モナド

モナド

alg-d

http://alg-d.com/math/category/

2016 年 5 月 20 日

このPDFではC ^をstrict 2-categoryとする．

定義. lax2-functor1 −→ C^{をモナドという．また}C^{coでのモナド，即ち}oplax2-functor 1−→ C ^{をコモナドという．}

F: 1 −→ C ^{をモナドとする．}F はC ^の2-morphism ψ: id_F∗ =⇒ F(id_∗)と，次の自 然変換φを与えられているのであった．

1(∗,∗)×1(∗,∗)

C(F∗, F∗)× C(F∗, F∗) 1(∗,∗)

C(F∗, F∗)

F×F

C

=⇒

φ

C

F

故にモナドF: 1−→ C ^は対象a :=F∗^，1-morphismt :=F(id_∗) : a−→a，2-morphism µ:=φid_∗,id_∗: t◦t=⇒t，η: ida=⇒tの4つを与えると確定する．

a

a a

=⇒ µ

t t

t

a ⇒ a

η ida

t

lax 2-functorの定義から，次の等号が成り立つ．

a a

a a

⇒^µ =⇒ µ t

t

t t

t

=

a a

a a

⇐

µ

=⇒ µ t

t

t t

t

a

a a

⇒^η =⇒ _µ

t

t

t ida

=

a

a a

=⇒ _id

t

ida t

t

a

a a

η⇐

=⇒

µ t

t t

ida

=

a

a a

=⇒ _id

t

t id_a

t

逆に，a, t, µ, ηが上記の条件を満たすとすれば，lax 2-functor F: 1 −→ C^{を定義するこ} とができる．

こうしてlax2-functor F: 1−→ C ^と四つ組⟨a, t, µ, η⟩を同一視することができる．そ こで，この条件を満たす⟨a, t, µ, η⟩のこともモナドと呼ぶ．単にtのことをモナドという こともある．

図式から容易に分かるように，C^{opでのモナドは}C ^{でのモナドでもある．}

例. a ∈ C^{とするとき，}⟨a,id_a,id_ida,id_ida⟩^{はモナドである．}

例. f: a−→bとして，左Kan拡張⟨f^†f, η⟩が存在するとする．このときf^†f はコモナ ドになる．その為には，左Kan拡張の普遍性により次のµとεを取る．

b b

a b

f

f^†f

f^†f

f f^†f

=⇒

η ^µ =⇒ =

b b

a b

f

f^†f

f^†f

f

⇒= f η

=⇒

η

b

a b

f

f^†f f

id_b

=⇒

η ⇒^ε =

b

a b

f

f id_b

=⇒

idf

このとき⟨b, f^†f, µ, ε⟩がコモナドとなることが分かる．この形のコモナドをdensityコモ ナドという．同様にして右Kan拡張f^‡f はモナドとなり，これをcodensityモナドとい う．

命題 1. f ⊣ u: a −→ bを随伴とし，unitをη，counitをεとすれば，⟨a, u◦f, uε_f, η⟩ はモナドである．

a a a

b b

=⇒ _ε

f

u

idb

f

u

a a

b

=⇒ _η

f u

id_a

証明. まず結合律については

a a

a a

⇒^uεf =⇒ uε_f u◦f

u◦f

u◦f u◦f

u◦f

=

a a a a

b b b

=⇒ _ε =⇒ _ε

f

u

idb

f u f

idb

u

=

a a

a a

uεf ⇐

=⇒ uεf

u◦f

u◦f

u◦f u◦f

u◦f

となり成り立つ．単位元についても a

a a

⇒^η =⇒ _uε

u◦f f

u◦f

u◦f ida

=

a a a

b b

=⇒ η =⇒ _ε

f u

id_a

id_b f

u

=

a

a a

=⇒ _id

id_a u◦f

u◦f

a

a a

η⇐

=⇒

uεf

u◦f

u◦f u◦f

id_a

=

a a a

b b

=⇒ _η

=⇒ _ε

f

u

idb

f

u ida

=

a

a a

=⇒

id

u◦f ida

u◦f

となり成り立つ．

定義. F, F^′: 1 −→ C ^{をモナドとする．}F から F^′ へのモナド関手とは，pseudonatural transformation F =⇒F^′のことである．

モナド F を組⟨a, t, µ, η⟩^，モナドF^′ を組 ⟨a^′, t^′, µ^′, η^′⟩^{と同一視したとき，}⟨a, t, µ, η⟩ から⟨a^′, t^′, µ^′, η^′⟩へのモナド関手とは，組⟨f, φ⟩であって以下を満たすものであると言 い換えることができる．

(1) f: a −→a^′ は1-morphismでφ: t^′◦f =⇒f◦tは2-morphismである．

a a^′

a a^′

⇐=_φ

f

t^′ t

f

(2) φ◦η_f^′ =f ηである．

a a^′

a a^′

⇐=_φ ⇐^η′

f

t^′ t

f

id_a′ =

a a^′

a a^′

⇐^η =

f

id_a′

t

f ida

(3) µ◦φ_t◦t^′φ=φ◦µ^′_f である．

a a^′

a a^′

a a^′

⇐=_φ

⇐=

φ

⇐^µ

f

t^′ t

f t^′ t

f

t =

a a^′

a^′

a a^′

⇐=_φ ⇐^µ′

f

t^′

t^′ t

f t^′

⟨a, t, µ, η⟩^から⟨a^′, t^′, µ^′, η^′⟩^{へのモナド関手を}⟨f, φ⟩: ⟨a, t, µ, η⟩ −→ ⟨a^′, t^′, µ^′, η^′⟩^，もし くは単にf: t −→t^′ で表す．

定義. F, F^′: 1−→ C ^{をモナド，}σ, τ: F =⇒F^′ をモナド関手とする．σ からτ へのモナ ド関手変換とはmodification σ _*4 τ のことである．

σ, τ を ⟨f, φ⟩, ⟨g, ψ⟩ ^{と同一視すれば，}⟨f, φ⟩ ^から ⟨g, ψ⟩ へのモナド関手変換とは，

2-mophism σ: f =⇒gであって次の等式を満たすものである．

a a^′

a a^′

f

t^′

t f

⇒ =

φ

g

⇒ σ

=

a a^′

a a^′

g

t^′ t

g

⇒ =

ψ f⇒

σ

Monad(C) := Funlax(1,C)とすれば，Monad(C)は対象をモナド，1-morphismをモナ ド関手，2-morphismをモナド関手変換とするstrict 2-categoryである．

a, b ∈ C を対象，f, g: a −→ b を1-morphism，φ: f =⇒ g を2-morphismとする．

Inc_C(a) :=⟨a,ida,idida,idida⟩^{はモナドであり}Inc_C(f) :=⟨f,idf⟩: Inc_C(a) −→Inc_C(b) はモナド関手，Inc_C(φ) := φ: f =⇒ g はモナド関手変換である．こうして strict 2- functor Inc_C: C −→Monad(C)が得られる．

逆にモナド⟨a, t, µ, η⟩^{，モナド関手}⟨f, φ⟩^{，モナド関手変換}σに対してU_C(⟨a, t, µ, η⟩) :=

a，U_C(⟨f, φ⟩) :=f，U_C(σ) :=σと定めればU_C: Monad(C)−→ C^はstrict 2-functorで ある．

命題 2. Cat-随伴U_C ⊣Inc_C: Monad(C)−→ C ^{が成り立つ．}

証明. 略

一般に，Inc_C は右随伴を持つとは限らない．Inc_C の右随伴が存在するとき，それを Alg_C で表す．

定義. ⟨a, t, µ, η⟩をモナドとする．モナド関手⟨h, ξ⟩: Inc_C(x) −→ t を左t-加群という．

即ち⟨h, ξ⟩は以下の条件を満たす．

• h: x−→aは1-morphismでξ: t◦h =⇒hは2-morphismである．

x

a

a

h t h

⇐=

ξ

• 次の等式が成り立つ．

a

x a

a

h h

h

t

⇐=

ξ

=⇐ t ξ

=

a

x a

a

h

h

t

t t ⇐^µ=

⇐=

ξ

a

x a

η⇐

=⇒

ξ h

t h

id_a

=

a

x a

=⇒ _id

h

h

h

id_a

定義. モナド⟨a, t, µ, η⟩^の普遍左t-加群とは左t-加群⟨u: a^t → a, φ: t◦u ⇒u⟩^であっ て，以下の条件を満たすものをいう．

• ⟨h: x →a, ξ: t◦h ⇒ h⟩^が左t-加群ならば，1-morphism f: x −→a^t が一意に 存在して次の等式が成り立つ．

x a^t

a

a

t u

uφ ⇐=

==

h

h

f = x

a

a

t h

h

⇐=

ξ

• ⟨h, ξ⟩^，⟨h^′, ξ^′⟩^を左t-加群とする．上記の条件によりf, f^′: x−→a^t が取れる．

x a^t

a

a

t u

uφ ⇐=

==

h

h

f = x

a

a

t h

h

⇐=

ξ

x a^t

a

a

t u

uφ ⇐=

==

h^′

h^′ f^′

= x

a

a

t h^′

h^′

⇐=

ξ^′

2-morphismσ: h=⇒h^′が次の等式を満たすとき

x

a

a

h

h^′ t h^′ _ξ′ ⇐=

⇐

σ

= x

a

a

h

h t

h^′

⇐=

ξ

⇐^σ

2-morphismτ: f =⇒f^′ が一意に存在してu◦τ =σとなる．

x a^t b

f

⇐^τ

f^′

u = x b

h

⇐^σ

h^′

またa^t をモナドtのEilenberg-Moore対象という．

定理 3. Alg_C が存在するならば，任意のモナド⟨a, t, µ, η⟩^に対してAlg_C(t)はモナドtの Eilenberg-Moore対象である．

証明. 随伴Inc_C ⊣Alg_C のcounitが定めるモナド関手を⟨u^t, δ^t⟩: Inc_C(Alg_C(t))−→tと する．即ち⟨u^t, δ^t⟩^は左t-加群である．

Alg_C(t) a

Alg_C(t) a

⇐=

δ^t u^t id t

u^t

⟨u^t, δ^t⟩^が普遍左t-加群であることを示すため，⟨h, ξ⟩^を左t-加群とする．

x

a

a

h t h

⇐=

ξ

即ち⟨h, ξ⟩^{はモナド関手}Inc_C(x)−→tである．

x a

x a

⇐=_ξ

h id t

h

随伴Inc_C ⊣Alg_C で⟨h, ξ⟩: Inc_C(x)−→ tに対応するf: x −→Alg_C(t)を取る．⟨u^t, δ^t⟩ の取り方から，次の等式が成り立つ．

x Alg_C(t) a

x Alg_C(t) a

⇐=

idf ⇐=

δ^t

f u^t

id ida t

f u^t

=

x a

x a

⇐=

ξ h id_b t

h

これは書きかえれば次の図式となる．随伴Inc_C ⊣ Alg_C の性質から f が一意であること も分かる．

x Alg_C(t)

a

a

t u^t

u^t

⇐=

δ^t

==

h

h

f = x

a

a

t h

h

⇐=

ξ

次に⟨h, ξ⟩^，⟨h^′, ξ^′⟩ ^を左t-加群として 2-morphism σ: h =⇒ h^′ が次の等式を満たすと する．

x

a

a

h

h^′ t h^′ _ξ′ ⇐=

⇐

σ

= x

a

a

h h t

h^′

⇐=

ξ

⇐^σ

このときσ はモナド関手変換⟨h, ξ⟩=⇒ ⟨h^′, ξ^′⟩を与える．よって随伴Inc_C ⊣Alg_C によ る圏同型

Monad(C)(Inc_C(x), t)∼=C(x,Alg_C(t))

でσ: ⟨h, ξ⟩ =⇒ ⟨h^′, ξ^′⟩: Inc_C(x) −→ tに対応するτ: f =⇒ f^′: x −→ a^t が取れる．こ のときcounitの性質からu^t◦τ =σであり，このようなτ は一意である．

以上により⟨u^t, δ^t⟩^は普遍左t-加群である．

逆に

定理 4. 任意のモナドt に対してEilenberg-Moore対象が存在するならば Alg_C が存在 する．

証明. まず以下のように定義する．

• モナド⟨a, t, µ, η⟩^に対してAlg_C(t) :=a^t と定める．

• ⟨a, t, µ, η⟩^，⟨a^′, t^′, µ^′, η^′⟩^{をモナド，}⟨f, φ⟩: t−→t^′をモナド関手とする．a^t′ の普 遍性によりAlg_C(⟨f, φ⟩) : a^t −→a^t′ を定める．

Alg_C(t) Alg_C(t^′)

a a^′

a a^′

u^t′

u^t′

⇐=

δ^t′

==

u^t

u^t Alg_C(f)

f

t^′

f

= Alg_C(t)

a a^′

a a^′

t u^t

u^t

⇐=

δ^t

f

t^′

f

⇐=_φ

• ⟨a, t, µ, η⟩^，⟨a^′, t^′, µ^′, η^′⟩^{をモナド，}⟨f, φ⟩: t −→ t^′ をモナド関手，σ: ⟨f, φ⟩ =⇒

⟨f^′, φ^′⟩をモナド関手変換とする．このときσ は次の等式を満たす．

a a^′

a a^′

f^′

t^′ t

f^′

⇒ =

φ^′ f⇒

σ

a^t

u^t

u^t

⇐=

ξ =

a a^′

a a^′

f

t^′

t f

⇒ =

φ

f^′

⇒ σ

a^t

u^t

u^t

⇐=

ξ

よ っ て Alg_C(σ) : Alg_C(⟨f, φ⟩) =⇒ Alg_C(⟨f^′, φ^′⟩) が 一 意 に 存 在 し て u^t′ ◦ Alg_C(σ) =σ◦u^t となる．

これはstrict 2-functor Alg_C: Monad(C)−→ C を与えることが分かる．Inc_C ⊣ Alg_C を 示せばよい．その為にはx, tについて自然な圏同型

Φ_xt: Monad(C)(Inc_C(x), t)∼=C(x, a^t)

を構成すればよい．Φxt をa^t の普遍性により自然に定めれば，Φxt は圏同型を与える．

よってこのΦ_xtが自然であればよい．以下，簡単のためM(x, t) := Monad(C)(Inc_C(x), t) と書く．

まずxについて自然であることを示す．その為には2-morphism α: f =⇒g: x−→x^′ に対して等式

M(x^′, t) ^Φx′t C(x^′, a^t) C(x, a^t)

−◦f

−◦g

⇐^−◦α = M(x^′, t) M(x, t) C(x, a^t)

−◦⟨f,idf⟩

−◦⟨g,idg⟩

⇐^{−◦α Φxt}

を示せばよい．まずΦ_x′t(−)◦f = Φ_xt(− ◦ ⟨f,id_f⟩)を示す．

...

) ⟨h, ξ⟩: Inc_C(x^′) −→ t をモナド関手，すなわち左 t-加群とする．普遍性から x^′ −→a^t が取れて，これがΦ_x′t(h)である．

x^′ a^t

a

a

t u^t

u^t

⇐=

δ^t

==

h

h Φ_x′t(h)

= x^′

a

a

t h

h

⇐=

ξ

一方，左t-加群h◦f に対応するのがΦ_xt(h◦f)である．

x a^t

x^′ a

x^′ a

u^t

u^t

⇐=

δ^t

==

f

f Φxt(h◦f)

h

t

h

= x

x^′ a

x^′ a

id_x′

f

f

⇐=

id_f

h

t

h

⇐=_ξ

よって普遍性からΦ_x′t(h)◦f = Φ_xt(h◦f)となることが分かる．次にσ: ⟨h, ξ⟩=⇒

⟨h^′, ξ^′⟩: Inc_C(x^′)−→tをモナド関手変換とする．Φx^′t(σ)は次の等式を満たす．

x^′ a^t a

Φ_x′t(h)

⇐^Φx′t(σ)

Φ_x′t(h^′)

u^t

= x^′ a

h

⇐^σ

h^′

一方Φ_xt(σ◦f)は次の等式を満たす．

x^′ a^t a

Φ_xt(h◦f)

⇐^Φxt(σ◦f)

Φ_xt(h^′◦f)

u^t

= x ^f x^′ a

h

⇐^σ

h^′

よって普遍性からΦ_x′t(σ)◦f = Φ_xt(σ◦f)である．

以上によりΦx^′t(−)◦f = Φxt(− ◦ ⟨f,idf⟩)である．

次に自然変換の等式 Φ_x′t(−)◦α = Φ_xt(− ◦α)を示す．その為には左t-加群 ⟨h, ξ⟩^に 対してΦx^′t(h)◦α= Φxt(h◦α)を示せばよいが，これも普遍性から簡単にわかる．

次に t について自然であることを示す．その為にはモナド関手変換 σ: ⟨f, φ⟩ =⇒

⟨g, ψ⟩: t −→t^′ に対して等式

M(x, t) ^Φxt C(x, a^t) C(x, a^t′)

Alg(f)◦−

Alg(g)◦−

⇐^{Alg(σ)◦−} = M(x, t) M(x, t^′) C(x, a^t′)

⟨f,φ⟩◦−

⟨g,ψ⟩◦−

⇐

σ◦− Φ_xt′

を示せばよい．まずAlg_C(f)◦Φ_xt(−) = Φ_xt′(⟨f, φ⟩ ◦ −)を示す．

...

) ⟨h, ξ⟩: Inc_C(x)−→tをモナド関手，すなわち左t-加群とする．Φxt(h),Alg_C(f) は次の等式で与えられる．

x a^t

a

a

t u^t

u^t

⇐=

δ^t

==

h

h Φxt(h)

= x

a

a

t h

h

⇐=

ξ

a^t a^t′

a a^′

a a^′

u^t′

u^t′

⇐=

δ^t′

==

u^t

u^t

Alg_C(f) f

t^′

f

= a^t

a a^′

a a^′

t u^t

u^t

⇐=

δ^t

f

t^′

f

⇐=_φ

よってAlg_C(f)◦Φ_xt(h)は

a^t a^t′

a a^′

a a^′

u^t′

u^t′

⇐=

δ^t′

==

u^t

u^t

Alg_C(f) f

t^′

f

x

h

h Φxt(h) ==

= a^t

a a^′

a a^′

t u^t

u^t

⇐=

δ^t

f

t^′

f

⇐=_φ x

h

h Φxt(h) ==

=

a a^′

a a^′

=⇐ t ξ

f

t^′

f

⇐=_φ x

h

h

より Alg_C(f) ◦ Φ_xt(h) = Alg_C(f ◦ h) となることが分かる．次に σ: ⟨h, ξ⟩ =⇒

⟨h^′, ξ^′⟩: Inc_C(x)−→ tをモナド関手変換とする．Φxt(σ)，Φxt^′(f ◦σ)は次の等式で 与えられる．

x a^t a

Φxt(h)

⇐^Φxt(σ)

Φxt(h^′)

u^t

= x a

h

⇐^σ

h^′

x a^t′ a^′

Φ_xt′(f◦h)

⇐^{Φxt′(f◦σ)}

Φ_xt′(f◦h^′)

u^t

= x a a^′

h

⇐^σ

h^′

f

よってAlg_C(f)◦Φ_xt(σ) = Φ_xt′(f ◦σ)である．

以上によりAlg_C(f)◦Φxt(−) = Φxt^′(⟨f, φ⟩ ◦ −)である．

後は自然変換について示せばよい．つまり左t-加群⟨h, ξ⟩^に対してAlg_C(σ)◦Φ_xt(h) = Φ_xt′(σ◦h)を示せばよいがこれも普遍性から分かる．

よって，以下a^t = Alg_C(t)と書くことにする．

定理 5. Alg_C が存在するならば，任意のモナド⟨a, t, µ, η⟩^{は随伴から命題}1の方法で得 られる．

証明. ⟨t, µ⟩^は左t-加群を定める．

a

a

a

t t t

⇐=

µ

よってf^t: a−→a^t が一意に存在して次の等式が成り立つ．

a a^t

a

a

t u^t

u^t_δ^t ⇐=

==

t

t f^t

= a

a

a

t t

t

⇐=

µ

特にt =u^t◦f^t である．故に，f^t ⊣u^tを示して，この随伴から命題1の方法で得たモナ ドが⟨a, t, µ, η⟩と一致することを示せばよい．

δ^t: t◦u^t =⇒u^t はモナド関手変換⟨t, µ⟩ ◦ ⟨u^t,idu^t⟩=⇒ ⟨u^t, δ^t⟩^{を定める．}

... )

a^t a a

a^t ⇐= a a

id_ut ⇐=_µ

u^t t

id_at id_a t

u^t t

u^t

⇐^δt

=

a^t a

a

a^t a

⇐=

δ^t ⇐^µ

u^t

t

t id_at

u^t t

=

a^t a

a^t a

a^t a

⇐=

δ^t

⇐=

δ^t

⇐^id

u^t

id t

u^t t id

u^t

id =

a

a^t a

a^t a

⇐=

δ^t u^t

t id

u^t

u^t t

⇐^δt

よって，随伴による圏同型

Monad(C)(Inc_C(a^t), t)∼=C(a^t, a^t)

でδ^t: t◦u^t =⇒u^t: Inc_C(a^t)−→tに対応するε^t: k =⇒id : a^t −→a^t が取れる．counit の性質から⟨u^t, δ^t⟩ ◦ ⟨k,id⟩=⟨t, µ⟩ ◦ ⟨u^t,id_u^t⟩^，u^t◦ε =δ^t である．

a^t a^t a

a^t a^t a

⇐=

idk ⇐=

δ^t

k u^t

id id_a t

k u^t

=

a^t a a

a^t a a

⇐=

id_ut ⇐=_µ

u^t t

id id_a t

u^t t

a^t ⇐ ^ε a^t a

k

id_at

u^t

= a^t a^t

⇐^δt a

u^t t

u^t

t=u^t ◦f^t だからu^t◦k =u^t◦f^t◦u^tであり，よってu^t の普遍性からk =f^t◦u^t が分 かる．またu^tεf^t =δ_f^tt =µである．

後はη, ε^t が随伴f^t ⊣u^t: a −→a^t を与えることを示せばよい．まず

a a a

a^t a^t

⇐=η

⇐=_ε^t =

id

f^t u^t

f^t

id

id

u^t

=

a a a

a^t a^t

=⇐η

δ^t

⇐=

id

f^t u^t

id

t

u^t

=

a a^t a

a a^t a

⇐=_id

f t ⇐=

δ^t

⇐^η

f^t u^t

id id t

f^t u^t

id

=

a a

a ⇐=_µ a

⇐^η

t

id t

t id

=

a a

a a

⇐=

id_t

id t

t id

よりu^t(ε^t_ft ◦f^tη) = id_t であるから，ε_f^t ◦f^tη= id_f^t が分かる．また

a a

a^t ⇐=_ε^t a^t⇐=η

u^t f^t

id

id

u^t

= a a

a^t a^t

⇐=_δ^t ⇐^η

u^t

id

id

t

u^t

=

a^t a

a^t a

⇐=

δ^t ⇐^η

u^t

id t

u^t

id =

a^t a

a^t a

⇐^id =

u^t

id id

u^t id

よりu^tε^t ◦ηu^t = idu^t である．

定理 6. Alg_C が存在するとする．随伴 f ⊣ u: a −→ b のunit を η，counit を ε と する．f ⊣ u から得られるモナドを ⟨a, t, µ, η⟩ ^{とする．定理} 5 により，モナド t から 随伴 f^t ⊣ u^t: a −→ a^t (unit はη，counit は ε^t) が得られる．このとき1-morphism h: b−→ a^t が一意に存在してu^t ◦h =u，u^tεh = (u^t ◦h)εとなる．更にf ◦h = f^t か つhε=ε^t_h である．

a

b a^t

f

u f^t u^t

h

証明. ⟨u, u◦ε⟩: Inc_C(b)−→tはモナド関手，よって左t-加群である．

b a

b

b a

u f

u idb

u idb_ε⇐= ⇐=

idu

故にh: b−→a^t が存在して次の等式が成り立つ．

b a^t a

b

b a^t a

h u^t

f

u idb

h u^t

⇐=

δ^t

⇐=

idh

id =

b a

b

b a

u

f

u id_b

u idb _ε ⇐=

⇐=

idu

従ってu^t ◦h=u，δ^t_h =uεである．δ^t =u^tεだったからu^tεh = (u^t ◦h)εとなる．

a^t a

b

a^t a

u^t f

u u^t

⇐=

δ^t

id =

a^t a

b

a^t a

u^t f

u u^t id

f^t

⇐=_εt

=

このようなhの一意性はu^tの普遍性から分かる．

tの定義からµ=uεf だったから

a b a^t a

b

a b a^t a

h u^t

f

u id_b

h u^t

⇐=

δ^t

⇐=

idh

id_at f

ida

f

⇐=

idf

=

a b a

b

a b a

u

f

u id_b

u idb ε ⇐=

⇐=

id_u f

ida

f

⇐=

idf