異なる物質の二つの部分よりなる
二次元の定常的熱伝導
小 平 吉 男
Stationary Conduction of Heat in Two Dimensions in a Solid
Composed of Two Parts with Different Materials
Yoshio Kodaira
二辺の長さがα，bである矩形の無限に長い柱状の固体を考え，熱は柱の長さの方向には
流れないとする。工方向とb方向を柱の切口に沿うて採り，x＝0からxニalまではユなる 物質，らからaまでは2なる物質より成るとし，y方向は一様な物質より成ると考える。
熱伝導の徴分方程式は，定常状態の場合を考えて，
つ ら
芸＋緩一〇〔0〈・〈a1・0〈y〈の・ （・）
らコ ハ
緩＋券一〇〔a・〈・＜・・0〈y〈b〕 （・）
を用いることとする。柱の断面の外側の境界条件として，
（Ul）x＝o＝＝∫てy）， （cr2）x＝ロ＝0 （3）， （4）
（Zt1）v＝o＝O， （Ul）v＝b＝・0 （5）， （6）
（劉，．。一・・（u・）…一・ （・） （・）
を用いる。又二つの物質の部分の継目に於ける境界条件としては
（u・）x… ・（lt2）x＝ait IJI（嘉）x．al−k，（嘉）x．al （・） ⑩ を採ることとする。k、，k2は熱伝導係数を表わす。
この問題は切口の一面y＝0に於ける境界条件が同じ形で表わされていないことから，
解の求め方が難しくなって来るのである。
u、及びα2は夫々
む
⊇1叫・・…一誓 一暑・・C・・（2n十ユ 2b）！y aD・ az
の如く表わせるものと考える。又（3）の∫（y）も⑪と同じ形の級数で展開出来るとして，
∫ω一嬬…一｛｛ X！−y∫：S（2）S・n一竿… Q⇒
と書くこととする。
境界条件⑤〜（8）によって
この問題は気象研究所の曲［1］光夫博士が二十数年前に解いたものであるが，遂に発表されずに今日
に到り，同博土のもとにも原稿が無いとのことであった。然し著老はその当時同博士と同じ所で仕事
をしていた関係上，この問題の解を簡単に記録に置いたので，それをもとにして解き方を複元し，同
博士の同意を得てここに発表する。
∫：勢…㍗吻一雫∫：・・S・n−Z！iFydy
∫：誓乏…（2n＋1 2b）！y・y−一（Ztiilli）ZJ：u2…（2〃彦1）πL・・y
であるから，微分方程式（1），（2）から一u、，、m， v，，nに対する微分方程式が次の如く得られる：
4莞ヂー誓隔一・・∂舞一（2η十1 4ろ2）lv2… O．
⑪，⑫，⑬により境界条件（3），（4），（9），⑩は次の如くなる：
（Vコ，m）x＝。−Xf（・）…ZZiF 2d2，（V…）x・・一・・
芝（v…）・・al・・苧一義（−u2・n）・・al c・・（弓1）！・・
・殼割＿s・n−z｛iF−・一・鮎叢七…（弓輪
微分方程式⑭，⑮の解の中で，境界条件⑯，⑰を満足するものは
v・一一÷…h一字∫：S（2）…竿・・袖…h竿陥
v2・n−Bn…h（2i！Eli−i）π（a−x）
と書くことができる。
⑳及び⑳を⑱及び⑲に代入し，a−a、＝・a2と置けぽ，
⑯，（iO
⑯．aカ
㈱
⑳
⑳
佗D嘉（gc・・h−ZliF−a・∫ン（・）s・・智・・＋ぷ剤…ユ ー驚鋤（2n＋1 2b）π一（ee）E−y・
・轄（…h一㌢1∫：S（・）・・n−tllL2d7．＋A・・…h一詞・・n−！ZX−！−y
−・癬（2刀＋1 2b）π阜吋ザ・c・s（弓1）！・・
となる。匂の右辺を今g（y）も置くこととする。然るときは，
÷…h牛・1：S（・）…仁・旭・…h争・一∫1・（・）…一竿城 ⑳
Bn…h（2n＋1 2b）｛L・・一∫：・（・）…（2〃元1）Z・・d2 aS と書くことができる。これらの関係により，Am， B。が次のように求められる：
た
A…＝一
蒜享1∫：嚥㍗鋤字輌警畝⑳
B・＝−9ilfi輌、∫：・（ ）c°s（竿2∂λ
￠θ及びθを⑳に代入すれば，
三曇・（一÷・，・。igi：S（2）・i・誓2∂2
＋… 緋（・）・i・21｝IL？．d・）・i鵡
一一・義（2・IStユ…h（2刀え1）πL・・∫：・（・）…（2・・if）！…）
・…（2n十1 2b）π・
となる・この式の右辺を÷・ωに等し・置く・ととす嬬
伽（一÷、、。ig！lf（7・）s n ZZi F ne7．＋c°th」仁：・（？ ）s n−Z iF −：F（7・）・in−Zl！F−・d2
−・・（・＋｝）…h（2刀え1）π・・。 2b
o 2b を得る。これから次の関係が得られる：
∫：・（・）…苧…一伍nl三㌢1：・（・）…㌘・ぬ
＋÷ndlia：s（2）sin竿城
∫：，（・），。、（弓1）1・． nv． ＝ ＿ ＿EenLh（弓1）｛La2： 2b
⑪及び助を見れぽ9（y）は
，（の一号蕊ta学1幽：F（・峠…
コ タアヱ
・捻1畢、：一竿…
・（の一一膓綜鱗・・。2b
と書き得・・とがわか・・然・に÷・（lf）t・asの右辺骸・・してい・から・
・s 2d〕
∫ ⑲
∫it・（・）…（2n＋1）π…
∫IF（・）…（2 z＋1）π・砲eg
∫ BD
∫・（・）…（2 z＋1）π・・λG2
・1（ 11z十 2）
∫ ・ B3
（2η＋1）πLy∫：F（・）…（2 7＋ユ） ・d・・3−D
oo
，t＝・Oである。これをegに代入すれぽ，
・（の一鵠霊睾
F（の＝−2Sfe・Σ（・＋†）・・th（2㌻1）π・・c・・（2蕩Dπy∫：ρ（7・）… （2芳1）！・2・d2
∫ン（2．）…竿…
一一一
1262k：義←＋s）c・・h（弓・2t｛L・h（嘉、；鴬躍）
・∫：・（・）・・苧… 33 となる。今
カヱ
H（の一鐙蕊曇1∫：胸竿城
ホ
9n（の一；；；：（・＋S）…h一竿嘉 ・・nh字1
4m2H（2n十1）2 と置けれぽ，臼は
・（y）・・H（の一怠翫（の∫：・（・）…（2〃彦1）π…
と書ける。これはFredholmの積分方程式である。
この積分方程式⑯の解を求めなくてはならない。
a…nt−∫：9・ （・・）…（2illil・i）7・…［m ・・ ・一…1・・2・…コ
a・・ ＝＝ f ：H（2）…（2〃這1）π！−2d2，［nt−・・・……コ
と置き，且つ無限連立方程式：
エn 十ao，n エe十al，n xエ＋a2，n ヱ2，十… ＝an ［1z ＝o，1，2，… コ
の根を
XO＝α0， Xl＝α1， X2＝X2＝α2， ‥ Xnノ＝αn
と置けば＊，⑯の解は
ト
P（の＝H（の一Σα。 9。 （の n〆＝O
ズ
Sln
b y30
Bi）
39
B9，
＊ 解の存在の存在については
H三1bert：Grundzlige einer allgemeinen Theorie der iinearen Integralglei．
chungen． S．165 u． S．180．
を参熱のこと。
にて与えられるのである。．
この証明は次のようにできる。
嘉（の∫：・（・）…（2 z鏑1）・…
☆（の∫：（H（・）一元ご・））c・s（陽1）π・d・
一嘉（の∫E薯一）［B・）・ B・・1・よるコ
＝Σα。 9n （の ［BDによるコ n〆ml
＝H（y）−P（y）・
これは⑯であるから，㈹が仙の解であることがわかる。
⑳の関係により
∫：・（・）…竿…一∫1 （・）…竿…亮∫：9・ （・）…竿・成
＝÷紬曇ら∫：s（胸竿2∂λ
一慧1嘉怜）讐三篶竺誓角，
∫：・（・）c・s（弓1）π…一∫：（H（・）鷲㎡蹴（・））…（弓1）！…
＝an−〉： a．・9． ，n＝αn t；1 ・o
となる。これらの値を四，θに代入すれぽ次の値が得られる
▲一一
；纏1∫：f（・）sin−1IZ5−2d2
＋鋤≠率∫：∫（2）si・竿城
・詑←＋去）％舳牛・
π虎・…・｛・…一（・・＋・）・｝…h〃
巨
一一
÷…h 1i F−a・∫1∫（・）…ZlifL・・…
・・（ ］7z十 2）a n…h（2・・51i1）πら
lii i：惹｛4m2−（2n＋1）迦争，
，
㈹
⑬
瓦＝舳（iiliii・iga2 ⑭
⑪及び㈹を夫々⑳及び助に代入したものを更に⑪，⑫に代入すれぽ，求めるu、及びu，
が次の如く得られる：
⇒酔h一竿一ね・h牛・s・・h−ZliF→s・n一竿・∫：∫（7・）…21iiL7．d・
一｝繍義霊蕊篭一幽⑲
癬緬輸，s h（竿＠づ㎞（竿ひ ga
