２．確率分布
• 確率変数と確率分布
– 離散確率変数と連続確率変数 – 確率密度分布と確率分布関数
• 重要な確率分布
– 母集団の分布
• 二項分布
• ポアソン分布
• 正規分布
• その他の分布
– 統計量の分布
• Student-t分布
• χ2分布
離散的確率密度分布
札幌の天気（降水確率） 2005年4月25日11時00分発表
２０ １９ １８ １７ １６ １５ １４ １３ １２ １１
10 60 ３０
70 10
30 0 ２９
10 ９
40 10 ２８
40 ８
50 30 ２７
70 ７
10 30 ２６
0 ６
20 40 ２５
30 ５
0 0 ２４
0 ４
50 50 ２３
70 3
40 0 ２２
20 2
50%
10% ２１ 50%
4/1
2005年4月の「降水確率」の分布
離散的確率密度分布
降水確率（2005年4月）の度数分布表
０ ０
０ ３
１ ５
４ ４
２ ５
６ 総日数
100 90
80 70
60 50
40 30
20 10
0 降水確率
階級（％）
４月の札幌の降水確率予報
PDFはヒストグラムを資料総数で割ったもの
（降水確率の平均値は３０％）
離散的確率密度分布
離散的確率密度分布と連続的確率密度分布 ４月の札幌の最高気温予報
階級 （２度きざみ）
ベクトル量の頻度分布表記
Wind roses （風配図）
ベクトル量の頻度分布表記
Wind roses （風配図）
Probability density function for a random variable 大気海洋変数の確率分布（１）
大気海洋変数の確率分布（２）
札幌の日平均気温の時系列と度数分布（1976-1997）
度数分布
サインカーブとランダム分布の重ね合わせ
Probability density function for a sinosoidal oscillation 大気海洋変数の確率分布（２）
二項分布
Binominal distribution（Bernoulli） 離散的確率分布
ポアソン分布 Poisson distribution
E(x)=np V(x)=np
オホーツク海での海氷厚の頻度分布
モデルの検証（1999年の例）
実況： 船舶観測（実線）と係留氷厚計
（破線）による氷厚分布
モデル： ΔH=5cmに対応するポアッソ ン分布（一点鎖線）
Raftingの確率過程モデル N ラフティング回数
P 積み重ね領域率
連続的確率分布
正規分布
Normal distribution（Gaussian）
0.90 0.95
μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ
この位置は？
0.025x2=0.05 0.05x2=0.10
1.65
1.96
中心極限定理（Central Limit Theorem）
X1,X2,…XNが独立に同一の分布 E(Xi)=μ,V(Xi)=σ2
に従うとき、 十分おおきなNに対して X= ∑Xi／N
は正規分布 N(μ,σ2/N) に近似的に従う。
E,Vさえあえば 分布の形は なんでもよい
標本平均
中心極限定理（Central Limit Theorem）
標本平均 母平均 Z= X -μ
σ/√N
標準誤差
としたZの分布は、Nを大きくするともに 正規分布N(0,12)に近づく。
x1 = rand(n); x2=rand(n);
T(i)= ( x1(i) + x2(i) +…+ x10(i) ) /10; i=1,100
中心極限定理（Central Limit Theorem）
左）100個の乱数のヒストグラム
右）N=10として平均したものの100個のヒストグラム
中心極限定理（Central Limit Theorem）
対数正規分布
対数正規分布とは？
0以下の値はとらない
X t+1 =X t*(1+dX)
lnX t+1=lnX t+ln(1+dX)
0 X
Xが大きいほど
ばらつきも大きい ばらつきなし
ばらつきの大きさがそのときの値に比例する
松山・谷本2005
χ
2分布
のちにスペクトル推定で 自由度に応じて形が異なる
平均 n 分散 2n
2.5% 0.5%
Student’s-t 分布
標準誤差で わったもの
平均 0
分散 n/(n-2) 自由度に応じて形が異なる
のちにコンポジット・回帰で
上側 両側 自由度
tの値
5%
まとめ
• 目的とする変数の確率密度分布をよく把握し ておく。
• 正規分布は分布関数の基本である。標準化を 行うと取り扱いが容易である。
• 中心極限定理により、すべての一様分布の標 本平均の分布は正規分布に帰着する。
• 正規分布からχ2分布、Student’s t分布が導 かれる。これらの分布は統計的検定に利用さ れる。
