DEF ABC の外接円に内接する種々の DEF について, の値 ABC 点 P を ABC 内の点とし,AP,BP,CP をそ れぞれ延長し, ABC の外接円との交点をそ れぞれ D,E,F とする また,AD と BC,BE と CA,CF と AB との交点をそれぞれ L,M, DEF N

1 △ABC の外接円に内接する種々の△DEF について， ABC DEF △ △ の値 点P を△ABC 内の点とし，AP，BP，CP をそ れぞれ延長し，△ABC の外接円との交点をそ れぞれD，E，F とする。また，AD と BC，BE とCA，CF と AB との交点をそれぞれ L，M， N とする。次の種々の点 P に対して， ABC DEF △ △ の値を3 辺a ,,bcと 2 c b a s   を用いて表せ。 ただし，(7)については， S ＝△ABC の使用も 可 とする 。ま た，(10)については， さらに



cot 4S d  の使用も可とする（二等辺三角形を △ABC の外側に作ったときは低角を



，内側 に作ったときは低角を



とする。） (1) 点 P は外心 (2) 点 P は重心 (3) 点 P は内心 (4) 点 P は垂心 (5) 点 P は Gergonne（ジェルゴンヌ）点。AL，BM，CN の交点（L，M，N は内接円の接点） (6) 点 P は Nagel（ナーゲル）点。AL，BM，CN の交点（L，M，N は傍接円の接点） (7) 点 P は Fermat（フェルマー）点。∠BPC＝∠CPA＝∠APB を満たす。 (8) 点 P は第 1Brocard（ブロカール）点。∠PAB＝∠PBC＝∠PCA を満たす。（なお，∠PAC＝∠PBA＝∠ PCB を満たす点 P を第 2Brocard 点といい，結果は第 1 の場合と同じである。） (9) 点 P は Lemoine（ルモワーヌ）点。△ABC において，中線を角の二等分線に関して折り返した 3 つの直 線は1 点 P で交わる。（この点を類似重心ともいう。） (10) 点 P は Kiepert（キーペルト）点。△ABC の各辺を底辺とする相似な二等辺三角形 GCB，HAC，IBA を つくると，3 直線 AG，BH，CI は 1 点 P で交わる。 （補足）この問題の(1)から(4)までは，2017 年 11 月 6 日に本校の中 3 生・T 君から出題され，翌日，解答を渡 した。この問題を参考に(5)～(10)を追加した。 ▲(10)の参考図

2 1 求め方

△DEF≡△ABC となる場合を除く。 △DEF＝△PEF＋△PFD＋△PDE である。 △PEF の求め方は次の 2 通り考えられる。 [1] △PEF＝ PEPFsinEPF

2 1 [2] △PEF＝ 2 2 PC PE _{△PCB（∵△PEF∽△PCB より△PEF：△PCB＝PE2：PC2であるから）} 予め，AL＝ l ，BM=m，CN＝nとおいておく。 i. メネラウスの定理で，AP：PL を求めると，AP，PL，△PBC：△ABC が求められる。 ii. 方べきの定理でLD を求めると，PD=PL+LD。

iii. sinEPF の値は点P の種類によって求め方は様々である。

PD が求められると，PE，PF はa,b,cをローテーションして求めることができる。

また，AP が求められると CP もa,b,cをローテーションして求めることができる。

実際，種々の場合について，次のように求めた。 合同になる場合 (1)外心，(8)Brocard 点

[1]の方法 (3)内心，(4)垂心，(7)Fermat 点

[2]の方法 (2)重心，(5)Gergonne 点，(6)Nagel 点，(9)Lemoine 点（類似重心）(10)Kiepert 点

2 解答例 (1) 点 P が外心のとき P は外心であるから， PA＝PB＝PC＝PD＝PE＝PF（△ABC の外接円の半径） △PEF と△PBC について，∠EPF=∠BPC（対頂角）であるから， △PEF≡△PBC より，EF=BC 同様に，FD=CA，DE=AB 従って，△DEF と△ABC について，3 辺がそれぞれ等しいから， △DEF≡△ABC よって 1 ABC DEF △ △ …（答）

3 (2) 点 P が重心のとき AL＝ l ，BM=m，CN＝nとおく。 中線定理より                  2 2 2 2 2 2 l a c b ∴ 4 2 2 2 2 2 2 b c a l    同様に， 4 2 2 2 2 2 2 c a b m    ， 4 2 2 2 2 2 2 a b c n    P は△ABC の重心であるから，AP＝ l 3 2 ，PL＝ l 3 1 ，BP= m 3 2 _{，PM= m} 3 1 _{，CP= n} 3 2 _{，PN＝ n} 3 1 方べきの定理より AL・LD=BL・LC ∴LD＝ l a l a a AL LC BL 4 1 2 2 1 _{   } 2   PD＝PL＋LD l c b a l a a c b l a l l a l 6 12 3 4 2 2 4 12 3 4 4 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{ }           同様に，PE m c b a 6 2 2 2_{ }  ，PF n c b a 6 2 2 2_{ }  △PEF∽△PCB であるから △PEF＝ ₂2 PC PE _△PCB ＝





S n m c b a S n m c b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 48 3 1 3 2 6 _{ }                 _{ } 同様に，△PFD





S l n c b a 2 2 2 2 2 2 48    ，△PDE





S m l c b a 2 2 2 2 2 2 48    △DEF＝△PEF＋△PFD＋△PDE









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

48

1

1

1

48

l

m

n

n

m

l

S

c

b

a

m

l

l

n

n

m

S

c

b

a

_





_

















_

_

























S c b a b a c a c b c b a c b a b a c a c b c b a b a c a c b S c b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 48 _{     }                        よって

_

_





_

_

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c a c a b a b c c b a ABC DEF          △ △ …（答）

4 (3) 点 P が内心のとき まず，AL を求める。 △ABL＋△ACL＝△ABC であるから 2 cos 2 sin 2 2 1 sin 2 1 2 sin 2 1 2 sin 2 1 A A bc A bc A bAL A cAL     ∴ 2 cos 2 A c b bc AL  

△ABC について，AL は∠A の二等分線であるから a c b c BL    ， a c b b CL    方べきの定理より AL・LD＝BL・LC ∴LD＝





2 cos 2 2 cos 2 1 1 2 A c b a A c b bc c b ab c b ac AL LC BL           △ABL について，BP は∠ABL の二等分線であるから







cos 2 2 2 cos 2 A c b a c b abc A c b bc c c b ac c b ac AL c BL BL PL             







_

_











2 cos 2 2 cos 4 2 cos 2 2 cos 2 2 2 2 A c b a c b c b a a A abc A c b a A c b a c b abc LD PL PD                分子









a



a b c

 

ab c



a b c



bc a c b abc c b a a A abc _                      2 2 2 2 2 2 1 2 cos 1 2













sin 2 sin2 2 sin 2 cos 2 2 cos 2 A R A A a A a A c b a c b c b a c b a PD           同様に， 2 sin 2R B PE  ， 2 sin 2R C PF  次に，∠EPF＝∠EPA＋∠APF＝         90 2 2 2 2 2 A C B A A A C B A _{であるから} △PEF＝ 2 cos 2 sin 2 sin 2 90 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 2 1 2 B C A R A C R B R       _{ }    ここで，





bc a s s bc a c b A A _          _{ }     2 1 2 1 2 cos 1 2 cos 2 2 2 ，







bc c s b s bc a c b A A _                 2 1 2 1 2 cos 1 2 sin 2 2 2 より，







ca a s c s B _   2 sin ，







ab b s a s C _   2 sin であるから △PEF＝





 



 





 







R abc abc a s R S abc a s R abc c s b s a s s a s R bc a s s ab b s a s ca a s c s R 4 2 2 2 2 2       2      2   2  



s a



R _  2 同様に，△PFD



s b



R _  2 ，△PDE



s c



R _  2

5 よって，△DEF＝△PEF＋△PFD＋△PDE＝





















S r R s R c b a s R c s R b s R a s R 2 2 3 2 2 2 2            従って，







 

s a



s b



s c



abc c s b s a s s abcs S abcs s S S abc r R ABC DEF             8 8 8 2 4 2 2 △ △ …（答）

6 (4) 点 P が垂心のとき △PBL∽△PAM より，∠PBL＝∠PAM＝∠DBL（円周角） ∴△PBL≡△DBL PL＝DL より PD＝2PL＝2BLtan



90C



R B C C C B c 4 cos cos sin cos cos 2   

同様に，PE＝4RcosCcosA，PF＝4RcosAcosB △PEF について，∠EPF＝180A △PEF= PEPFsin



180A



2 1 A B A R A C

Rcos cos 4 cos cos sin 4 2 1_{  }  A C B A

R cos cos cos sin2 4 2



同様に，

△PFD=4R2cosAcosBcosCsin2B，

△PDE=4R2cosAcosBcosCsin2C

よって， △DEF＝△PEF＋△PFD+△PDE



A B C



C B A

R cos cos cos sin2 sin2 sin2

4 2    ここで，



A B

 

A B



C C



A B



C C C B

A sin2 sin2 2sin cos sin2 2sin cos 2sin cos

2

sin         











A B A B



C

 

A

 

B A B C

Ccos cos 2sin 2sin sin 4sin sin sin

sin

2        

 であるから

△DEF4R2cosAcosBcosC4sinAsinBsinC

また，正弦定理より，b2RsinB,c2RsinCであるから C B A R A C R B R A bc

S 2 sin 2 sin sin 2 sin sin sin

2 1 sin 2 1 _{   } 2  より

△DEF8ScosAcosBcosC









S

c b a c b a b a c a c b S ab c b a ca b a c bc a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8                 よって









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b a c b a b a c a c b ABC DEF _       △ △ …（答） （別解）L，M，N はそれぞれ PD，PE，PF の中点（∵△BPL≡△BDL より PL＝DL，他も同様）。 △DFE∽△LMN で，相似比は 2：1 であるから，△DFE=4△LMN

BL＝c cosB，CE=a cosC，AF=b cosAであるから， A B C

c b a A b C a B c ABC LMN cos cos cos 2 cos cos cos 2 _      △ △ よって，









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 2 4 c b a c b a b a c a c b C B A ABC DEF _{  }       △ △ …（答）

7 (5) 点 P がジェルゴンヌ点のとき L，M，N は内接円との接点であるから，AM＝AN＝s a，BN＝BL＝s b，CL＝CM＝s cである。 1             a s c s c s b s b s a s MA CM LC BL NB AN より，AL，BM，CN は 1 点 P で交わる（チェバの定理の逆）。 AL＝ l ，BM=m，CN＝nとおく。    

ALB ALC 180 であるから，cosALBcosALC0

余弦定理より

















0 2 2 2 2 2 2 2 2           c s l b c s l b s l c b s l



sc





l2



sbc



sbc









sb





l2



scb



scb





0



2sbc

  

l2 sc sa



scb

 

 sb



sa



sbc





 





 



























 















2



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b as a s c b s a s s a s c bc b s c b s a s c b s b s b c s c s a s al                           ∴













a c b as a s l 2 2_    _同様に













b a c bs b s m 2 2 _    _，













c b a cs c s n 2 2_    メネラウスの定理より   1 MA CM BC LB PL AP ， 1      a s c s a b s PL AP _，







s b



s c



a s a PL AP     ∴







 





l c s b s a s a a s a AP       ，









 





l c s b s a s a c s b s PL        同様に，







 





m a s c s b s b b s b BP       ，









 





m a s c s b s b a s c s PM       







 





n b s a s c s c c s c CP       ，









 





n b s a s c s c b s a s PN        ここで，



 







2 2 2



2 2 2 4 1 c b a ab ca bc c s b s a s a           はa ,,b cについて対称式であるから，



s a

 

s b



s c

 

bs b

 

s c



s a

 

cs c

 

s a



s b



d a                とおく。





l d a s a AP  ，







l d c s b s PL   ，





m d b s b BP  ，







m d a s c s PM   ，





n d c s c CP  ，







n d b s a s PN   方べきの定理より ALDLBLCL ∴







l c s b s AL CL BL DL     同様に，







m a s c s EM    ，







n b s a s FN  





 



 





 

dl d l c s b s l c s b s l d c s b s DL PL PD            2 ここで，















 







as



s a

 

s a



b c



a



s a

 

as b



s c





a c s b s a s a a c b as a s d l                2 2     2 2 1

8



 







 













a



s



a b c



s bc





s a

 

s b

 

s c





a c b a c b a a s c s b s a s s a a                      1 1 2 2 2 2









a c s b s a s abc     4 よって，













 

















adl c s b s a s abc c s b s a c s b s a s abc dl c s b s PD    4       4    同様に，



















bdm c s b s a s abc a s c s PE   4    ，



















cdn c s b s a s abc b s a s PF   4    ただし，da



sa

 

 sb



sc

 

bsb

 

 sc



sa

 

csc

 

 sa



sb











d c s b s a s abc 4    は定数であるから，









k d c s b s a s abc 4    _{ とおくと，}







k al c s b s PD   ，







k bm a s c s PE   ，







k cn b s a s PF   と表される。 ところで，







s b



s c



a s a PL AP     であるから，△PBC＝







S d c s b s  （da



sa

 

 sb



sc



） 従って，△PEF＝ 2 2 PC PE _△PCB＝



















 

b c m



n



S dk c s b s a s S d c s b s n d c s c k bm a s c s 2 2 2 2 2 2 2 2                      



 







































bcd





bs





c



a







cs





a



b









S c s b s a s abc a s S c b a cs c s b a c bs b s c b d c s b s a s abc d c s b s a s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4                                 同様に，△PFD＝























cs a b





as



b c





S cad c s b s a s abc b s 2 2 2 2 4          _，△PDE＝























as b c





bs



c a





S abd c s b s a s abc c s 2 2 2 2 4          △DEF















































































2













2







2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 a c bs c b as abd S c s b s a s abc c s c b as b a cs cad S c s b s a s abc b s b a cs a c bs bcd S c s b s a s abc a s                              











 













































as b c





bs



c a







cs



a b





S abcd b a cs c s c a c bs b s b c b as a s a c s b s a s abc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4                       （分子の大括弧の中）※因数分解できる！































abc s a s b s c



d



abc



s a



s b



s c





d c b a b a c a c b abc d a b a c b a ab ca bc                          





4 8 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 2 2 3 △DEF＝

















































abc



as





b c









bs





c a









cs







a b





S c s b s a s abc S b a cs a c bs c b as abcd c s b s a s abc d c s b s a s abc 2 2 2 3 2 2 2 2 4 4 4                           よって，



















2









2









2



3 4 b a cs a c bs c b as abc c s b s a s abc ABC DEF            △ △ …（答） （補足） R abc R a bc A bc S 4 2 2 1 sin 2 1 _{  }  より abc4RS（ R は△ABC の外接円の半径），

9 また，ヘロンの公式から，S s



sa



sb



sc



より









rS s S c s b s a s     2 （ r は△ABC の内接円の半径）で あるから，（分子の中括弧の中）abc4



sa



sb



sc



4RS4rS4



Rr



Sと表すこともできる。





























































_                      2 2 2 2 3 2 2 2 3 16 4 b a cs a c bs c b as R S r R b a cs a c bs c b as abc S r R ABC DEF △ △

10 (6) 点 P がナーゲル点のとき L，M，N は傍接円との接点であるから，BN＝CM＝s a，CL＝AN＝s b，AM＝BL＝s cである。 （∵）







 







                                                              他も同様。 , ＝ -とおくと, とする。 それぞれ との接点を ， 内の傍接円と CL AB AL BL BL 2 AL 2 2AL AL AL CA CL BL AB CA LC + BL AB CA + BC AB L , L AC AB A 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 b s c s a c s c b a s s c b a 1             c s a s b s c s a s b s MA CM LC BL NB AN _より， AL，BM，CN は 1 点 P で交わる（チェバの定理の逆）。 AL＝ l ，BM=m，CN＝nとおく。    

ALB ALC 180 であるから，cosALBcosALC0 余弦定理より

















0 2 2 2 2 2 2 2 2           b s l b b s l c s l c c s l ，



sb





l2s22cs







sc





l2s22bs



0 移項すると



2sbc



l2



sb

 

s2cs

 

 sc

 

s2bs







 































2 2







 



2







 



2



2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 2 2 c b a s a s c b a s a s c b a c b a s bc c b a c b c b a s bc s c b s s s b c s s c b s s al                                                   ∴





 





a c b a s a s l 2 2_    _同様に





 





b a c b s b s m 2 2_    _，





 





c b a c s c s n 2 2_    メネラウスの定理より   1 MA CM BC LB PL AP ， 1      c s a s a c s PL AP ， a s a PL AP   …① であるから





l s a l a s a a AP     ，





l s a s l a s a a s PL       同様に， m s b BP  ， m s b s PM   ； n s c CP  ， n s c s PN  方べきの定理より ALLDBLLC ∴







l b s c s AL LC BL LD    





 









sl c s b s s l a s l c s b s l s a s LD PL PD            2









 











                 ss b s c a c b a s a s a s sl 2 1



 



 

















a



s a

 

s a



b c



a



s b



s c





al c s b s a c b a s a a s al                 1 2 1 2 2

11



 





















































2 2 2











 





2



2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 c b a s bc a s a a al c b a s bc a s s a s a al c b a s bc a s c b a s a al c b a s c s b s a s a al                                

















abc



s a



b c a



b c a





al c b a s abc a s a al               1 2 2 1









al c s b s a s abc     4 ∴









al c s b s a s abc PD 4    同様に，









bm c s b s a s abc PE 4    ，









cn c s b s a s abc PF 4   



s a



s b



s c



abc 4    は定数であるから，abc 4



sa



sb



sc



kとおくと， al k PD  ， bm k PE  ， cn k PF  と表される。 ところで，①より， a s a PL AP   であるから，△PBC＝ S s a s  従って，△PEF＝ 2 2 PC PE _△PCB＝





S n m c b k a s s S s a s n s c bm k 2 2 2 2 2 2 2                 同様に，△PFD＝





S l n a c k b s s 2 2 2 2 2  _，△PDE＝





S m l b a k c s s 2 2 2 2 2  △DEF＝





























2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cn bm al abc S n c s c m b s b l a s a s k m l b a S c s s k l n a c S b s s k n m c b S a s s k               （分子の中括弧の中） 2





2 2





2 2





2 n c s c m b s b l a s a     









 













 













 





c b a c s c s c s c b a c b s b s b s b a c b a s a s a s a 2 2 2 2 2 2 _{ }    _{  }    _{  }    



 



 







 



 







 



 







2 2 2



b a c s c c s c a c b s b b s b c b a s a a s a s               



a b c a b abc



s



abc



a b c



a b c



a b c





s s              



2 2 4 2 2 2 3 3 3



 

 







2













2 2 4 2 2 2 2 2 abc s a s b s c s abc s a s b s c ks s _{           }  △DEF



 





2







 



2







 



2



2 2 b a c s c s a c b s b s c b a s a s abc S ks s k               



 











 









 









 





2











 





2











 



2



3 2 2 2 3 4 b a c s c a c b s b c b a s a abc S c s b s a s abc b a c s c a c b s b c b a s a abc S k                         よって，















 





2







 



2







 



2



3 4 b a c s c a c b s b c b a s a abc c s b s a s abc ABC DEF               △ △ …（答） （補足） R abc R a bc A bc S 4 2 2 1 sin 2 1 _{  }  より abc4RS（ R は△ABC の外接円の半径）， また，ヘロンの公式から，S s



sa



sb



sc



より









rS s S c s b s a s     2 （ r は△ABC の内接円の半径）で

12 あるから，kabc4



sa



sb



sc



4RS4rS4



Rr



Sと表すこともできる。











 











 









 











 











 









 





                                   2 2 2 2 3 2 2 2 3 16 4 b a c s c a c b s b c b a s a R S r R b a c s c a c b s b c b a s a abc S r R ABC DEF △ △

13 (7) 点 P がフェルマー点のとき △ABC の外側に正三角形 GBC，HCA，IAB を作る。 このとき，AG，BH，CI は 1 点 P で交わり，P の周りの 6 個の角はす べて60°となる。（証明省略） AP＝x，BP＝ y ，CP＝ z とおく。（x0,y0,z0） △PBC＋△PCA＋△PAB＝△ABC＝ S であるから



yzzxxy



sin120S 2 1

_

_

S xy zx yz   2 3 2 1 ∴yz zx xy S 3 4    …① △PBC に余弦定理を適用すると 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , 120 cos 2yz a y z yz a z y             2 2 2② a z yz y    同様に，△PCA，△PAB にも余弦定理を適用して 2 2 2③ 2 2 2④ ,x xy y c b x zx z       ②＋③＋④より



2 2 2



2 2 2 2x y z yxzxxya b c



xyz



a b c 3



yxzxxy



2 2 2 2 2 これに①を代入して xyz a b c  S k 2 3 4 2 2 2 …⑤とおく。 ②－③より







2 2 b a x y z y x     これに⑤を代入すると





2 2 b a x y k    ， k b a x y 2 2_   これを④に代入すると 2 2 2 2 2 2 2 c k b a x k b a x x x _        _           _   両辺に 2 k をかけて整理すると 3k2x23



a2b2

 

kx a2b2



2c2k20



 











_

_

_

_

6 3 12 3 6 3 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{2 2 2 2 2 2} 2 b a k c b a k c b a b a b a kx          _{ }        0  x より

















k b a S c b a c b a k b a k c b a x 6 2 3 4 4 3 3 6 3 12 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                         （ 根 号 内 ）



_{2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 4}





 

₂

 

   

_{2 2} 2





₂



2

3

4

3

3

3

4

2

4

3

3

3

8

2

2

2

3

b

c



c

a



a

b



a



b



c



c

S



c



S



S

c



c



S



c











k

S

c

b

a

k

c

S

b

a

x

2

3

4

6

3

4

3

3

2 2 2 2 2 2





















同様に， k S c b a y 2 3 4 2 2 2_{  }  ， k S c b a z 2 3 4 2 2 2_{  }  次に，PL＝x，PM＝y，PN＝ z とおく。

14 △PBL＋△PLC＝△PBC であるから     sin120 2 1 60 sin 2 1 60 sin 2 1 yz z x y x ∴ z y yz x    AL＝ z y xy zx yz z y yz x x x          z y z x y x PLC PBL LC BL _       60 sin 2 1 60 sin 2 1 △ △ より BL＝ a z y y  ，LC=y za z  方べきの定理より AL・LD＝BL・LC LD＝

_

_

_

xy zx yz z y yz a xy zx yz z y a z y z a z y y AL LC BL               1 2 PD＝PL＋LD＝

_

_

_

_



_

_





_

_

_



_



_





_

xy zx yz z y z y x z y yz xy zx yz z y z yz y xy zx yz yz xy zx yz z y a xy zx yz yz xy zx yz z y yz a z y yz                             2 2 2 2





xy zx yz z y x yz      同様に PE＝





xy zx yz z y x zx     _，PF＝





xy zx yz z y x xy     △DEF=△PEF＋△PFD＋△PDE＝



PEPFPFPDPDPE







PEPFPFPDPDPE



4 3 120 sin 2 1



 





 





 











S S c b a S c b a S c b a S S k k S c b a k S c b a k S c b a xy zx yz z y x xyz xy zx yz z y x zx xy zx yz z y x yz xy zx yz z y x yz xy zx yz z y x xy xy zx yz z y x xy xy zx yz z y x zx                                                        _{  }             _{  }            _{   }                                             3 4 3 4 3 4 8 3 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 3 4 3 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ⑤  よって _                                     a b c S a b c S a b c S S ABC DEF 3 4 3 4 3 4 8 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 △ △ …（答） （補足）⑤式より，

















_

_

3 2 3 2 3 4 3 1 4 3 1 4 3                            xy zx yz z y x xyz xy zx yz xy zx yz z y x xyz S xy zx yz z y x xyz ABC DEF △ △ と表すこ ともできる。

15 (8) 点 P が第 1 ブロカール点のとき 左側の図において，点B を通り CA の点 C で接する円 G と，点 C を通り AB の点 A で接する円 H と，点 A を 通りBC の点 B で接する円 I は，1 点 P で交わる。この点を第 1 ブロカール点という。このとき，∠PAB＝∠ PBC＝∠PCA となる（証明は接弦定理とその逆を用いる）。なお，∠PAC＝∠PBA＝∠PCB となる点を第 2 ブ ロカール点という。 いま，∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝とおく。

△DEF と△ABC において，∠D=∠FDA＋∠ADE＝＋∠ABE＝∠B 同様に，∠E=∠DEB＋∠BEF＝＋∠BCF=∠C よって，△DEF∽△ABC また，ともに同じ円に内接しているから，△DEF≡△ABC よって， 1 ABC DEF △ △ …（答） （別解） AP＝ x ，BP＝ y ，CP＝ z とおく。（x0,y0,z0）また，∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝ωとおく。 △PBC＝    tan 4 tan cos 2 1 sin 2 1 a2 y2 z2 ay ay     同様に △PCA＝ tan 4 2 2 2 _{z x} b   _{，△PAB＝ } tan 4 2 2 2 _{x y} c   △PBC＋△PCA＋△PAB＝ S S y x c x z b z y a   _   _   _ tan 4 tan 4 tan 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S c b a   _ tan 4 2 2 2 ∴tan ₂ 4_{2 2} c b a S     …① 点P の周りの角について，∠APF＝∠CPD=A，∠BPD＝∠APE＝B，∠CPE＝∠BPF＝C △PBC に正弦定理を適用

_

_

   C y z sin sin

16





ab c ab c ab c b a S c b a ab S C C C C C z y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 cos tan sin sin sin cos cos sin sin sin  _  _{   }   _   _{ }        ∴ ab c z y_ 2 _{…② 同様に} bc a x z _ 2 _…③， ca b y x _ 2 _…④ S ＝△PBC＋△PCA＋△PAB より













S abc bxy azx cyz ca S xy bc S zx ab S yz B xy A zx C yz A C xy C B zx B A yz S                   2 2 1 2 2 1 2 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1

∴ cyzazxbxyabc…⑤

④より x b ca y ₂ ，③より x bc a z 2  これらを⑤に代入すると x abc b ca bx x x bc a a x bc a x b ca c       ₂  2 2 2





2 4 2 2 2 2 2 2 2 c b c b b a a c x    0  x より 2 2 2 2 2 2 2 b a a c c b c b x    同様に 2 2 2 2 2 2 2 b a a c c b a c y    ， 2 2 2 2 2 2 2 b a a c c b b a z    次に，PL＝ x ，PM＝y，PN＝ z とおく。（x0,y0,z0） △PBC＝△PBL＋△PLC より yz



A B



xy B xzsinA 2 1 sin 2 1 sin 2 1 _{    }



A B



sinC sin   であるから cyzx



byaz



∴



2 2



2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a a c c b a c a c b a a c c b b a a b a a c c b a c b b a a c c b b a b a a c c b a c c az by cyz x                      AL=







2 2





2 2



2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 b a a c c b a c a c a c c b b a a c c b a c a c b a a c c b c b x x               









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b a a c c b c b a a c c b a c b a a c c b c           また， ₂ 2 2 sin 2 1 sin 2 1 a c ab c a b az by A z x B y x PLC PBL LC BL _{   }     △ △ より BL＝ ₂ 2 ₂ a c a c  ，LC= 2 2 3 2 2 2 a c a a c a a    方べきの定理より AL・LD＝BL・LC LD＝



2 2



2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 b a a c c b a c ca b a a c c b c a c a c a a c a c AL LC BL               PD＝PL＋LD＝









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a a c c b ca b a a c c b a c ca b a a c c b a c a c           同様に PE＝ 2 2 2 2 2 2 2 b a a c c b ab   ，PF＝ 2 2 2 2 2 2 2 b a a c c b bc   △PEF＝





S b a a c c b c b ab S b a a c c b bc b a a c c b ab B A PF PE _{2 2 2 2 2 2} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 1 sin 2 1             

17 同様に △PFD＝ S b a a c c b a c 2 2 2 2 2 2 2 2   ，△PDE＝b c c a a b S b a 2 2 2 2 2 2 2 2   よって △DEF＝△PEF＋△PFD＋△PDE＝ S S b a a c c b b a a c c b _     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 であるから ∴ 1 ABC DEF △ △ …（答） （補足）△ABC の外側に正方形 BCDE，CAFG，ABHI をつくり， 3 直線 FE，ID，HG で囲まれた三角形を LMN とする。 ∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝をBrocard 角という。 この角を用いると， 2 cot 2    ABC LMN △ △ と表すことができる。

18 (9) 点 P がルモワーヌ点のとき 図のように，3 つの中線を AL1＝ l ，BM1＝m，CN1＝nとおく。 また，∠CAL1＝∠BAL＝∠BED＝ とおく。 中線定理より 2 2 2 2 2 2 a l b c                ∴_4l2 _2b2_2c2_a2 同様に _4m2 _2c2_2a2_b2_，4n2 _2a2_2b2_c2 また， BL=x₁，AL=y₁lとおく。 △ABL に正弦定理を適用すると B l y x sin sin 1 1 _  …① △ACL1に正弦定理を適用すると C l a sin sin 2 _  …② ①÷②を辺々計算すると 1 _{1 1} sin sin 2 y b c y B C a x   ∴ ₁ 2 x₁ ca b y  …③ △ABL に余弦定理を適用すると

 

ly c x 2cx1cosB 2 1 2 2 1    ③を代入して ca b a c cx x c x ca bl 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1             両辺に_c2_a2_{をかけて，移項すると}









0 4 1 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 _{     } a c x b a c a c x a c l b …④ （ 2 1 x の係数）b2



2b22c2a2



c2a2 2b2



b2c2

 

a2 b2c2

 

 b2c2



2b2a2



であるから



2 2



c b  c2a→c2a



2b2a2





2 2



2b a c2a→c2a



b2c2





2 2 2



2 b a c a c   たすきがけで④を因数分解すると





b2c2



x1c2a





2b2a2



x1c2a



0 題意に適するのは 2 2 2 1 c b a c x   ＝BL このとき，LC＝ 2 2 2 2 2 2 c b a b c b a c a     また，③より， 2 2 2 2 2 1 2 2 c b bc c b a c ca b y      ∴AL= l c b bc 2 2 2  同様に CM＝ ₂ 2 ₂ a c b a  ，MA＝ 2 2 2 a c b c  ，BM=c a m ca 2 2 2  ；AN＝ 2 2 2 b a c b  ，NB＝ 2 2 2 b a c a  ，CN=a b n ab 2 2 2  次に，メネラウスの定理より   1 MA CM BC LB PL Ap 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b a c b a c b a c a c b c a CM MA LB BC PL Ap           …⑤