誘導表現と JACQUET 加群. 中村 健太郎* Abstract. 本稿では, まず, 誘導関手の随伴関手となる Jacquet 関手の (一般の 状況で成り立つ) 基本性質について解説する. 次に, 本稿以降 ([阿部], [佐藤]) で用 いられる幾何的補題 ([BeZe]2.12) と呼ばれる定理について解説する. Contents 1. Jacquet 関手 1 2. 幾何的補題 4
2.1. Key lemmas on G-equivariant l-sheef 4
2.2. 幾何的補題 6 References 10 本稿では Hausdorff 完全不連結局所コンパクト群のことを, l 群と呼ぶ. l 群 G に対 し, G の smooth 表現の圏を R(G) と記す. δG : G→ R×+を G のモジュラス指標 (つま り, 左普遍測度 µGを一つ固定したとき, 等号 ∫ Gf (xg)µG(x) = δG(g) ∫ Gf (x)µG(x) で定義される指標) とする. G の閉部分群 H に対して, δG/H : H → R×+ : h 7→ δG(h)δH(h)−1と定める. l 群 N がコンパクト部分群による極限 (limit of compact subgroups) とは, 任意のコンパクト部分集合 K0 ⊆ N に対して, K0を含む N のコ ンパクト部分群が存在することと定義する. 1. Jacquet 関手 G を l 群とする. G の閉部分群 Q で, Q の正規部分群 N と閉部分群 L があり, Q = L⋉ N(半直積) となっているものとする. さらに, N はコンパクト部分群の 極限であると仮定する. ψ : N → C×を連続指標で, 任意の n ∈ N, l ∈ Q に対し て ψ(lnl−1) = ψ(n) を満たすものとする. N に関する仮定から ψ(N ) ⊆ C1 :={z ∈ C×||z| = 1} である, 特に ψ(n) = ψ(n)−1であることに注意. 以上の設定で, R(G) から R(L) への関手 rG Q,ψ : R(G) → R(L) を以下のように 定義する. π = (π, V ) を G の smooth 表現とする. まず, V の部分C-ベクトル空間 V (N, ψ) を V (N, ψ) :={π(n)v − ψ(n)v|n ∈ N, v ∈ V }C *北海道大学理学研究院数学部門. e-mail:[email protected]
と定義する (ここで, 部分集合 S ⊆ V に対し, SCを S で生成される V の部分C-ベ クトル空間と記す). l∈ Q に対して, ψ(n) = ψ(lnl−1) なので等号 π(l)(π(n)v− ψ(n)v) = π(lnl−1)(π(l)v)− ψ(lnl−1)(π(l)v) が成り立つ. 特に, V (N, ψ) は Q の作用で閉じている. VQ,ψ := V /V (N, ψ) とし, 自 然な商写像を jQ,ψ : V → VQ,ψと記す. Definition 1.1. R(G) から R(L) への関手 rQ,ψG : R(G)→ R(L) : π = (π, V ) 7→ rQ,ψG (π) = (πQ,ψ, VQ,ψ) を πQ,ψ(l)· jQ,ψ(v) := δ 1/2 G/Q(l)· jQ,ψ(π(l)· v) (l ∈ L, v ∈ V ) と定める. 本稿では, 関手 rQ,ψG を Jacquet 関手, rGQ,ψ(π) を π の Jacquet 加群 (または, (Q = L⋉ N, ψ) を明らかにしたいときは, (Q = L ⋉ N, ψ) に関する Jacquet 加群) と呼ぶ. 本稿では, Jacquet 加群について一般的な状況で (つまり, 一般の l 群 G に対して) 成り立つ基本性質に関するいくつかの命題を紹介する. まずは, Jacquet 関手の合成に関する命題を紹介する. l 群 G, Q = L⋉ N, 指標 ψ を上と同様とする. R = M ⋉ U を L の閉部分群, U はコンパクト部分群の極限と し, χ : U → C×を χ(mum−1) = χ(u) (u∈ R, u ∈ U) を満たす指標とする. これか ら, 関手 rR,χL : R(L)→ R(M) を定義することが出来る. さらに, R と N で生成される部分群 RN = (M⋉U)⋉N = M ⋉ (U ⋉ N) を考えると, U ⋉ N はコンパクト部分群の極限となり, 写像 χ⊠ ψ : U ⋉ N → C×: (u, n)7→ χ(u) · ψ(n) を定義すれば, 条件 ψ(lnl−1) = ψ(n) (l ∈ L, n ∈ N) より, この写像は指標となる. よって, 関手 rRN,χG ⊠ψ : R(G)→ R(M) を定義することが出来る. Proposition 1.2. 上の状況で, R(G) から R(M ) への関手の自然な同型 rRN,χG ⊠ψ → r∼ LR,χ◦ rQ,ψG が存在する. Proof. π = (π, V )∈ R(G) に対して, 写像 VRN,χ⊠ψ → (VQ,ψ)R,χ: jRN,χ⊠ψ(v)7→ jR,χ(jQ,ψ(v)) が well-defined で, M の表現として同型となることを示せばよい. これは定義から 容易に従う. □ 2
l 群 N の smooth 表現 π = (π, V ) と指標 ψ : N → C×に対して, 同様にC ベクト ル空間 V (N, ψ) ={π(n) · v − ψ(n) · v|n ∈ N, v ∈ V }Cと定義する. Lemma 1.3. N はコンパクト群の極限とする. このとき, v ∈ V に関して次の条 件は同値. (i) v ∈ V (N, ψ). (ii) ある N のコンパクト部分群 K が存在して, ∫ K ψ(n)· π(n) · v · dK(n) = 0 となる (ここで, ψ(n) は ψ(n) の複素共役, ψ(n)∈ C×より ψ(n) = ψ(n)−1 となっている). Proof. まず, N の表現 π⊗ψ−1 := (π⊗ψ−1, V⊗ψ−1) を, V⊗ψ−1 := V , (π⊗ψ−1)(n)· v := ψ−1(n)· π(n) · v (n ∈ N, v ∈ V ) と定義すると, V (N, ψ) = (V ⊗ ψ−1)(N, 1) (ここで, 1 : N → C×は自明な指標) となるので, ψ = 1 の場合を示せばよい. そこで以下, ψ = 1 とする. N の任意のコンパクト部分群 K に対して, V (K) :={π(k)v − v|k ∈ K, v ∈ V }C と定義すると, N がコンパクト部分群の極限であるという仮定により, 等式 V (N, 1) =∪K⊆NV (K) (ここで, K は N のコンパクト部分群全体を動く) が成り立つ. この等式と等式 V (K) ={v ∈ V | ∫ K π(k)vdK(k) = 0}C ([高瀬]) から補題が従う. □ Proposition 1.4. 関手 rG Q,ψ : R(G)→ R(M) は完全関手である. Proof. rG Q,ψの定義と蛇の補題 (snake lemma) により, 関手 π = (π, V ) 7→ V (N, ψ) が完全であることを示せばよい. この完全性は前補題から容易に従う. □ 次に, Jacquet 関手と誘導表現との関係について解説する. π = (π, V )∈ R(L) に 対して, Q = L⋉N の表現 π⊠ψ = (π⊠ψ, V ) を (π⊠ψ)(l, n)·v := ψ(n)π(l)v によっ て定義する (条件 ψ(lnl−1) = ψ(n) よりこれは Q の表現となる). π = (π, V )∈ R(Q) と指標 δ : Q → C×に対して, δ· π := (δ · π, V ) ∈ R(Q) を (δ · π)(l)v := δ(l)π(l)v と定義する. Definition 1.5. R(L) から R(G) への二つの関手 IQ,ψG , ιGQ,ψ : R(G)→ R(L) を, π ∈ R(L) に対して, IQ,ψG (π) := IndGQ(δ−1/2G/Q · π ⊠ ψ), ιGQ,ψ(π) := indGQ(δ−1/2G/Q · π ⊠ ψ)
を対応させる関手と定義する. Proposition 1.6. 関手 rG Q,ψ は関手 IQ,ψG の左随伴関手である. つまり, 任意の π = (π, V )∈ R(G), τ = (τ, W ) ∈ R(L) に対して, 関手的な同型 HomG(π, IQ,ψG (τ )) ∼ → HomL(rQ,ψG (π), τ ) が存在する. Proof. G-加群の射 φ : π → IG Q,ψ(τ ) に対して, L-加群の射 Fφ : rQ,ψG → τ を Fφ(jQ,ψ(v)) := φ(v)(eG) (v ∈ V ) と定義すれば (ここで, eG ∈ G は G の単位元), この射が well-defined であり, 同型 HomG(π, IQ,ψG (τ )) ∼ → HomL(rGQ,ψ(π), τ ) を与えることを容易に示すことが出来る. □ 2. 幾何的補題 G を l 群とする. 前章では G の閉部分群 Q = L⋉ N と指標 ψ : N → C×で前章 の仮定を満たす組 (Q, ψ) に対して Jacquet 関手 rG Q,ψを定義した. この章では, 同じ 仮定を満たす G の閉部分群 R = M ⋉ U と指標 χ : U → C×の組 (R, χ) がもう一 組あったときに, 合成関手 (誘導関手をとってから Jacquet 関手をとったもの) R(M ) ι G M,χ −−→ R(G) rGQ,ψ −−→ R(L) を逆の順序の合成関手 (Jacquet 関手をとってから誘導関手をとったもの) によって 具体的に記述する幾何的補題 (geometric lemma [BeZe] 2.12) と呼ばれる定理 (補 題?) を紹介する. この定理は, [阿部], [佐藤] の稿で用いられる重要な定理であるが, 定理の証明の議論 ([高瀬] で解説している l 層の理論を用いる) は本稿以降の内容と はあまり関係ないように思われる. そこで, 初見の読者は, 証明を飛ばして定理の 主張を理解するのみにとどめて, [阿部], [佐藤] の稿で実際にこの定理がどのような 状況で用いられているかを理解した後に (証明が気になる人がいれば) 証明の部分 を読む, という風にした方が理解がスムースに得られるようになると思われる. 2.1. Key lemmas on G-equivariant l-sheef. 幾何的補題の証明では, [高瀬] で
解説している l-層の理論が必要となる. まず, この§2.1 では, 幾何的補題の証明で 用いる l-層に関するいくつかの補題を紹介する. X を l 空間 (完全不連結局所コンパクト Hausdorff 空間) とし, CX∞を X 上の複 素数値 smooth 関数のなすC-代数の層とする. X 上の l-層とは C∞ X-加群のことで あった. X 上の l-層L に対して, X 上コンパクト台を持つ切断のなす部分空間を Γc(X,L) := {s ∈ Γ(X, L)|supp(s) : compact} とおいたとき, 対応L 7→ Γc(X,L) は, X 上の l-層の圏から Cc∞(X)· L = L となる Cc∞(X)-加群 L たちからなる圏への圏同値を与えていた. h : Y → X を l 空間の間の射, L を Y 上の l-層とする. このとき, Cc∞(Y )-加群 Γc(Y,L) は C∞(Y )-加群でもあるが, h により誘導される環準同型 h∗ : Cc∞(X) → C∞(Y ) を用いて (h が固有射, つまり X の任意のコンパクト部分集合 K に対して 4
h−1(K) がコンパクトという性質を持たない場合は, h∗(Cc∞(X)) ⊆ Cc∞(Y ) となら ないことに注意), Γc(Y,L) に Cc∞(X)-加群の構造を
f · s := h∗(f )· s
(f ∈ Cc∞(X), s∈ Γc(Y,L)) によって定義する. これは, Cc∞(X)·Γc(Y,L) = Γc(Y,L)
を満たすことが容易に分かる. そこで, 前段の圏同値により対応する X 上の l-層が 存在するが, 本稿ではそれを記号で h!L と表す (つまり, h!L は Cc∞(X)-加群として Γc(X, h!L) = Γc(Y,L) となる唯一の X 上の l-層). h が固有射の場合は h!L = h∗L となる. Y ⊆ X を l 空間 X の開集合, Z := X \ Y とし, 自然な埋め込みを j : Y ,→ X, i : Z ,→ X と記す. X 上の l-層 L に対して Cc∞(X)-加群の自然な完全列 0→ Γc(Y, j∗L) → Γc(X,L) → Γc(Z, i∗L) → 0 が存在するが, これより対応する X 上の l-層の完全列 0→ j!j∗L → L → i∗i∗L → 0 を得る. N を l 群でコンパクト群の極限となるもの, ψ : N → C×を smooth 指標. X を l 空間とし, X への N の連続作用 X × N → X : (x, n) 7→ x · n が与えられていると する. L を X 上の N-同変 l-層とする. 以上の状況で, 次の二つの Key lemma を紹介する. まず, f : X → Y を l-空間の間の射で, 任意の n ∈ N, x ∈ X に対して f(x · n) = f (x) を満たすものとする. このとき, Cc∞(Y )-加群かつ smooth N -加群である Γc(X,L) の部分空間Γc(X,L)(N, ψ)と商空間Γc(X,L)N,ψ := Γc(X,L)/Γc(X,L)(N, ψ) も Cc∞(Y )-加群となる. そこで, Cc∞(Y )-加群 Γc(X,L)(N, ψ) と Γc(X,L)N,ψ に対応 する Y 上の l-層をそれぞれL(N, ψ), LN,ψと記す. 最初の Key lemma は, l-層LN,ψ の茎に関するものである. Lemma 2.1. 各 y ∈ Y に対して, 自然な同型 (LN,ψ)y → Γ∼ c(h−1(y),L|h−1(y))N,ψ が存在する. Proof. 茎を取る関手は完全なので, Cc∞(Y )-加群の完全列 0→ Γc(X,L)(N, ψ) → Γc(X,L) → Γc(X,L)N,ψ → 0 により, 完全列 0→ (L(N, ψ))y → (h!L)y → (LN,ψ)y → 0 を得る. l-層の一般論により, 自然な同型 (h!L)y → Γ(h∼ −1(y),L|h−1(y)) が存在する が, この同型による同一視により (L(N, ψ))y = Γ(h−1(y),L|h−1(y))(N, ψ) であるこ とも容易に分かる. これより補題は従う. □
次に, N が X へ推移的に作用している場合に, Γc(X,L)N,ψ に関する補題を紹介 する. x ∈ X に対して, Nx := {n ∈ N|x · n = x} とする. x での茎 Lxは smooth Nx-加群となることに注意. Lemma 2.2. N の X への作用が推移的とする. このとき, 各 x∈ X に対して, (R×+ 倍を除いて自然な) 同型 Γc(X,L)N,ψ → (L∼ x)Nx,ψ が存在する. Proof. 自然な商写像を jNx,ψ :Lx→ (Lx)Nx,ψと記す. N のL への作用は, 各 n ∈ N, x′ ∈ X に対して同型 Lx′·n → L∼ x′ : a7→ n · a を誘導する. この記号を用いて, まずは, Γc(X,L) から (Lx)Nx,ψへの射を Γc(X,L) → (Lx)Nx,ψ : φ7→ ∫ Nx\N ψ(n)· jNxψ(n· φ(x · n))dNx\N(¯n) と定義する (ここで, n ∈ N は Nx \ N ∋ ¯n の任意の持ち上げとする. 被積分関数 に現れている関数 N → C : ¯n 7→ ψ(n) · jNxψ(n · φ(x · n)) は, 各 n0 ∈ Nx に対し て, 等式 ψ(n0n)· jNxψ(n0n· φ(x · n0n)) = ψ(n0)ψ(n)(ψ(n0)jNx,ψ(n· φ(x · n))) = ψ(n)jNx,ψ(n· φ(x · n)) が成り立つので, Nx\ N 上の関数であることに注意). この 射は, Γc(X,L)(N, ψ) 上ゼロで, 同型 Γc(X,L)N,ψ → (L∼ x)Nx,ψ を誘導する (詳細は略, 証明は難しくない). □ 2.2. 幾何的補題. l 群 G の二つの閉部分群 Q = L⋉ N, R = M ⋉ U と, Q 及び R の共役作用でそれぞれ不変な指標 ψ : N → C×, χ : U → C×を考える. N, U はコ ンパクト群の極限とする. g ∈ G と G の閉部分群 H に対して, gH := gHg−1, Hg := g−1Hg と記し, π = (π, V ) ∈ R(H) に対して, gπ := (gπ, V ) ∈ R(gH) をgπ(h)v := π(g−1hg)v (h ∈ gH, v ∈ V ) と定義する. πg ∈ R(Hg) も同様に定義. 本節では, 次の仮定 (1), (2), (3) の下で合成関手 R(M ) ι G R,ψ −−→ R(G) rGQ,ψ −−→ R(L) を記述する幾何的補題を紹介する. (1) 両側剰余類の集合 R\G/Qは有限集合, つまり, あるr ∈ Z≧1,{g1, g2,· · · gr} ⊆ G が存在し, G = ⊔ri=1Rg−1i Q と書ける (以下, このような{g1, g2,· · · gr} を固定する). 6
(2) 各 1≦ i ≦ r, H = R, M, U に対して, giH∩ Q = (giH∩ L) ⋉ (giH∩ U) が成立する. 同様に, H = Q, L, N に対して, Hgi ∩ R = (Hgi ∩ M) ⋉ (Hgi ∩ U) が成立する (これらはそれぞれ, H∩Qgi = (H∩Lgi)⋉(H ∩Ugi), H∩giR = (H ∩giM )⋉ (H ∩giU ) と同値である). (3) 共通部分で ψ と χ の共役は等しい. つまり, 各 1≦ i ≦ r に対して, giχ| giU∩N = ψ|giU∩N が成り立つ. 仮定 (2) によって, L の閉部分群 L∩giR = (L∩giM )⋉ (L ∩giU ) と指標giχ : L∩giU → C×に対して, 関手 ιLL∩giR,giχ : R(L∩giM )→ R(L) が定義できる. 同様に M の閉部分群 M ∩ Qgi = (M ∩ Lgi)⋉ (M ∩ Ngi) と指標 ψgi : M∩ Ngi → C×により関手 rMM∩Qgi,ψgi : R(M )→ R(M ∩ Lgi) を得る. 以上の準備の下, 合成関手 R(M ) ι G R,ψ −−→ R(G) rQ,ψG −−→ R(L) に関する次の定理を紹 介する. Theorem 2.3. (幾何的補題 [BeZe]2.12) (1) {gi}ri=1の番号付けを適当に変えることで, 各 1≦ j ≦ r に対して, ⊔j i=1Rgi−1Q が G の開集合となるようにできる. (2) ((1) を満たす番号付けを固定したとき) π∈ R(M) に関して関手的な, rG Q,ψ◦ ιG R,χ(π) の部分 smooth L 加群によるフィルトレイション 0 =:F0(π) ⊆ F1(π) ⊆ F2(π)⊆ · · · ⊆ Fr(π) := rQ,ψG ◦ ι G R,χ(π) で, 各 1≦ i ≦ r に対して, griF•(π)(:=Fi(π)/Fi−1(π)) → ι∼ LgiR∩L,giχ(δ 1/2 N/(giM∩N)· gi(δ1/2 U/(U∩Lgi)· r M M∩Qgi,ψgi(π))) となる (つまり, 関手 griF• : R(M )→ R(L) は合成関手 R(L) δU/(U1/2 ∩Lgi )·rM M∩Qgi ,ψgi −−−−−−−−−−−−−→ R(M ∩ Lgi) δN/(gi M1/2 ∩N)·gi(−) −−−−−−−−−−→ R(giM ∩ L) ιL gi R∩L,gi χ −−−−−−→ R(L) と同型である) ものが存在する.
Proof. まず (1) の証明について. l 空間の一般論により, 「l 空間 X に l 群 H が連続 に（左から）作用していて剰余類の集合は有限 X =⊔r i=1H· xiとなるとき, ある i が存在して Hxiが X の開集合となる」ことが知られている. この事実を, X = G, H = R× Q, H の X への作用を (m, l) · g := mgl−1 (m∈ R, l ∈ Q, g ∈ G) とした 場合へ適用することで, Rg−1i Q は G の開集合となる giを選ぶことが出来る. 番号 付けを変えて gi = g1とする. 次に, X′ =⊔ri=2Rgi−1Q , H = R× Q に上の事実を適 用することで, (番号付けを変えて) Rg2−1Q が⊔r i=2Rgi−1Q の開集合とできる. この とき, 補集合⊔r
i=3Rg−1i Q は⊔ri=2Rg−1i Q の閉集合で, さらに, ⊔ri=2Rg−1i Q は G の閉
集合なので, ⊔r i=3Rg−1i Q も G の閉集合, よって⊔ 2 i=1Rg−1i Q は G の開集合となる. 以下, 帰納的にこの議論を繰り返すことで (1) の主張を得る. 次に (2) を証明する. まず, l-層と誘導表現の関係 ([高瀬]) により, (π∈ R(M) に 対して) ιG R,χ(π) = ind G R(δ−1/2G/R · π ⊠ χ) に対して, R \ G 上の G 同変 l-層 L で, R-加 群として L[R] → δ∼ −1/2G/R · π ⊠ χ で (ここで, g ∈ G に対して (R \ G ∋)[Rg] を g の定める剰余類とする), G-加群と して Γc(R\ G, L)→ ι∼ GR,χ(π) となるものが存在する. ここで (1) の空間の分割を用いて, Γc(R\ G, L) のフィル トレイション 0⊆ Γc(R\Rg1−1Q,L) ⊆ Γc(R\⊔2i=1Rgi−1Q,L) ⊆ · · · ⊆ Γc(R\⊔i=1r−1Rgi−1Q,L) ⊆ Γc(R\G, L) を得る. ここで, R\⊔j i=1Rg−1i Q は Q の作用で閉じているので, このフィルトレイショ ンは部分 smooth Q 加群によるものである. これに完全関手 rG Q,ψ : R(Q) → R(L) を施し,Fj(π) := rGQ,ψ(Γc(R\ ⊔i=1j Rgi−1Q,L) とおけば, rQ,ψG ◦ ιGR,χ(π) の部分 L 加群 によるフィルトレイション 0 =:F0(π)⊆ F1(π)⊆ · · · ⊆ Fr(π) := rGQ,ψ◦ ι G R,χ(π) を得る. 構成により, この定義は明らかに π に関して関手的である. よって, あと はこのフィルトレイションの次数 i 成分が (2) の条件を満たすことを示せばよい. まず, Γc(−, L) の性質と rQ,ψG の完全性により, smooth L-加群としての同型 griF•(π)→ r∼ Q,ψG (Γc(R\ Rgi−1Q,L)) を得る. よってあとは, smooth L 加群の同型 rQ,ψG (Γc(R\ Rg−1i Q,L)) ∼ → ιL giR∩L,giχ(δ 1/2 N/(giM∩N)· gi(δ1/2 U/(U∩Lgi)· r M M∩Qgi,ψgi(π))) を示せばよい. ここでは, 簡単のため両辺の表現空間が同型となることのみを示す (L 加群とし て同型となることも, この証明から容易に分かる). まず, 左辺の表現空間は Γc(R\ Rg−1i Q,L)N,ψである. 両辺の Q-作用と両立する 位相同型 (giR∩ Q) \ Q→ R \ Rg∼ −1 i Q : [( giR∩ Q)g] 7→ [Qg−1 i g] 8
から同型 Γc(R\ Rg−1i Q,L)N,ψ → Γ∼ c((giR∩ Q) \ Q, L)N,ψ を得る. ここで, 自然な射影 (giR∩ Q) \ Q → (giR∩ Q) \ Q/N と L-作用と両立する位相同型 (giR∩ Q) \ Q/N = (giR∩ Q)N \ Q = ((giR∩ L) ⋉ (giR∩ N))N \ (L ⋉ N) = ((giR∩ L) ⋉ N) \ (L ⋉ N)→ (∼ giR∩ L) \ L (ここで, 最後の同相写像は [((giR∩ L) ⋉ N)(l, n)] 7→ [(giR∩ L)l] で定義されるも のとする) の合成を hi : (giR∩ Q) \ Q → (giR∩ L) \ L とおき, Li :=L|(giR∩Q)\Qとすると, Lemma 2.1 の前段の記号を用いて Γc(R\ Rgi−1Q,L)N,ψ = Γc((giR∩ L) \ L, (Li)N,ψ) となる. (Li)N,ψは等質空間 (giR∩ L) \ L 上の L 同変 l-層なので, 高瀬氏の稿より, L 加群としての同型 Γc((giR∩ L) \ L, (Li)N,ψ)→ ind∼ (LgiR∩L)(((Li)N,ψ)[giR∩L]) が存在する. ここで, hiは Lemma 2.1 の条件を満たすので, Lemma 2.1 より同型 ((Li)N,ψ)[giR∩L]→ Γ∼ c(h−1i ([ giR∩ L]), L i|h−1i (giR∩L))N,ψ が存在する. h−1i (giR∩ L) = (giR∩ L) \ (giR∩ L) ⋉ N であり, これは上の位相同 型 (giR∩ Q) \ Q→ R \ Rg∼ −1 i Q で移すと R\ Rg−1i N である. よって, 同型 ((Li)N,ψ)[giR∩L] → Γ∼ c(R\ gi−1N,L|R\Rg−1i N)N,ψ を得る. N は R\ Rg−1 i N に推移的に作用していて, 点 [Rg−1i ] での固定化部分群は giR∩ N であるから, Lemma 2.2 より同型 Γc(R\ g−1i N,L|R\Rgi−1N)N,ψ → (L∼ [Rgi−1])giR∩N,ψ を得る. また, giR-加群の同型 L[Rgi−1] ∼ →gi(L [R])→∼ gi(δG/R−1/2· π ⊠ χ) がある. 以上の同型を合わせて, L-加群の同型 rGQ,ψ(Γc(R\ Rg−1i Q,L)) ∼ → δ1/2 G/Q· ind L giR∩L(gi(δ−1/2G/R · π ⊠ χ)giR∩N,ψ) を得る. 最後に, この右辺は ιL giR∩L,giχ(δ 1/2 N/(giM∩N)· gi(δ1/2 U/(U∩Lgi)· r M M∩Qgi,ψgi(π))) と 同型になることが容易にチェックでき, 定理の証明が終わる. □
References
[BeZe] I.N.Bernstein and A.V.Zelevinsky, Induced representations of reductive p-adic groups. I, Ann. Sci. ´Ecole Norm. Sup. (4) 10 (1977), no. 4, 441-472.
[阿部] 阿部紀行, ミラボリック部分群の表現論と誘導表現の既約性・可約性, 本報告集. [高瀬] 高瀬幸一, 完全非連結群の基礎, 本報告集.
[佐藤] 佐藤信夫, GLn(F ) の放物型誘導表現, 本報告集.
