２．確率分布

２．確率分布

• 2.1

– 2.1.1 確率密度分布と累積分布関数 Probability Density Function /

– Cumulative Distribution Function

– 2.1.2 ベクトル量の確率密度分布 PDF of vector variables

• 2.2

– 2.2.1 離散的確率分布と連続的確率分布 Discrete / continuous PDF

•

Binominal distribution

•

Poisson distribution

•

Normal distribution

–

Normalization/standardization –

Central Limit theorem

•

Other distributions

– 2.2.2 統計量の分布 Statistical distributions

•

²

distribution

• Student’s-t分布 Student’s-t distribution

Probability density function for a random variable

度数分布

Histogram

確率変数と確率分布

2.1 確率変数と確率分布

札幌の日平均気温の時系列と度数分布（

1976-1997

度数分布 大気海洋変数の確率密度分布（２）

サインカーブとランダム分布の重ね合わせ 連続的確率密度分布

Probability density function for a random variable+sin

Daily mean temperature at Sapporo

Probability density function for a sinosoidal oscillation

-5 0 5 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

PDF (normalized aao index)

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

CDF (normalized aao index)

確率密度関数 累積分布関数

Probability Density Function Cumulative Distribution Function

1

確率

Probability

ベクトル量の確率密度分布

Wind roses （風配図）

Probability distribution of vectors

ベクトル量の確率密度分布

Wind roses （風配図）

Probability distribution of vectors

二項分布 Binominal distribution 2.2 重要な確率分布

離散的確率分布

E(B)=np

V(B)=np(1

p)

例題

Cayuga Lakeの凍結

p=0.045, n=10, x=1

次の10年間の間に一度だけ凍結する確率は？

10 C ₁

¹

^10-1 = 0.30

ポアソン分布 Poisson distribution

E(P)=

V(P)=

2.2 重要な確率分布

連続的確率分布

μ＝10

x p(x)

μ＝5μ＝6 μ＝4 μ＝3 μ＝2 μ＝1

実例実例 オホーツク海での海氷厚の頻度分布

Example: Sea ice thickness distribution in the Okhotsk Sea

氷厚の分布

氷厚の頻度分布

乗りあげ

ラフティング

μ： 平均乗り上げ回数

m⊿H:氷厚

m: 乗り上げ回数

氷厚m⊿Hの海氷のPDF

⊿Hの厚さを持つ氷盤の多数回の 乗り上げで説明できる

モデルの検証（1999年の例）

実況： 船舶観測（実線）と係留氷厚計

（破線）による氷厚分布

モデル： Hm=19.7cm,ΔH=5cmに対応 するポアッソン分布（一点鎖線）

Raftingの確率過程モデル N

p

Nが大きくpが小さいとき

pの分が乗り上げ

pの分が乗り上げ

平均乗り上げ4回

正規分布 Normal distribution

（Gaussian）

0.95 0.90

μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ

連続的確率分布

この位置は？

0.68

E(N)=

V(N)= σ

2.2 重要な確率分布

1.65

1.96

0.025x2=0.05 0.05x2=0.10

確率分布 上側⇔両側

Upper tail

Two tail

Z= X -μ

Standardized anomaly

平均

標準偏差

ZはN(0,1)分布に従う

正規化・標準化

Normalization/

Standardization

南方振動指数。太線は5か月移動平均値を示す。

http://www.data.kishou.go.jp/climate/elnino/faq/qa/sstsoi.html

SO index

タヒチ海面気圧標準化[A] ダーウィン海面気圧標準化[B]

[A]-[B]を標準化

A strongly negative SOI for several months indicates an El Nino event;

a strongly positive SOI for several months indicates a La Nina

実例実例 南方振動指数

ダーウィン タヒチ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Normalized aao index

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Normalized so index

SO index AAO index

例題 月平均気温の分布

マイアミの1月の平均気温は、平均値

19℃、標準偏差1.7℃の正規分布に従う。

• 1月の気温が15℃より低くなる確率を求

めよ。

• 1月の気温で、上位1パーセントに入る

気温は何℃になるか？

0.00939

2.33X1.7 + 19

=22.9

下側でも同じ

(15-19)/1.7

=-2.35

X ₁ ,X ₂ , … X _N

E(Xi)=μ, V(Xi)=σ ²

に従うとき、 十分おおきなnに対して

X= ∑X _i

は正規分布

N(μ,σ ² /n)

中心極限定理

Central Limit Theorem

E,Vさえあえば

なんでもよい！

Z= X -μ

標準誤差 標本平均 母平均

としたZの分布は、nを大きくするとともに 正規分布N(0,1

² )に近づく。

中心極限定理（Central Limit Theorem）

中心極限定理（Central Limit Theorem）

2.69/sqrt(15)=0.69 2.69/sqrt(5)=1.20

2.69/sqrt(10)=0.85

松山・谷本2005

その他の確率密度分布

対数正規分布？

χ ² 分布

のちにスペクトル推定で 自由度nに応じて形が異なる

→30以上で正規分布

平均

n

2n

2 degrees of freedom

2.2.2

n

n

Student ’ s-t分布

のちにコンポジット・回帰で 自由度nに応じて形が異なる

→30以上で正規分布 平均

0

分散

n/(n-2)

標準誤差で 割ったもの

n

n

まとめ

•

•

•

•

•

²

’ s t分布が導