.
...
確率と確率分布
樋口さぶろお
龍谷大学理工学部数理情報学科
使える統計
! L07(2012-11-07 Wed)今日の目標
...
1
確率とデータの関係を説明できる
...
2
コインの表が
n回中
k回でる確率を求められる
.3..
確率分布の平均値
,分散
,標準偏差を求められる
http://hig3.net
回帰分析
Quiz
解答
:共分散と相関係数
共分散
C= 15[(2−4)(4−9) +· · ·] = 6.8.相関係数
r= 1.905.6×3.85 = 0.93.回帰係数
a= 0.931.90×3.85 = 1.88.よって回帰直線は
,y= 1.88(x−4) + 9.確率と確率分布
確率とデータ
.
実験の約束 (しばらくの. 今日の途中で変わります)
.....
サイコロの目
1,2,3⇝表
◦サイコロの目
4,5,6⇝裏
•と呼ぼう
.クラス全員がサイコロを
2回ふる
.表が出た回数は
0,1,2のいずれか
.‘
表が出た回数
k’という
1変量データ
(個数
=クラスの人数
)が作れる
.平 均値
,分散
,標準偏差も求められる
.学籍番号 回数
k· · · 0
· · · 2
· · · 2
· · · 1
... ...
確率と確率分布
実験するたびにこの分布は
変わる
.
平均値
,分散
,標準偏差
も
変わる
.
でも
,ある意味
‘予測可能
.’ ‘本当の
’分布 というものが ある
.なぜならデータを生成する仕組み
(=確率モデル
)が定まってるから
. .確率 (probability) とは ( 大胆に言えば )
..
...
(
回数が
kである確率
)=回数が
kであるデータの個数 データの個数
PA=(A
である確率
)= Aであるデータの個数
データの個数
A:事象
(event)確率と確率分布
確率分布
Pk=回数が
kである確率
毎回わかるものではなく
,サイコロ振りのルールから決まっている
.回数
k確率
Pk0 0.375
1 0.250
2 0.375
計
1.000−1 0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
ちょっと
度数分布表とヒストグラム
に似てる…
階級 度数
0 37
1 22
2 36
計
95確率と確率分布
.
Quiz(コイン 2 回) ..
...
表
,裏が出る
確率がそれぞれ
12,12のコインを
2回投げた
.表の出る回数
kの確率分布は
?−1 0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
−1 0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
−1 0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
−1 0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
確率と確率分布
確率の性質
.和事象のルール
..
...
0≤
確率
≤1.すべての事象
Aの確率
PAを合計すると
PA+PB+· · ·
=(A
の確率
)+(Bの確率
)+· · ·= A
のデータの個数
すべてのデータの個数
+ Bのデータの個数
すべてのデータの個数
+· · ·=
すべてのデータの個数 すべてのデータの個数
=1.
確率と確率分布
確率を求める戦略 1 .
...‘
等しく確からしい
’事象の確率は等しい
事象
◦と
•は等しく確からしい
(123と
456で表裏にわけてるから
).事象
◦◦,◦•,•◦,◦•は等しく確からしい
.よって
,P◦◦=P◦•=P•◦=P••
ところで確率の性質から一般に
,P◦◦+P◦•+P•◦+P•◦= 1
よって
,P◦◦=P◦•=P•◦=P•◦= 14
いくつかの事象が等しく確からしいとき 確率
=1
事象の種類の個数
確率と確率分布
確率を求める戦略 2
.和事象のルール
..
...
事象
A,Bが同時に起きないとき
(排反であるとき
),PA+PB =PAまたはB.ここで
, (事象
Aまたは
B)とは
=事象
Aと事象
Bのうち一方が起きる 事象
.例
.Pk=1=P◦•+P•◦= 14 +14 = 12.
確率と確率分布
確率分布の平均値・分散・標準偏差
....
確率分布の平均値
=値
1×確率
+値
2×確率
+· · ·確率分布の分散
= (値
1−平均値
)2×確率
+ (値
2−平均値
)2×確率
+· · ·確率分布の標準偏差
=√確率分布の分散
先週までやってたのはデータの平均値
,分散
,標準偏差
.今の例では 値
⇝k確率と確率分布
.
ここでルール変更. 最後までこのまま
.....
サイコロの目
1,2,3,4⇝表
◦サイコロの目
5,6⇝裏
•と呼ぼう
.サイコロを
1回振ったとき
,表
◦の出る確率
23 = 16 +16 +16 +16裏
•の出る確率
13 = 16 +16確率と確率分布
.
Quiz(コイン 3 回) ..
...
表
,裏が出る
確率がそれぞれ
23,13のコインを
3回投げた
.表の出る回数
kの確率分布は
?0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
0 1 2 3
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
確率と確率分布
確率を求める戦略 3
.積事象のルール
..
...
事象
A,Bが
‘独立
’(無関係
)なとき
,PA×PB =PAかつB.ここで
, (事象
Aかつ
B)とは
,事象
Aと事象
Bの両方が起きる事象
.例
.1
回目に
◦がでて
,かつ
2回目に
•がでる確率
=P◦•=P◦×P•= 23 ×13 = 29.
確率と確率分布
確率と確率分布
.
Quiz
.....
この確率分布の平均値と分散は
?確率と確率分布
.
Quiz(コイン 4 回) ..
...
表
,裏が出る
確率がそれぞれ
23,13のコインを
4回投げた
.表の出る回数
kの確率分布は
?−1 0 1 2 3 4 5
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
−1 0 1 2 3 4 5
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
−1 0 1 2 3 4 5
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
−1 0 1 2 3 4 5
0.00.20.40.60.81.0
k
Probability
確率と確率分布
確率と確率分布
2 項分布 B(n,p)
n
回の試行で
,確率
pの事象が
k回起きる 確率分布
Pk=nCkpk(1−p)n−k n個から
k個選ぶ組合せ
nCk= (n
k )
= n!
k!(n−k)!
階乗
k! = 1·2· · ·k.0! = 1,1! = 1,2! = 2,3! = 6,4! = 24,· · ·.
0.20.40.60.81.0
B(30,1/3)
Probability
確率と確率分布
連絡
今週は授業内で
Quiz用紙を
1枚提出
(過程も書こう
),ファイルを
eラーニングシステムに何個か提出
.予習復習問題は修了テスト第
6回
. 2012-11-13火夜まで
.プチテスト 準備もかねてどうぞ
.次回はふだんの普通教室でやります
.加減乗除と平方根
(ルート
)の使える電卓持ってきてね
.関数電卓で
なくてもいいです
.携帯電話の機能・アプリでもかまいません
.確率と確率分布
プチテストやります ! ..
日時 2012-11-14水3 14:05-15:05(60分).
場所 いつもと同じ
形式 ペーパーテスト. 計算問題中心. 関数電卓使用可(ただし過程を書いてもらう ので電卓の統計機能だけでは答えられないでしょう)
参照 A4×1枚両面持込可. 手書き,コピー等何でも.ただし縮小コピー,貼り付け は不可.
配点 100点30ピーナッツ
公欠 基準と届が独自です. Webページの病欠・公務欠席等の届出とそれを考慮する (しない)方法参照.
出題計画
データから度数分布表,箱ひげ図,ヒストグラム(L01),散布図(L06)などを作ろう データから平均値,最頻値,中央値(L02)を求めよう
データから分散,標準偏差(L03),変動係数(L04)を求めよう
標準得点,偏差値(L04)を求めよう
共分散,相関係数(L05)を求めよう
回帰直線(L06)を求めよう
