弾性変位に着目した大型宇宙構造物の線形振動解析方法に関する研究 : 射影行列の利用による直接時間積分解析と周波数解析への適用

【論　 文

I

UDG ：624

．

042

、

7 ：624

．

04

　 　 　目本建 築学 会 搆 造 系 論 文 報 告 集 第 427 号

・

1991年9月 Jouma【of 　Struct

．

　Constr

．

　Engng

，

　AIJ

，

　No

．

427

，

　Sep

．

，

lgg1

弾

性

変

位

に

_着

_目

し た

大

型

宇 宙構

造 物

の

　　

線 形 振 動

_解析

方 法

に

_関

す

る

研 究

射 影 行列

の

_{利 用}

に よ る

直

接

時

間

積

分 解析

と

周 波 数解析

へ _の

_{適 用}

ASTUDY

　

ON

　

THE

　

LINEAR

　

DYNAMIC

　

ANALYSIS

　

METHOD

　 　　　 　　　 　

FOR

　

A

　

LARGE

　

SPACE

　

STRUCTURE

Application

　

to

　

direct

　

time

　

integration

　method 　and 　

frequency

　response

　　　　　　　

method 　using 　

Projection

　matrix

　　　　

福 和 伸 夫

＊ ，

勝 倉

　

裕

＊＊ ，

中 井

正

一

＊ ＊ ＊

，半 谷 裕 彦

＊＊ ＊ ＊

IVobUO

　

FUKUWA

，　

Hiroshi

　

KA

　

TUKURA

_，

　

Shoichi

　

NAKAI

　and 　

Yasuhiko

　

ffANGAI

　In

　the　

large

　space 　structures （

LSS ’

s_＞

_，

　the　rigid 　body　mQtion 　acts 　a 　

dominant

　role

．

　

Up

　to　now

_，

the　

linear

　analysis　of　

LSS

　

has

　

been

　

done

　only 　

by

　the　mode 　superposition 　method _〔

MSM

_）since

it

’

s　easy　to　evaluate 　elastic　

d

上

formations

．

　

In

　this　_paper

_，

　the　_governing　equation 　

for

　the　elastic　

de−

formation

　

is

　pr posed　and 　the　equivalence 　with 　MSM 　is　explained

，

　

By

　applying 　this　equation

_，

1

．

he

　elastic 　

diformation

　can 　

be

　properly 　evaluated 　using 　the　

frequency

　

domain

　and　time　

dc

〕main methods

．

　

Since

　this　

formulation

　is　related 　to　projection　and 　g

−invcrse

，

　the　physical　meaning 　Is explained 　using 　_Projection

，

　

A

　static　solution 　is　evaluated 　using 　the　reflexible 　_g

・

inverse

，

　

Kegwords ；lar

’

ge　sPace 　structure

，　 linea厂

dJntamic

　anatysis 　method

，

　

Projection

，

　generalized　

inverse

，

　 　　　 　　 direct　time　integration　method

，

　

frequenay

　respanse 　method

　　　　　　

大 型 宇 宙 構 造 物

，

線形振 動解析法

，

射

彰

行 列

，一

般 逆 行 列

，

直 接 積 分 解 析

，

周波 数 応 　 　 　 答 解 析

1．

序 　論 　振動 外 力に対し て構 造 物の設 計を行う場 合

，

最 終 的に は構造物 内の応 ノ〕レベ ルの チェ ッ クを行う 必要が ある。 構 造 物 内 部の応 力は弾 性 振 動に よっ て生じ る の で

，

剛 体 変 位 を含む問 題で は

，

応 答 値か ら剛 体 振 動 成 分 を適切に 除 去し て_，弾性振 動 成 分 を抽 出する必 要が ある

。

そ こ で_， 本 研 究では

_，

剛 体 変 位 を 内在する構 造 物の微 小ひずみ範 囲の振動 解 析 を 対象に

，

剛 体 振 動 成 分の抽 出 と 弾性振 動 に_関す る基本式の_{誘 導}を行い

，

直接時_{間 解}析お よ び 周波 数 応答解析に基づ く弾性振動 算定 手法を示す

。

　近年

，

宇 宙 構造物に代 表さ れ る攴持 点が存 在し ない 大 型構 造 物の_{振 動 解 析}が 必要に なっ て きた。 宇 宙 構 造 物の 場合

，

振勤 応 答は 並 進

・

回 転の剛 体 振 動と

，

弾 性 振 動の 和で表さ れ る。 従 来

，

研 究の対 象 とさ れ て き た人工衛星 レ ベ ル の小 規 模かつ _{比 較 的剛 な宇 宙 構造 物で は剛体運動} が支 配 的とな る の で_{， 宇宙 空 問}で の振 動 応 答は主に剛 体 の運 勤に よ り記 述さ れ

，

かつ

，

_設計_{ヒ ク リ ティカ}ル に な る荷 重が打ち上げ 時の加 速度である た め

，

弾 性 振 動の問 題はあ まりクロ

ー

ズア ップさ れ な かっ た

。

し か し

，

将 来 建 設が予 定さ れて い る

km

オ

ー

ダ

ー

の 大型宇 宙 構 造 物 （LSS ；Large　

Space

　

S

しructure _）11

は

_，

_{宇 宙 空 間}で建 設 組 立が行わ れ， かつ， 柔軟な構造物であ ることか ら弾 性 振 動 応 答が設 計 上 重要な量と な る。

　LSS

は_構造物が柔 軟

，

軽 量

，

かつ _{低 減 衰で あ り} ， 荷 重 レ ベ ルが非常に低い の で

，

大 変 位 微 小 変 形の問 題と な る

。

剛体回転を含ん だ問題 とな る の で

，

本 来は幾 何 学 的 衣論文の

・

_部は参 考 文献 16 ）に発 表し たもの ご あ る

．

　 ＊ _{名 古 屋 大 学}

一

L_{学 部 建築 学科 　 助 教 授}

・

_工博 ＊ ＊ _{清 水 建 設 大 崎研 究 窯} 　主任研究 員

・

：1二博 寧榊 _{清 水 建 設 大 崎研 究 室} 　王 任 研 究 員

・．

L博 ＊ ＊ ＊ ＊ _{東 京 大学生産 技 術 右}Jl_{究 所　教授}

・

_工博

As8Qc

．

　Prof

．

1Dep

し of 　Architecture

，

　Faculty

（

丿f　Eng［neering

，

　Nagoya

Un】v

．

，

Dr

．

Eng

．

Senior　Research　Enghleer

，

　Ohs…戛ki　Research　hsd しu亡e

，

　Sh監mlzu 　Corp

．

，

Dr

．

　Eng

．

Senior　Research　Engmeer

，

　Ohsaki　Res巳arch 　InstiLut〔

・

，

　Shlm十zu 　Cり_叩

．

，

Dr

．

Eng

、

な非 線 形 性を考慮し た更新ラグランジェ 法な どによ る解 析ZL3 ）_が 好ま しい

。

し か し

，

有 限 変 位 問題であ ること を 無 視 し て剛 体 回転モ

ー

ド を除 去す るモ

ー

ド解 析 法に基づ く解 析が多 用さ れて い るt ］

’

6 ） 。 他の有 力な解 析 法である 直 接 時 間 積 分 法や周 波 数 応 答 解 析 法は高 振 動 数 外 力に対 して は採 用 されて いる が

，

剛 体 変 位 を励 起 しや すい低 振 動 数 外 力に対 し て の適 用 例は見られな い

。

こ の原 因は

_，

両 解 析 法で は_， 剛体 変位と弾 性 変 位の和である全 体 変 位 に対して定 式 化が行わ れ て お り， 剛体 変 位 成 分 を適tDに 除 去す る方 法 が 示され ていな かっ た た めと想 像されるu 直接時 間 積 分 法や周 波 数 応 答 解 析 法を宇宙構造物の_{解 析} に_{適 用}す る場 合に は

，

剛 体変位成分を分離し ないと

，

持 続 的 外 力や 長 周期成分 を含む外 力が作用 す る問題では

，

応 答変位に占 める剛 体 変 位 成 分が攴配 的と な り弾 性 変 位 に対す る数 値 誤 差が拡 大し

，

適 切な応 力を求め ること が で き な く な る

。

　

一

方

，

静 的に支持さ れ ない構 造 物に は浮 遊 式 海 洋 構 造 物が ある

。

浮遊式海洋構 造 物の 場 合に は

，

剛体 運 動に対 し て外 部 流 体が抵 抗す る もの の

，

剛体 変 位を含んだ閊 題 となる

。

また

，

本 来は弾 性 支持さ れ ている が

，

解析の_仮 定 上 静 的に弾 性 支 持さ れ て い な い問題 とし て

，

地 盤の 振 動解析に お ける有 限 要 素 法の境 界処理 や

，

構 造 物と 地 盤 との動 的 相 互 作 用 問 題に用い られる相 互 作 用ば ね の問 題 が あ る

。

地 盤の_有限要素解 析で は地 盤の無 限性を表 現す る た めに_{粘 性 境 界}を設ける ことが多い

。

こ の場 合， 有 限 要 素 領 域は弾 性 支 持さ れ ないの で

，

応 答 変 位に は剛 体 振 動 成 分が含ま れ

，

静 的 値近傍の _低振 動 数 領域におい て剛 体 変 位に よる誤 差が蓄 積さ れ るη 。 ま た

，

構 造 物と地 盤 との動 的 相 互 作 用 問 題におい て用いら れ る2次 元 解析モ デル による_相互作用 ばね も静 的に は値を有さずS）

，

構造 物応 答 波形の ゆ が みの 原 因 とな る こと が指 摘 さ れて い るe］

。

　この _{よ う}に

，

我々が対象と する_構造物の振 動 解 析 問 題 におい ては

，

解 析 者の意 図にか か わ らず 剛 体 変 位が含 ま れ る問 題か 多い

。

そ こで

，

_本論で は

，

検 討の第

．

一

・

段 階と し て， 空 中に浮 遊する宇 宙 構 造 物を対 象に

，

剛体変位の 誘 導 を行い

，

支 配 方程 式か ら剛 体変位 成分を除 去し た弾 性 振 動 成分に関する支 配 方 程 式を新た に定式化す る

。

次 に， こ の支配方 程 式と従 来の モ

ー

_{ド解 析と}の_{等 価 性}を示 す

。

さらに

，

こ の 支 配 方 程 式に基づい て

，

直接 時 間 解析 お よ び 周 波 数応答 解析に より弾 性 変 位を算 定す る方 法を 示す．

一

方

，

射影 行列の観 点か ら剛 体 変 位 を 含む振 動 問 題の 考察を行い

，

本 手 法の位 置づけを明 確にす る と と も に

，

周 波 数 応答解析 法に お いて重 要とな る静 的値の _{評 価} に

一

般 逆 行 列既 ：：

1

を用い る方法を示す。 従 来

，

剛 体変位 を 内 在する問題に関して射 影 行列，

．

一

_{般 逆 行 列との関 連} で統

一・

的に_線形振 動問題 を議 論した研 究は認め られな い

。

な お， 本論で誘 導し た

一

_{般 逆 行 列は動 的 剛性 行列}の

一 80 一

逆 行 列の静的収 束値を与え る ものであり

，

反 射 型の

一

般 逆行列 と な る

。

半谷 ら121

−

141 が静 的な不 安 定 構 造 解 析な どに用いたム

ー

アペ ン ロ

ー

ズ逆行列が_標準 固 有 値 問 題に 対 応す るの に対して

，

本論で誘 導し た

一

般 逆 行 列は 般 固有 値 問 題に対 応す る。 2

．

剛 体 変 位の誘 導 　まず， 剛体 変位の誘 導を行う

．

有 限 要 素法などの離 散 解析を 用いた場 合， 線 形 系の振 動 方 程 式は

一

卜式の よ うに 表すこ と がで き る

。

　 　　

Mit

｛t）十

C

血（

t

）十

Ku

_（

t

_＞；

f

（

t

）

・

・

…t・

・

…・

……

（1） こ こに，

M ，

　

C ，

　

K

は各々質量， 減 衰， 剛 性 行 列で あ り， u（t）お よび

f

〔t）は変 位お よび 外 力ベ _{ク ト}ルで ある

。

ま た

，

tは時 間を

，

0

は時 聞微分を表す

．

本論で_{対 象}と す る 空中に浮 遊す る構 造 物の場 合に は

，

剛 性 行列

K

は 半正定 値 行 列とな り

，

〔工_）式の _固有値に ゼロ固有値を 含む

。

また

，

宇 宙 空 聞におい て は空 気 抵 抗が ない の で減 衰 行 列は内部 減 衰の み で与え られ る

。

し た がっ て

，

〔1） 式の解に は剛体 変 位 成分が含まれ る こ と に な り

，

剛 体 変 位に対 し て 仕事を す るの は質量行列のみ と な る

。

　（ユ）式の剛 体 変 位は

，

以 下の よ うに し て_求め るこ と が で き る

。

まず剛 体 変 位の固 有モ

ー

ドを求め る。 剛体変 位モ

ー

ドは

，

無 減 衰 時の （1）式の 自由 振 動 解か ら得ら れ る

。

す な わ ち

，

　 　 　κ φ

；Mdi

Ωt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

曁

・

・

（2） こ こ に

_，

φは固 有モ

ー

ド行 列

，

Ω2 は対 角に 固有 値を含 むス ペ ク トル 行列である

。

た だ し

，

固 有モ

ー

ド行 列 φ は

，

質量行 列を介して正規 直 交化 （φtM φ

；

∬）さ れ て い る ものと す る。 剛 体変位モ

ー

ドは 固有値ゼロ の モ

ー

_ドベ ク トルに相 当するの で

，

固有 値お よ び 固 有ベ _{ク ト}ル を 剛体 変 位 成 分と弾 性 変 位 成 分に分 離す るこ と がで き

，

　

　

　

・

一

［・・…E］ ・・

一

［

 

レ

ー ・

……

・・） と表せ る

。

こ こ に_， ト添 字 R は剛 体 変 位モ

ー

ド を

，

卜 添字

E

は弾性 変位モ

ー

ドを示す

。

な お

，

剛 体 変 位モ

ー

ドは

，

固有 値 解析を介さずと も

，

構 造 物 重心と各節 点 位 置との _{幾 何 的 関 係}か ら も簡 単に誘 導で き る

。

　い ま

，

剛 体変位を求め る た めに

_，

変 位 を剛 体 変 位モ

ー

ドを介し て

一

般化座標に変 換 す る

．

　 　　UA（t）

；

ΦRU ，（t）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4 ） 〔4）式を（1）式に代入 し

，

左 か ら 鑑を乗じ る と

，

（1） 式は

，

　　　

On

（t）十φ

ftC

φRO κ（t）十

9

孟

U

κ（t）

＝

Φ鳧／（t）

・

…　

（5） と変 換さ れ る

。

ここで

，

剛体モ

ー

ドに対応 す る 固有 値は 0であ る0）で （

91−

0）

，

左 辺 第 3項は消 去で きる

。

ま た

，

減衰行列は内 部 減 衰の み で構 成さ れ る と仮 定し てい る の で

，

剛体 変 位に対して は仕 事 をしない。 し たがっ て

，

（5） 式 左辺第2項 も消 去で き る

。

結 果とし て

，

（5＞式ぱニ ュ

ー

トン の第

2

法 則に

・

致し

，

　 　　 U ，（t）

＝

・

φ

ltf

（t）

一 …・

……・

…・

………・

・

……・

（

6

） となる

。

（6）式は 3_{次 元 振 動 問 題}の_場合，

6

_元の連 立 方 程 式とな る

。

　

一

般 化 変 位か ら実変位に_変換す る と

，

（6）式は

，

　 　　

U

配（

t

）

＝

Φ尺φ良／（

t

＞

・

9・

99・

・

一・

一…

　

r7r

・

7r・

7r・

r・

・

・

・

・

…

　（7） と な り

，

剛体変 位成分の 加 速度が得ら れ る

。

（7）式に 対 応す る剛 体 変 位は

，

初 期 条 件を考 慮し て （7）式の_時 間 積 分 値を評 価す ることに より得られる

。

3．

弾性 変位に関 する基礎式の誘導と弾性 変位 解 　下 式の よ うに変 位を 剛体 変位成分 UR と弾性変位 成 分 UE に分離し

，

　 　　u（

t

〕

＝

Ufl（t）十t乙虹（t）

・

・

・

…

　

一・

・

一・

一・

凾

一・

噛

一・

鹽

一・

「

・

・

（8） これ を （1）式に_代入す る と

，

（ユ）式は

，

　 　 　

M

毎ω＋

c

毎 （孟）＋Ku ．（t） 　 　　　

＝

・

f

（t）

一

（Mit，（

t

）十

CttR

（

t

）十

Ku

，（

t

））

…・

…

〔

9

） と な る

。

〔9）式に （7）式 を 代 入 す るこ とに よ り

，

　 　　

Mti

，（

t

）十

C

物ε（t）十

Ku

ε（t）

・

＝

（

1− Mdi

，Φ

ft

）

f

（t） 　 　 　 　

一 …・

………

（10｝ が得 ら れ る

。

これ が

，

弾 性 変 位に関す る基 礎 式とな る

。

（

10

＞式と （1） 式を比 較 する と

，

左 辺の係 数 行 列は同

．

_{で あ り}

_，

外 力ベ ク トル の みが剛 体 変 位モ

ー

ドに よ り修 正 さ れて い る こと が分か る

。

す な わち， 剛 体 変 位に伴う 慣 性 抵 抗 を右 辺に考 慮 する ことに よっ て_， 剛 体変位を除 去し

，

弾 性 変 位の み を求め る基 礎 式と してい る

。

し た がっ て

，

（10＞式 右 辺は 自己釣 合 外 力と な る

。

この こ と か ら

，

通 常の振 動 解 析 プロ グラム を弾 性 変 位算定用 に準用す る に は_， 解 析に先 立っ て

，

剛 体モ

ー

ドに よ る外 力の補1Eを 行っ て おけ ば よい ことにな る。 　次に

，

本手法と従 来よ り行わ れて い るモ

ー

ド解 析 手 法 との 等価 性 を示す

。

（10）式に左か ら弾 性 変 位モ

ー

ドφ髭 を乗じ ることにより下 式が得ら れる

。

　 　　φ畳

Mti

，（t）十 φ芸

c

恥〔t｝十

di

匿

KUE

（t） 　 　 　 　； φ各（∬

− M

Φ_，Φ盞）

f

（

t

）

……一 ・

…………・

・

（11_＞ 弾 性モ

ー

ドと 剛体モ

ー

ドは質量行列 を介して_直交して い る ゆ 泌 軌

＝

O｝の で右辺第 2項 は 0と な る

。

さら に

，

弾 性 変 位モ

ー

ドを 用い て弾 性 変 位をモ

ー

ド座標に変 換す る （UE（

t

＞

＝

¢E　

UPT

_（

tD

ことに よ り

，

（

ll

）式は

，

　　

Φ_畫M Φ底

OL

（置）十 φ｝CdiEOE（の十 φ島KΦEしrE（t）

＝

φ

t

，

f

（の 　 　 　

・

…

　

一・

一・

鹽

一・

一一一・

・

」

畠

・

畠

・

…

　

一

（12） と な る。 （12）式は

，

弾 性モ

ー

ドの み を用いたモ

ー

ド合 成法の 墓礎 式に他な ら な い

。

し た がっ て

，

（10）式で与 え られる弾 性振動に着 目し た基 礎 式は

，

モ

ー

ド合 成 法に お け る基 礎 式と等 価である こと が証 明され る

。

以 上の関 係を図

一

］ に示す

。

　弾 性 変 位 成 分 に着 目し た基 礎 式 （10）式を用い ること に よ り

，

直接 時 聞 積 分解 析や 周 波 数 応 答解 析に よ る 大 型 ・・嚇 M 瞬

［

_：

副

図

一

1 本解析法とモ

ー

ド解析法との_{等値 価}性 宇 宙 構 造 物の解 析か 可 能 と な る

．

直 接 時間 積 分法の場 合 に は_， 適当な時間積分公式を用い て

_，

_｛7_）式を初 期 条 件 を考慮 し て積分 す るこ とに よ り 剛体変位が

，

（

10

）式 を 積 分 す ることに より弾 性 変位 が

，

各々求め られ る

。

例 えば時 間 積 分 公 式に Newmark の _{β法 を採 用 し}た場 合に は

，

等 価 剛 性 行 列に質 量 行 列 や 減 衰 行 列 が係 数 を介し て 加 算される の で_， 係 数 行 列が正定値と な り

，

通 常の _解析 と全く同 様に して弾 性 変位 解 を求め るこ と がで きる

。

　

一

一

方

，

剃波 数 応 答 解 析 法の場合に は_， フ

ー

リエ_{変 換}

，

　　

　

u_（・｝

一

∫

：

・ω・

−

i…

dt

・の

一

21牙

∬

・（・｝・… td ・ 　 　 　 　

……・

……・

・

…・

・

………

（13｝ を利用 する ことによ り

，

（1）式は

，

　 　　（

一

ω 2M ＋

ib

・

c

＋

K

）u（tU）

＝

f

（ω〕

…………・

…・

（14） と振 動 数 領 域に変 換さ れる

。

こ こ に

，

u（w ）と∫（ω）は 変 位および外 力 をフ

ー

リエ _{変 換}した もの である

．

また

，

〔7）式に対 応する剛体 変 位 成分は

，

　 　　 tiR（ω）

＝

Φ、φ良∫（ω） 　 　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15）

　　　

。n〔。片D

− 一

≒

　¢、Φ

kf

（。） 　 　 　 ω と求め ら れ る

。

こ こ で

，

注 意を要す る の は

，

浮 遊 構 造 物 の _{場 合}

，

_{静 的}に も加 速 度 が 存 在 し う ることである

。

す な わ ち

，一

一

・

定の静 的 外 力が作 用する問 題で は

_，

静 的に 剛 体 運 動の定 加 速 度が生じ

，

対 応する速 度お よび変 位が無 限 大とな る

。

　

．

方

，

弾 性 変位は

，

ω≠0に対し て_， 　 　　蝋 ω）

＝

〔

一

ω ’_M ＋i・ ・

C

＋κ）

−

1 （∬

一

〃 φ，φ島）

f

（ω） 　 　 　

・

…

　

77齟

』

・

・

…

　

一・

rF7

・

・

・

・

…

　

一

（16＞ と得ら れ る

。

外 力に静 的 成分 が含ま れ

，

かつ

，

ω

＝

0の 場合には

_，

（16_）式の_{逆 行}列の _{評 価}がで き ないの で （16） 式か ら静 的 弾 性 変 位を求め ること はで きな い

。

振 動 数 領 域の解 析におい て は

，

静的 値を 適切に評 価し ない と

，

数 値 的な永 久 変 形 を 生じ さ せ る原 因とな る

。

そ こ で

，

本論 で は_，

一

_般逆行 列を利 用す ることに より静 的な弾 性 変 位 を 求 め る

。

結果の みを 次 式に示 す

。

　 　　Ut／（ω

一

〇〉

−

K；（卜 M Φ、Φ

k

）

f

（ω

一

〇）

一 ・

…

（恥 こ こ に

，

KF は反 射 型の

．

一

．

般 逆 行 列で あ り

，

　 　 　

K

チ＝ _（

1一

_φ

尺

_φ盞

M

_）

K

．

_（

1− M

_φ，φ

M

＝ ΦEΩ匠2¢を 　 　 　

………・

………・

・

…・

…・

…

（i8） と表さ れ る

。

こ こに

，K

一

は任意の

一

般 逆行列である

。

（17） お よ び （18）式の 誘 導 お よ び 意 味につ いて は

，

射 影 行 列との関連で次節にて説 明する

。

また

，

K

一

の求め 方の 1つ を以 下に示す

。

剛 性 行 列

K

は正 方 行 列なの で

，

．

三角 分解な ど を用い て階 数 分 解 し た結果は

，

　 　 　κ

＝

LLt

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　

P7・

r7・

・

…

　

一一鹽

畠

・

一・

・

」

一・

・

・

・

…

　（

19

） と示され るn こ こ に

，

L は nXr の 行列 で あ る

、

　 n は

K

の大き さ， r は K の ラ ン ク であ る。 本 問題の場 合

，

r は弾性モ

ー

ドの 数に等しい。 （19）式を用い て

，

　

．

般 逆行列

K

一

は

，

　 　 　

K

−＝L

（

LtL

）

−

1（LtL ）

−

LLt

・

……・

…・

・

…………

（20） と求め ら れ るlu1。 （

17

）式 中の

K

； は， （20）式 を （18） 式 第1式に代入 す ることに よ り 得 ら れ

，

静 的弾性 変 位は 固有 値 解 析 を介 すること な く決定で き る。

　

（

17

）式に

_，

UE〔ω

＝

0）

＝di

ε

UE

（ω

＝0

）お よ び （

18

）式 第2式を代入し_， 弾 性モ

ー

ドと剛 体モ

ー

ドの _{直 交 性}を利 用す る と

，

　　　

Ω

Z

・

・U_，（ω一 _〇）−

di

・

i

’

f

（ω・

・

O）

ttt

・

…………

∴

…

（21） が 得ら れ

，

モ

ー

一

ド周波数 解析法で_得られ る静 的弾性変位 に関 する基 礎 式に

一・

致 す る

。

し た がっ て， 反射 型

一

_{般 逆} 行 列を用い た静 的 弾性 変位 解はモ

ー

ド解 析に よ り得られ る解と同

一．

・

であるこ と が示さ れ るfi

4．一

般逆 行 列 と射 影 行 列によ る考 察 　本 節で は， （

17

）お よ び 〔18）式に示 し た反 射 型

一

．

一

_般 逆 行 列に よる_静的弾性 変 位の誘 導と

，

射 影 行 列 を用い た 本 間 題の記述 を 試 み るn 　まず

，

一

一

般 逆 行 列

A

’

は

，

長 方 もし く は非 正 定な 止方 行列

A

に対 して

、

　 　 　

AA

−

A 二A ・

・

…

　

鹽

一・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

7r・

P・

r・

・

・

・

…

　

77・

7・

・

（22） を満足 す る行列で あ り

，

通常用い られ て い る逆 行 列の考 え方を拡 張 し た もの で あ る

。

（22） 式の み を満足 する

一

般 逆 行 列に は

．

・

意 性が な く

，

種々 の

一

般 逆行列が提 案さ れて きて い るM ／

_。一

般逆行 列を用い ることに よ り

，

　 　 　Ax

＝

y

・

………・

・

…・

…・

………・

・

…・

・

・

・

………

（23） に対する解は_， 　 　 　 n

−

r 　 　 　Jじ

＝

A　y十 Σ］　

h

，

b

丿

一・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

9・

・

一

（24） 　 　 　 」 で与 え ら れ る

。

こ こ に_，馬 は任 意の係 数

，

n は A の元 数

，

r ば

A

の ラ ン クで ある

、

，

また

，

（24）式 右 辺 第 2項 は

Ax ＝

・

_Oの _解であ り

，

　

b

，は

，

行 列， 　 　 　

B ；1− A

−

A …

　

一…

　

r・

7…

　

7r・

−7・

7r7

・

・

r・

・

・

・

・

・

・

…

　

一鹽

（25） の

．

一

次 独 立ベ ク トルで与え ら れ る

。

また

，

（23｝式の_解 の存 在 条 件は

，

　 　 　y

；

AA

−

y

・

…………・

…一 ・

…・

…・

・

…・

・

一 …

〔26） と与え ら れ る

82 一

（22） 式に加え て

，

　 　 　

A

−

AA

−＝A −・・・・・・…………・一 ………・……・

〔27 ＞ を満足 す る

一

般 逆 行 列は_， 反 射 型

一

．

般 逆 行 列と よばれ， あ る 条件を 満 足 する と きの み

一

．

．

意に定まる。 また

，

〔22 ） 式

，

（

27

）式に_加え て， 　 　 　〔ん4

−

）t

＝

AA 　 　 　 　

・

・

…

　

鹽

…

　

一・

・

『

一・

7鹽

・

』

鹽

鹽

・

・

・

・

…

　（

28

） 　 　 　〔A

−

A）t

＝

A

．

A

を満 足 する場 合には

，

ム

ー

アペ _ンロ

ー

ズ逆行列と な り，

一

_{意に定め られ る}

_．

_{本 論で は}

_，

_{反 射型}

．

_{般 逆 行 列 を}

_A

_； と， ム

ー

アペ ン ロ

ー

_{ズ逆 行 列を A}

’

_{と 示 すこと と し}

_，

_任 意の

．

般 逆行列は

A

一

と記すこ と に す る。 な お

，

半谷に よ り

，

静 的な不 安 定 構造問題に適 用さ れ たの はム

ー

ア ペ ンロ

ー

ズ_{逆 行 列}で あり12同 4 体 論で用い る の は反射型

一

般 逆 行 列である

。

　

まず， （18）式 第2式 が 反 射 型

一

_{般 逆 行列で あ}る こと を証 明す る

。

こ のた めには

，

（

22

）式お よ び （27 ）式 を 満足 す ること を証 明 すれ ばよい

。

す な わ ち

，

　 　 　

K

＝

M

Φ_eS2蓬dikM 　 　 　

・

・

一

一・

・

・

・

・

・

・

…

　

‘

・

・

一畠

・

（29） 　 　 　

K

；

＝

φEΩ忌 2 Φ皇 を用い ると

，

　 　 　

KK

；K

＝Mdi

．

gi

，φ

kM

Φ．

s2Etdif

，M Φ，9をφ髭M 　 　 　 　

＝M

φ月

9

養φ隆

M ；K

　 　 　 K；KK ；

＝

φEΩ葺 2 φ_をM ΦFΩ釜φを

M

φεΩ 互 2 Φ島 　 　 　

＝

＝

　¢，Ω

E2

Φ烏

＝K

； 　 　 　

……・

…・

………・

………

（30＞ と な り

，

反射型

一

般 逆 行 列である こ と が 分 か る

。

こ こ に

，

鋭

M

φE

＝1

を利用し てい る

。

また

，

　 　 　KK チ

＝

MΦ，φ隆 　 　 　 　

・

・

………・

・

・

・

・

・

・

………・

〔31） 　 　 　κ；κ

＝

Φ．φ

t

−

M と な り

，

これ ら は対 称 行 列 とは な ら ない の で

，

（28）式は

，

満足 し ない

。

し た がっ て

，

ム

ー

ア ペ ンロ

ー

ズ行 列で は な い こ と が 分 か る

。

この場合の ム

ー

アペ ン ロ

ー

ズ行 列は

，

標 準 固 有 値 問 題

，

　 　 　 K 壁

＝

邑「ノt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

一・

・

一…

　（32＞ の弾 性モ

ー

ド 監 と対応 す るス ペ ク トル行 列

A

， を 用い る ことにより

，

　 　 　 KI

＝

厮ε／LEiΨ

t

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt

（33） と得られ_， （22）， （27）お よ び 〔28）式を すべ て満足 す る。 し た がっ て

，

（29）式で与え られ る反 射 型

．

．

．

般 逆 行 列は

一

_{般 固 有値問 題に}

_，

_{（33） 式の ム}

ー

_アペ ンロ

ー

ズ 逆行 列 は_標準固有 値問題に対 応す る

。

本 論で対 象とし て い る構 造 振 動 問 題は

一

般 固 有 値 問 題に属 するの で

，

反 射 型

一

般 逆 行 列 を 用い る必要が あ る

。

ち な み に

，

ム

ー

アペ ンロ

ー

ズ 逆行列 を 用いた場 合に は

，

得ら れ た変 位 解は動的 変 位 解の静 的 収 束 値とは ならないn また

，

（29） 式で与え ら れ る反 射型

一

般 逆行列 は

，

質量行列 が 単位行 列 と な る と きにム

ー

アペ ン ロ

ー

ズ 逆 行 列に

．

一

一

致す る

。

　 次に

，．

．

般 逆行 列と部分空 間との関 係 を検 討す る

。

Kcr（A

．

A）

＝

S〔i

・

A

．

A） Ker（AA

°

）

iSa −

AA

『

） 　 　 　 　 S（A

．

A｝　 　　　 　　 　　 　　 　　 　S〔A）

＝

S（AA

．

〉 図

一

2　

一

般 逆 行 列と部分塞間の関係 般 逆行列A 　は

，

図

一

2に_示す よ うに

，

AA

．

と1

−

AA

一

が張る 空問か ら

，A

−

A

と

1−

・

4

−

A

が張る 空間に線 形 写 像す る変 換 行 列 で あ る1D。 また

，

　 A　4

一

と ∬

−

AA

−

，

A

−

A と 1

−

A

−

A は直 和の関 係が ある

。

こ の _{性 質}を

，

（29 ）式で定義し た 反射 型

一

般 逆 行 列 K］ に当て は めてみ る と

，

　 　 　KK 憂

＝M

ΦEφ詣

＝J− M

φ

，

φ

lt

　 　 　

l−

KK ；

＝

M φ，Φ

k

＝

1

− M

Φゆ 皇 　 　 　 　

・

（34｝ 　 　 　κFκ

＝

Φεφ髭ハ4

＝

∬

一

Φ尺φ各配 　 　 　∬

−

KIK

＝

φ尺φ農M

＝

1

一

Φεφ｝M と な る

。

こ こ に_，

M

−

1

＝

φ Φε

＝

叺鑑十 ΦK鑑 なる関 係 を 利用 して い る

。

今

，KK

；と J

−

1（K ；が張る部 分 空 間 を そ れ ぞ れ

E

と

R

，

KFK

と ∬

− K

；K が張る部分空間 を

E

と

R

と す る と

，E

と

R

，　

E

と

R

は そ れ ぞ れ n 次元 空間の斜 交 直和分解さ れ た部分空間 と な り

，

かつ

，

_各部 分 空 間は （34）式 右 辺に よ り

．

一

一

意に_定め ら れ る。 こ の こ とは

_，

反 射 型

一

般 逆 行 列が

．．

意に定め ら れ る条 件川 に相 当する

。

ま た

，

（34）式か ら E と E は弾 性モ

ー

一

ドが張 る部分空閲 に，

R

と

R

は岡1」体モ

ー

_{ドが 張る部 分 空 間 と} なっ て いるこ と が 理解で きる

。

なお

，

質 量 行 列が 単位 行 列の 場 合

，

す な わ ち

，

ム

ー

アペ ン ロ

ー

ズ 逆 行 列の場 合に はE と

R ，E

と

R

は そ れ ぞ れ直 交し

，

直交 直和分解さ れ る

．

　 　

．

方， 〔34｝式で与え ら れ る各 諸量は

，

射 影 行 列と なっ て い る こと を以 下に示 す

。

射 影 行 列であ る必 要 十 分 条 件 は

_，

射 影 行 列 を

P

と 示 す と

，

　 　 　

PP ；P …・

・

・

・

……・

…『

・

『

……．

…………・

……

（35） で与え ら れ る

、

t

今

，

PE

．

R

＝

κ

KF ；

ルfφ，　

di

　

k

・

＝

∬

− Mth

κΦ

k

P．

、

E

＝1− K

κ

F＝M

φ盈Φ蚤

＝1− M

Φ厂Φ詣 PI

．

i

＝

KFK

・

・

di，Φ

kM

＝

f

一

φ，

di

拓1しf P 瀧

；

J

一

κ チκ

＝

φ君φ長ルf

薈

∬

−

di，　diE

・

M 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　（36） とお く と

，

これ ら は

，

〔35〕式を満足 しており

，

いず れ も射 影 行 列で ある こと が分か る。 さ ら に

，

P，

．

R は部分 空 間 R に沿っ て部 分空間 E に射 影す る射 影 行 列であり

，

PR

．

E はE に沿っ たR へ の射 影 行 列と な る

。

　こ こ で_， 注 目すべ き点は

，

以 下の _点で あ る

。

前 節に爪 し た弾 性 変 位に着 目し た支 配 方 程 式 〔10〕式の_右辺で行っ てい る外 力の補 正は_， 射 影 行 列

P

、，

．

R を 乗 じて いるこ と に他な らず

，

外 力ベ _{ク ト}ルを 弾 性モ

ー

ドが張る部 分 空 間 E に射 影 し

，

剛 体 変 位を除 去して い る ことに_相当する

．

ま た

，

解の存 在 条 件 （

26

）式が意味す るこ と は，

KK

；

＝

_PE

_．

_R で ある の で

，

外力ペ ク トルが弾性モ

ー

ドが張る部 分 空 間 E に含ま れて いなけれ ば な ら ない こ と を示 して い る。 （10） 式で は

，

外 力ベ ク トル を弾 性モ

ー

一

_ドが張る 部分空 間 E に射 影し て い る の で

，

解の 存在 条件は自動 的に満 足さ れ ることになる

。

　つ ぎに

_，

反 射 型

．

一

般 逆 行 列 K； の定 義 式 （18）式 第

1

式の誘 導 を 行 う

。

反 射 型

一

般 逆 行 列は

，

（22）お よび（27）

　　　　　　　 　

式を満足 す るの で， 以 下の よ うに変 形する こと が可 能で あ る

。

　 　 　Kl

＝K

；

KK

孑

；K

チ

KK

−

KKF ・

・

…………一

〔37） こ こ に

，

K

一

は任 意の

一．

般 逆

1

「

i

’

列であ る。 （

37

＞式 に，（

34

｝ 式を代人 する と

，

　 　 　

K

チ

＝

（∬

一

ΦRφ島1しf）K

−

（J

−

M φ，Φ島）

・

・

…

　

r・

・

・

・

…

　（38） と な り

，

（

18

）式第

1

式が誘 導でき る

。

（

38

）式を 用い る こ とに よ り

，

本 閊題 に対応 す る 反射型

一

般 逆行列 は

，

任 意の

一

_{般 逆 行 列}と剛 体モ

ー

ドか ら求め ること が口_∫能と な る

。

前 述し た よ うに

，

剛 体モ

ー

ドは

，

各 節 点の重 心位 置 か ら の座 標か ら容 易に求め る こと がN_∫能で ある

。

（38） 式は

，

任 意の

一

般 逆 行 列の両 側に

，

弾 性モ

ー

ドか張る部 分 空 間へ の射 影 行 列 を 乗じてい る ことに相 当する の で

，

K； は部分空 間E か ら部分空間E へ の_線形 写像を行う 変換行列を意味す る

。

　以

一

．

L

に示 し た射 影 行 列と

一

般 逆 行 列の関 係を 図示す る と 図

一3

の よ う に な る

。

図

一

3に は

，

本 問題の 対 象と な る

一

般固有値問題の他に

_，

参 考と して標 準 固 有 値 問 題に 関 し て も示し てある

。

　図

一

3（a）か ら前 節に示し た弾 性 変 位 評 価 方法の _{位 置} づ け が容 易に理 解で きる、

、

まず

，

外 力ベ ク トル

f

を弾 性モ

ー

ドが張る部 分 空 問E に射 影 し

，

そ の後に弾 性 変 位の部 分 空 間に線 形写像して い る ことになる

。

外 力か ら 剛 体 変 位を刺激 す る成分を 除 去する こ とに な る ので

，

弾 性 変 位を丸め誤差 を避 けて求め ること が 可 能 と な る

。．

方

，

図

一

3（a）の中に は

，

ノ

’

か ら全体 変位u を求め た後 に

_，

射 影 行 列 P 演

＝

1

一

φ、φ

kM

を乗じ て弾 性変位を求 める方 法が存 在し て い る

。

こ れ は

，

全体 変 位に対する支 配方程式 （1）式か ら全 体 変 位 解を求め た後に

，

剛 体 変 位を 減 じる ことに相 当する

。

すな わ ち

，

（7 〕式よ り

，

　 　 　tZ，（t）

＝

・

Φ，φ

lif

〈t） 　 　 　 　 　

二

φ尺φ良（M嵐 幻十C乱（t）十Ku（t）） 　 　 　 　 　＝ _φ尺φ鳧M ｛〜（t）

tt・

・

・

・

…

　

』

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（39） であ るの で

，

　 　 　（

1− di

．Φ

kM

）

u ＝

包

一

Φ，diRM航 　 　 　

＝

U

−

tiR

’

7・

…

　

7國

・

…

　

▼

國

鹽

・

…

　

冖7冖…

　（40） と なる

。

した が っ て

，

対 応す る変 位も 〔40＞式と同様の

　 　斉

．

S｛ト KiK ）

．

S〔Φ 、 Φ』M ｝　 　 尺

．

S〔【

．

KK

，

］

．

slMΦ ， 。A） 。

．

Φ ＿ ＿ _＿ 　 　 　 f 　 　 　 MΦ R Φ1 　 　 　

．

disolM 　　 饗 ）

．

＿＿、

 Φ

κ

r 　 　 　 　UE

＝

【

一

ΦAΦ

κ

M 巳 9

．

StK

，

K ）

．

S〔1

．

Φゆ IMI　 　 　 ε

．

S｛KK

，

｝

．

S［匸MΦ

，

Φ辯

　　　　　　　？

　 　 　 KΦ

3M

Φ Ω 　 　 　 Kl

．

〔】

．

Φ，Φ鼻MIK 【レM Φ。 Φ島〕 〔a）　

一

般固 有 値 問 題 の 場 含

バ

繍

　　 ア

UR

置

Ψ

配

Ψ）

凵

Pi　E

＝

1

．

K

’

K

＝

ΨRΨ襲 s ｛IKK

・

｝ s［Ψ yk） Ψ π Ψ1 且

．

Ψ 爬噂 二

_茎

）

，

…

　 　 　 UE

旨

1

．

Ψ_RΨ_κ

凵

E

＝

s_〔K

．

K_〕

冨

s〔聖

．

Ψ_RVs ［ E

．

s_〔KK _つ

昌

s〔1

．

_{Ψ eΨ}k

’

1

　 　 KΨ

＝

ΨA K

・

・

〔1

．

Ψ

，

帽K 〔i

．

v

，

　yk） ΨsΨk yLf 　 　 　 　 ｛b〕　 標 準固 有値 問 題の場合 図

一

3 部 分空間と射 影 行 列

，

　 般 逆行 列 との関 係 関 係を満 足する

。

こ の 方 法で は

，

低 振 動 数 域で剛体変位 が卓 越す る の で

，

全 体 変 位か ら剛 体 変 位を減じると きに 丸め誤 差が混入 する可 能 性が高い c

、

　また

，

剛体 加 速 度に関す る 〔7 ）式か ら

，

　 　　MUn （

t

）

＝

Mdi，Φ島∫（

t

）

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　〔41） を得る

。

図

一一

3

〔a_）に よ れば， 上 式の右 辺は

，

任 意の外 力ベ ク トル を 剛体モ

ー

ドが張る空間 R に射 影す る こ と に相 当し て いる。 　こ の よ うに

，

射 影 行 列と

一

般 逆 行 列 を

，

部 分 空 聞と対 応 付け て考え る ことにより

，

剛 体 変 位 を含む構造 物 の振 動 応 答に関し ての本 質 的理解が容易に な る

。

　前 節お よび本 節に 示 し た方 法を 用い るこ とに よ り

，

周 波 数解析 や直接 時 問解析に おい て も弾 性 変位と剛体 変 位 を分 離して求め ること が可 能と なり

，

大 型 宇 宙 構 造 物な どの浮遊構 造 物の_{振 動 解 析}におい て

，

応 力や ひずみ を適 切に評価するこ と がで きる よ う に な る

。

な お

，

本 論に示 し た静 的 弾 性 変 位の算 定 手 法は

，

動 的 闘 題の静 的 収 束解 と し て定 義し て い る こと

，

お よび

，

弾 性 変 位に対す る外 力を自己 釣合 外力 とし て解の存 在 条 件を常に満 足させ て い る こと が

，

文 献21との差 異で ある

。

5

．

解 析例 　本 論に示し た解 析 手 法の有 効 性を示すために

_，

図

一

4 に示す よ う な単 純な例題 を対 象に

，

周 波 数 応 答関数と イ ンパ ル ス応 答 を 算 定 す る

。

こ こ で は

，

全 長 30　m _の 1_次

一 84 一

一

一

ip

、

．

O

．

・5m

　

_γ

．

7

．

9V．

P

　

E

．

2

．

1、loTttm2 v

＝

1rs　 　 　 　h

＝

0

．

Ol 　 図

一

4　 解 析 例 題 概 念 図 元構造体を考え

，

せ ん 断変形 を考慮 し た梁 要 素に よ り 6 分 割し た モデル を用い て い る

、

質量行 列は整 合 質 量 行 列 を 採 用 し て い る

。

各 部 材は直 径5cm

，

材 長5m の密 実 材とし_， 鋼 製 部 材を想 定し て栄位 体 積 重 量 7

．

9t／m3

_，

ヤ ング係 数2

，

ユXIOTt／m2

，

ボア ソ ン比1〆3を 用いている

。

また

，

材 料 減 衰は複 素 減 衰の形で 1％ を与えて い る

。

こ れ ら の諸 元は

，NASA

に よる フ リ

ー

ダム に_用い ら れ る構 成 部 材 を参考に設定し ている陶 。 解析は周波数 領 域 で行い

，

時 間 刻 み

O．

　

02

秒

，

_{継 続 時 間}80

．

92_秒 ， 振 動 数 範囲 0

−

25Hz と し た。 ま た

，

加 振は構 造 物 中 央に材 軸 直 交 方 向に作 用さ せて いる

。

インパ ル スカは時 刻0秒で

，

r，

Ot

　_（

＝

1_／At _）を与え て い る

。

こ れ は_， デ ィジ タル信 弓

．

の_{意 味}での _イン パ ル スカに対 応する

。

解 析 結 果につ いて は

，

いず れも

，

弾 性 変 位と剛 体 変 位に分 離して示す

。

図 mtt20 　 て

0

覆

篷

・

襞

　

一

10

一

₂₀ mlt20 冊

　

。

　

→ 。 　 変 位 伝 達 関 数

一

₂₀ o 2 4　 　 　 　6 　 振 動 数 ｛a_{） 剛 体 変 位} 8 10 o 2　 　 　 　4　 　 　 　6　 　 　 　8 　 　 　 　 振 動 数 　 　 　 （b）弾 性 変 位 図

一

5　周 波 数応 答関数 10 Hz Hz

　 m200016001200800400o　 　 　 m 　 　 　 20 　 　 　 15 　 　 　 10 　 　 　 5 　 　 　 0 　 　 　

−

5 　 　 　 　

−

10 　 　 　 　

−

15 　 　 　 　

−

20　 　 　 　sec 　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　sec 　　　　O 　　10 　20 　 30 　40 　50 　60 　70 ₈₀ 0　 　10　20　30　40　50　 60 　70 　80 　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 　　　〔b｝弾 性 変位 　 　 　 　（a） 剛 体 変 位 　 　 　 図

一

6　 イン パ ル ス応 答 Osee 図

一

7　弾性 変 位モ

ー

ドの時刻歴応答 全 体 変 位 （m_） goo 800 700 600 500 400 300 200 loo 0

・

100 図

一

8　全 体 変 位モ

・

一

ドの経 時 変 化 40sec 30sec 20tSec 10sec Osec

一

_{5に構 造 物 中心位置}の並進周波 数 応 答 を示す

。

図よ り

，

低 振 動 数 領域で は剛体変 位が支 配 的であり

，

比 較 的 振 動 数が高く なる と弾 性振 動 が 優 勢 と な るこ とが分か る

。

図

一

_{6に対 応す る イン パ ル ス応答を示す}

_。

_{ま た} ， 図

一

_7に O

〜

20秒の弾 性 変 位モ

ー

ドの _{時 刻}歴推移を示す が

，

時 間 の 経 過とと もに_， 高 振 動 数 成 分が減 衰し

，

10秒以降は 非 常に滑ら か な時 刻 歴 特 性 を有して い る，

，

図

一8

は

，0

−

_40秒の全体変 位モ

ー

ドの推 移 を示 し た もの で ある

。

こ れ よ り

，

外 力 作 用 時か ら時間が経 過す る と_， 全 体 応 答 に占め る弾 性変位の_{割 合}が非常に小さ く な り

，

弾 性 変 位 を直 接 誘 導する方 法を採

H

し ない と弾 性 変 位が 剛体 変 位 の数 値 誤 差に隠れて しまうこ と が理 解で き る。 外 力が持 続 し て作 用する場 合に は

，

こ の傾 向が顕 著と な る と考え ら れ る の で_， こ う いっ た場 合に は

，

本 論で示 し た弾性 変 位 抽 出 法が有 効とな る

。

6．

ま と め 　宰 宙 構 造 物の よう に弾 性 支 持さ れ ない 浮遊構造 物を対 象に

，

弾 性 変 位を適 切に評 価す る_線形振 動 解 析 手 法 を構 築する こ とを 目 的とし て

，

剛 体 変 位と弾 性変位を 分離す るこ とに よ り

，

弾 性 振 動に着 圏し た基礎式を誘 導し た

。

本 幕 礎 式と モ

ー

一

ド解 析 法との _{等 価 性}を示 す と と もに

，

こ れ に基づい た

，

周 波 数 応 答 解 析や直接 時 問解 析の方 法を 示し た。 また

，

射 影 行列 と

．

般 逆 行 列 を 用いて

，

剛 体 変 位を含む線形 振 動問題の統

一

的な議 論を行い

，

弾 性 変 位

に着 目し た支 配 方程式は

，

弾性モ

ー

ドの張る部 分 空 間へ の射 影に相 当す る こ と を 示 し た

。

また

，

周 波 数 応 答 解 析 手 法に おい て_{重 要}と な る_{静 的 弾 性 変 位}の _{評 価 方 法と し} て

，

反 射 型

一

般 逆行列 を用い た手 法を提 案し

，

動 的 解 析 と の連 続 性のあ る 静的 弾 性 変 位 解の誘 導 方 法 を示し た。 本 論で示し た手 法を用い ることにより， 浮 遊構造物に持 続 的 外 乱が作 用し た と きの応 力

・

ひずみ を周波数応 答 解 析 手法 や 時 刻 歴 応答 解 析 手 法を用い て適切 に_{評 価}する こ と がO∫能と な り

，

従 来

，

モ

ー

ド解 析 手 法に限 定さ れが ち であっ た大 型 宇 宙 構 造 物の振 動解析手法に

，

解 析 手 法 選 択の _{自由 度}を増す こ と がで き る。 結 果とし て

，

両 解 析 手 法の既 往の蓄 積 を利用 す ること が可 能と なる。 大 型 宇 宙 構 造 物に対す るモ

ー

ド解 析 法 適 用の限 界が幾つ か指 摘さ れ てい る現 状に あっ て_， 周波数応 答解析手 法 や 時 刻 歴 応 答 解 析 手 法の適用口」

．

能 性は， 将来の大 型 宇 宙 構 造 物の設 計に対す る振 動 解析 的解決を容易にする と考え られる

。

　

本論で は

，

解 析の _{対 象}を字 宙 構 造 物に限 定し た が， 本 手 法は浮遊式 海 洋 構 造 物な どの他の構 造 物に も適 用 可 能 な の で

，

今 後

，

外 部 減 衰を 考 慮 し た問題や_{振 動 数 依 存 性} を有す る問題 につ いて検 討を行っ て い く予 定である

。

ま た

，

解析法が

，

微小変形 範 囲で の剛体回 転の 除 去に_{制 約} さ れて いるの で

，

今 後

，

有 限な岡1」体回転も含めて考 慮で き る解 析 方 法を検 討して いく

。

謝 　辞 　本 論を ま とめ る に当た り_， ノ

ー

ス ウ

コ

ー

ス タン大 学の

T ．Igusa

助 教 授 とは貴 重な議論を さ せて い た だきまし た

。

こ こに

_，

記 して謝意を 表 し ま す

。

参 考 文 献 ユ〕 名 取 通 弘 ：宇 宙 構 造 物 工 学の概要

，L

木学 会 論 文 集

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