令和２年度確率統計(竹内担当) 期末試験対策問題 Probability & Statistics (Prof. Takeuchi), 2020 Problem Examples for final Examination

令和２年度確率統計(竹内担当) 期末試験対策問題

Probability & Statistics (Prof. Takeuchi), 2020 Problem Examples for final Examination

【２】帰無仮説𝐻𝐻0と対立仮説𝐻𝐻1が、それぞれ以下で与えられる仮説検定の問題を考える。

Consider hypothesis testing with null hypothesis 𝐻𝐻0and alternative hypothesis 𝐻𝐻1, given by

（２）帰無仮説𝐻𝐻₀の下で対数尤度比𝑇𝑇(𝑋𝑋)が従う分布を述べよ。

Answer the distribution of the log likelihood ratio 𝑇𝑇(𝑋𝑋)under the null hypothesis 𝐻𝐻0.

（３）平均𝜇𝜇分散𝜎𝜎²の正規確率変数𝑌𝑌 ∼ 𝒩𝒩(𝜇𝜇,𝜎𝜎²)を標準正規確率変数𝑍𝑍 ∼ 𝒩𝒩(0, 1)を使って表せ。

Represent a normal random variable 𝑌𝑌with mean 𝜇𝜇and variance 𝜎𝜎²by using a standard normal random variable 𝑍𝑍.

（１）対数尤度比𝑇𝑇 𝑋𝑋 = log𝑝𝑝_𝑋𝑋 𝑋𝑋;𝜃𝜃₁ /𝑝𝑝_𝑋𝑋(𝑋𝑋;𝜃𝜃₀)を評価せよ。

Evaluate the log likelihood ratio 𝑇𝑇 𝑋𝑋 = log𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋;𝜃𝜃1/𝑝𝑝𝑋𝑋(𝑋𝑋;𝜃𝜃0).

𝐻𝐻0:𝑝𝑝𝑋𝑋 𝑥𝑥;𝜃𝜃0 = 1

2𝜋𝜋𝑒𝑒^{− 𝑥𝑥−𝜃𝜃0}

2

2 , 𝐻𝐻1:𝑝𝑝𝑋𝑋 𝑥𝑥;𝜃𝜃1 = 1

2𝜋𝜋𝑒𝑒^{− 𝑥𝑥−𝜃𝜃1}

2

2 , 𝜃𝜃0<𝜃𝜃1.

（４）有意水準𝛼𝛼に対する尤度比検定の棄却域ℛ= [𝑐𝑐,∞)を導出せよ。ただし、閾値𝑐𝑐は𝛼𝛼=𝑃𝑃(𝑇𝑇 𝑋𝑋 ≥ 𝑐𝑐|𝐻𝐻₀) を満たす。答えに𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≥ 𝑧𝑧 =𝛼𝛼を満たす定数𝑧𝑧を使ってよい。

Derive the rejection region ℛ= [𝑐𝑐,∞)of the likelihood ratio test with a significance level 𝛼𝛼, in which the threshold 𝑐𝑐satisfies 𝛼𝛼=𝑃𝑃(𝑇𝑇 𝑋𝑋 ≥ 𝑐𝑐|𝐻𝐻0). You can use a constant 𝑧𝑧satisfying 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≥ 𝑧𝑧 =𝛼𝛼in your answer.

【１】 𝑋𝑋_{𝑖𝑖 𝑖𝑖=1}^𝑛𝑛 を独立な確率変数列とし、各𝑋𝑋_𝑖𝑖は確率𝑝𝑝_𝑖𝑖 ∈(0, 1)で2を取り、確率1− 𝑝𝑝_𝑖𝑖で1を取るものとする。

Suppose that 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑖𝑖=1𝑛𝑛 are independent random variables, and that each 𝑋𝑋𝑖𝑖 takes 2with probability 𝑝𝑝𝑖𝑖∈(0, 1)and 1with probability 1− 𝑝𝑝𝑖𝑖.

（２）算術平均𝑌𝑌=𝑛𝑛⁻¹∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋_𝑖𝑖の平均𝔼𝔼[𝑌𝑌]を評価せよ。

Evaluate the mean 𝔼𝔼[𝑌𝑌]of the arithmetic average 𝑌𝑌=𝑛𝑛⁻¹∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖.

（３）算術平均𝑌𝑌の分散𝕍𝕍 𝑌𝑌 =𝔼𝔼 𝑌𝑌 − 𝔼𝔼 𝑌𝑌 ² が、以下で与えられることを証明せよ。

Prove that the variance 𝕍𝕍 𝑌𝑌 =𝔼𝔼 𝑌𝑌 − 𝔼𝔼 𝑌𝑌 ² of the arithmetic average 𝑌𝑌is given as follows:

𝕍𝕍 𝑌𝑌 = 1 𝑛𝑛²�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

𝕍𝕍[𝑋𝑋_𝑖𝑖] .

（１）𝑋𝑋_𝑖𝑖の平均𝔼𝔼[𝑋𝑋_𝑖𝑖]と分散𝕍𝕍 𝑋𝑋_𝑖𝑖 =𝔼𝔼 𝑋𝑋_𝑖𝑖² − 𝔼𝔼 𝑋𝑋_𝑖𝑖 ²を計算せよ。

Calculate the mean 𝔼𝔼[𝑋𝑋𝑖𝑖]and variance 𝕍𝕍 𝑋𝑋𝑖𝑖 =𝔼𝔼 𝑋𝑋_𝑖𝑖²− 𝔼𝔼 𝑋𝑋𝑖𝑖 2of 𝑋𝑋𝑖𝑖.