解答例＋引用題 文系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

＜W＜ とし平面上のベクトルDEと単位ベクトルHが L WDWE H LL WDH WEH

2005 東北大学（文系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ すべての内角がqより小さい四角形 $%&' がある。辺の長

さが$% %& U $' Uとする。さらに辺 &' 上に点 ( が あり つの三角形△$%&△$&( $'(△ の面積はすべて等し いとする。D ‘%$& E ‘&$'とおく。

D Eを示せ。

FRV‘'$% であるとするとき VLQ‘&$(の値を求めよ。

$ %

& '

(

D

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３ 解答解説のページへ からの番号のつけられた個の箱にそれぞれ枚ずつの皿が重ねて置かれて

いる。白いサイコロと黒いサイコロそれぞれ 個を同時に振って出た目に応じて次

の規則で皿を移動させるものとする。 つのサイコロに同じ目が出たときは皿は移動

させない。 つのサイコロに異なる目が出たときは黒いサイコロの目の数と同じ番

号の箱から皿枚を白いサイコロの目の数と同じ番号の箱に移す。

サイコロを回振るとき皿が枚の箱と枚の箱がそれぞれ個ずつとなる確 率を求めよ。

サイコロを回振るとき皿が枚の箱が個 枚の箱 枚の箱 枚の箱

2005 東北大学（文系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ つの曲線_{& \ [と' \ [DEが 点で接している。曲線 ' と曲線}

_{\ [}

( によって囲まれる部分の面積6が最小となるように実数DEを

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１ 問題のページへ

まず条件LよりWDWE H………①

また条件LLよりWDH WEHWDWE WH………② ①②よりWD WH WE WHとなり

H W W

D ………③E _WWH………④

すると [D [W_WH W[_WWH………⑤

W W H [ W H WW [ E

[ ………⑥ さて条件[D˜[E に⑤⑥を適用すると

^

` ^

`

_{W [ WW W [˜HW W H}

W

H より_{WW [ WW[˜HWW ………⑦} また条件 [D [E WWに⑤⑥を適用すると

W W H [

W W W WH [ W

W

W[WH W[WH

W [ W W [˜HW H W [ W W [˜H W H

H よりW [ Wとなり ＜W＜から [ ………⑧ ⑦⑧より_{WWWW[˜HWW となるので}

W W W W H [ ˜

［解 説］

文字がたくさん出てくるので方針を明確にし交通整理をしながら計算を進めま

2005 東北大学（文系）前期日程 解答解説

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２ 問題のページへ

△$%&は二等辺三角形なので $& $%FRVD UFRVD そこで_△$%& _U˜UFRVD_˜VLQD _UFRVDVLQD

E D E

D VLQ FRV VLQ

FRV

$'& _{˜ U˜ U ˜ U}

△

条件より△$'& △$%&なので

E

D VLQ

VLQ

よってD EまたはD qE

すると条件よりDE＜qなのでD Eである。

D Eより $& UFRVEとなるので ‘$&' qであり

D

E VLQ

VLQ

&' U U

さて△$&( △$'(から点(は辺&'の中点となり

D VLQ &' &( U

ここで ‘&$( Tとおくと

D D

D

T &(_$& VLQ_FRV WDQ

WDQ U_U ………①

条件より FRVD なのでD＜qからWDQD となり

WDQ

WDQD_D WDQDWDQD WDQD WDQD q

＜

D からWDQD＞なので WDQD ………②

①②より WDQT となり

VLQ

T である。

［解 説］

問題の図からも想像できますが△$&' は直角三角形です。この発見がポイント になります。

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３ 問題のページへ

皿が枚の箱と枚の箱がそれぞれ個ずつとなるのは回目に異なる目回

目に回目に出た以外の異なる目が出てさらに回目に回目 回目に出た以

外の異なる目が出ることよりその確率は

3

3

3

_{u u}

まず皿が番の箱に枚 番の箱に枚 番の箱に枚 番の箱に枚 番と番の箱に枚ずつとなるのは次のつの場合がある。

L サイコロの目が白 黒 と出るとき 出る順序は 通りよりこの確率は

u u u

LL サイコロの目が白 黒 と出るとき 出る順序は通りよりこの確率は

u u u

すると皿が枚の箱が個 枚の箱 枚の箱 枚の箱 枚の箱がそれぞれ

個ずつとなる確率は箱の番号と皿の枚数との対応を考えると

3

u u u u u

［解 説］

おもしろい確率の問題です。ではイメージをはっきりさせるために具体例か

ら考えました。どんな解法をとるにせよ注意深く疑い深く論を進める必要があ

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４ 問題のページへ

まず _{& \ [……①と' \ [DE……②}

が接しているので

E D [

[

_{[ D[D E}

_{D DE}

'

よって

_D

E ……③となり②に代入すると

[ D D [ D[ D

\ ……… ②c

ここで ②cと_{( \ [……④の交点は}

D[ D [ _[

_{[ D [ D ………⑤}

すると _{' D D D D}

ことより⑤はつねに異なる実数解をもち

_{D r D D}

[

この値を[ D E D＜ とするとE ②cと④によって囲まれる部分の面積6は

_{D E E D}

E

D

³

6

D D D D

よって6 が最小となるのは⑥よりD ③よりE ˜ のときであり

その最小値は 6 である。

［解 説］

いわゆる公式を利用する微積分の基本問題です。完答することが望まれます。

2 [

\