外部経済と後手有利性について

(1)

外部経済と後手有利性について

村田省

(2)

外部経済と後手有利性について

Abstract

lnthispaperweconsidertheoutputlevelsintheequilibrium ofCour‑ notquantitysettingduopolygameandStackelbergquantitysetting duopolygameinwhichbothfirmhavelinerdemandfunctionsandquad‑

raticcostfunctions.Ifthereisasufficientlyeffectiveandpositiveouter economywhichoperatesinfavorofthefirstfirm,theconcavityofthe shapeofisoprofitcurvedisappearandtheconvexityofitnewlyturns out,whiletheshapeofthebestreplyfunctionsremainunchangedand havenegativeslgnSaSisthecaseofduopolygamewithnoouter economy.Inthiscasethesecondmoverisadvantageousintermsof profitandtheoutputlevelisgreaterthanitofthefirstmover,Stacke1‑ bergequilibriabeinglocatedtotheleftofCournotequilibria.Thiscon‑

ditioniscrucialtothethesecondmoveradvantage.

Keywords:Stackelbergduopolygame,linerdemandfunction,outer economy,concavityofisoprofitcurve,secondmoveradvantage

183

1.序

線型需要関数および2次項q)みの費用関数を想定するクールノー数量戦略複占ゲームの均衡生産量においては,第 1企業および第2企業の生産量比率は,各企業が異なる費用係数であるような2次の費用関数の場合は,大体において,費用係数の水準に逆比例することが明らかである｡これと対称的に, シュグッケルベルグ数量戦略複占ゲームにおいては,同様な2次の費用関数を仮定するとき,クールノーゲームにおけるような明白な比例関係は認められない｡しかし,両企業の生産量の大小関係の逆転が起こるのは,先手企業の費用係数と後手企業の費用係数が負の値をとる場合であることがわかってきている｡さらに,クールノー複占均衡における各企業の生産量の大小関係

(3)

と,シュタッケルベルグ複占均衡生産量における各企業の生産量の大小関係について,費用係数の水準を負値となるケースをふくめて適当にとりさえずれば, どのような大小関係の組合せもとりうることが明らかとなっている｡

ただし,それにもかかわらず,クールノー数量戦略複占ゲームにおいて, 費用係数が正値であり, したがって,最適反応曲線が右下がりであるときには,先手･後手を自動的にとるような明白なゲーム均衡が存在しない｡このことについては,費用係数の符号と等利潤曲線の傾きをあらわす符号とが, 決定的なまでに対応しているという事実がおおきく影響している｡費用係数の符号が正値なら等利潤曲線の形状は当該企業の生産量を示す軸 (たとえば横軸)にたいしてかならず凹になってしまうからである｡そして,費用係数の符号が負値で, しかもその絶対値が大であれば,等利潤曲線の形状は当該企業の生産量を示す軸 (たとえば横軸)にたいして凸になる可能性があるからである｡さらに,分析にとって不都合なことは,費用係数の符号が負債である場合は,基本ゲームの想定が数量戦略であるといいながら,そして実際, 数量を戦略変数に選択するという体裁ないし形式をとりながら,実質的には価格戦略複占ゲームを考察している可能性が発生するのである｡

この点,2次の費用関数の係数が正値の場合にかぎらず,負値の場合をふくむといういきかたは,少なくとも数理的解釈は一般化された検討になっているにはちがいないが,経済学のほうで,費用係数が正値の場合を数量戦略ゲームと定義しており,費用係数が負値の場合を価格戦略ゲームと定義しているという側面は完全には否定しにくい｡

費用係数の符号と最適反応曲線の傾きをあらわす符号とが一対一に対応するのでなければ,先手･後手を自動的にとるようなゲーム均衡が存在することを容易に論証できるのであるが｡残念ながら,実際にはそのような対応関係が存在するために,先手･後手を自動的にとるような明白なゲーム均衡の存在は容易には確認されない｡したがって,その意味では,先手･後手となるクールノーゲームの均衡を模索する多数の研究がなかなか奏功しにくいの

(4)

外部経済と後手有利性について 185

は,数学上の困難性にあるのではなく,経済学上の定義によって,数学的一般的解釈が阻害されていることによるといってさしつかえないであろう^｡また, このことを矛盾とみるかどうかについて異論がないとはいえない｡

それにもかかわらず,そのような問題の本質が,近年,手番順序を所与のゲーム構造とするのではなく,先手･後手をゲーム戦略とみるような,より一般的ゲーム構造を考察することにより,ゲームの手番順序が形成される構造を考えようとする研究につながったとみてよいであろう｡また,そのゲーム均衡戦略の結果として決定されることになる先手有利性がどのようなゲーム構造ないしはゲームパラメーターに依存して決定されるかということが検討されはじめている経緯の背景には以上のような論点が暗黙のうちにふくまれているとみてさしつかえない｡

ところで,こq)研究は,Gal‑or1985の先駆的な研究を除けば,基本的なクールノーゲームの一般化によっておこなわれているが,標準的分析形式としては,クールノー数量戦略複占ゲームの一段階前のゲームを想定する手法によっている｡Hamilton‑Slutsky(1990)(以下ではH ･S1990と略記する)はその代表例であるが,最初から最適反応曲線が得られていることを仮定している｡そして,二人のプレイヤーの最適反応曲線が右上がりか右上がりかという分類により, したがって結果的に発生することになる4種類のケースについて,それ以後の分析がおこなわれるという異色の体裁をとっている｡そのような特色ある分析にもかかわらず,決論的には,やはり,クールノー数量戦略複占ゲームの均衡戦略として先手･後手均衡が存在することについて

は決定的なまでに懐疑的である｡

このようなH ･S1990の分析結果によって,数量戦略クールノー複占ゲームの均衡はかならず同時手番のみになることが確定したと評価することはかならず Lも正当ではない｡それは,H ･S1990においてはゲーム構造が拡大されており,本来のクールノーゲームと構造が異なっている可能性がまったくないとはいえないからである｡じつは,H ･S1990において,あれだけ‑

(5)

般的な検討がおこなわれながら,それでもなおクールノー数量戦略複占ゲームの均衡戦略としての先手･後手均衡がほとんど起こり得ないと結論されたことの背景には,やはり,以上のような矛盾が関係しているとみてよい｡すなわち,数学的論理的一般化と経済学的定義の問にある不整合が,分析結果

にたいして影響する｡

H ･S1990においては考える必要がないとされた分類ケースには,経済学的には発生するとは考えにくい状況が対応しており,H ･S1990において積極的に定理化されている内容の半数は通常の解析関数的ゲームモデルでは起こり得ない状況が対応している｡かくして,数学的にも経済学的にも起こり得るとされているケースは同時手番クールノー･ナッシュ均衡のみとなるのである｡本稿では,このことをある種の避けられない論理的矛盾と考えたい｡

このような矛盾そのものを正面から検討していくことが必要であるという見方が当然に存在するが,それは少なからず用語上の論争になると予想されよう｡そこで,本稿では,矛盾の存在は意識しながら,形式的には,何らかの外部経済が作用するときには後手有利となる可能性が発生することを示す｡外部不経済の存在を仮定することは,事前におけるある種の非対称性の想定にはなるが,その直接的な効果は相手企業の費用関数に影響を与えることにとどまる｡そして,すでに指摘したように,正の費用係数を想定する場合には,かならず最適反応曲線は右下がりとなり,その結果としてクールノー数量戦略複占ゲームの均衡は,ほとんど自動的に同時手番になるという従前の分析結果が存在することを考えれば,一方の企業による生産が他企業の生産費用にたいして外部不経済を作用させるという想定は,ゲーム構造の非対称性としてはきわめて弱い仮定にとどまるといってよい｡ほとんどの複占経済ゲームで示されるように,基本ゲームとなるクールノー数量戦略複占ゲームについてさえ,一般には異なる費用係数を想定しているのであるから,費用関数への外部不経済の作用を考慮することは,最小の非対称性の導入にと

どまるといってさしつかえないであろう^｡

(6)

外部経済と後手有利性について il聖ii

このような非対象性は,Dowick1986(以下ではDo1986と略記する)で導入されているような非対称性とは根本的に性格が異なるものである0Do

1986においては,W ait戦略の導入,それも各々のプレイヤーによる,ゲーム終了以前の任意の時期におけるW ait戦略実施可能性を考慮するという非対称性を考えているから,一方のプレイヤーはW ait戦略を採用するが他方のプレイヤーは採用しないという状況を許容している｡これにたいして,外部不経済の導入は,形式的には第 1企業と第 2企業の費用関数が相違するこ

とになるという状況は発生させるものの,ゲームの同時手番性が失われることはない｡

本稿の構成は次のとおりである｡次節では,両方の企業が 2次の費用関数をもつ場合,そして,一方の企業がある種の外部不経済を他方の企業に発生させるような費用構造を仮定した場合の数量戦略クールノー複占ゲームの均衡を導出する｡均衡生産量および均衡価格水準は,外部不経済がないケースと形式的には差異はないのであり, したがって,2次の費用関数を想定して, かつ外部不経済は存在していない場合におけるクールノーゲームおよびシュタッケルベルグゲームの均衡生産量比率の解析をおこなった村田(8)による分析結果はその趣旨において形式的には妥当する｡それらの結果は補題 1として再確認される｡また,第 3節では,同様の費用構造を仮定して,クールノーゲームの均衡において両プレイヤーが生産することになる均衡生産量の総量およびシュタッケルベルグゲームの均衡において両プレイヤーが生産することになる均衡生産量の総量を比較検討する｡前節と同様に,外部不経済がないケースの分析と形式的には変わるところはないから,村田(9)による分析結果は,形式的にはそのまま妥当するが,その内容は補題2としてとして再確認される｡外部不経済の導入によって発生する唯一の相違点は,外部不経済をうけることになる企業の利潤額のみである｡第 4節では,各々のゲームにおける最適反応曲線を考察して,等利潤線の形状にたいする各企業費用構造の影響を検討する｡これが本稿の中山的な分析結果である｡さらに,敬

(7)

値例によって後手有利となる可能性を指摘する補題の内容を確認する｡第5 節では,先手有利性にかんする今後の分析の見通しを確認する｡

2.クールノーゲーム均衡とシュタッケルベルグ均衡における生産比率および生産総量

本節では,線型の需要関数と2次の費用関数をもつ数量戦略複占ゲームの均衡生産量について検討する｡

いま,線型需要関数を p‑a‑b(xl+x2)

とし,二次の費用関数を,第 1企業の費用関数をC1(∬1),第 2企業の費用関数をC2(x2)とするとき,

cl(xl)‑CIXi+cx≡ (1)

C2(x2)‑ C2X昌 (2)

とする｡係数Cは外部効果因子である｡ (1), (2)より,第 1企業の利潤関数 nl,および第 2企業q)利潤関数I12は,

Ill‑(a‑b(xl+x2))xl‑ (cIXg+cx呂)

I12‑(a‑b(xl+x2))x2‑C2X∃

となる｡ (3), (4)から,クールノー･ナッシュ均衡生産量は,

.lI

.rJ

a(b+²C2)

b2‑4(b+c^l) (b⁺ ^{C 2)} a(b

+

2cl)

b2‑4(b+

c l

)(b⁺ ^{C 2})

である｡ (5), (6)からクールノー均衡生産量の比率を算出すると,

xJ ̲(b+2C2) x2‑(b+2cl)

甘)

刷

(7)

となる｡外部経済ないしは外部不経済を導入したことは,両企業の最適反応関数に影響を与えず,均衡生産量にたいして無影響であることが(7)からみ

(8)

てとれる｡

一方,同様な線型需要関数および費用関数を仮定したときのシュグッケルベルグ複占ゲームの均衡生産量は,第 1企業を先手とする場合には,

Xl= a(b+2C2)

2b2+4(b+cl)(b+C2)

x2‑豆て蒜 (1

b(b+2C2)

4(b+^c^l⁾⁽^b+^C²⁾¹²^b²

となる｡シュタケルベルグ均衡生産量の比率は, (8), (9)から,

xT 豆震音 .譜云 x2̲

(8)

(那

(10)

となる｡シュグッケルベルグゲームの均衡においても,外部経済ないしは外部不経済を導入したことによって最適反応曲線は変化しないことが(10)より

明らかになる｡このとき,村田(7)では,以下の補題の成立が確認されている｡

(補題 1)需要係数をbとするような線型需要関数を仮定する｡また,第 1企業および第2企業の費用関数が,2次項のみからなる,生産量にかんする2次関数であるとする｡このとき,2次項の係数であるところの第 1企業の費用係数clおよび,第 2企業の費用係数C2の水準を適当にとれば,また,需要係数bの水準を適当にとれば, クールノー均衡における第 1企業,第2企業の均衡生産量および, シュタッケルベルグ均衡における第 1企業,第 2企業の均衡生産量の大小関係を任意に選択できる｡

(証明)略

以下の図 1では,おおよその領域分･類を図示している｡

(9)

領域 Ⅰ:xIC>x2C , xIS>x2S

領域Ⅱ :xIC<xZC , xIS<xZS

領域Ⅲ :xIC<x2C , xIS>x:S

G#N:xIC>xZC , xIS<xZS

領域 V :xIC<x2C , xIS>x2S

図 1 均衡における第1企業生産量と第2企業生産量 (比率)

また,クールノー均衡においては,第 1企業の均衡生産量と第2企業の均衡生産量の合計は,

xl+x

2

_b2_‑₄₍²^a(_b^b+c_+c_l₎₍^l⁺_b^{C 2)}

+ C 2)

( ll)

となり,シュタッケルベルグ均衡においては,第 1企業の均衡生産量と第2 企業の均衡生産量の合計は,

2＼J･り︼タレ2+▼ハunⅦト川︼α ＼I･.‑︼′レ+九U/し＼.′′し

+▼hU/̲＼8 ki>,ハU4

＼

︺

〃l

JT]

+

(12)

となる｡このとき,クールノー均衡生産量の合計量がシュタッケルベルグ均

(10)

外部経済と後手有利性について il貰il

衡生産量の合計量を超える条件は,クールノー均衡生産量合計が正値であるとすれば, (ll)および(12)から,

2'hUEid2タレ十一hU/t､＼)′し+,hU･1､4 用■iiiZ!1︼′し+l(し+l〃‑れⅦ一一旧＼JTT′し+ムUnrl旧u2 2‑･7]rL2+■ハUのⅦlL一

となる｡左辺の前半項が正値であり,b‑1である場合には, (1+cl+cZ)̲ (1+C2)2

4(1+C2)

4(1+cl)(1+C2)‑1 4(1+cl)(1+C2)‑2^> ¹

となることから,以下の図2が得られている｡このとき,

sl‑ C1+1

S2‑C2+1

により,(13)を, 4sIS2‑1 2S2(sl+S2

52‑C2+1

+llりJiZq ヽJ日日+2rIJlリ1ir一川U 42八〇ヾ)8

S1‑0.5 sl‑1

＼

sl‑C1+I 領域Ⅰ:XIC+x2C>XIS+x2S

領域Ⅱ :XIC+x2C<XIS+x2S

図2 クールノー均衡生産量とシュタッケルベルグ合計生産量

(13)

(14)

(11)

と変換している｡図2における等生産量合計曲線Eの下方領域 (Ⅰ)では, クールノー均衡生産量総計がシュタッケルベルグ均衡生産量総計を超える｡

ただし, slおよびS2が負値の領域は利潤極大条件が無意味化するためふくまれないことに注意しなければならない｡費用逓減の程度が大きすぎては利潤最大条件が存在しなくなるからである｡なお,XIC,x2Cはクールノー均衡生産量,XIS,x2Sはシュタッケルベルグ均衡生産量である.

この場合,sl>1,S2>1の範囲では条件式(14)は満足されないことに注意したい｡これは通常の複占経済ゲーム対応領域で,シュタッケルベルグ均衡生産量合計はクールノー均衡生産量合計を超える｡一方,本稿で注目してい

る領域は,

0.5>sl>0 , 0.5>S2>0

である｡限定された領域であるが,費用逓減ケースに相当する｡結論を先取りしていえば,このような費用逓減を発生させる具体的なメカニズムとして, 外部経済があるということである｡外部不経済の場合は,クールノー均衡生産量合計がシュタッケルベルグ均衡生産量合計を上回らない｡

一方 ,シュタッケルベルグ均衡における後手第 2企業の生産量がクールノー均衡における第 2企業の生産量を超える条件は,

4(b+cl)⁽b+C2)‑ b2

2 (

^b

+ C

²⁾⁽^b⁺²^c^l⁾

が成立する範囲では,

>0

b(b+2C2) A̲(+ ヲ̲(b+C2)(b+2＼cl) 4(b+cl)(b+C2)12b2.4(b+cl)(b+C2)‑b2 となる｡さらに,(16)は,b‑1の場合,

2(1+C2)(1+2cl) (1+2C2) 4(1+cl)(1+C2)‑1 4(1+cl)(1+C2)‑2 となる｡条件(17)は,変数変換,

< 1

(15)

(16)

(17 )

(12)

外部経済と後手有利性について

sl‑ C1+1

S2‑ C2+1 により,

2S²(2s^{l‑ 1})‑ 2^S1‑1 4sIS2‑1 4sIS2‑2<1 となるから,

(4sIS2‑ 1)(4sIS2‑2)>0 であるときには,

S2< &

193

(17)

(18)

となり, slおよびS2が反比例関係にあることが理解される｡ 2次の費用係数が正値であるときには, slおよび52は1以上になるが, これら数値にたいして不等式(18)は成立しない｡

以上のことから,村田(9)では,以下の補題が得られている｡

(補題 2)需要係数をあとするような線型需要関数を仮定する｡また,第 1 企業および第 2企業の費用関数が,2次項のみからなる,生産量に

かんする2次関数であるとする｡このとき,2次項の係数であるところの第 1企業の費用係数clおよび,第 2企業の費用係数C2の水準を適当にとれば,また,需要係数bの水準を適当にとれば,クールノー均衡生産量の総計をシュグッケルベルグ均衡生産量の総計より大とすることができる｡また,クールノー均衡における第 2企業の生産量よりシュタッケルベルグ均衡における第 2企業の生産量のほうが大きくすることができる｡ただし,そのときの費用係数は負値になる｡

(証明)略

(13)

3.最適反応曲線と外部経済

外部経済を想定しない通常の寡占市場の複占経済モデルでは,最適反応曲線は右下がりである｡このことは,少なくとも線形需要関数を仮定して,収穫逓減ないしは費用逓増型の費用関数を想定するようなクールノー数量戦略複占経済ゲームにおいては常に成立している｡一万,等利潤線については, 上記のような性質を保有する複占経済モデルでは,最適反応曲線を変曲点と

して,たとえば第 1企業については,その生産量であるxl軸にたいして凹であり,第 2企業については,その生産量であるx2軸にたいして凹である｡

外部経済を想定しない場合には,費用逓増型の一般の費用関数 (Cl(xl), C2(x2))を仮定して等利潤線の形状を分析したところで結論はかわらない｡

その場合,第 1企業の利潤関数 Ill,および第 2企業の利潤関数I12は,

Ill‑(a‑(xl+x2))xl‑Cl(xl) I12‑(a‑(xl+x2))x2lC^Z⁽^x2⁾

となるだけであるから,等利潤線の傾きは,それぞれの利潤関数について, (7･r.=

axl

(.l･ri=

a‑2bx1‑bx2‑∂Cl bxl

a‑2bx2‑bxl∂C2 ax2 bx2

(Hlの等利潤線の傾き)

(H2の等利潤線の傾き) となるが,これは最適反応関数の性質と密接な関係がある｡bxl,bx2がともに正値であれば,

∂

^{C l}

a‑2bxl‑bxZl &

a" bxZlbx1‑ %

(14)

の符号で等利潤線の傾きが決定されるから,最適反応曲線上が変曲点になることがわかる｡しかし, これだけでは等利潤線が戦略変数軸にたいして凸か凹かは確定しない｡等利潤線が戦略変数軸にたいして凹になるのは,戦略変数軸以外での変曲点,

α‑2∂∬1

x2=

∂C1

b

a‑2bx

Z 一

^驚

における微分係数が負値となる場合であり,それは, 勉 ‑‑2一∂∬1 語 ≦ o

迦ニ^ax2 ー21等 ≦ o

が成立する場合である｡上式は,費用関数の2次の係数が正値であるような通常の複占経済ゲームにおいては成立する｡右下がりの最適反応曲線の場合には等利潤線が戦略変数軸にたいして凹になるという事実はかなり一般に成立している性質である｡このことが図3に示されている｡この不等号が逆になるのは,2次費用関数の場合には,2次の係数が ‑1を下回るケースに限られる｡その場合にかぎって,第 1企業および第 2企業の最適反応曲線は右上がりになる｡

また,線形需要関数の仮定を緩和して, より一般な右下がりの需要関数をゲームモデルに導入したところで結論は不変である｡クールノー数量戦略複占ゲームにおける先手･後手均衡の実現が容易でないことは知られているが,最適反応曲線の傾きの正負と等利潤線の凹凸形状の対応性にかんする例外を見つけることのほうが困難であるといってさしつかえない｡この事実が,

これまで後手有利性をめぐる多数の研究を誘発してきた主要な原因であると

(15)

図3 等利潤線の形状 (外部経済がない場合)

考えてさしつかえないであろう｡

ところで,本稿で検討しているところの,外部効果をともなう複占市場の経済モデルにおいては,たしかに第 1企業および第 2企業の最適反応曲線および均衡生産量は外部効果のないケースと同一であるから,数理的には何らゲーム均衡に影響をあたえないかのようである｡

しかし,外部効果の存在は,等利潤線の形状を変化させる効果を保有する｡

実際,本稿(3), (4)で示されるような数量戦略複占ゲームにおいては,第1 企業の等利潤線の傾きおよび第2企業の等利潤線の傾きは,2次の費用関数

(1),(2)を仮定する場合には,

,7･r:= a‑2^(b+cl)xl‑bx2 axl bxl+^2cxZ

axL a‑ 2(b+C2)x2‑ bxl ax2 bx2

3円9g

侵OE

となる｡(19)はnlの等利潤線の傾きを示しており,(20)はⅢ2の等利潤線を示している｡したがって,通例のゲームモデルと異なり,

∂∬1+2C∬2‑0 ⁽²¹⁾

(16)

を境界として,等利潤線の傾きの符号が変化するのである｡

以下の図 4は外部経済が発生している場合である｡すなわち, C<0

のケースの図示である｡

本稿では,クールノー数量戦略複占ゲームの均衡において,後手生産量が先手生産量を上回る可能性を検討しているのであるから,外部経済の発生ケースに関心が集中するが,図4では,負の外部効果係数の水準が適当にと

られており,直線(21)がクールノー均衡点を通過するときの状況を図示している｡このとき,第 1企業の最適反応曲線の傾きの絶対値は第 2企業の最適反応曲線の傾きの絶対値より大きいと仮定する｡この仮定は,クールノー複

占経済ゲームにおける通常の想定であるところの正の費用係数, cl>O

c2>0

を仮定すればただちに満足されるが,そのとき,第 1企業の最適反応曲線の右側では第 1企業の等利潤線の傾きを示す式の分子は負債となり,第 1企業の最適反応曲線の左側では第 1企業の等利潤線の傾きを示す式の分子は負値となる｡一方,直線(21)の右側では第 1企業の等利潤線の傾きを示す(19)の分母は正値となり,直線(21)の左側では第 1企業の等利潤線の傾きを示す (19)の分子は負債となる｡外部効果を考えない場合には,このような変曲点は生産両軸である縦軸ないし横軸において発生するから,第 1象限に分析視点を限定するときには気づかれない事実である｡ところが,本稿の想定によれば, このような変曲点が第 1象限内部に存在することになる｡その結果, 図5のように直線(21)がたまたまクールノー均衡点を通過する場合でさえ, 第1企業の等利潤線の懐きの正負について,4つの領域が区分されるのであ

る｡

以上から,定理3が得られる｡

(17)

図4 等利潤線の形状 (外部経済がある場合)

(定理3)数量戦略複占ゲームにおいて,正の需要係数をもつ線型需要関数を仮定する｡また,第 2企業の費用関数が,自己の生産量の 2次項からなるとする｡さらに,第 1企業の費用関数が自己の生産量に関する2次項と第2企業の生産量に関する2次項の加重合計であるとする｡このとき,第 1企業の費用係数,第2企業の費用係数を正値の範囲で適当にとれば,また第 2企業の生産にかんする第 1企業の費用係数水準 (外部経済係数)を負値の範囲で適当にとれば,また, 需要係数水準を正値の範囲で適当にとれば,シュタッケルベルグ均衡における先手企業の生産量より後手企業の生産量のほうが大きくなる｡このとき,クールノー均衡における生産量合計よりシュタッケルベルグ均衡における生産量合計のほうが小さくなるようにすることができる｡したがって,シュタッケルベルグ後手の利潤はシュグッケルベルグ先手の利潤およびクールノー第2企業の利潤を上回るようにすることができる｡

(証明)略

(18)

すでに,外部不経済がないケースにおける数量戦略複占ゲームについては, 2次の費用係数が特定範囲の負値水準である場合には後手有利となる可能性があることを村田(9)で論証しているが,そこでは同時に,正値費用係数のケースにおいてはまったく後手有利性は存在しないことを同時に論証していた｡ところが,本稿の定理により,線型需要関数と2次項のみからなる費用関数を想定する数量戦略複占ゲームにおいては,第2企業が第 1企業にたいして外部経済を与えるとすれば,たとえ2次の係数が正値である場合においてさえ後手有利となる可能性があることが確認された｡

4.結語

H ･S1990において,一般的な検討がおこなわれたにもかかわらず,一般的分析であったがために,クールノー数量戦略複占ゲームの均衡戦略としての先手･後手均衡がほとんど起こり得ないと結論されたことの背景には,数学的論理的一般化と経済学的定義の間にある不整合が存在している｡H ･S 1990では,経済学的には発生しにくい状況の取り扱いについて一貫性がない

ことはそのことと関係している｡経済学的に起こりにくい状況を完全に排除してしまえば,興味ある結果が得られないことから,部分的には経済学的常識を超える状況の考察は試行してみたものの,結局,完備な分析には至るこ

とができなかったということである｡その結果として,数学的にも経済学的にも常識的なケースのみに焦点をあわせることとなり,クールノー複占数量戦略ゲームにおいては同時手番均衡のみが現実的であるという結論を得たのである｡

それにたいして,本稿では,具体的かつ現実的な複占経済ゲームにおいてさえ,何らかの外部経済が作用するときには後手有利となる可能性があることを示した｡外部不経済の作用を複占ゲーム分析に導入することは,厳密にいえば非対称性の想定をすることになるのではないかという疑いがあるとはいえ,その作用はDo1986で導入されている非対称性に比較すれば,取るに

(19)

足らない程度である｡外部不経済の導入は,形式的には第1企業と第2企業の費用関数が相違することになるという状況は発生させるものの,ゲームの基本的な同時手番性が失われることはない｡負の費用係数を仮定せずに,同時に,非対称的なゲーム構造になることを極力避けながら,後手有利となるゲーム均衡を得ることは可能なのである｡

このとき,H ･S1990で想定された基本クールノーゲームの一段階前のゲーム,すなわち,先手･後手を選択する手番の存在は,本稿におけるゲームではほとんど考慮する必要はない｡本稿で分析されたのは具体的かつ個別的なゲームモデルであることがその主な理由であり,実際,一方の企業にと

っては先手が有利であり他方の企業にとっては後手が有利であるときには, 先手が生産完了したという事実を確認できるということのみが必要である｡

このことを,抽象的モデル設定をおこなった場合における ̀̀確認できる遅れ'' (obserbabledelay)と同等な内容とみるべきかどうかは重要な問題ではないと考えたい｡本稿で検討したような具体的数値モデルのクラスにおいては, 発生しない課題であるととらえて差し支えないであろう｡

同等な内容とみるかどうかは,先手有利な一方企業と後手有利な後手企業が存在して,完全情報を仮定するとき,実際に先手･後手を実行することが追加的な別の戦略とみるべきかどうかに関係する問題である｡あるいは,クールノーゲームが同時手番ゲームであるというとき,それは同時以外の手番は事前に完全排除されているのかどうかということであり,シュグッケルベルグゲームにおいては先手･後手という手番以外は,たとえそれが有利であったにしろ選択することが構造的に不可能であるのかという問題である｡仮にそうであるとすると,本稿で検討してきたところのゲームは,厳密にいえば, 第3のゲームであるということになる｡ただし,本稿でのゲーム構造が事前に手番の決定されることのないゲームであるとすると,困難な課題が発生する｡戦略空間にない戦略は選択できないからである｡したがって,先手･後手の選択は事前に選択肢として存在すると考えなければならない｡ところで,

(20)

先手という戦略を選択するとした場合,それは実現可能な戦略かというと, これまた問題があることを認めないわけにはいかない｡相手の戦略に依存するからである｡相手の戦略に依存して事後的に決定されなければならない戦略とはどのような戦略であるか｡それは完全な戦略といえるかということである｡本稿の分析は,たんなる反例を示したことにとどまらない｡この点が, Amir(1995)との違いである｡

参考文献

1.Amir,.A.(1995)."EndogenousTimingTwo‑PlayerGames'･A CounterExample,

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外部経済 と後手有利性について