大成建設技術センター報第 39 号 (2006) 鉄筋コンクリート構造の 3 次元非線形有限要素解析 *1 福浦尚之 Keywords : reinforced concrete, multi-directional cracks, three-dimensional nonlinear finit

鉄筋コンクリート構造の３次元非線形有限要素解析

福浦 尚之

＊１

Keywords : reinforced concrete, multi-directional cracks, three-dimensional nonlinear finite element analysis, performance-based design 鉄筋コンクリート，多方向ひび割れ，3次元非線形有限要素解析，性能照査型設計

1. はじめに

_Xｃ Yｃ アクティブ クラックの スイッチ 正載荷時（ε1＞ε2） 負載荷時（ε1＜ε2） ε1 ε2 正載荷 正負交番載荷を受けるRC耐震壁 負載荷 Yｃ ε1 ε2 Xｃ 性能照査型設計法（性能規定型設計法）が設計実務 に取り入れられつつある中、非線形有限要素法により コンクリート構造物の挙動をシミュレーションする技 術は、設計技術を構成する要素の一つとして有用とな っている。また、近年の計算機容量、計算速度の飛躍 的な向上に伴い、従来では構造物を二次元にモデル化 する必要があったものが、構造をそのままにモデル化 して三次元非線形解析を実施することが可能かつ適切 な手法となりつつある。 外力を受ける鉄筋コンクリート（以下、RCと称す） 構造では、荷重の作用によりひび割れが発生し、大き な非線形性を示す。このため、RC部材の挙動を表現す るためのモデル化においては、材料の損傷過程をでき る限り実現象に忠実に再現できものであることが重要 である。また、地震による多方向からの揺れを受ける 三次元構造物では多方向にひび割れが発生することを 想定する必要がある。 多方向に発生するひび割れを扱うひび割れモデルに はこれまでに複数が発表されている。前川・福浦らは 平面応力場の構造要素内に非直交な独立４方向のひび 割れ群を有するRC挙動に対し、従来のアクティブクラ ックの概念１）_{を適用し、異なる方向を有するひび割れ} 群間の相互作用を考慮した鉄筋コンクリートの構成則 を構築している２、３）_{。アクティブクラックの概念}１）_は、 岡村・前川がＲＣパネルの正負交番載荷モデルの構築 に際して初めて適用したものであり、図-1に示すよう に２方向にまで擬似直交ひび割れ軸を許し、主たる非 線形性を担う局所軸にひび割れ直方向のひび割れ幅が 大きい方を採用するものである。そして、Hauke・前川 は平面応力場での4方向ひび割れモデルを拡張し3次元応 力場での多方向ひび割れモデルを構築している３、４）_。 また、Phamavanh５）_{らは格子等価連続体化法に基づき} 最大4方向の非直交ひび割れを扱うことのできるひび割 れモデルを、米澤６）_{らは3軸応力下において9方向までの} ひび割れを表現できるひび割れモデルを構築している。 本研究では、3次元応力場において６方向までのひび 割れの発生を考慮できるひび割れモデルを構築し、こ れを汎用構造解析プログラムにユーザーサブルーチン として組込み、その適用性について検討を行った。

2. 3 次元応力場での 6 方向ひび割れモデル

3次元応力場においても前述のアクティブクラックの 概念１）_{を適用する。すなわち、図-2に示すように3次元} 空間上に発生した多数のひび割れ面の内、主たる非線 形性を担うひび割れ面にひび割れ面の法線方向のひび 割れ幅が大きい方を採用する。 著者らが構築した2次元平面応力場での非直交4方向 ひび割れモデル２）_{では、図-3に示すように2つの直交座} ＊１ 技術センター土木技術研究所土木構工法研究室 図-1 アクティブクラックの概念 Fig.1 Concept of active crack

標系(x1-y1,x2-y2)を導入し、その各々の座標軸をひび割 れ直交方向に関係付け、2次元平面応力場に発生するひ び割れをモデル化している。3次元応力場においても基 本的にはこの方法を踏襲し、図-4に示すように2つの3 次元直交座標系(x1-y1-z1, x2-y2-z2)を導入してその各々 の座標軸をひび割れ面の法線方向と関係付ける。これ により3次元空間に発生するひび割れを6つのひび割れ 面（2座標系×3座標軸＝6）でモデル化する。 3次元空間上において、コンクリート応力を算定する ための直交座標系を設定するにはアクティブクラック 面のみの判定では不十分であり、アクティブクラック 面上における第2軸、第3軸を定める必要がある。これ については、アクティブクラック面の2次元ひずみ成分 に基づいて、アクティブクラック以外のひび割れ面に 関してアクティブクラック面の判定を行い第2アクティ ブクラック面を定める。すなわち、コンクリート応力 を算定するための直交座標系の各座標軸は常に固定さ れるものではなく、3次元空間内のひび割れ面分布とひ ずみ状態に応じて適切に、コンクリート応力を算定す るための直交座標系が構成される。例えば、x1軸-y2 軸-z1軸をもとに直交座標系を構成するような場合も生 じることになる。 3．コンクリートと鉄筋の材料モデル 本研究で用いたひび割れたコンクリートおよび鉄筋 の材料モデルの概要を図-5 に示す。コンクリートの圧 縮挙動に関してはコンクリート標準示方書７）_に示され るσ-ε関係を基本とし、これにひび割れ直交方向の引 張りひずみε_tmaxの影響による強度低下３）_{を考慮した。} 引張り挙動に関しては、岡村・前川らによるコンクリート のテンションスティフニングを考慮したモデル３）_とした。 また、圧縮・引張り挙動に関するする除荷・再載荷 挙動、引張り領域から圧縮領域に遷移する際のひび割 れの再接触挙動についても簡易にモデル化した。 せん断挙動については、李・前川による、ひび割れ面 の接触密度関数に基づくせん断挙動モデルを有限要素解 析に組込みやすいように簡略化したモデル３）_{を用いた。} ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − × × × = 002 . 0 ' 2 002 . 0 ' ' 'c f c c c ε ε ϖ σ 式 (1) 図-2 3 次元空間におけるアクティブクラック Fig.2 Active crack in three dimensional space

ひび割れ面-1 εn2：ひび割れ面-2 　　の法線方向ひずみ εn1：ひび割れ面-1 　　の法線方向ひずみ アクティブクラック面＝ひび割れ面-i 　　　　　　　但し、εni=max(εn1,εn2,・・εni・・) ひび割れ面-i ・ ・ ・・ εni：ひび割れ面-i 　　の法線方向ひずみ ・ ・ ・・ x1軸 y1軸 _x 2軸 y2軸 x1軸に対応する ひび割れ x2軸に対応する ひび割れ y1軸に対応するひ び割れ y2軸に 対応す るひび 割れ _x1-y 1： 第一直交座標系 x2-y2： 第二直交座標系 ひび割れ面-2 図-3 2 次元空間における4 方向ひび割れモデルの概念 Fig.3 Concept of 4-way cracks model in two dimensional

space ひび割れ面 （法線方向はx1軸） x1軸 y1軸 z1軸 ひび割れ面 （法線方向はy1軸） ひび割れ面 （法線方向はz1軸） ひび割れ面 （法線方向はx1軸） x2軸 y2軸 z2軸 ひび割れ面 （法線方向はy2軸） ひび割れ面 （法線方向はz2軸） a)第一座標系　

x

1-

y

1-

z

1 b)第二座標系　

x

2-

y

2-

z

2 図-4 3 次元空間における 6 方向ひび割れモデルの概念 Fig.4 Concept of 6-way cracks model in three dimensional

σc εc 式（２） 式（１） σs εs τc γc 式（３） a)コンクリート圧縮･引張モデル b)コンクリートせん断モデル c)鉄筋モデル３、９） 図-5 コンクリートと鉄筋の応力ひずみ関係の概要

Fig.5 Stress-strain relationship of concrete and reinforcing bar

(

)

μ ε μ ε μ ε μ ε ϖ ε ϖ 5000 6 . 0 1000 5000 1000 1000 1 . 0 0 . 1 1000 0 . 1 max max max max max > > ≥ − × − ≤ = t t t t t L L L 　　　　 　　　　 　 　　による低減率 最大引張ひずみ ：ひび割れ直角方向の ここに、 4 . 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × = c tu t c f _ε ε σ 式 (2) ずみ ：ひび割れ発生時のひ ここに、ε_tu c cr c c G G γ τ _⎟⎟× ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = / 1 / 1 1 式 (3) 断剛性　 ：ひび割れ面でのせん 　　　　 剛性 ：ひび割れ前のせん断 ここに、 cr c G G 鉄筋の応力ひずみ関係は、鉄筋のバウシンガー効果 を考慮できる加藤モデル８）_{と同等の精度を有する数値} モデル３、９）_{を用いた。} ひび割れ前のコンクリートモデルについては簡易にモ デル化し、本研究では最大圧縮ひずみがコンクリート標 準示方書７）_{に示されるσ-ε曲線上において、ひずみの} 値を 3 次元ひずみ成分から求められる最大圧縮ひずみと した場合の割線剛性を持つ非線形弾性体とした。 4．一様応力場での数値シミュレーション 本ひび割れモデルをユーザーサブルーチンとして汎用 解析プログラム ABAQUS に組込み、一様応力場での数 値シミュレーションを行った。図-6 に示す正六面体の 1 要素モデル（8 節点ソリッド要素）を対象に、Z 方向引 張、X 方向せん断、Y 方向せん断を順次載荷した。 解析結果を図-7～9 に示す。STEP-1 の Z 方向載荷で は、Z 軸に垂直に第 1 のひび割れ面が生じる。Z 方向 の力を除荷した後、STEP-2 で Y 方向にせん断力を交 番載荷させると Y-Z 面内で第 2,3 の 2 方向の斜めひび 割れ面が生じる。さらに、Y 方向のせん断力を除荷し た後、STEP-3 で X 方向にせん断力を交番載荷させる と X-Z 面内で第 4,5 の 2 方向の斜めひび割れ面が生じ、 合計 5 方向のひび割れ面が生じる。 STEP-1：引張載荷・除荷（pz=4.0N/mm2） STEP-2：せん断載荷・除荷 （τyz=5.0N/mm2） STEP-3：せん断載荷・除荷 （τxz =5.0N/mm2） X Y Z 正四面体要素：1辺 10cm ｺﾝｸﾘｰﾄ f 'c=40N/mm2 f t =2.5N/mm2 鉄筋比 pt =2% 図-6 一様応力場での数値シミュレーション Fig.6 Crack simulation on uniform stress field

σz - εz 関係 -6 -3 0 3 0.000 0.001 0.001 0.002 0.002 直ひずみ　εz 直応力　σ z 　 ( N/ mm 2 ) STEP-1 STEP-2,3 X Z 第1ひび割れ 0° 図-7 一様応力場での数値シミュレーション結果(1) Fig.7 Results of crack simulation on uniform stress field (1)

5．多方向より荷重を受ける RC 円筒壁の数値シミュレ ーション 多方向よりの荷重を受けるRC円筒壁の載荷実験１０） を対象に、数値シミュレーションを行った。図-10 に試 験体諸元を、表-1 に材料特性、及び図-11 に加力パター ンを示す。図-11 に示す加力パターンはRx=2/100 の場 合を示しているが、Rx=0.5～8/1000 で同じパターンに よる加力を行い、最後に押し切り加力を実施している。 解析モデルは図-12 に示すように、試験体を 8 節点ソ リッド要素を用いて壁部を鉛直方向に 5 分割、円周方 向に 16 分割（＠22.5°）、壁厚方向に２分割してモデ ル化した。加力スラブ・基礎スラブについては壁部と 同様に 8 節点ソリッド要素でモデル化し、弾性体とし てひび割れは発生させないこととした。解析における 加力方法は、加力スラブ各 4 側面の中央位置（図-12、 ★印）で強制変位を与える方法によった。 解析ステップは、まず実験において水平加力前に導 入されている軸力（σ₀=1.5N/mm2）に相当する応力を 再現するため加力スラブの単位体積重量を調整し、自 重解析を実施した。その後、十字加力、矩形加力のそ れぞれの水平方向加力を実施した。 図-13 に変形及び主ひずみ分布図を、解析と実験との 比較を図-14,15 に示す。主たる載荷方向である X 方向 について、解析の最大荷重は、実験と比較して十字加 力 で 81 ％ （ 1263/1567 ＝ 0.81 ）、 矩 形 加 力 で 74 ％ （911/1233=0.74）であり、解析のほうが実験よりも小 さくなっている。矩形加力と十字加力の比較では、実験 と同様に矩形加力の方は十字加力よりも強度低下してい るが、その度合いは実験では 78%（1233/1567=0.78）で あるのに対し、解析では 72％（911/1263＝0.72）と若干 低くなっている。荷重-変形角関係における除荷時ルー 図-10 円筒試験体諸元

Fig.10 Clyndrical specimens for experiments X Y 2700 2700 1985 1835 75 75 2700 400 10 00 50 0 1985 1835 75 75 単位：mm 加力スラブ 基礎スラブ 壁部（t=75) 壁部鉄筋比：1.2％ 　　　　　（鉛直・円周方向等量） 表-1 使用材料

Table 1 Mechanical properties of materials

加力スラブ 基礎スラブ 壁部 δ 加力スラブ L 変形角R＝δ／L 図-11 加力パターン Fig.11 Loading pattens

コンクリート　　　　　(十字加力/矩形加力) 圧縮強度 f'c(N/mm 2_{) 31.8/34.3} 割裂強度 ft(N/mm 2_{) 2.55/3.09} 壁筋　　　 降伏強度 σ_y(N/mm2) 375 ヤング率 Es(N/mm2) 200000 a)十字加力 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 -2 -1 0 1 2 RX　(×10-3） R Y 　( × 1 0 -3） _① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ b)矩形加力 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 -2 -1 0 1 2 RX　(×10-3） R Y 　( ×1 0 -3） ① ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ② 図-8 一様応力場での数値シミュレーション結果(2) Fig.8 Results of crack simulation on uniform stress field (2)

図-9 一様応力場での数値シミュレーション結果(3) Fig.9 Results of crack simulation on uniform stress field (3)

τyz - γyz 関係 -6 -4 -2 0 2 4 6 -0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 せん断ひずみ　γyz せん 断応力 　τ yz 　 （ N/m m 2 ) τxz - γxz 関係 -6 -4 -2 0 2 4 6 -0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 せん断ひずみ　γxz せん 断応 力 　τ xz 　 （ N/m m 2 ) STEP-1,2 STEP-3 X Z 47° 47° 第4ひび割れ 第5ひび割れ STEP-1 STEP-2 STEP-3 Y Z 45° 48° 第2ひび割れ 第3ひび割れ

X Y Z ★ ★ 加力スラブ（弾性体） 基礎スラブ（弾性体） 壁部 ★：加力点（ 4ヶ所） 図-13 変形及び主引張ひずみ（RX=8×10-3,RY=-0.64×10-3） 図-12 解析モデル

Fig.12 Mesh arrangement for analysis Fig.13 Displacement and tensile principal strain

b）解析結果（X方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 -10 -5 0 5 10 15 X方向変形角　RX　(×10-3) X 方向荷重　Q X 　 (kN ) 解析 1263 d）解析結果（Y方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 -10 -5 0 5 10 15 Y方向変形角　RY　(×10-3) Y 方向荷 重　Q Y 　 ( kN) 解析 1566 a）実験結果（X方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 -10 -5 0 5 10 15 X方向変形角　RX　(×10-3) X 方向荷重 　Q X 　( k N ) 実験 1567 c）実験結果（Y方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 -10 -5 0 5 10 15 Y方向変形角　RY　(×10-3) Y 方向荷重　Q Y 　( k N ) 実験 1576 図-14 解析と実験の比較（十字加力）

Fig.14 Comparison of analysis and experiement on cross loading case

プの形状については、解析は実験と比較して除荷ルー プの膨らみがかなり小さくなっている。これは、材料 モデルによる除荷・再載荷挙動を簡易なモデルとした ことが原因と考えられる。今回の解析では包絡線・除 荷ループともに実験と比較して十分な整合性は得られ らなかったが、定性的には 3 次元応力下での 3 次元部 材のひび割れに伴う非線形挙動を非線形有限要素解析 にて表現が可能であることを示すことができたと考え る。今後、3 次元応力下での多方向ひび割れを表現す るモデルの改良及び個々の材料モデルの除荷・再載荷 挙動について改善が必要である。

6. まとめ

本研究を以下にまとめる。 1)3 次元空間上に発生した多数のひび割れ面の内、主た

b）解析結果（X方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 -10 -5 0 5 10 X方向変形角　RX　(×10-3) X 方 向荷重 　Q X 　( k N ) 解析 911 d）解析結果（Y方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 -10 -5 0 5 10 Y方向変形角　RY　(×10-3) Y方 向荷重　 Q Y 　 (kN) 解析 999 a）実験結果（X方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 -10 -5 0 5 10 X方向変形角　RX　(×10-3) X 方 向荷重 　Q X 　( k N ) 実験 1233 c）実験結果（Y方向） -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 -10 -5 0 5 10 Y方向変形角　RY　(×10-3) Y方 向荷重　 Q Y 　 (kN) 実験 1189 図-15 解析と実験の比較（矩形加力）

Fig.15 Comparison of analysis and experiement on rectangle loading case

る非線形性を担うひび割れ面としてひび割れ面の法 線方向のひび割れ幅が大きい方を採用する方法に基 づき、3 次元応力場において 6 方向までのひび割れの 発生を考慮できるひび割れモデルを構築した。 2)この多方向ひび割れモデルを汎用有限要素解析プロ グラムにユーザーサブルーチンとして組込み、一様応 力場での数値シミュレーション、多方向荷重入力を受 ける円筒 RC 壁の数値シミュレーションを行い、その 適用性について検証を行った。 3)多方向荷重入力を受ける円筒 RC 壁の数値シミュレ ーションでは、包絡線・除荷ループともに実験との十 分な整合性は得られらなかったが、定性的には 3 次元 応力下での 3 次元部材の挙動を非線形有限要素解析に て表現が可能であることを示すことができたと考える。 今後は、3 次元非線形有限要素解析の予測精度と適用 性の向上を図っていく必要がある。 参考文献 1)岡村 甫，前川宏一：鉄筋コンクリートの非線形解析と構 成則，技報堂出版，1991. 2)福浦尚之，前川宏一：非直交する独立 4 方向ひび割れ群を 有する平面 RC 要素の空間平均化構成モデル，土木学会論文 集，No.634/V-45, pp.177-196, 1999.11

3)Maekawa, K., Pimanmas, A. and Okamura, H.: NONLINEAR MECHANICS OF REINFORCED CONCRETE, Spon Press, London,2003.

4)Hauke, B. and Maekawa, K.：Three-dimensional modelling of reinforced concrete with multi-directional cracking，土木学会論 文集，No.634/V-45, pp.349-368, 1999.11 5)Phamavanh, K.，伊藤睦，中村光，田辺忠顕：RC構造の繰 り返し及び動的解析における格子等価連続体化法の適応性， 土木学会論文集，No.767/V-64, pp.161-176, 2004.8 6)米澤健次，長沼一洋，江戸宏彰：正負繰返し荷重を受 けるRC柱の三次元FEM解析，日本コンクリート工学年 次論文集，Vol.25, NO.2, pp.43-48, 2003. 7)土木学会：コンクリート標準示方書［構造性能照査編］編， 2002年制定

8)Kato, B. : Mechanical Properties of Steel under Load Cycles Idenlizing Seismic Action, CEB Bulletin D’Information, No.131, pp.7-27, 1979. 9)福浦尚之, 前川宏一：RC非線形解析に用いる鉄筋の繰り返 し履歴モデル，土木学会論文集，No.564/V-35, pp.291-296, 1997.5 10)小野英雄，北田義夫，渡辺英義，西川孝夫：水平２方向 同時加力を受けるRC造立体耐震壁のせん断耐力・変形性能 に関する実験的研究，建築学会構造系論文集，No.582, pp.123-132, 2004.8