Maximum daily precipitaion (mm/day)

(1)

２．確率分布

• 2.1

確率変数と確率分布

– 2.1.1 確率密度分布と累積分布関数 PDF

と

CDF – 2.1.2

ベクトル量の確率密度分布

• 2.2

重要な確率分布

– 2.2.1 離散的確率分布と連続的確率分布

•

二項分布

•

ポアソン分布

•

正規分布

–

正規化・標準化

–

中心極限定理

•

対数正規分布

– 2.2.2 統計量の分布

• Student-t分布

•

χ²分布

(2)

Probability density function for a random variable

大気海洋変数の確率密度分布（１）

度数分布確率変数と確率分布

2.1

確率変数と確率分布

(3)

-5 0 5 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

PDF (normalized aao index)

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

CDF (normalized aao index)

確率密度関数累積分布関数

Probability Density Function Cumulative Distribution Function

1

(4)

札幌の日平均気温の時系列と度数分布（

1976-1997

）

度数分布大気海洋変数の確率密度分布（２）

サインカーブとランダム分布の重ね合わせ連続的確率密度分布

(5)

Probability density function for a sinosoidal oscillation

大気海洋変数の確率分布（２）

(6)

ベクトル量の確率密度分布

Wind roses （風配図）

(7)

ベクトル量の確率密度分布

Wind roses （風配図）

(8)

二項分布 Binominal distribution 2.2 重要な確率分布

離散的確率分布

E(B)=np

V(B)=np(1

－

p)

(9)

ポアソン分布 Poisson distribution

E(x)=np V(x)=np 2.2 重要な確率分布

離散的確率分布

μ＝10

x p(x)

μ＝5μ＝6 μ＝4 μ＝3 μ＝2 μ＝1

(10)

実例実例オホーツク海での海氷厚の頻度分布

(11)

氷厚の分布

(12)

氷厚の頻度分布

(13)

乗りあげ

ラフティング

(14)

(15)

μ：平均乗り上げ回数

m⊿H:氷厚

m: 乗り上げ回数

氷厚m⊿Hの海氷のPDF

⊿Hの厚さを持つ氷盤の多数回の乗り上げで説明できる

(16)

モデルの検証（1999年の例）

実況：船舶観測（実線）と係留氷厚計

（破線）による氷厚分布

モデル： Hm=19.7cm,ΔH=5cmに対応するポアッソン分布（一点鎖線）

Raftingの確率過程モデル N

ラフティング回数

p

積み重ね領域率 μ=3.9 (Hm=20)

Nが大きくpが小さいとき

にはポアソン分布！

メートル

pの分が乗り上げ

乗り上げのない1-pに

pの分が乗り上げ

平均乗り上げ4回

(17)

正規分布 Normal distribution

（Gaussian）

0.95 0.90

μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ

連続的確率分布

この位置は？

0.68 E(x)= ^μ

V(x)= ^σ

²

(18)

1.65

1.96 0.025x2=0.05 0.05x2=0.10

正規分布の

確率分布

(19)

Z= X -μ

σ

Standardized anomaly

平均

標準偏差

ZはN(0,1)分布に従う

正規化・標準化

(20)

南方振動指数。太線は5か月移動平均値を示す。

http://www.data.kishou.go.jp/climate/elnino/faq/qa/sstsoi.html

SO index

タヒチ海面気圧標準化[A] ダーウィン海面気圧標準化[B]

[A]-[B]を標準化

A strongly negative SOI for several months indicates an El Nino event;

a strongly positive SOI for several months indicates a La Nina

実例実例南方振動指数

ダーウィンタヒチ

(21)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Normalized aao index

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Normalized so index

SO index AAO index

(22)

X ₁ ,X ₂ , … X _N

が独立に同一の分布

E(Xi)=μ, V(Xi)=σ ²

に従うとき、十分おおきなnに対して

X= ∑X _i

／n

は正規分布

N(μ,σ ² /n)

に近似的に従う。

中心極限定理（Central Limit Theorem）

E,Vさえあえば

分布の形は

なんでもよい！

(23)

Z= X -μ

σ/√n

標準誤差標本平均母平均

としたZの分布は、nを大きくするとともに正規分布N(0,1

² )に近づく。

(24)

x1 = rand(n); x2=rand(n);

T(i)= ( x1(i) + x2(i) + … + x10(i) ) /10; i=1,100

左）100個の乱数のヒストグラム

右）N=10として平均したものの100個のヒストグラム

(25)

2.69/sqrt(15)=0.69 2.69/sqrt(5)=1.20

2.69/sqrt(10)=0.85

(26)

対数正規分布

log(x)～N(μ,σ)

E ( x ) = exp ( μ + σ ² / 2 )

V ( x ) = exp ( 2 μ + σ ² ) ｛ exp ( σ ² ) - 1 ｝

(27)

0 X

Xが大きいほど

ばらつきも大きいばらつきなし

ばらつきの大きさがそのときの値に比例する

0以下の値はとらない

対数正規分布とは？

X _t+1 =X _t *(1+dX)

lnX _t+1 =lnX _t +ln(1+dX)

掛け算で効く対数を取ると

正規分布

(28)

松山・谷本2005

(29)

例題年最大日降雨量は対数正規分布に従う

1960 0 1970 1980 1990 2000 2010

50 100 150 200 250

Year