの場合，VVBLはV より14 倍速度が速いということになる．初期状態で垂直ブロッホ ラインが存在していたとしても，すぐにトラックの端に到達し，そこに引っかかったまま，あるい は消滅する．従って，垂直ブロッホラインが次から次へと湧き出さないかぎりは，あまり考慮しな くてよいように思える．  (4)水平ブロッホラインを考慮した場合  (1)Walkerの限界以下の場合や，(2)Walkerの限界以上の場合は，ブロッホラインを考慮していな かった．ここでは，水平ブロッホラインを考慮する．ただし，Walkerの限界は考慮しない．  磁壁移動速度V は， V= γeff αeff ∆0H (74) であるが， H=4 2π cosh21 Aαeff t (75) H=24 Aαeff t (76) のとき最大になり，ピーク速度は，

V=4 2π cosh21 γeffA t K (77) V=24γeffA t K (78) となる．ここで，t は膜厚である．DWDDとして， A=2×10-7 erg cm       (79) αeff =0.33 (80) t=300 Å

[ ]

=300×10−8

[ ]

cm (81) くらいの値を考えると，速度が最大となる磁界は， H=1.2 kOe

[

]

(82) くらいになる．磁壁駆動磁界は，具体的には， H= 1 2M_s ∂ σd ∂ x =200 Oe

[ ]

(83) となるので，速度が最大となる磁界には達していない．従って，(74)式が磁壁移動速度の式となる．  DWDDの場合，膜厚が薄いので，(75)，(76)式の磁界が大きく，水平ブロッホラインは考えなく てよい． 6．パラメーターの数値  まず，Gd-Coバブル用媒体を考える． γ =1.76×107 1 Oe sec       (84) αeff =0.1 (85) ∆0 =200 Å

[ ]

=200×10 −8 cm

[ ]

(86) くらいの値を考え，(43)式に代入すると， µw=350 cm sec Oe       (87) となる．  Gd-Coなどで，µ_wが500−2,000 cm/ sec Oe

[

(

)

]

と求まっている．

M. H. Kryder and H. L. Hu: "Bubble dynamics in amorphous magnetic materials" AIP Conf. Proc. 18 (1973) 213.

 あるいは，Gd-Co-Cuでは，µ_wが200−300 cm/ sec Oe

[

(

)

]

と求まっている．

R. I. Potter, V. J. Minkiewicz, K. Lee and P. A. Albert: "Dynamic properties of magnetic bubbles in amorphous GdCoCu films" AIP Conf. Proc. 29 (1975) 76.

 これらを比較すると，µ_w=350 cm/ sec Oe

[

(

)

]

は妥当な値と思われる．  ここでは，バブル用媒体を考えているので， M_s=100 emu cm3       (88) くらいである． M_s=100 emu/cm

[

3

]

でα_eff =0.1くらいになるものと考えられる．  すなわち，(28)式において， Ms=100 emu/cm 3

[

]

でαeff =0.1となるので， λeff γ =10 emu cm3       (89) となる．  あるいは，

P. Lubitz, J. Schelleng, C. Vittoria and K. Lee: "FMR in some amorphous RE - 3-d transition metal" AIP Conf. Proc. 29 (1976) 178.

では，GdFe₂，GdCo₃，HoFe₂のLandau-Lifshitzの損失定数λeffを，それぞれ1, 2, 3×108

[

1/sec

]

と報 告している．この値は，純TM

S. M. Bhagat and P. Lubitz: "Temperature variation for ferromagnetic relaxation in the 3d transition metals" Phys. Rev. B 10 (1974) 179.

と同程度と報告している．従って， λeff γ =10 emu cm3       (90) くらいとなり， M_s=100 emu/cm

[

3

]

におけるα_eff =0.1は，やはり妥当な値と考えられる．  損失をパラメータとして比較を行う場合には，(90)式の値を変化させればよい．  次に，磁壁移動検出(DWDD)媒体を考える．front processにおいて，磁壁が移動を開始する位置 付近では， M_s=30 emu cm3       (91) くらいになっており， αeff =0.33 (92) くらいである．また，Walkerの限界は，

H=63 Oe

[ ]

(93) くらいの値であり，磁壁駆動磁界は，具体的には， H= 1 2M_s ∂ σd ∂ x =200 Oe

[ ]

(94) となるので，Walkerの限界を越えている． 7．近似解析式によるシミュレーション結果  まず，Fig.6を用いてDWDD媒体の磁壁駆動磁界とWalkerの限界について考える．  図には，磁壁駆動磁界 H=

(

1/ 2Ms

)

∂ σd/∂ x ， 1/ 2M

(

s

)

∂ σd /∂ x から磁壁坑磁力 Hwを引いた磁界， Walkerの限界 H=2π Msαeff，及び Msを示してある．横軸は，媒体のfront process付近の位置であ る．  計算刻みは31.25 Å

[ ]

，半径方向は無限大であり，媒体の移動速度は3 m / sec

[

]

である．浮遊磁界は考 慮していない．  0.3625

[ ]

µm くらいでfront processが始まり，−0.1125

[ ]

µm くらいが最高温度点であるが，温度が高 くなると，補償温度に近づくので， Msがかなり小さくなる．   H_wよりも 1/ 2M

(

_s

)

∂ σ_d/∂ x の方がかなり大きいので， 1/ 2M

(

_s

)

∂ σ_d /∂ x から H_wを引いてもあまり変 わらない．  パラメーターとしては， αeff = λeff γ M_s = 1 M_s, 3 M_s, 10 M_s, 30 M_s, 100 M_s (95) と設定した．

 Walkerの限界は2π Msαeffであるが，αeffは1/ Msに比例するので，結局，2π Msαeffには温度依存性 が無くなる．

 α_eff =100 / M_sを除いて， 1/ 2M

(

_s

)

∂ σ_d /∂ x より2π M_sα_effの方が小さくなっている．

Fig.6 DWDD媒体における磁壁駆動磁界とWalkerの限界  次に，磁壁移動の計算結果をFigs.7 - 16に示す．

 Figs.7, 9, 11, 13, 15の横軸はfront processが始まってからの時間，縦軸は磁壁の位置と速度であ

 Figs.8, 10, 12, 14, 16の横軸は媒体のfront process付近の位置であり，縦軸は規格化磁界

h ，1/α_eff，α_effである．

 Fig.7のαeff =1/ Msの場合，すなわち制動がかなり小さい場合，最初，速度が遅く，磁壁がなかな

か移動していかないが，磁壁が最高温度点に近づくと，速度が急激に速くなる．磁壁移動の初期段階 の速度が遅いので，結局，平均の磁壁移動速度は遅い．

 この理由をFig.8で考える．まず，h>1であるのでWalkerの限界を越えていて，かつ，h>>1/α_eff であるので，

V= αeff

1+αeff

2 γ ∆0H (96)

で表わされ，αeff =1のときV が最大になり，αeff <1でもαeff >1でもV が遅くなる．磁壁移動の初期段 階では，α_eff <1であり，また H も小さいので，V が遅い．このときの磁壁の中での磁化の運動は， Mov.1，Fig.1(α =0.1)のように歳差運動が激しく起きているものと考えられる．磁壁が最高温度点に 近づくと，α_effが1に近づき，さらに H も大きくなるので，V が急激に速くなる．  以上の結果は，マイクロマグネティックシミュレーションの結果，Mov.4とつじつまが合ってい て，Mov.4の結果は以上のように解釈される． Fig.7 DWDD媒体における磁壁移動速度(αeff =1/ Ms) Fig.8 規格化磁界と損失定数(αeff =1/ Ms)

 次に，Fig.9のαeff =3/ Msの場合，すなわち制動が少し大きくなった場合を考える．Fig.7に比べ， 平均の磁壁移動速度が速くなっている．

 この理由をFig.10で考える．やはり，h>1であり，かつ，h>>1/αeffである．Fig.8に比べてαeffが 大きいので，磁壁移動の初期段階でもV が比較的速い．やはり，磁壁が最高温度点に近づくと，αeff が1に近づき，さらに H も大きくなるので，V が急激に速くなる．

Fig.9 DWDD媒体における磁壁移動速度(αeff =3/ Ms)

Fig.10 規格化磁界と損失定数(αeff =3/ Ms)

 Fig.11のαeff =10 / Msの場合，すなわち制動がさらに少し大きくなった場合を考える．Fig.9に比べ，

さらに平均の磁壁移動速度が速くなっている．

 Fig.12より，やはり，h>1であり，かつ，h>>1/αeffである．Fig.10に比べてαeffが大きいので，

磁壁移動の比較的初期段階でα_eff =1となり，初期段階のV がさらに速くなる．このときには磁壁の中 の磁化は，Mov.2，Fig.1(α =1)のように速やかに反転しているものと考えられる．ただし，αeff =1の ときの H は比較的小さいので，Fig.11の磁壁移動速度のピーク値が小さくなっている．

 以上の結果は，マイクロマグネティックシミュレーションの結果，Mov.5とつじつまが合ってい

Fig.11 DWDD媒体における磁壁移動速度(αeff =10 / Ms)

Fig.12 規格化磁界と損失定数(α_eff =10 / M_s)

 Fig.13のα_eff =30 / M_sの場合，すなわち制動がさらに少し大きくなった場合を考えると，平均の磁

壁移動速度がやや遅くなっている．

 Fig.14より，やはり，h>1であり，かつ，h>>1/α_effである．磁壁移動の初期段階ですでにα_eff =1

となっている．αeff =1ではあるが H が小さいので，Fig.14では磁壁移動速度はピークをほとんど示 さない．

Fig.13 DWDD媒体における磁壁移動速度(αeff =30 / Ms)

Fig.14 規格化磁界と損失定数(α_eff =30 / M_s)

 最後に，Fig.15のα_eff =100 / M_sの場合，すなわち制動がかなり大きい場合を考えると，平均の磁壁 移動速度がかなり遅くなる．

 Fig.16より，必ずしもh>1ではなく，かつα_eff >>1である．この場合には，α_eff >>1なので常にV

が小さく，結局，平均の磁壁移動速度が遅くなる．これは，Mov.3，Fig.1(α =10)に相当し，歳差運 動をほとんどせず，磁化が緩やかに倒れていくと考えられる．

 以上の結果は，マイクロマグネティックシミュレーションの結果，Mov.6とつじつまが合ってい

Fig.15 DWDD媒体における磁壁移動速度(α_eff =100 / M_s)

Fig.16 規格化磁界と損失定数(αeff =100 / Ms)

 Fig.7とFig.15はどちらも平均の磁壁移動速度が遅いが，Fig.7では歳差運動が激しく磁化がなかなか

倒れていかないからであり，Fig.15では磁化がゆっくり倒れていくからで，磁壁の中の磁化の運動の振 る舞いは異なっている．

 このように，V が1/α_effでなくα_eff/ 1

(

+ α_eff2

)

に比例すること，α_effが1/ M_sに比例すること，V が H に比例すること， H が 1/ 2M

(

_s

)

∂ σ_d/∂ x で表わされることよって，V が複雑に変化する．

 さらに，磁壁移動速度が瞬間的に速くても無意味で，磁壁が最高温度点に到達するまでの時間が 問題になる．V が複雑に変化するので，平均の磁壁移動速度を近似解析式で予測するのは難しく，数 値的に求める方が良い．

 この意味において，αeff =10 / Msくらいがいいようであるが，αeff =3/ Msや，αeff =30 / Msでもあま り変わらない．  また，すでに Hwがかなり小さいので，これ以上 Hwを小さくしても，速度はあまり速くならないか もしれない．  Fig.3のマイクロマグネティックシミュレーションと，この近似解析式との比較をFigs.17, 18に示 す．大まかに言って，両者はよく一致しているので，近似解析式を用いることは可能である．  細かい点では，マイクロマグネティックシミュレーションの速度は振動的であるが，近似解析式 ではそれを表現できない．また，速度が最大になる時間は，近似解析式の方が0.5−1 n sec

[

]

位早いよ うであるが，原因は不明である．

 近似解析式では，浮遊磁界を考慮していないが， Msが小さいので，あまり影響しないのかもしれ ない． Fig.17 マイクロマグネティックシミュレーションと近似解析式の比較(1) Fig.18 マイクロマグネティックシミュレーションと近似解析式の比較(2) 8．実験結果  磁壁移動速度を実験的に求める一つの方法として，DWDD再生信号の立ち上がり時間の測定が考 えられる．ただし，この場合，電気系の立ち上がり時間が含まれるので，それを差し引く必要があ る．オシロスコープで測定した見かけの立ち上がり時間をτa，電気系の立ち上がり時間をτeとする と，真の立ち上がり時間τは， τ = τa 2 _−τ e 2 (97) より求めることができる．

M. Kaneko, T. Sakamoto and A. Nakaoki: "Study of Jitter in Domain Wall Displacement Detection" IEEE Trans. Magn. 35 (1999) 3112.

ているので，結局，平均の磁壁移動速度は28 m / sec

[

]

となる．なお，このときの媒体の移動速度は 1.5 m / sec

[

]

，トラックピッチは0.85

[ ]

µm である．

 ちなみに，磁壁移動距離を500 nm

[ ]

と仮定すると，平均の磁壁移動速度は40 m / sec

[

]

となる． 9．まとめ

 RE-TMフェリ磁性体の磁気回転比，損失定数は以下の式で表わされる．

γ1，γ2，λ1，λ2には温度変化がないと考えても，γeff，αeffは温度によって変化する．ただし，REが Gdの場合，γ_effは温度によって変わらない．αeffは Msの逆数の温度変化になる．

  K>>2π M_s2の場合，磁壁移動速度は以下のようになる．ここで，h=1はWalkerの限界である．

h>1でかつ，h>>1/α_effでは，V は H に比例し，α_eff =1のときV が最大になる．α_effが小さいと，磁 化が歳差運動を続け，磁壁がなかなか動いていかない．αeffが大きいと，歳差運動はしないが，磁化 が回転しにくく，やはり磁壁がなかなか動いていかない．

となる．αeffが小さい場合， Msが大きいと H との相互作用が大きくなり，駆動磁界 H の周りをいつ までも歳差運動を続け，磁化がなかなか H の方向を向かず，却ってV が遅くなる．一方，α_effが大き い場合， Msを大きくして H との相互作用を大きくすると，磁化が速やかに H の方向に向くため，V が速くなると解釈できる．  過去の文献によると，Gd-TMの場合， λeff γ =10 emu cm3       (98) 程度の値と考えられる．  DWDD方式では温度勾配による磁壁駆動磁界が大きく，磁壁の中の磁化の運動は単磁区構造の磁化の 運動に近いと考えられる．

 DWDDのfront processでは，ほぼh>1でかつ，h>>1/αeffが成り立っている．従って，

V= αeff 1+αeff 2 γ ∆0H (99) が成り立つ．αeff =1のとき最大となるので，αeff =1でかつ， H が大きいほどV が速くなる．  磁壁移動にともない温度が変化するが，γ に温度変化はなく，∆₀もほとんど温度変化がない．し かし， αeff = λeff γ M_s (100) H= 1 2M_s ∂ σd ∂ x (101) であるので，αeff， H には温度変化がある．従って，αeff =1でかつ， H を大きいままに維持すること はできない．  平均の磁壁移動速度は，(99)式をfront processに対して平均化することによって求めることがで きるが，それを解析的に表現するのは難しく，結局，数値的に求め比較するしかないと考えられる．  平均の移動速度を速くするための指針は，αeff =1でかつ， H を大きいままに維持することである．  現状のDWDD媒体では，α_eff = λ_eff/γ M_s =10 / M_sくらいで磁壁移動速度がもっとも速くなり，媒体 の移動速度3 m / sec

[

]

に対して，平均の磁壁移動速度はおよそ50 m / sec

[

]

となる．α_eff =3/ M_sや，

αeff =30 / Msでもあまり変わらない．実験結果は，媒体の移動速度1.5 m / sec

[

]

に対して，平均の磁壁 移動速度はおよそ28 m / sec

[

]

と報告されている．

 また，すでに磁壁抗磁力 H_wがかなり小さいので，これ以上 H_wを小さくしても，速度はあまり速く ならないかもしれない．