学位論文題 目
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全文
(2) 論. 文. 内. 容. の. 要. 旨 (1)次 の 条 件 を満 た す 素 数1が. 本論 文 において,学 位 申請 者は,代数 的整数論 の分野 に属す る2つ の問題 を論 じ,解決 して いる.ま ず は論文 中で用 い られ てい る基本 的事項 につ いて簡 単に説明す る. 代 数体 とは,有 理数 体Q上 代数的 な元全体 のなす体(Qの 代数 的閉包)の 部 分体 の ことで ある.そ して,有 限次代 数体(代 数体の うち,Q上 の拡 大次数が 有限の もの)Kに 付随 して 定 義 され る重 要な 関数にDede㎞dゼ. ー タ関数が あ る.そ れ は. (i)lf(N:Q]hκ. 存 在 す る:. んκ'(hK,ん. (ii)cはK,K'上. κ'は それ ぞ れKとK'の. (iii)有 限個 を除 い た す べ て の 素 数pに (2)tをZ十[N:Q]を 立す る. で 定 義 され る.た だ し,aはKの の ノル ム で あ る.関 数Cx(S)は. 整 数 環0κ 体Kの. 第1主. 。索. κ お よびK'のGalois閉. 空Xκ',S(1)が 成. 包 で あ る.. 任 意 の 代 数 体 とす る と き,KKK'で. よ る次 の結 果. あ る こ と は,次 の(1)ま. た は(2)と. 同. 値 で あ る:. の イ デ ア ル 全 体 を動 き,m(a)e(0κ:a)はa. ー タ 関 数 が 一 致 す る よ うな2っ. 成 立 す る.. 結 果 の 証 明 の 概 略 を 紹 介 す る.鍵 とな る の は,Stuart‑Perlis(1995)に. で あ る:K,Kを. 性 質 を 反 映 して い る こ とが 古 く か ら知 られ て い る.そ. の た あ,逆 の 問 題 と して,Dedekindゼ. 対 しXK,{p}/z製xκ',{P}/1が. 満 た す 素 数 で5「 を 素 数 か らな る集 合 とす れ ばXκ5の. とい う もの で あ る.こ こ で,Nは. CK/S)一晶. 類 数).. 不 分 岐 で あ る.. の 体 は 等 しい か(あ る. (1)素 数Pに 対 して,9n,%を そ れ ぞ れK,K'に お い てPの 上 に あ る 素 因 子 の 個 数 と す る と き,有 限個 の 例 外 的 なPを 除 くす べ て のpに 対 してgp=9'pと な る.. い は 同 型 か),と い う疑 問 が 自然 に 生 じ る.こ の 疑 問 か ら生 ま れ た概 念 が 「算 術 的 同 値 」 で あ る.す な わ ち,2つ. の 体K,K̀が. る こ と,す な わ ちCK(8)コ KKK'(体. と して 同 型)な. ら ばKA'K'」. て,古 く は11・1(1926),そ 完 備 化 をP進. L/QはGalois拡 さ て,こ. 原 始Pn+1乗. に よ る反 例 の先 行 研 究 が あ る.. 結 果(論. こでL=un≧1Lnと. お け ば,. な る.こ のLをQの. 円分 的Zp拡. 大 とい う.. 内 容 に つ い て 述 べ て い く,算. 術 的 同値 性. 条 件 が 課 され て い る も の も含 め)い. の 一 つ に,総 実 代 数 体 に対 す るAdachi‑Komatsuの. と も に 総 実 代 数 体 で あ る と き,KNNK'で. して 素 数Pに. 巡 回 拡 大 で あ るか ら,. た だ 一 つ 存 在 す る.そ. 文 第1部)の. あ る こ と は,ほ. (2)K,K'を 含 む 任 意 のGalois拡 大N/Qに 対 し て,GeGal(N/Q),H=Ga1(N/K), H'=Gal(N/K')と す る,こ の と き,Q[G]加 群 と し てQ[(穿1⑭Q岡Q鯉Q[G]⑭Q團Q. こ れ が 主 結 果 に お け る 「(1)な ら ば1ぐ 知 κ'」 の 証 明 に 用 い られ る.1V/Qに 素 数Pを. と り,瓦(z=1,2)で. き,完 全 系 列. に お い て,い わ ゆ るChi・ese・em・i・d・ ・th…emか が 得 られ る.こ こ で 仮 定XK紛 Stuart‑Perlisの. 定 理 が 使 え る 形 と な る.そ. 次 に 主 結 果 に お け る 「KKK'な. 定 理 が あ る.そ. と お く とき,Zε 加 群 と し てMKNMH'で 対 し,. 群Mに. し てMeXN,s(t)と. な る.. 外 で 分 岐 しな い 最 大Abelpr(トp拡. 大 のGalois群. であ. よ っ て 証 明 され た)を 用 い. て レ)るた め,総 実 とい う仮 定 を 取 り除 け る か ど うか は わ か っ て い な い. 主 結 果 は,こ の算 術 的 同値 性 を従 来 の 結 果 とは 別 の 角 度 か ら眺 め た も の に. な っ て い る,つ ま り,K,K'を を,や や 「小 さな 」Galois群 2種 発 見 して い る.そ れ ら は. 任 意 の 有 限 次 代 数 体 と し,KKK'で. あ る こ と との 同 値 条 件. の 言 葉 で 表 した もの で あ る.具 体 的 に はKKK'の. 同値条 件 を. 本 論 文 の 第2の. 。∈HIU‑1)M,MH'=M1Σ あ る こ と が 示 され る.そ. 主 結 果(論. 文 第2部)は,絶. 対Galois群. 閉 包)の. はKの. こ と で あ る.絶 対Galois群. に よ っ て代 数 体 の 特 徴 づ け を 与 え. とは,GK=Ga1(Q/K)(QはQの. 代数的. 多 く の情 報 を含 ん で い る と考 え られ て い る.. に 関 す る重 要 な 結 果 の 一 つ にNeukirch‑Uchidaの. 有 限 次 拡 大 体,(^17K,GK'を. る こ と とK^̲‑K'で. 群Mと. 証 明す る ことで. が 得 られ て 条 件(2)が 導 出 され る. ら条 件(1)は 比 較 的 容 易 に 示 さ れ,各 条 件 の 同 値 性 が 証 明 さ れ る こ とに. 絶 対Galois群. 絶 対Galois群. 。∈H,(σ一1)M こでZl[G]加. してMHNXK、,S(t},MH'NXxz,s(i}を. る も の で あ る.こ こで,代 数 体Kの. K'をQの. 得 ら れ,上 記. 得 られ る, す る ・ この と き ま ず,K〜K'か. 対 し て,MH=M/Σ. す る.そ. 拡 大,XFa,(p),{P}ω. る.こ の 結 果 は,証 明 に お い て 総 実 代 数 体 の 岩 澤 主 予 想(Wilesに. してKKK'が. らば(2)」 の 概 略 を 述 べ る.N/QをK1,K2のGalois閉. ら,任 意 のz1〔q加. とん どす べ て の 素 数Pに. ら(0。 、/pn)・/陸 ⑭1堅)(0・ 、/騙 冗)×/Z 用 い る と9v(K,)=9p(K2)が. 包,G=Ga1(N/Q),H=Gal(ノv/K),H'=Gal(N/K')と. XK、 ,S(1)鯉Xκ25(の 最 後 に 条 件(2)か. 本 論 文 の 第1の. μ 盤XK',{P}/1を. くつ か の 同 値 条 件 が 知 られ て い れ は,K,K'が. お いて不分岐 な. 弔f,g,(K;)とす る.こ の と. xd x./1→(Ox;/pn)×/1→XK̀,{P}/1→0. Xκ ロω ,{P}ω 空Xκ&ω,{P}ゆ)で あ る こ と と 同 値 で あ る,と い う も の で あ る.こ こ で 一 般 に, 代 数 体Fと 素 数pに 対 し て,臨(p)は 体F(も+r‑1P)(ζpは1の 原 始P乗 根)の 円 分 的 ゐ は 亀(p)の,pの. の 素 イ デ ア ル 分 解 をPax{=}+i,1…. 距 離に よる. 整 数 環 と呼 ん で 記 号 ち で表 す.そ. 大 で あ り,Gal(L/Q)Nと. の あ と 第1主. 「逆 の 問 題 」 す. 対 して,有 理 数 体QのP進. 根 とす る.拡 大Q(ζ π)/Qはpn(p‑1)次. な る代 数 体Lnが. に つ い て は,(K,K'に る.そ. の 後Gerst‑Schinzel(1970)ら. 大 に つ い て 述 べ る.ま ず 素 数Pに. Gal(Ln/Q)N/プZと. 表 す.も ち ろ ん,. は,一 般 に は 必 ず し も成 立 しな い こ とが 知 られ て い. 体 と呼 び,そ の 整 数 環 をP進. 対 して,ζπ を1の. ー タ 関数 が 一 致 す. ら ば ζκ(S)瓢 くκ'(8)と な る.し か し,上 で 述 べ た. な わ ち 「(K(S)=CK'(S)な 次 に 円 分 的7GP拡. 算 術 的 同 値 で あ る と は,そ のDedekindゼ. ζκ'(3)で あ る こ と と 定 義 し,こ の と きK.::K'と. そ れ ぞ れ の絶 対Galois群. あ る こ と が 同 値 で あ る,と い う も の で あ る.. 定 理 が あ る.そ れ は,K, とす る とき,Gx"'Gx'で. あ.
(3) 本 論 文 第2の 主 結 果 は,こ のNeukirch‑Uchidaの 定 理 を,あ る 種 の 無 限 次 拡 大 体 に 拡 張 し た も の と な っ て い る.そ れ は 次 の よ うに 述 べ ら れ る.pを 素 数,K1/Q,κ2/Qを,P†[K1:q,. で あ る こ と が 示 され る.こ こ でGabはGの. 材[κ2:QIを 満 た す 有 限 次Galois拡 大 とす る.ま た,Kl,。 。/K1,K2,。。/K2を 円 分 的 ゐ 拡 大 と し,(穿κ、 ,。 。,Gκb。。を そ れ ぞ れK1,。 。,Kz,。 。の絶 対Galois群 と す る,こ の とき,Gx,,。 。^'Gx、,。。 で あ る こ と とK1=κ2(し. た が っ て ま たK1,。 。=K2。. て 円分 的Zp拡. 大K/Koを. 数Z(≠2,4)で,次 (i)Qq⊂. と り,H⊂GKを. 大 でpdκo:Q!を 無 限 閉 部 分 群,4を. が 得 ら れ る 。 こ こ でKt,11=瓦Qπ と し,Ki,n ,Lを ￡1￡κ̀,nに よ る 完 備 化 と す る と き,ω 炉 は xK in.0に 含 ま れ る,位 数 が 」 と 素 な べ き 根 の な す 群 で あ り,Ai,iは 無 限 生 成pro‑1‑abel群 で あ. 有 限 次Galois. る.こ. 満 た す も の とす る.そ 素 数 とす る.体kお. 体,Qqは. の こ と が 意 味 す る の は,σ ￡(◎/Kt.。 。)に 対 し,￡liと. と で あ る.次. にd(κ̀)=[κ̀. ω・ 碍F喬(i. よび 素 と な る.こ. れ に よ りrを. してTld(K,)×Pn‑1と. そ の代 数 的 閉 包),. 素 数 と す る と き,1imw;. れ. る 正 整 数oが. に 対 して εc質 κo;Qdが. 存 在 し,任 意 のQq上. 成 り立 つ こ と を 意 味 す る.こ. 有 限 次 の 中 間 体 κo(Qq⊂Kp⊂k). な るQ上. と お く.こ の と きsl⊂sm(m>1,p{π. る 正 整 数nが. 存 在. の が 得 られ る.す る と次 の 同 値 が 導 かれ る:. Zがu.O‑t/Qで. 完全分解 している. こ の た め,素 数zが 次 にChebotarevの. の 有 限 次Galois拡. 大 体K1,Kzに. 対. で 完 全 分解 す る 素 数 の集 合 が 一 致 す る な ら ば. あ る こ と が 示 され,そ の 結 果 と して 円 分 的 ち 拡 大 に 関 し て もK,. ,。 。=K2,。 。 で. あ る こ とが 示 され る. 大 でp石. κ:Q]を. 満 た す も の と し,K。 。/Kを. 円分 的Zp. 拡 大 とす る,ま た,. 瓦/Qで. 完 全 分 解 して い てK,/Qで. る と,1m(」i,n(r)(rは. Bo={H⊂(穿K。. 。)i撃 はQの 。iHは. 非 ア ル キ メデ ス 素 点},. 上 の 条 件 ①,(ii),(iii)を 満 た す},. B={H∈Ba[Hは とお く.す る と上 で 述 べ た補 題 を 用 い てA=Bで か ら 群 論 的 に分 解 群 とな る 部 分 群 の 集 合Aを. βoで 極 大} あ る こ と が 証 明 され る.こ れ に よ り,Gκ 。 。 定 め る こ とが で き る.こ の こ とを 用 い れ ば ◎. の 素 点 ￡ に対 し, σ。(◎/K、脚)α㌧. 完 全 分 解 して い な い,と い う状 況 が. あ る 素 数)に. σ。(◎/K、ρ。)ω. 「ず れ 」 が 生 じ る.す. な わ ち,上 述 のG￡(◎/K1。 。)帥N. れ. σ￡(◎/K2。。)abと い う事 実 に 矛 盾 す る.し た が っ て,K1上 KZ上. で 完 全 分 解 す る 素 数 た ち の集 合 と. で 完 全 分 解 す る 素数 た ち の集 合 は 一 致 しな けれ ば な ら な い こ とが 結 論 付 け られ るの で あ. る.よ っ てChebotarevの. 定 理 に 基 づ く補 題 が 利 用 で き て,K1盤. κ2,さ らに はK1. ,。 。禦 κ2,。 。. が 得 られ る の で あ る. さ らに,本 論 文 で は,第2主. Aニ{G叔Q/K。. ⇔d(Kt)>1,. 起 こ っ た 場 合,￡1ε と な る素 イ デ ア ル ￡ を 取 ってo￡(◎/K1.。 。)nbと σ￡(◎/K2 ,a。)a6を比 較 す. 密 度 定 理 の 応 用 と して,Qの2つ. で 完 全 分 解 す る 素 数 の集 合 とKz上. 有 限 次Galois拡. ⇔4(u.'・墨)‑1,. 完 全 分 解 して い な い. ∈Gal(Q/K)/<}. で 定 義 され,華 の 分 解 群 と呼 ば れ る も の で あ る.. そ こ で,K/Qを. あ る こ と と,あ. れ らの 条 件 が 成 り立 っ な らば,H⊂. の 素 点 撃 が 一 意 的 に 存 在 す る こ とが 示 され る.こ こ で,. σ華(Q/K)e{σ. K1=KZで. ,n). ,n(r)≠0で. 数,(1"̀modr)∈(Z/rZ)×(p)}. 1がK;/Qで. して,K1上. す る と き. な る こ とが 同 値 と な り,さ らに これ が(ld(K;)mod7)∈(Z/rZ)×(p)で. 5η={T∈zlr:素. (iii)謬oof[κ:(Qql,. σ叔Q/K)⊂GKと. 判 別 で き る とい うこ. あ る こ とが 同 値 とな る.こ こ で. (ii)HNGa1(Qq/κ),. た だ し,(iii)は,あ. な る 素 数Zが. ,￡:Q̀],Pn‑c=[(Q冗)￡:Qi],M(i,n)=ld(K;)×Pnと. し. の 条 件 を満 た す も の が 存 在 す る とす る:. κ⊂Qg(Qgは4進. 麺 姥,・×A' 4#pn. 代数 的閉包 を. 拡 大 の場 合 に 示 し た 上 述 の 結 果 の拡 張 と な っ て い る.ま ず,一 つ の 補 題 を 導 入 す る,そ れ は次 有 限 次Galois拡. σ・(◎/K=,・ ・)N9×. 。)で あ る こ と は 同 値 で あ る,と い う も. の で あ る 。な お,こ の 結 果 の 結 論 は まずKl^'Ksと して 得 られ る の だ が,Qの 一 っ 固 定 して 考 え て い る の で ,よ り強 くK1=Ksが 得 られ る の で あ る. 本 論 文 第2主 結 果 の 証 明概 略 を 述 べ よ う。証 明 は ち ょ う どNeuku℃hがQ上 の よ うな もの で あ る:K。/Qを. 最 大 の 可 換 部 分 群 で あ る.. 次 に,類 体 論 を 用 い る と. し適qはQの. 結 果 の 系 と して,次 の よ うな 結 果 も得 られ て い る:4を. 有 限 次Galois拡. 大 体 で4f[鳶q:Q】. 大 と し,そ の よ うなkQ ,。 。全 体 の 集 合 をFQと Fo={制 E={T∈Zlr=0ま. 素数 と. とな っ て い る も の,kq ,。 。/k9は 円分 的Zp拡. 厨Qは. お く.さ らに 有 限 次 拡 大}, た はrは. とす る.こ の と き,K,K'∈Ur∈EFrがG(◎/K)NI̲(◎/K')を (ヨr∈E)か っ κ 型K'が 結 論 され る.と くに,T≠0(す る な らば,K=K'が 得 ら れ る.. 素 数} 満 た す とす れ ば,K,K'∈Fr な わ ちrは. 素 数)で. これ が 満 た され.
(4) 響 を受 け な が ら も,扱 っ て い る 場 合 は全 く異 な り,道 具 立 て と して も独 自の 工 夫 を 要 す る も 整 数 論 は歴 史 の 長 い 分 野 で あ る が,特 に代 数 体(有 理 数 体Q上 ま りQの. 代 数 的 閉 包 の 部 分 体)の 理 論 が 本 格 的 に 考 察 され 始 め た の は18世. 紀 のGaussの が19世. 代 数 的 な元 全 体 の な す 体,つ. 時 代 で あ る.そ の 後,有 限 次 代 数 体Kに. 紀 末 に 定 義 され た,関 数CK(8)は. 体Kの. 付 随 してDedekindゼ. 紀 末 か ら19世 ー タ 関 数 ζκ(8). 性 質 を 反 映 して い る こ と が 古 くか ら知 られ. の で あ る.こ. う し た 意 味 で,本 質 的 に 新 し く意 義 あ る 結 果 を 導 出 で き た こ とは 大 い に 評 価 し. て よ い も の と 考 え る. 本 論 文 第2部 で は,絶 対Galois群GK=Gal(Q/K)(QはQの 代 数 的 閉 包)が 論 じ られ て い る.拡 大 ◎/Kは 一 般 に 無 限 次 拡 大 とな る た め,有 限 次 拡 大 の とき に成 立す る通 常 のGalois. て い る.例 え ば,S=1に. 理 論 の 主 定 理 は,そ の ま ま の 形 で は 成 立 し な い.そ こ でGalois群. れ る1の. と で,無 限 次 に も 対 応 したGalois理. お け る 留数 に はKの 類 数,判 別 式,Kの 埋 め 込 み の 個 数 ,Kに 含 ま べ き 根 の 個 数 な どが 現 れ る(類 数 公 式).他 に も 「素 イ デ ア ル 定 理 」 ,「Chebotarev の 定 理 」 な ど,CK(S)の 解 析 か ら得 られ る 結 果 は数 多 い , 本 論 文 に お い て,学 位 申 請 者 が 取 り扱 い,解 決 し て い る 問題 は,こ のDedekindゼ ー タ関数 が 関連 す る代 数 的 整 数 論 の 問 題 で あ る.よ り具 体 的 に は ,代 数 体 の 算 術 的 同 値 性 や 同 型 と い っ た観 点 に よ る,代 数 体 の 特 徴 づ けの 問題 で あ る.こ れ ら は前 述 の よ うに歴 史 も 古 く,20世 紀 後. 半 か らは 高度 な 道 具 立 て が い ろ い ろ と開 発 され て い て,非 常 に 難 しい 分 野 とな っ て い る.こ. こ の 方 向 の 先 行 研 究 にNeukirch‑Uchidaの 大 体,GK,GK'を. そ れ ぞ れ の 絶 対Galois群. が 同 値 で あ る とい うも の で あ る.こ. う した 分 野 に お い て 本 質 的 に 新 しい 結 果 を 得 て い る こ とは,申 請 者 が 高 い 能 力 を 身 に つ け て い る こ と を表 して お り,評 価 に 値 す る.ま た,本 論 文 で 解 決 され て い る 問題 は いず れ も ,円 分 的 鞠 拡 大 の 理 論 が 関 連 して い る,円 分 的 ち 拡 大 は 「日本 発 」 の 数 学 理 論 と い え る 「岩 澤. 2つ の 有 限 次 拡 大K1/Q,K2/Qを. ま ず,本 論 文 第1部. に お い て 申 請 者 は,代 数 体 の 算 術 的 同 値 性 に 関 す る 問 題 を 扱 っ て 解 決. して い る,上 記 の よ うに,ζK(S)に. さ ま ざ ま な 情 報 が含 ま れ て い る が ,そ の た め 逆 の ー タ 関 数 が 一 致 す る よ うな2っ の 体 は 等 しい か(あ る い は 同 型 か) ,. 問題 と してDedekindゼ. は 体Kの. とい う疑 問 が 自然 に 生 じる.こ の 疑 問 か ら 「算 術 的 同 値 」 の 概 念 が 生 ま れ た .つ ま り,K,K' ー タ 関 数 が 一 致 す る こ と(くκ(S)=ζ κ'(8))と 定. が算 術 的 同 値 で あ る と は,そ のDedekindゼ 義 し,こ の と きK駕. κ'と 表 す.も. ち ろ ん,KKK'(体. と して 同 型)な. ら ば ζκ(S)=ζ κ'(S). で あ る が,上 で 述 べ た 「逆 の 問 題 」 す な わ ち 「くκ(5)=ζ κ'(8)な らば κ 盤1('」 は. ,一 般 に は. 相 を導 入 す る こ. 術 が 要 求 され るが,申 請 者 は そ の 技 術 を備 え て い る こ とが わ か る,. SK(S)=bK'(S)だ か ら,GKNGK,な ゼ ー タ 関 数 と も 関連 が 出 て く る.. 理 論 」 と関 係 が 深 く,現 在 も 非 常 に 活 発 に研 究 され て い る テ ー マ で あ る .本 論 文 は こ う し た 重 要 な テ ー マ に 対 す る 貢 献 も 含 まれ て お り,意 義 深 い も の が あ る.. にKru11位. 論 が構 築 で き る.こ の よ うな 対 象 を 扱 うに は,高 度 な 技. こでDedekindゼ. 有 限次拡. あ る こ と とKNK'. ー タ 関 数 を思 い 出 す と,K空K'な. ら ば くκ(S)eく κ'(S)も 得 られ る.こ. 申 請 者 は,こ のNeukirch‑Uchidaの 円 分 的Zp拡. 定 理 が あ る.そ れ は,K,K'をQの とす る と き,GK空GK'で. ら. う してDedekind. 定 理 を,あ る 種 の 無 限 次 拡 大 体 に 拡 張 して い る.そ れ は, と り,拡 大 次 数 の 整 除性 に 関 す る軽 い 制 限 の も と,そ れ らの. 大Kl,。 。,K2,。。を 考 え て い る.こ れ らは 無 限 次 拡 大 とな る の で,従 来 知 られ て い. る 有 限 次 拡 大 の 場 合 と は 本 質 的 に 異 な っ た 場 合 と い え る.そ こで 申請 者 は,Neukirch‑Uchida の 手 法 の 本 質 的 改 良 を編 み 出 し,こ の 場 合 に も 「絶 対Galois群 とK2,さ. が 等 しい な ら も と の 体(K1. らに はKl,。 。 とK2.。 。)が 同 型 で あ る こ とを 導 い て い る.ま た,さ らに 強 く,Qの. 数 的 閉 包 を 固 定 した な らK1=K2,K,,。 本 論 文 で 扱 わ れ て い る2つ. 。=K2,0。. の 問 題 は,Dedekindゼ. 代. で あ る こ と も導 出 して い る. ー タ 関 数 と い う対 象 を一 つ の 軸 と して. 有 機 的 連 関 を もつ も の と な っ て お り,そ の 意 味 で も学 位 論 文 と して の 望 ま しい 体 裁 を備 え る に 至 っ て い る.さ ち,ま ず 第1主. らに,将 来 へ の 発 展 性 とい う意 味 で も興 味 深 い 要 素 を含 ん で い る.す な わ. 結 果 に 関 して は,Adachi‑Komatsuの. 定 理 を も含 む,よ り一般 的 な 命 題 に 拡 張. 必 ず し も成 立 し な い こ とが 知 られ て い る.実 際,先 行 研 究 と して ,Q上180次 拡 大 で あ る2 つ の 体K,K'で,KKK'(⇔ ζκ(S)=ζ κ'(S))で あ る がKKK'と な る もの の 存 在 が ,1926 年 にGassmamに よ り 証 明 され て い る し,よ り具 体 的 な 結 果 と して ,2つ の 体K=Q(83),. で き る か,あ るい はAdachi‑Komatsuの. κ1=Q(848)を. に. 限 次 拡 大 と い う仮 定 に 緩 め る こ とが で き るか ど うか,ま た拡 大 次 数 の整 除 性 に 関す る仮 定 を. う した 流 れ の 中 に あ る,一 般 性 を含 ん だ 結 果 で あ. 弱 め られ るか ど うか,と い っ た 問 題 が 考 え られ,将 来 の 発 展 も 十 分 に 期 待 で き る 内容 とな っ て い る.. る.直 接 の 動 機 と な っ た 結 果 は,算 術 的 同値 性 の た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る,そ の 一 つ に ,総 定 理(1987)が あ る,そ れ は ,K,K'が ともに総実代. て,長 年 に わ た り研 鎭 を積 み,意 義 あ る新 しい 理 論 的 結 果 を 複 数 導 出 した.そ の 結 果 は 権 威 あ. Gerst‑Schinzelに 本 論 文 第1主. 考 え る と,こ れ ら はKKK'を. 満 た す がKKK'で. あ る こ とが ,1970年. よ っ て 証 明 され て い る. 結 果(論. 文 第1部)は,こ. 実 代 数 体 に 対 す るAdachi‑Komatsuの 数 体 で あ る とき,KKK'で. あ る た め の 必 要 十 分 条 件 を,円 分 的Z,拡. 大 の 言 葉 で 表 した も の. で あ る. 本 論 文 第1主 て お り,K,1('を. 結 果 に お け る総 実 とい う仮 定 を 取 り除 く手 が か りが. 得 られ るか ど うか,と い う 問題 を考 え る こ と が で き,岩 澤 理 論 へ の さ ら な る 貢 献 も期 待 で き る.ま た,第2の. 主 結 果 に 関 して は,こ れ を 基 盤 に し て,有 限 次Galois拡. 大 とい う仮 定 を 有. 学 位 申請 者 は,歴 史 も 長 く,高 度 な 知 識,技 術 が 要 求 され る 代 数 的 整 数 論 と い う分 野 に お い る査 読 付 き学 術 雑 誌 に 掲 載 が 決 定 して い る,ま た,す で に 学 会 発 表 も行 な っ て い る.学 位 論 文 公 聴 会 に お け る 発 表 に お い て も,聴 衆 の 興 味 を 惹 く 講 演 を 行 な っ て お り,審 査 委 員 か ら も高. 結 果 は,こ の 算 術 的 同 値 性 を 従 来 の 結 果 とは 別 の 角 度 か ら眺 め た もの に な っ 任 意 の 有 限 次 代 数 体 と し,や や 「小 さな 」Galois群. る こ と との 必 要 十 分 条 件 を2種. 導 い て い る.こ れ はAdachi‑Komatsuの. を 用 い てKKK'で. あ. 結 果 に あ る程 度 の 影. く評 価 され た.こ れ ら の こ と,お よび,本 稿 前 半 に お い て 解 説 と とも に 述 べ て き た評 価 を総 合 す る と,本 論 文 は 博 士 学 位 論 文 と し て 十 分 な 価 値 が あ る も の と認 め られ,申 請 者 に 博 士 の 学 位 を授 与 す る こ とが 相 当 と考 え ら れ る..
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表 1．気分の変化（8 項目） ᑐ㠃ᤵᴗ 㐲㝸ᤵᴗ 㐠ື๓ᚋ䛾ኚ ᮇ ᚓⅬᖹᆒ ᶆ‽೫ᕪ ᚓⅬᖹᆒ ᶆ‽೫ᕪ ᤵᴗᙧែ ᚓⅬᕪ䛾ᖹᆒ ᶆ‽೫ᕪ 㐠ື๓ 㻞㻚㻣㻤 㻝㻚㻞㻡 㻞㻚㻡㻣 㻝㻚㻠㻤 ᑐ㠃
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