解析学 C ：問題と解説

(1) y = Ce (2) y = tan(x + C) (3) x − Cx − y = 0

解説

(1) 1

y ^′ = C( − 2x)e ^{− x}

= − 2xy.

y ^′ = − 2xy.

図

1.1: C = 0, ± 0.5, ± 1.0, ± 1.5, ± 2 (2) 1

y ^′ = 1

cos ² (x + C) = 1 + tan ² (x + C) = 1 + y ² .

y ^′ = 1 + y ² .

(3) x

1

2x − C − y ^′ = 0.

よって

C = 2x − y ^′ .

x ² − (2x − y ^′ )x − y = 0.

整理して,

xy ^′ − x ² − y = 0.

図

1.2: C = 0, − π/10, − 2π/10, − 3π/10, − 4π/10, − 5π/10, − 6π/10

図

1.3: C = 0, ± 1, ± 2, ± 3

2

CD

.

t ≥ 0

y(t)

.

y(t)

y ^′ (t) = ky(t), k > 0

(2.1)

をたてた. しかし, この方程式の解は

t → ∞

y(t) → ∞

M > 0 (定数)

t

CD

(これから買ってく

)

M − y(t)

, y(t)

M − y(t)

,

y ^′ (t) = ky(t)(M − y(t)), k > 0

(2.2)

.

.

(1)

(2.1)

,

. (2)

(2.2)

解説

(1)

y = Ce ^kt (C

(2)

y = 0

y = M (これらは定数関数)

変数分離型である.

dy

dt = ky(M − y)

dy

y(M − y) = kdt. (2.3)

左辺の積分は,

∫ dy y(M − y) =

∫ 1 M

( 1

y + 1 M − y

) dy

= 1

M (log | y | − log | M − y | )

= 1 M log

y M − y

.

(2.3)

1 M log

y M − y

= kt + C.

よって,

y M − y

= e ^M(kt+C) = e ^C e ^{M kt} .

さらに,

y

M − y = ± e ^C e ^{M kt} .

ここで

± e ^C

C

C ̸ = 0

y

,

y = CM e ^{kM t}

1 + Ce ^{kM t} = CM C + e ^{− kM t} .

C = 0

1

y = 0

y = CM

C + e ^{− kM t} C

, y = M. (2.4)

図

2.2: C = 1, M = 6, k = 1/4

.

(注意)

y = M

(2.4)

C

C → ±∞

y = M

y = M

1 + C ^{− 1} e ^{− kM t}

, C ^{− 1}

C

,

y = M

1 + Ce ^{− kM t} C

の形で一般解が得られる.

C = 0

y = M

C

y = 0

.

3

.)

(1) y ^′ sin 2x = y cos 2x (2) xy ^′ = 3x + 3y (3) y ^′ = y + x y − x

解説

(1)

dy

y = cos 2x sin 2x dx

,

.

∫ dy y =

∫ cos 2x

sin 2x dx = ⇒ log | y | = 1

2 log | sin 2x | + C.

したがって,

2 log | y | = log | sin 2x | + 2C = log e ^2C | sin 2x | = ⇒ y ² = e ^2C | sin 2x | .

図

3.1: C = ± 0.5, ± 1.0, ± 1.5, ± 2.0

± e ^2C

C

y ² = C sin 2x C

(

) y ^′

y = cos 2x

sin 2x

,

x

,

∫ y ^′ y dx =

∫ cos 2x sin 2x dx.

計算して

2 log | y | = log | sin 2x | + C.

. (2)

x

y ^′ − 3

x y = 3 (3.1)

となり, 1階線形方程式である. まず,

y ^′ − 3

x y = 0 (3.2)

を解く

.

, dy

y = 3

x dx = ⇒

∫ dy y =

∫ 3 x dx.

積分を計算して,

log | y | = 3 log | x | + C = ⇒ | y | = C | x | ³ = ⇒ y = Cx ³ .

(3.1)

.

y = C(x)x ³

, (3.1)

, C ^′ x ³ + 3Cx ² − 3

x Cx ³ = 3 = ⇒ C ^′ x ³ = 3

C ^′ = 3

x ³ = ⇒ C(x) = − 3

2x ² + K K

したがって,求める解は,

y =

(

− 3 2x ² + K

)

x ³ = − 3

2 x + Kx ³ .

‑4

‑2 0 2 4

‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3

図

3.2: K = 0, ± 0.5, ± 1.0, ± 1.5

(3)

. y = xu

, u + xu ^′ = xu + x

xu − x = u + 1 u − 1 .

xu ^′ = u + 1

u − 1 − u = − u ² + 2u + 1 u − 1 .

u − 1

− u ² + 2u + 1 du = dx

x (3.3)

左辺の積分は

∫ u − 1

− u ² + 2u + 1 du = − 1 2

∫ ( − u ² + 2u + 1) ^′

− u ² + 2u + 1 du = − 1

2 log | − u ² + 2u + 1 |

− 1

2 log | − u ² + 2u + 1 | =

∫ dx

x = log | x | + C = ⇒ 1

− u ² + 2u + 1 = Cx ² .

Cx ² = 1

− (y/x) ² + 2(y/x) + 1 = x ²

− y ² + 2yx + x ² = ⇒ x ² + 2xy − y ² = C

(

) 2

ax ² + 2cxy + by ² + dx + ey + f = 0

(

= X ² (sin ² θ + 2 sin θ cos θ − cos ² θ)

+ 2XY ( − 2 cos θ sin θ − cos ² θ + sin ² θ) + Y ² (cos ² θ − 2 cos θ sin θ − sin ² θ)

= X ² (sin 2θ − cos 2θ) − 2XY (sin 2θ + cos 2θ) − Y ² (sin 2θ − cos 2θ)

sin 2θ − cos 2θ = 0

となるように

θ = π/8

X ² , Y ²

.

,

, C = − 2XY (sin 2θ + cos 2θ) = − 2 √

2 XY.

定数をおきなおせば

,

XY = C

.

図

3.3:

4

(1) xy ^′ = e ^{− xy} − y (xy = u) (2) y ^′ = (x + e ^x − 1) e ^{− y} (x + e ^y = v)

解説

(1) xy = u

y + xy ^′ = u ^′ .

u ^′ − y = e ^{− u} − y = ⇒ u ^′ = e ^{− u} = ⇒ e ^u du = dx.

これは変数分離形であり, 積分して,

e ^u = x + C

,

e ^xy = x + C = ⇒ y = log(x + C) x

として一般解が得られる

. C = 1

, x = 0

,

C

x = 0

図

4.1: C = − 1, − 2, 0, 0.8, 0.9, 1, 2, 3 (2) x + e ^y = v

x

,

1 + y ^′ e ^y = v ^′

y ^′ e ^y + 1 = x + e ^x

v ^′ = x + e ^x

v = x ²

2 + e ^x + C.

よって,

x + e ^y = x ²

2 + e ^x + C ⇒ y = log ( x ²

2 − x + e ^x + C )

.

図

4.2: C = 0, ± 0.5, ± 1, 4, 8, − 2

5

(C

.

(1) x ² + 2y ² = C (2) cosh(x ³ y) = C (3) tan x = C tan y

解説

(1)

2

xdx + 2ydy = 0.

図

5.1: x ² + 2y ² = C, C = 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2 (2) cosh(x ³ y) = C

x ³ y = C

3x ² ydx + x ³ dy = 0. (5.1)

(3) tan x

tan y = C

. 1

tan y 1

cos ² x dx + tan x − 1 tan ² y

1

cos ² y dy = 0

‑4

‑2 0 2 4

‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3

図

5.2: x ³ y = C, C = ± 0.01, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4

1

cos ² x tan y dx − tan x

sin ² y dy = 0 (5.2)

0

π π π

0 π

図

5.3: tan x = C tan y, C = ± 0.25, ± 0.5, ± 0.75, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 (注意) (5.1)

3ydx + xdy = 0

3

x dx + 1

y dy = 0

.

また, (5.2) を整理したつもりになって,

1

cos ² x dx − tan x

tan y cos ² y dy = 0

(3) 3re ^3θ dθ + e ^3θ dr = 0

解説

f (x, y)dx + g(x, y)dy = 0

∂f

∂y = ∂g

∂x

であるから

,

. (1)–(3)

,

u(x, y) = C

∂u

∂x = f(x, y), ∂u

∂y = g(x, y),

の関係式から, 視察によって解がすぐわかる. 公式

(教科書 p. 12)

(1) x ³ − xe ^y = C (2) cosh x cos y = C (3) re ^3θ = C

7

,

. (1) xy ^′ + y = sin 2x (2) x ² y ^′ + 2xy − x + 1 = 0

解説

(1)

xy ^′ + y = 0

y = C

x .

y = C(x)

x

(定数変化法).

xy ^′ + y = x C ^′ (x)x − C(x)

x ² + C(x)

x = C ^′ (x)

図

7.1: C = 0, ± 1, ± 2, +3

C ^′ (x) = sin 2x

C(x) = − 1

2 cos 2x + C.

y = − cos 2x + C

2x .

C = 1

x = 0

C

x = 0

(2)

, x ² y ^′ + 2xy = 0

, y = C

x ² .

,

y = C(x)

x ²

と想定して解く

(定数変化法).

C ^′ (x) − x + 1 = 0.

これを解いて,

C(x) = x ²

2 − x + C.

よって, 求める解は,

y = 1 2 − 1

x + C x ² .

8 (1) 2

y = f (x)

y = g(x)

P (x ₀ , y ₀ )

P

θ

.

(2)

y = Cx ²

図

7.2: C = 0, ± 0.1, ± 0.25, ± 0.5, ± 1

解説

(1) 2

y = f (x), y = g(x)

(P (x ₀ , y ₀ )

f ^′ (x ₀ ), g ^′ (x ₀ )

x

θ ₁ , θ ₂

f ^′ (x ₀ ) = tan θ ₁ , g ^′ (x ₀ ) = tan θ ₂ ,

θ

θ = | θ ₁ − θ ₂ |

tan(θ ₁ − θ ₂ ) = tan θ 1 − tan θ 2

1 + tan θ ₁ tan θ ₂

tan | θ | = | tan θ 1 − tan θ 2 |

1 + tan θ ₁ tan θ ₂ = | f ^′ (x 0 ) − g ^′ (x 0 ) | 1 + f ^′ (x ₀ )g ^′ (x ₀ ) .

(2)

y = f (x) = Cx ²

y ^′ = 2Cx = 2x × y

x ²

から

y ^′ = 2y x

のように求められる. つまり,点

(x, y)

2y/x

y = g(x)

y ^′ = − x 2y

x ²

2 + y ² = C, C

9

4y ^′′ + 4y ^′ + 5y = 0 (E2)

について次の問に答えよ.

(1) (E2)

(2)

y(0) = 1, y(π/2) = 1

(E2)

y = y(x)

( −∞ < x < + ∞ )

.

解説

(1)

4λ ² + 4λ + 5 = 0

λ = − 1

2 ± i.

{ e ⁽⁻

^+i)x , e ⁽⁻

^−i)x } .

y = C 1 e ^{( −}

^+i)x + C 2 e ^{( −}

^{− i)x} .

実数を扱っているので, もう少し整理するのが良い.

y = C ₁ e ^{− x/2} (cos x + i sin x) + C ₂ e ^{− x/2} (cos x − i sin x).

実部を取り出して

,

C 1 , C 2

, y = e ^{− x/2} (C ₁ cos x + C ₂ sin x) (2)

(1)

1 = C 1 , 1 = e ^{− π/4} C 2

よって求める特殊解は,

y = e ^{− x/2} (cos x + e ^π/4 sin x).

10

y ^′′ − y ^′ − 6 = − 7 sin x − cos x + 2 sin 2x − 10 cos 2x (E1)

(1) y ^′′ − y ^′ − 6y = 0

.

(2) (E1)

1

(3) (E1)

.

(4)

y(0) = 1, y ^′ (0) = 6

(E1)

,

y = y(x)

解説

(1)

ρ ² − ρ − 6 = 0

ρ = 3, − 2.

,

{ e ^3x , e ^{− 2x} }

,

y = C ₁ e ^3x + C ₂ e ^{− 2x} .

(2) y = a sin x + b cos x + c sin 2x + d cos 2x

a, b, c, d

y = sin x + cos 2x

(3) (1)

(2)

. y = C 1 e ^3x + C 2 e ^{− 2x} + sin x + cos 2x.

(4) (3)

,

1 = y(0) = C ₁ + C ₂ + 1.

また

, y ^′ = 3C 1 e ^3x − 2C 2 e ^{− 2x} + cos x − 2 sin 2x.

, 6 = y ^′ (0) = 3C ₁ − 2C ₁ + 1.

上の

2

C ₁ = 1, C ₂ = − 1.

y = e ^3x − e ^{− 2x} + sin x + cos 2x.

x > 0

e ^3x

, x < 0

− e ^{− 2x}

. y = y(x)

,

11

y ^′′ + 2y ^′ = x ² + 1 − 4 sin 2x − 4 cos 2x (両辺を 1

解説 まず

, y ^′′ + 2y ^′ = 0

,

y = C ₁ e ^{− 2x} + C ₂ (11.1)

が得られる. 特殊解を求めるのに, 計算の便利さのため方程式を

2

y = ax ³ + bx ² + cx + d

y ^′′ + 2y ^′ = x ² + 1

y = x ³ 6 − x ²

4 + 3

4 x. (11.2)

また

, y = a sin 2x + b cos 2x

y ^′′ + 2y ^′ = − 4 sin 2x − 4 cos 2x

y = cos 2x (11.3)

よって求める一般解は

(11.1)–(11.3)

, y = x ³

6 − x ² 4 + 3

4 x + C ₁ + C ₂ e ^{− 2x} + cos 2x

解説

(1) y = C ₁ y ₁ (x) + C ₂ y ₂ (x)

(12.1)

.

(2) y = x ^m

y ^′ = mx ^{m − 1} , y ^′′ = m(m − 1)x ^{m − 2}

(12.1)

2x ² m(m − 1)x ^{m − 2} − 3xmx ^{m − 1} − 3x ^m = 0.

整理して

2m(m − 1)x ^m − 3mx ^m − 3x ^m = (2m ² − 5m − 3)x ^m = 0.

よって,

2m ² − 5m − 3 = 0 (12.2)

を満たす

m

y = x ^m

(12.1)

m = 3, − 1/2

, y = x ^{− 1/2}

y = x ³

(12.1)

. (1)

,

y = C ₁ x ^{− 1/2} + C ₂ x ³

も方程式

(12.1)

2

である

.

(3)

y = y(x)

x = e ^t

y = y(e ^t )

t

u(t) = y(e ^t )

du

dt = y ^′ (e ^t )e ^t , d ² u

dt ² = y ^′′ (e ^t )e ^2t + y ^′ (e ^t )e ^t .

y ^′ (e ^t ) = e ^{− t} du

dt , y ^′′ (e ^t )e ^2t = e ^{− 2t} d ² u

dt ² − e ^{− t} y ^′ (e ^t ) = e ^{− 2t} d ² u

dt ² − e ^{− 2t} du

dt . (12.3)

(12.1)

x = e ^t

2e ^2t y ^′′ (e ^t ) − 3e ^t y ^′ (e ^t ) − 3y(e ^t ) = 0

(12.3)

(

2 d ² u

dt ² − 2 du dt

)

− 3 du

dt − 3u = 2 d ² u

dt ² − 5 du

dt − 3u = 0

が得られる

.

2

,

2ρ ² − 5ρ − 3 = 0

ρ = − 1/2, 3

u(t) = C ₁ e ^{− t/2} + C ₂ e ^3t

y(e ^t ) = u(t)

y(x) = C ₁ x ^−1/2 + C ₂ x ³

.

(注意)

x ² y ^′′ + axy ^′ + by = 0 (a, b

)

をコーシーの方程式またはオイラーの方程式という

. y = x ^m

m

(上問の (12.2))

13

(x + 3)y ^′′ − (4x + 13)y ^′ + (4x + 14)y = (x + 4)e ^x (13.1)

(1) y = u(x)e ^2x

, u

.

(2) (1)

, u ^′ = z

z

1

(3) (2)

u, y

解説

(1) y = u(x)e ^2x

,

y = ue ^2x , y ^′ = (u ^′ + 2u)e ^2x , y ^′′ = (u ^′′ + 4u ^′ + 4u)e ^2x .

(13.1)

(x + 3)(u ^′′ + 4u ^′ + 4u)e ^2x − (4x + 13)(u ^′ + 2u)e ^2x + (4x + 14)ue ^2x = (x + 4)e ^x .

,

(x + 3)u ^′′ + { 4(x + 3) − (4x + 13) } u ^′

+ { 4(x + 3) − 2(4x + 13) + (4x + 14) } u = (x + 4)e ^{− x}

積分して

,

log | x | − log | x + 3 | = C ⇐⇒ z = C(x + 3).

次に, (13.2)の解を

z = u(x)(x + 3)

z ^′ = u ^′ (x + 3) + u

u ^′ (x + 3) + u − u(x + 3)

x + 3 = x + 4

x + 3 e ^{− x} ⇐⇒ u ^′ = x + 4 (x + 3) ² e ^{− x} .

u =

∫ x + 4

(x + 3) ² e ^{− x} dx =

∫ x + 3 + 1 (x + 3) ² e ^{− x} dx

=

∫ ( 1

x + 3 + 1 (x + 3) ²

)

e ^{− x} dx =

∫ 1

x + 3 e ^{− x} dx +

∫ 1

(x + 3) ² e ^{− x} dx

= 1

x + 3 ( − e ^{− x} ) −

∫ − 1

(x + 3) ² ( − e ^{− x} )dx +

∫ 1

(x + 3) ² e ^{− x} dx + C

= − e ^{− x} x + 3 + C.

したがって, (13.2)の解は,

z = u(x + 3) = − e ^{− x} + C(x + 3).

u ^′ = z

, u =

∫

z dx =

∫

{− e ^{− x} + C(x + 3) } dx = e ^{− x} + C

2 (x + 3) ² + C ^′ .

u = e ^{− x} + C 1 (x + 3) ² + C 2 .

, y = ue ^2x

,

y = (e ^{− x} + C ₁ (x + 3) ² + C ₂ )e ^2x = e ^x + (C ₁ (x + 3) ² + C ₂ )e ^2x

= e ^x + (C ₁ x ² + 6C ₁ x + 9C ₁ + C ₂ )e ^2x .

y = e ^x + { C ₁ (x ² + 6x) + C ₂ } e ^2x .

14

4x ² y ^′′ + 4x ³ y ^′ + (x ² + 1) ² y = 0 (14.1)

y = u(x)e ^{− x}

^/4

解説

y = u(x)e ^{− x}

^/4

, y = ue ^{− x}

^/4 , y ^′ =

( u ^′ − x

2 u )

e ^{− x}

^/4 , y ^′′ = (

u ^′′ − xu ^′ + x ² − 2

4 u

)

e ^{− x}

^/4 .

(14.1)

,

4x ² (

u ^′′ − xu ^′ + x ² − 2

4 u

)

e ^{− x}

^/4 + 4x ³ (

u ^′ − x 2 u

)

e ^{− x}

^/4 + (x ² + 1) ² ue ^{− x}

^/4 = 0.

計算して

,

4x ² (

u ^′′ − xu ^′ + x ² − 2

4 u

) + 4x ³

( u ^′ − x

2 u )

+ (x ² + 1) ² u = 0.

さらに

,

,

4x ² u ^′′ + u = 0 (14.2)

となる. これを解くために

x = e ^t ⇐⇒ t = log x

du dx = du

dt dt dx = 1

x · du dt .

1

,

d ² u dx ² = d

dx ( 1

x · du dt

)

= − 1 x ² · du

dt + 1 x · d ² u

dt ² dt

dx = − 1 x ² · du

dt + 1 x ² · d ² u

dt ² . (14.2)

,

4x ² (

− 1 x ² · du

dt + 1 x ² · d ² u

dt ² )

+ u = 0 ⇐⇒ 4 d ² u

dt ² − 4 du

dt + u = 0.

特性方程式は

4λ ² − 4λ + 1 = (2λ − 1) ² = 0.

λ = 1/2

u = (C ₁ + C ₂ t)e ^t/2 .

x = e ^t

,

u(x) = (C ₁ + C ₂ log x) √ x.

これは

x > 0

x < 0

x = − e ^t

, u(x) = (C ₁ + C ₂ log( − x)) √

− x

.

, u(x) =

(

C 1 + C 2 log | x | )√

| x | .

のような形になるようにしたい. 定数

n, a, b

解説

y = x ⁿ z(x)

y = x ⁿ z, y ^′ = nx ^{n − 1} z + x ⁿ z ^′ , y ^′′ = n(n − 1)x ^{n − 2} z + 2nx ^{n − 1} z ^′ + x ⁿ z ^′′ .

これらを

(15.1)

,

x ⁿ z { (4n + 8)x + n ² + 3n + 2 } + x ⁿ⁺¹ z ^′ (2n + 4x + 4) + x ⁿ⁺² z ^′′ = cos x.

n = − 2

z ^′′ + 4z ^′ = cos x. (15.2)

したがって,

n = − 2, a = 4, b = 0

さて

, (15.2)

.

,

z ^′′ + 4z ^′ = 0

の解は,

z = C ₁ + C ₂ e ^{− 4x}

z = p sin x + q cos x

− p sin x − q cos x + 4p cos x − 4q sin x = cos x

⇐⇒ − (p + 4q) sin x + (4p − q) cos x = cos x.

よって

,

p + 4q = 0, 4p − 1 = 1 ⇐⇒ p = 4

17 , q = − 1 17 .

z = 4

17 sin x − 1

17 cos x + C ₁ + C ₂ e ^{− 4x} .

y = x ^{− 2} x

y = x ^{− 2} ( 4

17 sin x − 1

17 cos x + C ₁ + C ₂ e ^{− 4x} )

.

16

x

I

(1) 1, x, 1 − | x | I = ( − 1, 0) (2) 1, x, x ² I = ( − 1, 1)

(3) 1, sin ² x, cos ² x I = (π, 2π) (4) e ^x , xe ^x I = (0.01, 0.02)

解説

{ f ₁ , . . . , f _n }

c 1 f 1 (x) + · · · + c n f n (x) = 0

が定義域のすべての

x

c ₁ = · · · = c _n = 0

微分や特定の

x

.

一方

, { f 1 , . . . , f n }

(

)

,

f i

f ₁ , . . . , f _n

(1)

f ₁ (x) = 1, f ₂ (x) = x, f ₃ (x) = 1 − | x | ,

I = ( − 1, 0)

f ₃ (x) = 1 − ( − x) = 1 + x.

よって

,

f ₃ (x) = f ₁ (x) + f ₂ (x)

のように

f ₃

f ₁ , f ₂

.

,

. (2) f ₁ = 1, f ₂ = x, f ₃ = x ²

.

c ₁ f ₁ (x) + c ₂ f ₂ (x) + c ₃ f ₃ (x) = 0

c ₂ + 2c ₃ x = 0.

もう

1

2c ₃ = 0.

よって, 元に戻って

c ₂ = c ₃ = 0

{ f ₁ , f ₂ , f ₃ }

(3) f ₁ = 1, f ₂ = sin ² x, f ₃ = cos ² x

f ₁ = f ₂ + f ₃

f ₁

f ₂ , f ₃

.

, { f ₁ , f ₂ , f ₃ }

.

17

y ^′ = 2xy, y(0) = 2 (17.1)

を例にとり

,

.

解説 求めるべき解を

y =

∑ ∞ n=0

a _n x ⁿ

y ^′ =

∑ ∞ n=0

na _n x ^{n − 1} =

∑ ∞ n=1

na _n x ^{n − 1} =

∑ ∞ n=0

(n + 1)a _n+1 x ⁿ

(17.1)

∑ ∞ n=0

(n + 1)a _n+1 x ⁿ = 2x

∑ ∞ n=0

a _n x ⁿ =

∑ ∞ n=0

2a _n x ⁿ⁺¹ =

∑ ∞ n=1

2a _{n − 1} x ⁿ . x ⁿ

a ₁ = 0, (n + 1)a _n+1 = 2a _{n − 1} , n ≥ 1. (17.2)

y(0) = 2

a ₀ = 2.

よって, (17.2) から,

a _n = 2 n a _{n − 2} ,

であるから

, n

, a ₁ = 0

, a _n = 0. n = 2m

, a ₀ = 2

, a _2m = 2

2m a _{2m − 2} = 1

m a _{2m − 2} = · · · = 1

m(m − 1) . . . 1 a ₀ = 2

m! .

よって求める解は,

y =

∑ ∞ m=0

2

m! x ^2m = 2e ^x

.

18

A (g)

1000 (ℓ)

50 (ℓ)

20 (g)

,

50 (ℓ)

(

1000 (ℓ)

).

解説 時刻

t

y(t)

t

∆t

20 × 50 × ∆t = 1000∆t.

排出される食塩の量は

,

y(t) × 50

1000 × ∆t = 1

20 y(t)∆t.

よって

,

y(t + ∆) − y(t) = 1000∆t − 1

20 y(t)∆t.

よって

,

y ^′ (t) = lim

∆t → 0

y(t + ∆) − y(t)

∆t = 1000 − 1 20 y(t).

初期条件をあわせて微分方程式

y ^′ = 1000 − 1

20 y, y(0) = A.

少し変形して,

(y − 20000) ^′ = − 1

20 (y − 20000)

y − 20000 = Ce ^{− t/20} = ⇒ y = Ce ^{− t/20} + 20000

C + 20000 = A.

y(t) = (A − 20000)e ^{− t/20} + 20000

いかなる初期条件にあっても

,

,

t lim →∞ y(t) = 20000

19

4 (N/m)

2 (kg)

.

γ (Ns/m)

0.5 (m)

すとき, 重りはどのような運動をするか考察せよ. ただし, つりあいの位置を原点とし て

,

x (m)

, x

:

2x ^′′ + γx ^′ + 4x = 0. (19.1)

初期条件は, 問題文に適合するように定めよ.

解説 初期条件は

x(0) = − 0.5, x ^′ (0) = 0.

さて

,

(19.1)

2λ ² + γλ + 4 = 0

.

,

,

λ = − γ ± √

γ ² − 32

4 . (19.2)

解の様子を調べるためには,

γ ² − 32

(Case 1) γ > 4 √

2

λ ₁ = γ + √

γ ² − 32

4 , λ ₂ = γ − √

γ ² − 32

4 ,

とおけば

, λ ₁ > 0, λ ₂ > 0

, (19.1)

x(t) = C ₁ e ^{− λ}

^t + C ₂ e ^{− λ}

^t (19.3)

が得られる. ここで, 初期条件から

− 0.5 = x(0) = C ₁ + C ₂ , 0 = x ^′ (0) = − C ₁ λ ₁ − C ₂ λ ₂

C 1 = 0.5λ ₂

λ ₁ − λ ₂ = γ − √

γ ² − 32 4 √

γ ² − 32 , C 2 = − 0.5λ ₁

λ ₁ − λ ₂ = − γ − √

γ ² − 32 4 √

γ ² − 32 .

,

x(t) = γ − √

γ ² − 32 4 √

γ ² − 32 e ^{− λ}

^t + − γ − √

γ ² − 32 4 √

γ ² − 32 e ^{− λ}

^t .

λ ₁ , λ ₂

簡単な計算で

,

x ^′ (t) = λ ₂ C ₂ e ^{− λ}

^t {

1 − e ^(λ

^{− λ}

^)t }

がわかるから,

t > 0

x ^′ (t) > 0

t → ∞

x = 0

例として

,

x(t) =

 

 

 

 1

2 e ^{− 2t} − e ^{− t} , γ = 6, 1

14 e ^{− 4t} − 4

7 e ^{− t/2} , γ = 9.

図

19.1: γ = 6, 9 (Case 2) γ = 4 √

2

. (19.2)

λ = − √

2

, (19.1)

x(t) = (C 1 + C 2 t)e ⁻

√ 2 t

. (19.4)

初期条件から

− 0.5 = x(0) = C ₁ , 0 = x ^′ (0) = − √

2 C ₁ + C ₂

図

19.2: γ = 4 √ 2 (Case 3) γ < 4 √

2

ω =

√ 32 − γ ² 4 > 0

,

,

− γ 4 ± iω

.

, (19.1)

x(t) = e ^{− γt/4} (C ₁ cos ωx + C ₂ sin ωx) (19.5)

.

− 0.5 = x(0) = C ₁ , 0 = x ^′ (0) = − γ

4 x(0) + e ^{− γt/4} ( − C ₁ ω sin ωx + C ₂ ω cos ωx)

C ₁ = − 1

2 , C ₂ = − γ 2 √

32 − γ ² .

x(t) = − e ^−γt/4 (

1

2 cos ωt + γ 2 √

32 − γ ² sin ωt )

.

特に,

γ = 4

x(t) = − 1

2 e ^{− t} (cos t + sin t)

.

γ = 1

.

.

図

19.3: γ = 1

20

y ^′ = y

x + 1 (20.1)

の解は

x

x − 1

y =

∑ ∞ n=0

a _n (x − 1) ⁿ (20.2)

として解け.

解説 まず,

x

y =

∑ ∞ n=0

c n x ⁿ (20.3)

を仮定して解を求めてみよう

. (20.1)

,

x

xy ^′ = y + x (20.4)

に

(20.3)

x

∑ ∞ n=0

c _n nx ^{n − 1} =

∑ ∞ n=0

c _n x ⁿ + x.

整理して

∑ ∞

n=1

c _n nx ⁿ = c ₀ + (c ₁ + 1)x +

∑ ∞ n=2

c _n x ⁿ .