香川大学教育実践総合研究（BIλll.￡＆,c.j?a.7iaacゐ.￡）ε ｢9.瓦昭ａｗＭ加祠，16:67−76，2008
図形の提示順序が児童の四角形の弁別に与える影響
長谷川 順一 (数学教育講座)
760-8522 高桧市幸町１−１ 香川大学教育学部
Effects of Order of Presentation of Geometric
Figures on
Students' Discrim泊ation of Quadrilaterals
HAsEGAwA
Junichi
Facu叫of Educalion, Kagawa university，1-j，Saiwai-cho,Takamatsu 760-8522
要 旨 小学校中･高学年の見童を対象として，三角形･四角形の弁別に関する調査を行っ
た。このとき，三角形や長方形から先に回笞する問題紙と不等辺四角形から先に回答する問
題紙の２種類の問題紙を用いた。その結果，中学年，特に４年生の児童では，長方形などか
ら先に回答すると不等辺四角形を四角形であるとする判断が阻害されることが明らかになっ
た。これらの結果について総合的に検討すると共にそこから得られる図形指導への示唆に
言及した。
キーワード 図形の弁別 四角形 長方形 不等辺四角形 算数 １ はじめに 現在，三角形･四角形の概念は小学校第２学 年で扱われている。算数敦科書では三角形や四 角形の図形を分類する課題を示し，その際の分 類の観点を見童に意識化させることを通して， 「３本（４本）の直線でかこまれた形を三角形（四 角形）という」として，三角形，四角形の語が 導人されている。その後，「へり」が直線では ない図形や閉じていない図形は三角形や四角形 とはいわないことも扱われる。このようにして 三角形や四角形の概念を学習しても，同じよう な四角形であってもその向きなどによって四角 形と判断されたりされなかったりすることがあ， る。また，不等辺四角形は四角形であると判断 されないことがある（長谷川･香川，1994）。ど のようにして基本的な図形概念の理解を図るか は，図形の教授法を考える際の重要な諜題であ る。 麻柄らによれば，小学校１年生及び幼椎園児 を対象とした実験的研究の結果，正三角形や正 方形を用いるよりも不等辺三角形･四角形を用 いて「かどが三つ（四つ）あるのが三角（四角） だ」と敦示する方が，三角形･四角形の弁別の 成績が有意に高く（麻柄･伏見,1982），三角や 四角は等辺であることなどへの「こだわり」を もつ幼椎園児に対しては，先ず正三角形や正方 形を用いて三角や四角を教示し，その後それら を徐々に不等辺三角形や四角形に変形して敦示 する方がより効果的であったという（伏見･麻 柄,1986）。教示の際に事例として用いられる 不等辺三角形･四角形あるいは正三角形･正方形 の何れが概念学習に有効かが児童によって異な ることに対して，伏見は，正三角形や正方形を 事例とすると内包は把握されやすいが外延の拡 大には結びつきにくく，不等辺三角形や四角形を事例とすると外延の拡大には結びつきやすい が内包の把握は困難であるとする説を提案して いる（伏見，1990,1992）。 中原（1995）は小学校４年生∼中学校２年生 の児童･生徒を対象として，「次の四角形の中 で，平行四辺形（あるいは，台形，ひし形）の なかまであるものには○をつける」問題などを もとに，台形，平行四辺形，ひし形に対する相 互関係理解の観点から調査研究を行っている。 その結果，台形やひし形に理解の困難性がある ことを指摘し，図形の概念構成は，基本的に は，④イメージが中心となる段階，⑤イメージ と論理が混在する段階，④論理が中心となる段 階の過程をたどるとしている（「イメージ」とは， 言葉で述べられた数学的な定義である「概念定 義」とは異なり，例えば「台形とは台のような 形」のような視覚的イメージを中心とした「台 形」に関する経験の総体をいう）。また，思考 水準の観点からも検討を加え，事例研究をもと に敦授上の提言を行っている（中原,1995）。な お，中原が用いた間題文では「次の四角形の中 で」とされていたが，提示された不等辺四角形 は四角形とは判断されない可能性もある。図形 概念については他にも様々な検討がなされてい る。 本稿では，三角形･四角形に対する論理とイ メージによる児童の判断に留意しつつ，「三角 形･四角形」の学習終丁後の小学校中･高学年の 児童を対象とし，三角形･四角形の弁別を扱っ た三つの調査の結果を報告する。調査では，提 示する図形は同じであるが，提示順序のみを逆 にした２種類の問題紙を用い，問題の提示順序 が図形の弁別にどのような影響を与えるかを中 心に検討した。以下では調査結果を報告すると 共にそこから得られる図形を扱う授業に対す る示唆に言及する。
２ 調査とその結果
２,１ 調査の目的と方法
先に述べたように，三つの調査は，図形の
提示順序が図形の弁別に与える影響をみるこ
とを目的としたものである。そのため，２種 類の問題紙を作成した。一つは，長方形や三角 形から不等辺四角形へと図形を配置した問題紙 である。今一つは提示順序のみを逆にし，不等 辺四角形から長方形や三角形へと図形を配置し たものである。但し，三つの調査で用いた図形 の数はそれぞれ異なっていた。図１に示した18 個の図形は調査２で用いたものであり，図形に 付した記号は，アルファベットの順に長方形 や三角形から不等辺四角形へと図形を配置した 問題紙での提示順序を表している。これらの図 形の内，調査１では６個の図形を，調査３では ７個の図形を用いた。なお，図１に示した図形 は，主としてこれまでの授業研究などから得ら れたものである（長谷川，1985 ； 長谷川･高橋， 1991 : 長谷川･香川，1994） このようにして作成した２種類の問題紙を各 学級でランダムに配布するようにした。問題紙 の配布と回収は学級担任の先生に依頼したが， ランダムな配布のために ２種類の問題紙を学 級の人数分だけ交互に積み重ねて封筒に入れ， 各先生にお渡しした。学撒担任の先生には通常 の配布物を配布する要領で，問題紙の配布を 行ってもらった。 問題紙は表紙を含め４枚からなり（片面印 刷），表紙には氏名の記入欄の他，消しゴムは 使わない，前のページにもどってはいけないな どの注意事項が記してあった。表紙の次のペー ジの冒頭には，調査１と３では，「つぎの，① から⑥（調査３では①から⑦）の形は，三角形 でしょうか，四角形でしょうか。それとも，三 角形でも四角形でもない形でしょうか。正し いと思う番号に一つ○をつけましょう｡」との 問題文を記し，各図形ごとに，「左の形は，① 三角形です。（2）四角形です。（3）三角形で も四角形でもありません｡」の三つの選択肢を 示し選択回笞させるようにした。調査２では， 「つぎの，①から⑩の形は，三角形でしょうか， 四角形でしょうか。それとも，三角形でも四角 形でもない形でしょうか。『この形は，（ ）』 の（ ）の中に三角形と思うときは三,四角 形と思うときは四,三角形でも四角形でもない(a) (k) (d) (h) ｊり (1) 図１ 提示図形 と思うときは×と，書いてください｡」との問 題文を記し，各図形ごとに「この形は，（ ）」 との回答欄を設けた。アラビア数字ではなく 「三,四」の漢数字で記入させたのは，辺などの 数への着目をなるべく誘導しないようにするた めであった。 以下では「正答」（あるいは［誤答］）の語を 用いるが，図１の図形の内，（bバD（gバI）（o） に対しては「三角形」，㈲（c）（e戸h）（i）（j戸m） （n）（q）（r）に対しては「四角形」，（d）（kバp） に対しては「三角形でも四角形でもない」とし たものを「正答」とし，それ以外は「誤答」と した。 ２．２ 調査1 2000年３月上旬，公立小学校の３∼５年生を 対象として調査を実施した。このときの敦育諜 程は旧指導要領（平成元年版）に基づくもので あった。調査１では，図１に示した図形の内， （f）三角形，（c）台形，（d）「へり」の丸い図 形，（ｍ）不等辺四角形，（q）不等辺四角形，（r） 不等辺四角形（（ｍ）と合同）を用いた（「（f） 三角形」のように「三角形」などの語を付した が，これは分かりやすくするために記したもの であり，児童がそのように考えることを表すも のではない。以下同様である）。この順に図形 を提示した問題紙に回答した児童を「三角形先 行群」，それとは逆の順に図形を提示した問題 紙に回答した児童を「不等辺四角形先行群」と いうことにする。表１は，調査に参加した児童 数を群別に表したものである。 表１ 調査対象児童数 ３年生 ４年生 三角形先行群 不等辺四角形先行群 Z S CM9 ４ ４ ４ ４ ５年生 LrMS ４ ４‘
調査結果の処理については，正答に１点，誤
答にＯ点を与え(６点満点)，各学年各群の平
均値を算出した。図２は，その結果を表したも
のである(縦軸の数値は点数を表す)。
この結果について，学年(３,４,５年生)×群
(三角形先行群，不等辺四角形先行群)の２要
因の分散分析を行ったところ，学年の主効果
(F(2,230)＝3.25，p＜｡05)が有意であり，学
年×群の交互作用(F(2,230)＝3.01‥05＜p
＜｡1)で有意な傾向がみられた。交互作用の有
意傾向は４年生での２群間の差異が影響したも
のである(以下では，有意水準を５％として検
／＼
/｀へ、、
５ ４ ３ 心_ 三角形先行群 一僣−不等辺四角形先行群 →− ■へ
＼
＼ ／
＼/
３年生 表３ 図形(ｍ)と(r)の正答率の比較 三角形先行群 ３年生 ４年生 ５年生 (m) 78.6％ 45.5％ 66.7％ (r) 6屯3％ 36.4％ 66.7% 不等辺四角形先行群 （m） （r） 72.4％ 70.5％ 67.4％ 65.5％ ％ １ 5 9 . 65.2％ 不等辺四角形であり，４年生以外の三角形先 4年生 図２ 調査１の結果 5年生 行群と不等辺四角形先行群の正答率は，３年生 では60.7％と69.0％，5年生では57.8％と65.2％で あった。討する）。
また，学年ごとにそれぞれの図形について２
群間の正答率の差異を検討した（２群×（正答
数と誤答数）の２×２の分割表に対するカイ２
乗検定，以下同様である）が，３年生，５年生
では２群間で正答率に有意な差がみられた図形
はなかった。表２は，４年生の結果を表したも
のである（（f）は直接確率法による）。
図形 (f) (c) (d)㈲㈲削
表２ 群別正答率（４年生） 三角形群 不等辺群 68.2％ 97.7％ 45.5％ 59.1％ 86.4％ 81.8％ 45,5％ 70.5％ 36.4％ 56.8％ 36,4％ 59.1％ ゛p＜.1，＊p＜.05， Ｚ２(１) ＊ ＊ 1.64 ns 0.34 ns 5.64* 3.70゛ 4.56* ＊ ＊ p＜.01 ４年生では，（f）三角形，（ｍ）不等辺四角形， （r）不等辺四角形で三角形先行群よりも不等辺 四角形先行群の正答率が有意に高かった。 調査で用いた図形の内，不等辺四角形（ｍ） と（r）は合同な図形であった。表３は，（ｍ） と（r）の各学年各群の正答率を表したもので ある。 これらの図形の対のそれぞれについて，群別 に２図形×（正答数･誤答数）の２×２の分割表 に対してカイ２乗検定を行ったが，何れにおい ても有意な差はみられなかった。また，全体的 にみたとき最も正答率が低かった図形は（q） ２．３ 調査２ 調査１の結果から，特に４年生で，三角形や 台形などに先に回答すると不等辺四角形に対す る判断が阻害されることが推測される。このこ とを確かめるため，2002年６月，調査１の対象 校とは異なる公立小学校の３∼６年生を対象と して調査を行った。なお，この年度から新学習 指導要鎖（平成10年版）が実施された。 この調査では，図１に示した図形の全てを用 いた。図１の各図形に付したアルファベットの 順に図形を提示した問題紙に回答した児童を 「長方形先行群」，その逆の順序で図形を提示し た問題紙に回答した児童を「不等辺四角形先行 群」ということにする。表４は，調査に参加し た児童数を群別に表したものである。 表４ 調査対象児童数 ３年生４年生５年生６年生 長方形先行群 26 31 32 30 不等辺四角形先行群 26 31 33 27２．３．１全体の結果
調査１と同様，正答に１点，誤答にＯ点を与
え(18点満点)，各学年各群の平均値を算出し
た。図３は，その結果を表したものである(縦
軸の数値は点数を表す)。
この結果について，学年(３∼６年生)×群
(長方形先行群，不等辺四角形先行群)の２
要因の分散分析を行ったところ，学年の主効
果(F(3,228)＝10.10，p＜｡01)，群の主効果
18 17 16 15 14 13 12 11 メ）
／ら
-べ ／
＼ ／＼ ／
長方形先行群 −●-− 不等辺四角形先行群 →−＼／
W -１ -１ -１ -１ ３年生 ４年生 ５年生 ６年生図３ 訓査２の結果
(F(1,228)＝8.70，pく｡01)，学年×群の交互
作用(F(3,228)＝5.82，pぐ01)が有意であっ
た。交互作用が有意であったので単純主効果
を検討した。その結果，４年生で２群問に有意
差がみられた(F(1,228)＝8.08，p＜｡01)。ま
た，長方形先行群(F(3,228)＝36.33，p＜｡01)
で有意差がみられ，LSD法によって多重比較を
行ったところ，３年生と４年生，４年生と５年
生，４年生と６年生の問で有意差がみられた
(p＜｡05)。不等辺四角形先行群でも有意差が
みられ(F(3,228)＝10.67，p＜｡01)，LSD法に
よって多重比較を行ったところ，３年生と６年
生，４年生と６年生，５年生と６年生の問で有
意差がみられた(p＜｡05)。4年生では不等辺
四角形先行群に比して長方形先行群の平均値が
有意に低く，長方形先行群では４年生が他の学
年の児童に比べ平均値が有意に低い。また，不
等辺四角形先行群では６年生が他の学年に比ベ
て平均値が有意に高いことが分かる。
２．３．２ それぞれの図形に対する反応 それぞれの図形について，各学年の正答率を 検討した。その結果，３年生では（p）六角形 で長方形先行群（正答率96.2％）の方が不等辺 四角形先行群（69.2％）よりも正答率が有意に 高かった（p＜｡05（直接確率法））。４年生の 結果は次項で検討する。５年生では（n）不等 辺四角形で長方形先行群（50.0％）よりも不等 辺四角形先行群（81.8％）の正答率が有意に高 かった（zy1）＝7.34，p＜｡01）。3年生及び ５年生で２群問に有意差がみられたのはこれだ けであった。６年生では２群間で正答率に有意 な差がみられた図形はなかった。 18個の図形の内，長方形（a）と（e），台形（c） と（j），三角形（f）と（g），不等辺四角形（ｍ） と（r），不等辺四角形（n）と（q）は，それ ぞれ合同な図形である。これらの対の図形に対 する３∼６年生の正答率をみると，（ｍ）と（r） に対する３年生と４年生の不等辺四角形先行群 以外では有意な差はみられなかった。表５は， （ｍ）と（r）の各学年各群の正答率を表したも のである。 表５ 図形(ｍ)と(r)の正答率の比較 長方形先行群 不等辺四角形先行群 ３年生 ４年生 ５年生 ６年生 73， 38， 71 86， 1％ 7％ 9％ 7％ 65.4％ 32.3％ 65.6％ 76.7％ 88.5％ 90.3％ 81.8％ 100.0％ (r) 46.2％ 67.7％ 84.8％ 92.6％ ３，４年生については，不等辺四角形先行群 の３年生（戸（1）＝10.57，p＜｡01），4年生 （z2（1）＝4.77，p＜,05）で共に一番最初に 提示された図形である（r）の正答率が有意に低 い。不等辺四角形先行群では（r）が最初に提示 された図形であるために正答率が低かったこと も考えられるが，これまでの「三角形･四角形」 についての授業研究などから，（r）は判断が困 難な図形の一つであることが分かっている。 全体的に最も正答率が低かった図形は，不等 辺四角形（n）や（q）であった。表６は，（n） と（q）の各学年各群の正答率を表したもので ある。 不等辺四角形（n）については，３年生の長 方形先行群が不等辺四角形先行群より正答率 表６ 図形(n)と(q)の正答率 長方形先行群 不等辺四角形先行群 ３年生 ４年生 ５年生 ６年生 (n) 61.5％ 12.9％ 50.0％ 73.3％ 50.0％ 12.9％ 53.1％ 73.3％ ㈲ 34.6％ 61.3％ 81.8％ 85.2％ 30.8％ 61.3％ 75.8％ 88.9％がやや高い傾向がみられる(戸(1)＝3.77‥05
＜p＜｡1)。一方，４∼６年生では二つの図形
共に不等辺四角形先行群の正答率が高く，(n)
については５年生で２群間に有意な差がみられ
る(ｚづ1)＝7.34，p＜｡05)。以下では，４年
生の全ての図形に対する結果を検討する。
２．３,３ ４年生の結果 図４は，図１に示した18個の図形に対する４ 年生の正答率を群別に表したものである。図４ で，横軸に示したアルファベットは図１の図形 に付したものに対応する。長方形先行群は左端 の（a）の図形から右端の（r）に向けて回答し， 不等辺四角形先行群では逆に右端の（r）から（a） に向けて回答していた。 両群共に正答率が８割を越える図形を左端か ら順にみると，（a）長方形，（b）三角形，（d） 「へり」の丸い図形，（e）長方形，（f）三角形， （g）三角形，（i）平行四辺形，（k）「へり」の 丸い図形，（1）三角形，（o）三角形，（p）六角 形である。上記以外の図形（台形を含む不等辺 四角形）については，全て長方形先行群より も不等辺四角形先行群の方が有意に正答率が高 い。（（c）: （j）:χ2（1 (n):χ2(1 100％ 80％ 60％ 40％ 20％ O％ χ2(1)＝18.72，(h):χ2(1)＝12.9＆ ＝11.09，(m):z2(1)＝18.04， １ ｊ 5.55，（q）:z2（1）＝15.55(r):z2(1)＝7.81，全てp＜｡01)。長方形先行
群では，不等辺四角形に対して四角形であると
判断することが非常に困難である。
２．４調査３ これらの図形に対して，どのように考えてそ れぞれを判断しているのかを調べるため，「そ う思ったわけ」を記述する欄を設けた問題紙を 用い，公立小学校の中学年の児童を対象として 調査を行った。但し，調査を依頼した小学校 は，同一郡内ではあるが３年生と４年生で調査 実施校が異なっていた（調査１，２の調査対象 校とも異なっていた）。調査の実施時期は，調 査２とほぼ同時期の2002年６月であった。 この調査では，図１に示した図形の内，（f） 三角形，（a）長方形，（c）台形，（d）「へり」 の丸い図形，（ｍ）不等辺四角形，（q）不等辺 四角形，（r）不等辺四角形（（ｍ）と合同）を 用いた。この順に図形を提示した問題紙に回答 した児童を「三角形先行群」，それとは逆の順 に図形を提示した問題紙に回答した児童を「不 等辺四角形先行群」ということにする。調査に 参加した児童数は，三角形先行群，不等辺四角 形先行群それぞれ，３年生は37名と35名，４年 生は34名と35名であった。 （a）（b）（c）（d）（e）（f）（9）（h）（j）（j）（k）（￨）（m）（n）（o）（p）（q）（「」図 長方形先行群
不等辺四角形先行群
図４ ４年生の結果２．４．１全体の結果 正答に１点，誤答にＯ点を与え（７点満点）， 各学年各群の平均値を算出した。図５は，その 結果を表したものである（縦軸の数偵は点数を 表す）。 ６ ５ ４ ３ ３年生 図５ 謳査３の結果 ４年生 この調査の対象校は学年によって異なってい た。そこで学年ごとに２群間の平均値の差を検 定したところ，３年生(t(70)=3.90，p＜｡01)。 4年生(t(67)=3.06，p＜｡01)共に有意な差 がみられた。また，図形ごとに２群の結果を検 討した。表７，８は，それぞれ３年生，４年生 の各図形についての群別の正答率と２群問の正 答率の検定結果を表したものである(｢三角形 群｣｢不等辺群｣はそれぞれ｢三角形先行群｣｢不 等辺四角形先行群｣を表す。表７の(c)と(ｍ) は直接確率法による)。 ２．４．２ 判断理由の検討 図６，７は，比較的正答率の高かった（a）長 図形 (f) (a) (c) (d) (m) 表７ 群別正答率（３年生） 三角形群 86.5％ 91.9％ 59.5％ 94.6％ 56.8％ 37.8％ 37.8％ 不等辺群 88.6％ 94.3％ 97.1％ 94.3％ 97. ％ Ｉ 62.9％ 77.1％ ＊p＜.05， 戸(1) 0.07 ns 0.16 ns ＊ ＊ 0.00 ns ＊ ＊ 4.50* 11.33*＊ ＊＊p＜.01 方形，及び２群間に有意差のみられた（ｍ）不 等辺四角形に対する正答者の［そう思ったわけ］ の記述内容を分類し，学年及び群ごとに各学年 各群全体に対する割合によって示したものであ る。これらの図で，「三角形群」［不等辺群］は それぞれ三角形先行群，不等辺四角形先行群を 表す。また，「角の数」「直線の数」は角（ある いは「かど」）や直線の数を理由としてあげ， 例えば「角が４つあるから四角形です」などと したものである。前者には「頂点の数」，後者 には「辺の数」をあげたものが若干名含まれる。 「角と直線」は，角及び直線の数の両方を述ベ たものを表す。「イメージ」は，例えば「四角 形にみえるから」「これは四角形だと思います」 などの記述を指す。 図６，７からも見て取れるように児童の理 由の記述は必ずしも一貫したものではなく図形 に依拠して変化している。また，「直線の数」 を理由として記述したものは高々３割ほどであ るが，４年生の不等辺四角形先行群の（ｍ）で は「角の数」を記述したものが半数近くみられ る。但し，例えば［四角形にみえるから］との 理由を記述していたとしても，なぜそうみえる かを問えば，直線の数などが述べられる可能性 もある。それ故，図６，７の「角の数」や「直 線の数」を示した割合は，最低人数（割合）を 表していると考えるべきであろう。 ここで，例えば四角形に対しては「四角形で す」を選択し，かつ「４本の直線（辺）で囲ま れている」や「角（頂点）が４つある」を理由 としてあげたものを「数値化による判断」と 図形 (D (a) (c) (d) (r) 表８ 群別正答率（４年生） 三角形群 76.5％ 88,2％ 50.0％ 76,5％ 豺.1％ 29.4％ 35.3％ 4' p ＜.1 不等辺群 88.6％ 91.4％ 74.3％ 80.0％ 77， ％ Ｉ 51.4％ 57.1％ ＊p＜.05 戸(1) 1.76 ns 0.19 ns 4.33* 0.13 ns 7.90*＊ 3.4営 3.3ド ＊ ＊ p＜.01
３年三角形群 ３年不等辺群 ４年三角形群 ４年不等辺群 ３年三角形群 ３年不等辺群 ４年三角形群 ４年不等辺群 O％ o％ 20％ 40％
