【論 文｝ 日本 建築 学 会構 造 系 論 文 報 告集 第441号
・
1992年11月 ］ournal of St【uct，
Constr．
Engng，
AlJ、
ND，
441，
Nov．
，
1992柱
の
変
動
軸 力
と
2
軸
曲 げ
モ
ー
メ
ン
トを
考
慮
し
た
RC
造
立
体 骨 組
の
弾
塑
性
地
震 応
答
解
析
そ の
1
解析 法
ELAsTO
−
PLAsTlc
EARTH
Ω
uAKE
RESPoNsE
ANALYSES
OF
REINFORCED
CONCRETE
SPACE
FRAME
IN
CONSIDERATION
OF
BIAXIAL
BENDING
MOMENTS
AND
VARYING
AXIAL
FORCES
ON
COLUMNS
Part
l Analytical
method磯 崎
浩
＊，
福 澤 栄 治
＊ ＊
，
高 橋 元 美
＊ ＊ ＊
Yutaka
ISOZAKI
，
E
功
FUKUZAWX
しandMotomi
TAKAHASHI
This paper presents the rigorous elasto
・
plastic earthquake response analytical method which was newlydevelQped
considering thebiaxial
bending
moments and the varying axial forces oncolumns
fQr
thehighrise
reinforced concrete （RC
）spaceffame．
The
RC
spaceframe
is
composed of columns，
beams
andjoint
panels，
Two
curved surfaces of crack and yield are introduced on the 3・
dimensional
force
space・
（Mx−
MジN ）columns as the yield criteria
．
The
degrading
hysteresis
loop
against earthquake repeatedloads
is for皿ulatedby
extending thehysteresis
loop
which wasproposed
by
Dr．
Muto ，
to theMx−My−N
force
space．
Keyw
rtls ：ゐ磐航 ∫θ RC sPaceframe
，
elastaPlastic earth4uake resPonse，
theory efPlastiCity
，
顔 鹹 1
bending
moment，
evarying aan’
alforce
，
ぬgrα漉π9醜 伽8αrhysteresdS
高 層
RC
造 立 体 骨 組， 弾塑 性 地 震 応 答， 塑 性 論， 2軸 曲 げモー
メン ト， 変動 軸 力，
剛 性劣 化三折 線型履歴L
序 超 高 層 鉄 筋コ ンク リー
ト造 建 物 （超 高 層RC
造 建 物） では，
地震 時に特に下 層 階に お い て，
柱の軸 方 向 力とこ の 変動 量が大き く な る。 その ため，
超 高 層RC 造 建 物 の耐 震 設計に おい て は，
柱の変動軸力 を考 慮し た 正確な 弾 塑性 応 答性 状を 把 握 す ること が 重 要で ある。
こ の よ う な 背 景に対 し， 筆者らは， 超高層RC
造平 面 骨 組を対 象に，
柱の変 動 軸 力 を考 慮し た部材レベ ルの弾塑性地震 応 答 解 析に関 す る一
連の研 究 を行っ て き た｝｝−
4 ｝ 。一
方， 現状の 耐震 設計で は，
通 常地震 力が建 物の互い に直 交す る2
つ の主軸方向に独 立に作用す る も の と 理 想 化し て，
各主 軸 方向に対して独立に行わ れて いる が，
実 際の地震時に は， 建物は水平 2方 向外 力が同 時に作 用す る ため， 地 震 時にお ける建 物の挙 動を よ り正確に把 握す る ために は，
建 物は立 体 骨 組と して と らえ， 2方 向 水 平 力に対 する弾 塑 性 応 答 性 状 を調べ るこ とが必 要である。
特に超高 層 RC 造 建 物の 耐 震 設 計で は，
建 物の よ り高 層化， 使 用材料の より高 強 度 化および建 築 計 画の平 面 形 状の任 意 化 等につ れて，2
方向地震 力の効 果を把 握す る こと が重 要な課 題とな っ て きて い る。
す な わ ち，
地 震 力 が同 時に水 平2方 向に作 用す る．
とし た場 合，柱に関 して，
変 動軸 力の重 畳 効 果および2軸 曲 げモー
メン ト効 果に ょ り，
ひび割れ お よ び降伏が1
方 向 入 力に比べ早 期に発 生 す ること．
が予想 さ れ， 梁 曲げ降 伏 先 行 型の降伏機 構を保 証 する ために は，
直交 方 向か らの地 震 力に よ る影響を ど の程 度 考 慮すべ きかが耐 震 設 計 上 重 要な問題 となっ てい る。
こ の よ うな現 状に対 し，
近 “1 RC 造 立 体 骨組の 弾塑 性 応 答 解 析に関す る研 究が増えてき た。
李・
小 谷・
青 山 ら は Muki−Spring
モ デル5 ｝を用い て 20層 2ス パ ン の立 ＊鹿 島 建 設 株 式 会 社 設 計・
エ ンジニ アリング総 事 業 本 部・
博 士 〔工 学 ） ＃ 鹿島建 設株式 会社 設計・
エ ンジニ ア リング総 事 業 本 部・
博士 （工学 〉 ＊ ＃ 鹿 島 建 設 株 式 会 社 情 報シス テム部Kajima corp
．
，
Architectural and Engineering Design Groぜp，
Dr．
Eng．
Kajima corp
．
，
Architectura［and Engineering Design Gro巳1〕，
Dr．
Eng．
．
Kajima corp
．
，
Information Processing Center体 骨 組 を 対 象に弾塑性地震 応 答解 析を行い
，
周・
壁谷 澤・
末 永らは，
フ ァ イバー
モ デル 6〕を用い て 15層 2ス パ ン の立 体 骨 組を対象に 弾 塑 性 地 震 応 答 解 析を行い，
2 方向入力に よ る骨 組お よび 柱の弾 塑 性 応 答 性 状につ い て 述べ てい る7）・
8）。
これ らの モ デ ル は，
鉄 筋お よ びコ ン ク リー
トに 各々 の 応 カー
ひずみ履 歴 特 性を与え ること に よ り，
部材の弾 塑 性 状 態 を詳 細に表現するこ と が可 能であ る が，
特に超 高 層 鉄 筋コ ンク リー
ト造 立 体 骨 組の地震応 答 解 析 にあたっ て は，
大き な容量と演 算 時 間 を要 する と と も に，入力 デー
タ作 成に多大 な 労力を費や すこと が予 想さ れ る。
上 記 現 況を踏ま え
，
筆者 らは，
超高 層RC
造 建 物の 合 理 的な耐 震設 計の た めに， 柱の変 動 軸 力と2
軸曲 げ モー
メ ン トの影 響 を 部材レベ ル で直接評 価で き る立 体 骨 組 弾 塑 性地 震応 答 解析 法 を 開 発し た。
本 論 文は，
第1報 と し て，
その解 析 法につ い て示 す もので あ る。
本 解 析 法は，
柱の材 端の 2軸 曲 げモー
メ ン トと軸 方 向 力の 3次 元 応 力空 間に，
塑性 論に基づ いて，
ひび割れ お よ び降 伏の2
つ の曲 面を導入 し，
2軸 曲 げモー
メ ン トと 軸方 向力が連成す る弾塑 性 構 成 方 程 式に立 脚す る もので あ る。 本 論と 同様に塑性 論 を導入 し たRC
造骨組の弾 塑 性 地 震応答解析 法に関して，
滝 澤は，一
定軸力 逆 対 称 曲げモー
メ ン トを受け るRC
造 柱を対象に ひび割れ楕 円と降 伏 楕 円を 用い て剛 性 劣 化三折 線 型モデル の2
軸 曲 げへ の拡 張を行っ てい る9）。
こ れ に 対して，
本 解析 法は 次に述ぺ る特 徴を有してい る。
1） 解 析の対 象と す る立 体骨組は，
純ラー
メ ン構造のRC
造建物を， 柱， 梁お よび 立 体 接 合 部パ ネルか ら構成 さ れ る立体骨組 として そのま まモデル化す る。
こ の立 体 骨組は，
不整 形 等の任 意な平面形 状 を 有し，
梁が柱に対 し て斜 交 する骨 組 も含む もの と する。
こ の場 合， 柱，
梁 の 曲 げモー
メ ン ト分布は， 逆 対 称 状 態 を含む中 間 荷重の な い場 合の任意の分 布 を扱い得るもの であ る。2
）柱の 互いに直 交する 2つ の主軸 方 向の曲げモー
メ ン トMx ，
My
と軸方 向 力N
の 3次 元 応 力 空 間に お いて導 入 す る降伏曲 面は，Mx −
My 平 面で は楕 円と し，
Mx−N
平 面およびMy −N
平 面では各々 の平 面で の コン ク リー
トと鉄 筋の累 加 強度式に よっ て求 め た終 局 耐力曲線を最 終 的に放 物線で近似し たもの と する1）。
ま た，
同じ3
次 元 応 力 空 間に おい て導入 する ひび割れ 曲面は，
降 伏 曲 面 とそ の中心 を共有す る相似な曲 面とする。 3） 柱の弾塑 性 履 歴 特 性 として は，
武藤博士の剛 性 劣 化 三折線型1°］ を材 端の 2軸 曲げモー
メ ン トと 軸方 向 力の 3 次元応 力 空 間に拡 張 導入 し た もの と する。
こ の場 合の第2
剛 性にお け る剛 性 低 下 率は，
曲 げ 剛性お よ び軸剛性と もに，
応 力 点と曲面の位置関 係によ り異な る値を採用す る。 4） 梁の弾塑性履 歴 特 性 としては，
軸 方向力を零と し逆 対 称 曲 げモー
メ ン トが作 用し た時に， 材端曲げ モー
メ ン トと材 端曲げ接 線 回転 角の関係が武 藤 博 士の剛 性 劣 化三 折 線型 を 示 す もの と す る。
5
） 柱， 梁に おいて， 両材 端で配 筋が異な る場 合 を想 定 し，
曲 げの弾塑 性 特 性は両 材 端で異な る特 性を有す る場 合も含む もの と する。
2
．
解 析 法2．
1
基 本 仮 定 1 ）立体骨 組は， 図一
1に示 すように，
柱，
梁お よ び2
つ の平板か ら な る柱・
梁 接 合 部パネルの部材要素か ら構 成さ れ る もの と する。
2
） 柱の断面の主 軸 方 向 （x 軸，y
軸と す る）は，
全 体 座標 系のX
軸， Y 軸か ら傾い て任 意の方 向に設定で き る ものと し，
互いに直交す る 2つ の 断面の 主軸方向の曲 げ， せ ん断変形 と材 軸 方 向の軸 方 向 変 形を考慮す る。 柱 柱 ［▽
梁 ル ネ パ 部 合 接 図一
1 立 体 骨 組の構 成 部 材要 素へ の置 換3） 梁は
，
X，
Y 平 面 （床 板 平面） 内に おい
て， 任 意の 2っ の柱 を結ぶ よ うに配置 で き る も の と し，
曲 げ， せ ん 断 変 形の み考 慮 する。 4 ） 柱，
梁 接 合 部パ ネル は，
柱断 面の 主軸 方 向で ある x，
y方 向の平 板で表 現し，
その平板の 中心点を共 有す るもの と して，
x，
y 方 向に それぞ れ独 立の面 内せ ん断 変形 を考慮す る。 5 ＞各 階 床 板は
，
面 内 （xy
平 面〉に は相対変形 しない 剛板と す る。 こ の場 合，
床 板 各 部の面 内 方向の変形は，
その重心位置で の X，
y2 方 向の水 平変位U ，
γ とね じ れ回 転 角 φの 3自 由度で表現で き る。6
）弾 塑 性 特 性は，
柱の曲 げおよび 軸 方向変形と梁の 曲 げ変形に対し考慮し，
せ ん断 変 形に対 して は弾 性とする。
7 ）弾 塑 性 解 析 り 手 法として は荷 重 増分法を用い，
各 荷 重段 階に お け る応 力お よ び変 位は， 1段 階 前の応 力と変 位に増 分 量 を順 次 累 加して求め る。
ま た，
増分 応 力 は増 分 変 位と線 形な関係にあ り，
増 分 内で の各 部 材要素の剛 性は一
定 と する。
8
＞ 各 荷 重 段 階に お ける部 材 要素の剛性は，一
段 階 前の 部 材 応 力により弾 塑 性 状 態の判定を行い，
それに基づ き 算 定 する。9
） 地 震 応 答 解 析に お ける数 値積分法はNewmark
の β 法 （β＝
1／4 ＞を用い， 減衰行列は内 部 粘 性 型 とす る。
2．
2 要 素 剛 性 と 全 体 釣 合 式 増 分 荷 重に対 する各 部 材 要素の局 所座標 系に お け る 剛 性 行 列は以 下の よ うに表現す る。 （1） 柱 図一2
に示す ように曲 げせん断お よび軸方 向変 形 を考 慮し たi層 」番 目の柱の剛 性 行 列 を 次 式で表現す る。dM
毎d
〃鯨 αM 遊dM
毎d1V
⊥
呂
［KC
］、 ， C6 C2 κ ム 傷 sym．
d
θ駈d窃
yd姦
d島
，d
ω σ1
Cg C − Cl CI C5 κ κ 産 ん κ C8CICIC4 ん ん ん κ C7CI C3 ん ム 几 κ ［Jd
砺d
万呂yd鑑
d喬
。d
ω…………
……・
（1
） こ こ にdMS
． ：柱 頭で の x 方 向の増 分 材 端 曲 げモー
メ ン トdMS
．：柱頭で の y方 向の増 分 材 端 曲 げモー
メ ント dM 島：柱 脚での x 方 向の増分材端曲げモー
メ ン ト dMSy ：柱 脚で の y方 向の増 分 材 端曲げモー
メ ン トdN
：増 分 軸 方 向 力d
θ島：柱 頭で の x 方 向の増 分 材 端 接 線回転 角d
θ乞。
：柱頭で のy
方 向の増 分 材 端 接 線回転 角d
θ髭 ：柱 脚で の x 方 向の増 分 材 端 接 線回転 角 w凹
躑11
：7二二：：：：そ：：：1曇亘姻』
’
tc 柱脚．
＿．
．
、
．
．
：．
一
二丕 鱒η
．．
（e ） 財 喘 変 位 dNQ 晃ordQ5 ） dQCMfiM ＆ordM 駈 ）論
；
：
ly
（b） 材 端 応力 図一
2 柱の材端変位と材 端 応 力一
梁右 端 架左 端 評’
丶・
・
，
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d百E．
』
zL
。 魴 ．［
駟鹸
1
梁 右端 dMli
’
、、’
丶
Ψ
dQ区 （a＞ 材 端 変 位 〔b） 材 端 応 力 図一
3 梁の材 端 変 位と材 端応 力｝
一 一
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［
i
・ ，／ ・
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・・．
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’
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L，
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＿
セ
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…
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四 Ci｝ 変 形 ZL
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冒
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．
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一
曾
鹽
．
冒
．
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（i
卩
dMP （dM 呈OtdM 夛〉 』 2B （2Br ロr2Bv ） （b〕 応 力 図一
4 接 合部パネル の変 形と応 力d
θ呂ジ 柱 脚で のy
方 向の増 分 材 端 接 線 回 転 角d
ω ：柱の両 材 端 間の増 分 相 対 軸 方 向変 位 （2 ） 梁 図一
3に示す ように，
曲 げ，
せ ん断 変 形 を考 慮 したi
層 ノ番 柱とi
層h
番柱を結ぶ梁の剛 性 行列を次 式で表一
75
一
現す る。
膿 ｝
’
［
駻kg
sym．
醪］
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｝
“k−
［π・ ］…19
多
II
，、．……・
一 ・
…・
（2 ） こ こ にdMf
：梁左端側の増 分材端曲げモー
メ ン トdMl
：梁右端側の増分材端 曲げモー
メ ン トd
醒 ：梁左端 側の増 分 材 端 接 線 回転 角d
碾 ：梁右端 側の増 分 材 端 接 線 回転 角 （3 ） 接 合部パ ネル 図一
4に示す よ うに せ ん断変形 を考 慮したi層 ノ番パ ネル の剛 性 を 次 式で表現す る。
騰 レ
［
1
］
畿
tdRldR2，
dRt
！
dRt
＋1dRn −
1dRndRxyz ’ ‘［
Kl
O
】c
『
K2 c2L
c
鶏
Ksq
グ
κ田q
，、一 ［
虹
｛
霧
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…・
……・
…・
・
…・
（・） こ こ にdMS
：接 合 部パネル の x 方 向の増 分 曲 げモー
メ ン ト d擢 炉接 合 部パ ネル の y方 向の増 分 曲 げモー
メ ン ト drS ：接 合 部パ ネル の x 方 向の 増 分 面 内せ ん断 変 形 角d
γ5
：接 合 部パ ネル の y 方 向の増 分 面 内ぜ ん断 変 形 角 （4 ） 全 体 釣 合 式 （1）一
（3）に示し た各 部 材 要 素の 局所 座 標 系の剛性 行 列 を， 全 体 座 標 系の変 位， すな わち柱 梁 接 合 部の節 点 変 位dri
と床の重 心 位 置で の変 位drxrZi
に座 標 変 換 を行 い，
す べて の部材につ い て合成す ると，
全 体 座 標 系に お け る 立体 骨組全体の剛性 行 列は 次の よ うにな る。
ElE2
EiEi
＋1o
＼、
i
c 詫
：2Kn．
lCn，
．
LlE 。−
tcf，
1
．
1K
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一
一
一
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一
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…．
一
．
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…
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こ こ にdrt
：全 体 座 標 系で の i層の節 点 増 分 変 位ベ ク トル＝
ld
雌．…dexim，
d7．
i【…d7xim，
deyi
，…deyim，
dr
。n…
d7。、。，
daiti
−’
d
ω、。F
drXVXt
：全体座 標 系で のi
層の床 重 心 増 分 変 位ベ ク トル ＝ldU
‘，dV
，，d
Φ‘P
drxrz
：全体座標 系での全 層の床重 心増分変位ベ ク トル ＝ld
〔ノ1…dUn
，dVl…dVn
，d
¢屆…d
ΦπドdR
，：全 体 座 標 系で の ‘層の節 点 増 分 外 力ベ ク トル dRxrz ：全 体 座 標 系で の全 層の床 重心増 分 外 力ベ ク トル た だ し，
こ こ で の n は全 体の層 数，
m は層の柱の最 大 本 数を示す。一
般には，
振動 時の外力 と して，dRxrz
に 相 当す る 床の重心位 置での慣性力の みを考慮 す るの で，
式 （4 ）におい て．
節点増分外 力dR
， （i
＝1−
n）を0
と し て，
節 点 増 分 変 位drt
を消 去 すれ ば，
重 心に作 用す る増分外 力dR
．vz と重 心の増 分 変 位dr
．rz に関する釣 合 方程 式が得られ る。
F
dr1dr2
dridri
＋1drn−
】．
drndrxrz
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4 ）i2 ．
3
柱の弾塑性 構成方程 式i
（1
）基本仮定 1） 柱頭お よび 柱 脚で そ れ ぞ れ 図一
5に示すよ うに，
降 伏条件と し て ひび割れ曲面と降伏曲面の2
つ を柱の 2っ の主軸方 向の材端 曲げモー
メ ン ト雌，
脇 と軸方 向力N
の3
次元 応力空 間におい て導入 す る。 降伏曲 面 oh＝0
N ノ ノ ，！， ’
，
’
／
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ひび割れ曲面 of＝
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Mx My 図一
も ひ び割れ曲面と降伏 曲面N
’
N孟十 No・
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一
一
一
一
一
一
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Mx 平 面 （N−
My 平面） ノー
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一
” 1・
ll
l lM 旻 M薹 図
一
一
6 切断平 面で の初 期ひび割れ曲 面 と初 期 降 伏 曲面2
） 初期 降伏 曲面 。h（M．
，
橘，
N ）＝0
は 図一
6に示す よう に，
柱の終局 耐 力曲 線をMx−
N 平面お よ びMy−N
平 面 で は， 各々2
つ の放 物 線の組 合せ で，Mx −My
平 面で は 楕 円で近 似 し た もの である。
初 期ひ び割れ 曲面。
f
（Mx，
My，
N）＝
Oは，
降 伏 曲面 と 中 心 を 共有する相 似な曲面 と し て設 定する。 ・h（M・
・
M・・
N ＞一
（
礁M
駈）
1 ＋（
凱
）
2・
（
NrN
。 醜）
2−
1−
・・
… 一
（・〉 鵡・
嚠 ）一（
畴M
紐）
！ ＋（
藷
）
2畔
譜
）
2− 1−
・…・
一
（・） こ こ にM
遊，
M
施，
N
温：降伏 曲 面の大き さ を規 定す る定数 M 徳，
M 鞠，
N ：：ひび割れ曲面の大 き さ を規 定する定 数 N。 ：降伏 曲 面の 中心軸方向 力 値 ここ で，
ひび割れ曲 面の下 側は，
通 常の ひび割れ状 態 す な わ ち，
引張 縁コ ン クリー
トが引 張 強 度に達 して引 張 力 を負 担しな くなっ た状 態を想 定し たものである。 し か し，
ひび割れ曲 面の上側は，
便 宜上 ひび割れ曲 面と名付 けて はい るが，
前 述の よ う な通常言わ れ て い るひ び 割 れ 状 態 を扱っ て い る のではな く，
圧 縮 力 を負 担す るコンク．
リー
ト部 分の応 力， ひずみ関係の非 線 形 性に起 因す る降 伏 前の状態にお ける材端曲げモー
メ ン トと材 端 曲 げ接 線 回転角，
軸 方 向 力と軸 方 向 相 対 変 位の非 線 形 復 元 力 特性 を三折線で近 似 し た時に，
第二剛 性の状 態にあること を 意 味す る もの で あ る。 ま た，
ひび割れ曲 面が降 伏 曲 面と相 似で あるとい う仮 定は， 次 項 以 降で述べ る よ う に，
柱 頭お よ び柱 脚の状 態 とし て，
弾性，
ひび割れ お よび降 伏の 3つ の状態 を設 定 し た時に， 塑 性 論に従っ て仮 定した応 力 点や曲面の位 置 関 係，
剛 性および曲 面の移 動 量お よ び膨 張 量の算 定を行 M（M．
orMr ） M盖α剛
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鴎 pK 藍 M 冨 嘲 ！厂
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K自一
M畠 θ盖 ・磯
＝
＿
6EI ’じ
θ（θx 。r一
一
一
M話 図一
7 N≡rv
。で逆 対 称 曲 げモー
メ ン ト作 用 時のM一
θ曲線 NN 盖＋N。
α
叩
K雋一一
一
1■
−−一
一
曾
一
⊥鋸＝
pK 昌 〆’
1 ！．
13 N 吊＋N。一
一
” 2，
1 ： tY一
ω鴫
o’
K 昌 1，
13，
ω
．
I
I
I
」
r」
1，
’
’
1’一
ω品Y … lF
一
N呂＋N。
・織
一
i
玲
PI
l
I1
．
ノ
・
Lド
K 自り．
．
9
一
N盖＋N。
図一
8 Mx＝
My＝
Oにお け るN−
tO曲 線 う うえ で， 数 値 解 析 上 非常に取り扱いや
す く，
かつ短 時 間で効 率 的に演 算 処 理で き る とい う利点から採用し たも の である。
3
） Mr−
exの ユ軸 弾 塑 性 履 歴 特 性は ，M
．；O
，N ＝No
の 状 態 下に おい て，
x 方 向 逆 対称 曲 げモー
メ ン ト作用時に 図一
7の状態番 号で定 義さ れ る剛 性 劣 化三折線型履 歴を 呈 す るもの とする。 そ して， こ の場 合の曲 げ弾塑性剛性 は，
柱頭お よ び柱 脚の配 筋 が異な る場 合も含めて塑性関 節の考え方を導入し た分割梁法ll）に 基づ い て算 定す’
る。M
ジ θy の 1軸 弾 塑 性 履 歴 特 性も 同様な考え方に基づ くも の と す る。
4） N一
ω の 1軸 弾 塑 性 履 歴 特性は，Mx
＝My
＝0
の状 態 下に おい て，N
を作 用させ たと き，
図一
8の状 態 番 号で 定 義さ れ る圧縮 時 （正）と引 張 時 （負 ）で弾 塑 性 特 性 が 異な る こ とを考慮 し た 正 負 非 対 称 形 剛性 劣 化三折 線 型 履 歴 を呈す るもの とする。
・
5
）ひ び割れ状 態で は，
図一
9に示す よ う に等方 硬 化 則 を 採 用 し，
n ス テッ プで の応 力 点。
P（nMr．
。
My，
nN ｝は，
ひ び 割 れ 曲面上にあり， ひび割れ曲 面は， 中心 は移動せ ず降伏曲面と相似 形を保っ て膨 張する。
こ れ は，
ひび割 れ後の弾 性復 活時にお ける履 歴 特 性が図一
7お よ び 図一
8に示 す よ うに原 点 指 向の た め， ひび割れ後弾性復活し，
逆符号のひび割れ状 態が進 むに比 例し て大き く な る とい う特性に合う よ うに仮 定し たもの である。
図中の添 字 n，
C，
Y，
m ，0は次の意味を表す。 左下 の添 字 n は解 析ス テ ップを 示す。
右 上の添 字C
お よ びY
はC
がひび割れ，
y が降 伏を示す。
右下の添字 m は，
ひび割れ，
降 伏の両曲面におけ る曲げモー
メ ン ト及 び軸 方 向 力の最大 点 を示し，0
が両曲面の曲げモー
メ ン トお よび軸 方 向 力の中 心 を 示す。
一
77
一
Noh
＝
0 N盖 ＋ No− 一一一一一一一
nN 島十N。
一一一一
一一
，
＝チ 。臣 N．．一
一／’
二遡’
漁
二覊
：こ黒
、
、
、
） ）
、
蝋
二
驚
賑
三
壁 § 玉
，
、
M＆ ！。
M 亀M莞’
戸
’
へ、
−
N 蓋 十No・
一一一一
一一
丶＼
uf≡
O of＝
0 ひび 割 れ状 態 OONNn N。
N。一マ『 一一『
’
’
’
珂丶 “h＝
0！
。
N−
：≦二 ．P ＋ N。一一
二灣’
一一
’
♂
’
「 1丶 丶’
’
’
’
’
’
1、
、
、
、
、
／誓
二r
隔
一
MY O InUI lII皿
M，
亀
亀
）
（Mエ
or M孟 ！ IM 十 nM
。
nMo’
，
’
”。
M話＋ nM。
N。
一一一一一一
’
’
’
’
’
nN。
oh＝
0 降伏 状態 図一
9 切断 平 面での ひ び割れ曲 面，
降 伏 曲 面と応 力点 6） 降 伏 状 態では，
ひび割れ曲面は降伏 曲 面に一
致し，
応 力 点は降 伏曲面 上に あっ て， 降 伏 曲 面は移 動かつ膨 張 す る。 降伏曲 面の中 心の 移 動 量は，
降 伏 曲 面の中心 と応 力点 nP （nM ＝，
nMy ，認 ）を 結 ぶ 方 向 に向か う と考え るZiegler
の修 正に よる Pragerの移 動 硬 化 則12 ）に従う もの と する。
こ の移 動 量と 膨張量 は，
降伏 後 弾 性 復 活し，
さ ら に応 力が 逆符 号になっ た 時の履歴 特 性が図一
7お よ び 図一8
に示す よ うに過 去に経 験し た最 大 応 力 点 指 向の た め，
この最大応 力 点 を応 力 点nP （nMx，
nMy，
。胡 の降 伏曲 面の 中 心 に関 する点 対 称点nP （Mx
，
調 劃，
。N
）と読み か え て， nP で 降 伏 曲 面を 固定して応力点が降 伏 曲 面 上に あ る よ うに膨 張か つ移 動さ せ る と，Ziegler
の修正則よ り降伏 曲面の 中心は，
前ス テ ッ プの中心 と応 力 点を結ぶ 方 向に移動する の で， 移 動 量は結 果 的に，
降 伏 後の応 力 増 加分 の半 分 とな る。 し た がっ て，
降 伏状 態で の降伏曲 面の 中心の移 動 量と膨 張量 は，
そ れ ぞ れ応 力増分 量の 1／2ずつ とする。7
） 降 伏 後の弾性 復活状態で は， 応 力 点は降 伏 曲 面の 中 にある。
こ の状態におい て設 定され る剛 性 低 下 率は，
最 も最近経 験 し た 降 伏状 態に お ける応 力 点 nP （nMx，
nMy，
認 ）と 。P
の 降伏 曲 面の 中 心 nU に関 する点 対 称 点 nP 〔Mx ，
nMy，
dV
）と を結ぶ直 線上 を応 力が繰 り返し動く と仮 定し た場 合に図一
7お よ び図一8
に準じて定め ら れ るMx 一
佐，My −
ey
お よ び 1V一
ω 履 歴 特 性か ら算 定 する 。 こ の仮 定は，
ひび割れ後の弾 性 復 活状態におい て も同様 とする。 （2 ） 初期降伏 曲面と初 期ひび割れ曲 面の設 定 初 期降伏曲面と初期ひび 割れ曲 面の設 定は以 下の手 順 に よ るもの と す る。
1） 柱の2
つ の断 面の主 軸 方 向で ある MゴN
平 面およ び M，−N
平面の それ ぞ れにつ い て コ ンク リー
トと鉄 筋 の累 加強 度 式に基づき，
Mx−
N 終局耐 力 曲 線，M
ジN
終 局耐 力 曲線 をそれ ぞ れ算定す る。
2
） 1 ＞で求 めた終 局耐力 曲Wt
Mx −N
お よびM
ゼN
をそ れ ぞれ文 献1）の方法 を用い て次 式で表 す2つ の放 物 線 の組合せ で近 似する。院
1
・（
N− N
。 N 盖）
2−
・一 ……・
・
一 ……
（・）1
轟 【
・（
1V− NoN
益）
2−
・一 ・……・
一 ……
（・） 3） 式 （7）お よび式 （8 ）で定め た M 海，M 恥， 艦 お よ びNe
を 用い て，
初 期 降伏 曲 面 を 次 式で設 定する。 〇九〔臨 臨N
）一（
MxM
紐）
2 ＋（
銑
）
2・
（
4fiXik
°）
t−
・一 ・……・
…
（・） 4） 初 期ひび割れ曲線は，
初期 降伏 曲面に相似で，
かっ 中心を共 有するものと して次式 の よ うに設 定 す る。
鵬 岬 ・
一
（
MxM 粧）
2 ＋（
謝
・
（
N 一
ハ10N 窺）
2−
1−
…一 ・
…
（1・） こ こ に驚
一
蘓
一
舞
一
・＞1…・
……・
・
……・
・
…
（・・） こ の場 合，
初 期ひび割れ曲面は，
そ の下 側に おい て，
学 会RC 規 準に示さ れてい るひび割れモー
メ ン ト式m に 近 似 する よ うに z を定める こ と が望ま しい。
（3＞ ひび割れ条 件，
降 伏 条 件お よび弾性 復活 条件以 下に示す各 状 態の番 号は
，
図一
7お よ び 図一8
の状 態 番 号 と 同一
の状 態 を示 す番 号である。i
）初 期弾性 状 態 （状 態 ） 柱頭， 柱脚が初 期弾性状 態にある時の条 件は，
初期ひ び割れ曲面。f
を用い て次式で表さ れ る。 of （nMx．
nMy．
nN ）く0…t・
・
…・
……・
…・
一 ・
・
…
（12
）こ こ に， （nMx ， ＝My，認 ）：n ス テッ プでの応 力 値
ii
）ひび割れ状 態 （状 態 ） 柱 頭，
柱 脚がひび割れ状態に あ る時の条 件は，
n ステッ プで の ひび割れ曲 面を♂ ＝0
と す る と次 式で表さ れる。
融 臨 孤 認 ）一
（
轟
γ
＋（
轟
y）
2・
（
冠 V−
Non−
iN 島）
1−
・≧・…
（13）轟 臨 轟 認 ）一
（
轟
）
2 ＋（
轟
）
3・
（
冠V−
NenN 岳）
2− 1−
・・
…・
（14
） こ こ に，
nM ：x，
nM ：y，
n V翕：n ス テップでの ひ び割れ 曲 面を規定す る定 数 こ こで，
。f
．
＝ O と．f
＝
O は相 似で あ るか ら n ス テ ッ プで の ひ び割れ曲面の初 期ひび割れ曲 面に対 する膨 張 比 ηηは次式で表さ れ る。・・
一
総
一
驚
一
欝
・
一
………tt…一
（15） 式 （14 ）と式 （15）より nηは次式で表さ れる。
n・
→｛（
nM ； 〃紐）
2 ＋（
畿
）
2，
・
（
nM ＝ 紐）
2 ＋（
畿
）
2 ＋ ・（
学
）
2｝
…
一・
・
・
・
・
…
一・
一
・
・
…
9・
・
一・
・
…
一・
・
（ユ6） こ の場 合， ひ び割れ曲面の中心の移 動は な く，
降伏曲 面は移 動 も膨 張 もし ない。
iii
）ひび割れ弾 性 復 活 状 態 （状 態 ） 柱頭，
柱脚がひび割れ状 態か ら弾 性 復 活 状 態にある条 件は次式の よ うに表せ る。 n−
1プ鹽
（Mr
，
nMy，
π1
丶りく0−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（17） こ の場 合，
ひび割れ曲 面は，
（n−
1）ス テ ップと変わ ら ないとするの で，
n ス テップの ひび割れ曲 面 を規 定す る 定 数は，
（n−
1）ステッ プの時 と 同じで ある。
量v）降 伏 状態 （状 態 ） 柱 頭，
柱 脚が降 伏 状 態にある時の条 件は，
n ス テ ップ での降伏 曲面をnh＝0
と す る と次 式で表さ れ る。 … 鵬 孤 認）一（
轟一
π．
匸晦 n．
、Mhe）
2 ＋（
尊
i
着
1
磐
）
2 ・（
発
≡
飜
酬ア
ー1
≧ ・・
…・
…・
（・8
） 諷臨 鵡 認 ）一（
nMx−
nMex nMtS）
t ＋（
調瀛
黔
）
2 ・（
卍V−
nlV。 nlv 盖）
t−
・一 ・一 ・
一 ・
・
（19） こ こに 。M
応，
調 漏 認 知 n ス テッ プの降 伏 曲 面を規 定 する 定数π
M
。x ，M
。。，
認。 ：n ス テッ プの降伏曲 面の中心座標 以 下に降伏 状 態に おける降伏 曲 面の移 動 量と膨 張 量の 算 定 法 を示 す。 降 伏 曲 面の中心 の移 動量の増 分dnQ
。・
＝
ld
。M
。、c，
dnM
。y，
d
。N，1
『 は，
（n−
1）ステップの降 伏 曲 面 の 中 心 n−
、Q
。
と 応 力 点n−
、Q
を結ぶ方 向に向か う と す るZiegler
の 修正に N 図一
10 3次元応力空 間に お け る降伏 曲 面の移 勤 量と膨 張量 よるPrager
の移 動 硬 化 則に従 う もの と すれ ば，
次 式で 表され る。
dnQ
。＝d
ημ（n−
iQ−
n−
iQ 。）・
・
…………・
……・
・
（20 ） こ こ にd
。μ は 正の実 数 図一
10に示す よ うに降 伏曲面の 中心の移 動 量と膨 張 量 は そ れ ぞ れ応力増分 量の 1／2
ずつ と す るこ と と，
部 材 断面に 塑性 変形 が起っ ている間， 応 力点は降 伏 曲 面 上に な けれ ばな らない ので 次 式が成 立す る』
。
n−
［H 「・
（dnQ−
2dnQ “）＝
0−・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（21
） こ こ に n−
、H
：（n−
1）ス テップでの応 力 点位置に お け る降 伏 曲 面の外 向き法 線ベ ク トル 式 （20）と式 （21）か ら降伏 曲 面の移 動量 を表す係数dnSt
は次 式 とな る。
・・
一
漏
夛
1
駕
…
亀
1α 、 ・・
…・
……一 …
（・2・ こ のd
。μを式 （20 ）に代入 してdnQ
。を求 め 降 伏 曲 面 の中心 を 決 定 す るこ と ができ る。
n ス テップで の降伏曲 面の初期降伏 曲 面に対 する膨 張 比 をψ
と すると，新
髞
一
総
・一
誓
…・
・
……・
……・
・
…
（・・） 降 伏 曲 面の中心 が算 定さ れ， 応 力 点を 通 る よ うに式 （19） と式 （23） を用い て neを算 定す る と次式で表さ れる。
nP −；
（（
。雌一
調。エ ・）
・（
nMy−
nMoy zM
撫M
盖り）
・（
nMx一
鵡M
撫）
2 ＋縣
黔
）
2 ＋ ・（
柴
轟）
／
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
・
…
（24
） v ） 降 伏 弾 性 復 活 状 態 （状 態〜
）『
柱 頭， 柱 脚が降 伏 状 態か ら弾 性 復 活 した状 態にあ る条 件は，
次 式の よ うに表せ る。 n−
1h （nノ曜エ，
nノ匠霞，
認 ）〈0−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
…
（25） この場 合，
降 伏 曲 面 は （n−
1）ス テ ッ プと変わ ら な い と す るので，n ス テップで の降伏曲 面を規 定す る定 数は，
一
79
一
（n
