代数の理論 (web 版 )

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代数の理論 (web ^版 )

和久井道久・作成

平成

25

年

8

月

7

日平成

26

^年

4

^月

28

^日修正版平成

27

^年

9

^月

12

^{日再修正版}

⃝ c M. Wakui 2013

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はじめに

これは、体上の代数の理論に関する入門書である。ホップ代数の分類理論に関するまとめを作っておきたいという気持ちから書き始めた。しかし、タイトルの示す通り、その目的を達成することができなかった。というのは、思いのほか、代数の理論の復習にページを割いてしまったからである。

このノートでは、核となる定理とその証明のみを本文で述べるように努めた。また、例をできるだけ多く載せ、理論が空虚で退屈なものにならないように配慮した。本文で述べた定理の派生的な結果、本文では述べきれなかった関連する重要な概念、少し凝った例などはすべて演習問題に回した。したがって、演習問題の中には相当難しい問題も含まれている。実際、他の教科書では定理や命題とされているものも多い。

内容を簡単に紹介しよう。全部で４つの章と２つの

Appendix

からなる。

第１章では、代数の基礎的な概念が述べられる。もっとも基本的な概念は第１節にまとめられているので、必要に応じて適宜参照するとよい。本格的な内容は第２節からスタートする。第２節以降では、

Noether

^加群、

Artin

^{加群、根基、}

Hochschild

^{コホモロジー、フロベ} ニウス代数、加群の直既約、単射性、射影性、平坦性、森田同値などの概念が紹介される。その中でも、加群のなす線形アーベル圏の同値に関する森田同値は、代数学を大きな視点で捉えることを可能にさせてくれる重要な概念であり、これを理解することがこの章の最大の課題といってもよい。

第２章では、半単純代数の一般論とその応用が述べられる。代数が半単純であるとは、任意の加群が既約な部分加群の直和に分解されるときをいう。最初の３つの節で、左

Artin

^的代数が半単純かどうかはその根基が

0

かどうかで判定できること、半単純代数上の既約加群の同型類の個数は有限個であること、半単純代数は有限個の左

Artin

的単純代数の直和に分解できること

(Wedderburn

^分解

)

などが示される。そして、最も究極的な「

Wedderbrun

^による半単純代数の構造定理

(

^系

2-21)

」が証明される。最後の節では、

(

^有限次元

)

^{中心的単純代} 数に話題を限定し、

Skolem-Noether

の定理

(

定理

2-27

、系

2-28)

や

Brauer

の定理

(

定理

2-29)

の応用として、

Galois

の基本定理を証明する。この章の随所に現れる「再中心化性」はこの章の内容を理解する上でのキーワードである。

第３章では、直既約加群に関するさまざまな理論が展開される。この章での議論は、代数の定義や直既約性の定義そのものに根ざしている。定理や命題の主張は簡単である反面、使える道具は最も基本的なものに限定されるので、それらの証明は「初等的」ゆえ難解なものが多い。この章では、加群の直既約分解とその一意性に関する「

Krull-Remak-Schmidt-

^東屋の定理

(

定理

3-6)

」と単射的外皮の存在を基本原理として理論が展開される。前者の応用として、

Deuring-Noether

の定理

(

定理

3-8)

、既約加群の同型類全体と主直既約加群の同型類全体との間の１対１対応の存在定理

(

^定理

3-11)

が証明される。この章の最後の２つの節は準フロベニウス代数に関するものである。準フロベニウス代数の様々な概念による特徴づけ、準フロベニウス代数上の加群の忠実性に関する判定条件が述べられる。有限次元半単純代数は準

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フロベニウス代数であり、準フロベニウス代数は有限次元代数の中でかなり大きな類をなしている。

第４章では、有限次元分離的代数の一般論が述べられる。代数が与えられたとき、その基礎体を拡大して得られる代数が常に半単純であるとき、その代数は分離的であると呼ばれる。

代数の分離性は拡大体の分離性の拡張概念としてとらえることができる。ここでの大きな目標は２つある。その１つは、根基で割って得られる商代数が分離的ならば、割る前の代数は半単純な部分と冪零な部分の直和に「標準的」に分解できることを示すことである

(Wedderburn-

Malcev

^の定理

)

。もう１つは、任意の有限次元分離的代数は、基礎体をある有限次分離拡大

で拡大すると、有限個の行列代数の直和に同型になることを証明することである

(

^{分解体の存} 在定理

)

。最後の節では、通常の代数の教科書ではあまり扱われない、強分離的という概念が紹介される。その節の目標は、強分離的代数の正則加群に対する既約分解則

(

^定理

4-31)

^を与えることである。標数

0

の体上の有限次元半単純ホップ代数は強分離的なので、この節での議論はその表現論を展開するときに役に立つ。

２つの

Appendix

のうち、最初のものは代数的閉包の存在と一意性に関するものである。２番

目のものは代数的整数と

Dedekind

環に関するものである。そこでの話題の中心は、

Dedekind

環上のねじれがない有限生成加群の構造定理

(

^系

B-32)

^{の証明である。}

このノートは、予備知識として、学部３年次までの線形代数、群、環、体の理論と圏の理論の初歩を仮定する。特に、ベクトル空間のテンソル積については習熟していることが望ましい。ここで、ベクトル空間のテンソル積を考える上で最も基本的な事実を確認しておこう。

V, U

を体 k上の２つのベクトル空間とする。このとき、テンソル積と呼ばれるベクトル空間

V ⊗

_k

U

が

(

同型を除いて一意的に

)

定まる。このノートでは、これをしばしば

V ⊗ U

と略記する。テンソル積

V ⊗ U

は次の４つの性質を持つ。

(i) V ⊗ U

^の元は

v ⊗ u (v ∈ V, u ∈ U )

^{という形の元によって}k ^{上張られる。}

(ii)

^任意の

v, v

₁

, v

₂

∈ V, u, u

₁

, u

₂

∈ U, λ ∈

k ^{に対して、}

(a) (v

₁

+ v

₂

) ⊗ u = v

₁

⊗ u + v

₂

⊗ u, (λv) ⊗ u = λ(v ⊗ u) (b) v ⊗ (u

1

+ u

2

) = v ⊗ u

1

+ v ⊗ u

2

, v ⊗ (λu) = λ(v ⊗ u) (iii) V

^{の一次独立系}

v

1

, · · · , v

k と

u

1

, · · · , u

k

∈ U

^{に対して、}

∑k i=1

v

i

⊗ u

i

= 0

^ならば

u

i

= 0 (i = 1, · · · , k) (iv) U

の一次独立系

u

₁

, · · · , u

_k と

v

₁

, · · · , v

_k

∈ V

に対して、

∑k i=1

v

_i

⊗ u

_i

= 0

ならば

v

_i

= 0 (i = 1, · · · , k)

(iii)

^と

(iv)

^から、

{v

i

}

ⁿ_i=1

, {u

j

}

^m_j=1 ^{がそれぞれ}

V, U

^{の基底ならば、}

{v

i

⊗ u

j

}

i=1,···,n j=1,···,m

が

V ⊗ U

の基底になることがわかる。テンソル積

V ⊗ U

がどのように構成されるかということはそれほど大切ではない。大切なのは、それがある種の普遍性を持つということである。テンソル積の普遍性とは、次の性質をいう。「

W

^をk 上のベクトル空間とし、

φ : V × U −→ W

を k-双一次写像とする。このとき、k-^線形写像

φ ¯ : V ⊗ U −→ W

^{であって、}

φ(v ¯ ⊗ u) =

φ(v, u), v ∈ V, u ∈ U

となるものが唯一存在する。」

(5)

断りなく使われる記号について説明しておく。体k^{上のベクトル空間}

V

^{に対して、その次} 元を

dim

_k

V

または

dimV

によって表わす。特に、

V

がkの拡大体

K

の場合には、

dim

_k

K

を

[K :

k]によって表わす。体k上のベクトル空間

V

上の線形変換

f : V −→ V

に対して、

そのトレース、行列式をそれぞれ

Trf, detf

によって表わす。線形写像

f : V −→ W

^に対して、転置写像 ^t

f : W

^∗

−→ V

^∗ ^を^t

f (α) = α ◦ f (α ∈ W )

によって定義する。零元

0

^のみからなるベクトル空間

{ 0 }

^を

0

と略記する。線形写像

f : V −→ W

が、

V

のすべての元

v

を

W

の零元

0

に写すとき、

0-

写像

(0-map)

と呼ぶ。このような写像を

0 : V −→ W

または単に

0

と書き表わすことが多い。多項式

f (X)

^の次数は

deg f (X)

によって表わす。定義の中の「

⇐⇒

」は「矢印の左にある概念を矢印の右にある事柄で定義する」ことを意味する。補題、命題、定理およびそれらの証明の中の「

⇐⇒

」は「矢印の左にある命題が成り立つための必要十分条件は矢印の右にある命題が成り立つことである」ということを意味する。補題、

命題、定理およびそれらの証明の中の「

= ⇒

」は「ならば」を意味する。「^∀」は「任意の」を意味し、「^∃」は「存在すること」を意味し、「^∃¹」は「唯一存在すること」を意味する。なお、

このノートで、環といえば、それはすべて「単位元を持つ環」を意味する。したがって、環準同型は単位元を保たなければならない。

最後になったが、柳川浩二氏に感謝を申し上げたい。彼には、非可換代数に関する教科書

『

Lectures on modules and rings

』

(Lam

・著

)

を始めとする有益な文献や事実を教えて頂いた。

書き上げるのに２年を要してしまったが、こうしてまとめあげることができて嬉しい。書ききれなかった事柄も少なくないが、ひとまずこの辺で……。

著者しるす

2002

^年

10

^月

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代数の理論 (web 版 )