第３学年○組 数学科学習指導案 １ 単元名 「二次方程式」 ２ 指導観 ○ 方程式は物理学の領域で利用されるなど，私たちの身のまわりの事象における問題解決に広く利用 されている。これは，文字や文字式を用いることによって，数量やその関係を簡潔・明瞭に，しかも 一般的に表現することができ，目的に合うように形式的に処理することができるからだと考えられる。 また、二次方程式を利用することで解決が容易になる場合がある。例えば、三平方の定理を用いて長 さを求める際には，一元一次方程式や連立二元一次方程式では解決できなかったものも，数の範囲を 無理数まで拡張し、二次方程式を利用することで解決可能になる。さらに、二次方程式は，式の展開 や因数分解，平方根など，「数と式」領域における総仕上げとして位置づけられている。 学習内容としては，「二次方程式の必要性と意味」，「二次方程式を解くこと」，「解の公式」，「具体的 な場面での二次方程式の活用」がある。これらの学習内容について，自分の考えを他者に伝えたり， 他者の考えから自分の考えを深めたりすることで，二次方程式の解き方の理解を深め定着させる。 本単元では，既習事項を用いて二次方程式の解法を導いたり，様々な場面で活用したりすることで， 数学的な見方や考え方を身につけるとともに，より高度な数式の処理を行うことができるので、たい へん意義深い。 ○ 本学級の生徒は，４月に行われた標準学力分析調査において，数量や図形などについての知識・理 解に関する問題の正答率が○％，数学的な技能に関する問題の正答率が○％であった。これに対し， 数学的な見方や考え方に関する問題の正答率は○％であった。また，前期中間考査における見方や考 え方に関する問題の正答率は○％と，既習事項を活用して問題を解決することが苦手な生徒が多い。 そこで，文章問題等における問題解決の際に交流活動を取り入れ，様々な考えを出し合い，共有させ ることで，自分の考えを広げたり、深めたりする。 ○ 指導にあたっては，まず，これまで学習した一元一次方程式や連立方程式と比較しながら，二次方 程式とその解の意味を理解させる。次に，因数分解による解き方や平方根の考えを使った解き方を理 解させる。ここでは，因数分解や乗法の公式について復習し，因数分解によって簡単に二次方程式が 解けるものがあることを理解させるとともに，平方根の意味を復習する。さらに，係数が具体的な数 で表されている二次方程式を平方の形に変形して解かせ，それを一般化して，解の公式を導かせる。 ここでは，先に具体的な数で二次方程式を解くことにより，それを参考にして，一般化をしやすくさ せ，解の公式が導かれる過程を理解させる。最後に，二次方程式を具体的な場面で活用できるように させる。ここでは，式をつくる段階の指導に重点をおき，方程式を使って問題を解く手順を確認して いく。 ３ 目標 ○ 二次方程式を使うよさに気づき、進んで活用しようとしている。 (関心・意欲・態度) ○ 具体的な事象の中の数量の関係をとらえ，二次方程式をつくり，その解を求めるとともに，解や解 決の方法が適切であったかどうか振り返って考察することができる。 (見方や考え方) ○ 因数分解したり、平方の形に変形したりして二次方程式を解くことができる。(技能) ○ 二次方程式とその解の意味，解き方や問題を解決する手順を理解している。 (知識・理解)
４ 単元計画(13 時間) 段 階 配 時 主な学習活動・内容 指導上の留意点 評価規準・評価方法 導 入 展 開 終 末 １ ２ ２ ２ １ ３ ２ １ 二次方程式とその解の意味を 理解する。 ・二次方程式やその解，二次方程 式を解く意味 ２ 因数分解を利用した二次方程 式の解法を理解する。 ・(xa)(xb)0の意味,解き方 ・解が１つになる二次方程式 ３ 平方根の考え方を利用した二 次方程式を理解する。 ・ 2
c
0
ax
の解き方 ・(x △)2
○の解き方 ・x
2
bx
c
0
の解き方 ４ 解の公式を導く。 ・ax
2
bx
c
0
のとき，a
ac
b
b
x
2
4
2
５ いろいろな二次方程式を解 く。 ・様々な二次方程式の解き方 ６ 二次方程式を活用して，問題 を解く。 ・具体的な事象の数量関係を二次 方程式に表し，それを解いて，問 題を解決することができる。 ７ 章末問題を解く。 ○xにいろいろな数を代入 し，等式が成り立つか成り 立たないかを判定する活動 を多く経験させ，第１，２ 学年の学習を想起させる。 ○ (xa)(xb)0 の b a, に様々な数をあてはめ てx
a
0
,x
b
0
とな るとき二次方程式が成り立 つことをとらえさせる。 ○平方して9 や 5 になる数 を考えさせ，x
2
9
の解や5
)
2
(
x
2
などの解を考 えさせる。 ○二次方程式を平方の形に 変形した前時の学習を振り かえらせる。 ○途中式を丁寧にかくよう に指導する。 ○解の吟味をしていない生 徒に対しては，方程式の解 が問題の答えとして不適切 な場合があることに気づか せる。 ○二次方程式とその解の意 味を理解している。【知】 ○二次方程式の解き方に関 心 を も ち,解こうとする。 【関】 ○因数分解を使って，簡単 な二次方程式を解くことが できる。【技】 ○平方根の考え方を使って0
2 c
ax
，(x △)2
○ の形の方程式を解くことが できる。【技】 ○解の公式を使って2 次方 程式を解くことができる。 【技】 ○乗法公式を使うなどして0
2
c
bx
ax
の 形に し てから二次方程式を解くこ とができる。【技】 ○具体的な事象の中の数量 の関係をとらえ，二次方程 式を使って解を求め，解決 の方法が適切であるかどう か振り返って考察すること ができる。【考】５ 本時 平成 29 年○月○日(○曜日) 第５校時 (１) 本時の目標 カエルの数と，跳ぶ回数の関係を調べる活動を通して，規則性を見いだしその関係を二次方程式 で表すことができる。 (２) 準備物 学習プリント カエル跳びゲーム用ピース (３) 展開 段 階 配 時 主な学習活動・内容 形 態 指導上の留意点 評価規準 導 入 展 開 10 10 20 １ 本時の問題を把握し，めあてを確認する。 ・カエル跳びゲームのルール ・１匹，２匹の時の跳ぶ回数 ・跳んだ回数が9800 回になるときのカエルの数 を調べること(本時の問題) ２ カエルの数と跳ぶ回数との規則性を見出す。 (１) カエルの数を増やして，跳ぶ回数を調べる。 ・3 匹，4 匹，…の時の跳んだ数 (２) カエルの数と跳んだ回数を表にまとめる。 ・カエルの数と跳ぶ回数をまとめた表 (３) カエルの数と跳ぶ回数との関係を表す。 ・表の横の関係 ・表の縦の関係 ３ 二次方程式をつくって問題を解決する。 (１) カエルの数をx匹として，二次方程式をつ くる。 ・x(x2)9800 (２) 方程式を解いて，その解を吟味する。 ・二次方程式の解き方 ・解の吟味 個 個 個 ↓ 小 集 団 ○ カエ ル跳 びゲ ームの ル ール を把 握さ せるた めに，1 匹，2 匹の時の ゲームをさせる。 ○ 問題 を把 握さ せるた めに，ペアで問題の意味 を読み取らせる。 ○3 匹，4 匹，…を調べ させるために，ゲーム用 ボードで操作させる。 ○ 表に 着目 させ るため に「規則性を見やすくす るものは何か」と問う。 ○匹数×(匹数＋2)＝回 数に気づかせるために， 表 の縦 の関 係に 着目さ せる。 ○ 方程 式を つく らせる ために，問題の意味を表 を使って解釈させる。 ○x98,x100とい う 解を 求め させ るため に (x98)(x100)0 と 変形 でき るこ とを発 表させる。 ○
100
が不適であるこ とに気づかせるために， 答 えは ２つ ある のかど うかを問う。 カエルの数と引っ越し回数の関係を調べよう。終 末 10 ４ 本時の学習を振りかえる。 (１) わかったこと，できるようになったことを まとめる。 (２) 本時のまとめをつくる。 個 ○ 本時 の学 習を 振りか えらせるために，わかっ たこと，できるようにな ったことを記述させる。 ○ 本時 のま とめ をつく るために，意図的指名を する。 ○カエルの数と跳 んだ回数の関係を 調べることで二次 方程式が立てられ ることに気づき立 式することができ る。 【学習プリント】 カエルの数と跳んだ回数の関係を調べたことか ら，二次方程式をつくることができ，問題を解 決することができる。
