船型パラメータを系統立てて変化させうる数学船型の開発
－第
2 報 水線面二次モーメントおよび前後非対称性に関する形状パラメータの導入－
正会員
松 井 貞 興
*Development of mathematical hull-form of which principal parameters can be varied methodically
- 2
ndreport: Introduction of hull-form parameter related to 2
ndmoment of water plane area and longitudinal asymmetry -
by Sadaoki Matsui, MemberSummary
In this study, the author newly developed a mathematical hull-form called “generalized Wigley 𝛼𝛼 (G.W.𝛼𝛼) hull-form” based on the generalized Wigley (G.W.) hull-form which has been proposed in the 1st report to estimate the ship response in waves rationally and easily. It was found in the 1st report that ship responses of full ship can be estimated accurately with the use of the G.W. hull-form except for slender ship. The main reason was found in subsequent investigations to be the difference of 2nd moment of waterplane area between the G.W. hull-form and real ship. In this study, therefore, the author developed an enhanced mathematical hull-form, the G.W.𝛼𝛼 hull-form, with which the 2nd moment of waterplane area can be varied independently of waterplane area. Moreover, the longitudinal asymmetry parameters, longitudinal center of buoyancy LCB and longitudinal center of floatation LCF, were also adopted as the hull-form parameter, which strongly affect the ship response in waves. The proposed G.W.𝛼𝛼 hull-form is expressed in the form of explicit function determined by only 10 principal hull-form parameters. Hence it is suitable for sensitivity calculation of hull-form parameters for ship response. To validate and clarify the applicability domain of proposed hull-form, the author carried out the calculation of ship response in waves for 12 actual ships as well as G.W.𝛼𝛼 hull-forms of the same hull-form parameters as the actual ships. As a result, it was confirmed that the heave, pitch motion and vertical bending moment of proposed hull-forms have good agreement with the actual ships regardless of ship types and wave conditions, and not G.W.𝛼𝛼 hull-form but G.W. hull-form should be applied for estimation of horizontal bending moment, horizontal shear force and torsional moment.
1. 緒 言
船体の構造強度評価のためには，まず波浪荷重の推定が必 要になる．波浪荷重は，船型そのものを入力とした種々の数 値計算手法によって求めることもできるが，個船の構造設計 毎にそのような数値計算を実施する事は実用面でハードル が高いため，船級規則ではそれに代わる荷重の簡易算式が規 定されている1)．近年では規則算式の精密化，明確化がいっ そう推し進められており，汎用的かつ精度のよい算式を得る ために船舶の主要な船型パラメータ(船長𝐿𝐿,幅𝐵𝐵,喫水𝑑𝑑,方形 係数𝐶𝐶�,水線面積係数𝐶𝐶�,中央横断面積係数𝐶𝐶�等)の寄与度を 明らかにすることが求められている．また，船型パラメータ と波浪荷重の関係を知ることは，現象の理解や設計の改善に も役立つことである．しかしながら，波浪中応答を船型パラ メータによって簡易に推定する試みは，運動性能の分野では 盛んに行われている2)-5)ものの，ハルガーダ断面力などの波 浪荷重に焦点を当てたものはあまり見られないのが現状で ある6),7)． 波浪中応答への船型パラメータ影響に関する従来の研究 では，幅広い範囲の船型パラメータを網羅するような多数の 船型を用意し，重回帰分析等によって支配パラメータを抽出 し性能を評価する方法が一般的に採られている2)-7)．これに 対しより直接的かつ効果的な方法として，系統的に船型パラ メータを変化させたときの波浪中応答の変化を調べる方法 が考えられるが，それには各種船型パラメータをそれぞれ任 意に指定でき，かつ実船相当の応答が得られるような仮想船 型を生成する手段が必要になる．そこで著者は，前報にて実 船相当の波浪中応答が得られかつ船型パラメータを独立に 変化させることのできる数学船型“Generalized Wigley 船型” （以下G.W.船型）を開発した 8)．類似の研究として，早期 の設計段階における荷重推定を目的に検討された加藤らに よる数学船型9),10)が存在するが，その数式は船体の5 区画に 分けて定義されており，船型パラメータを満足させるために 逐次計算を要する．これに対しG.W.船型は，少数の主要な 船型パラメータを用いた 1 つの陽な関数で表される非常に 簡便な数学船型となっている． * 国立研究開発法人 海上・港湾・航空技術研究所 海 上技術安全研究所 原稿受理 令和 2 年 9 月 23 日 正会員松 井 貞 興
* 原稿受理令和 2 年 9 月 23 日－第 2 報水線面二次モーメントおよび前後非対称性に関する形状パラメータの導入－
船型パラメータを系統立てて変化させうる数学船型の開発
前報ではG.W.船型の波浪中応答解析への適用性の検証と して，肥大船型と痩せ型船型の2 船型について実際の船型と 同じ船型パラメータを有するG.W.船型を作成し，実船型と の波浪中縦運動および縦曲げモーメント（以下VBM）の比 較を行った．その結果，肥大船型については両者で良い一致 を示した一方で，痩せ型船型については特にVBM において 有意な差が見られた．その原因として，前報では船首バルブ の有無による影響が大きいと推測したが，その後の調査によ って水線面二次モーメントの不一致が主な要因であること が明らかになった 11)．すなわち，実船相当の波浪荷重を得 るためには水線面二次モーメントの調整が不可欠であり，応 答に対する感度を調べるためにも，従来のG.W.船型に独立 な船型パラメータとして水線面二次モーメントを加える必 要がある． 他方で，実船相当の波浪中応答を得るためには船型の前後 非対称性を正しく考慮することも重要である．ところが前報 で提案したG.W.船型は基本的には前後対称の数学船型であ り，実船との比較にあたり前報では midship より aft/fore 側で別々の肥痩係数（𝐶𝐶�, 𝐶𝐶�）を定義して前後非対称船型を 生成した．しかしながら，そのような前後半の肥痩係数は扱 いづらい上に物理的意味も薄く，応答の支配パラメータとし て不適切なものである． 以上を受け本報では，痩せ型船型に対しても数学船型を用 いて合理的な波浪中応答の推定ができるように，既存の G.W.船型に水線面形状の自由度を 1 つ加え，𝐶𝐶�とは独立に 任意の水線面二次モーメントを有する船型を生成できるよ う拡張し，さらに，波浪中応答に対して重要な前後非対称パ ラメータである浮面心前後位置 LCF および浮心前後位置 LCB を数学船型のパラメータに導入し，目的の LCF, LCB を有する前後非対称数学船型の生成法について示した．その 上で，提案した数学船型と実際の船舶との波浪中応答を比較 し，その適用範囲についても明らかにした．波浪中応答は， surge, roll を除く剛体運動と，軸力を除くハルガーダ断面力 すなわち縦曲げモーメント（VBM），水平曲げモーメント （HBM），縦せん断力（VSF），水平せん断力（HSF）， 捩りモーメント（TM）を対象としている．
2. Generalized Wigley 船型
前報にて提案したG.W.船型は，半幅が船型パラメータ（船 長𝐿𝐿,幅𝐵𝐵,喫水𝑑𝑑,方形係数𝐶𝐶�,水線面積係数𝐶𝐶�,中央横断面積係 数𝐶𝐶�）の陽関数として表される数学船型であり，次式によ って表される8)． 𝜂𝜂 = �1 − 𝜁𝜁����1 − 𝜉𝜉��� + 𝜁𝜁���1 − 𝜁𝜁����1 − 𝜉𝜉����� �0 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 1, 0 ≤ 𝜁𝜁 ≤ 1� (2.1) Where, � 𝜂𝜂 = 𝑦𝑦/(𝐵𝐵/2)𝜉𝜉 = 𝑥𝑥/(𝐿𝐿/2) 𝜁𝜁 = 𝑧𝑧/𝑑𝑑 (2.2) 𝑋𝑋�=1 − 𝐶𝐶𝐶𝐶� � (2.3) 𝑋𝑋�= max �𝑁𝑁,𝐶𝐶 𝐶𝐶� �− 𝐶𝐶�� (basic value) (2.4) 𝑋𝑋�= (𝐶𝐶�/𝐶𝐶�)�����(�������) (basic value) (2.5) 𝑍𝑍�=𝐶𝐶 𝐶𝐶�− 𝑆𝑆𝐶𝐶� �− 𝐶𝐶�− 𝑆𝑆(1 − 𝐶𝐶�) (2.6) 𝑍𝑍�=(𝐶𝐶𝐶𝐶�𝐶𝐶�− 𝐶𝐶�)/(1 − 𝐶𝐶�) �− 𝐶𝐶�− 𝑆𝑆(1 − 𝐶𝐶�) (2.7) 𝑆𝑆 =Γ(1 + 𝑋𝑋Γ(1 + 𝑋𝑋�)Γ(1 + 1/𝑋𝑋�) �+ 1/𝑋𝑋�) (2.8) 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧の原点は喫水線上の midship，センターライン位置に 取り，𝑧𝑧は下方向を正とする．式中の形状パラメータ𝑋𝑋�によ って水線面形状が決まり，𝑍𝑍�, 𝑍𝑍�によって水面下の痩せ具合 が決まる．𝑋𝑋�, 𝑋𝑋�は水面下の断面積の分布を決める内部パラ メータで，船型パラメータに影響しないので自由に決めるこ とができるが，𝐶𝐶�⋚ 𝐶𝐶�𝐶𝐶�の船型のとき𝑆𝑆 ⋚ 𝐶𝐶�を満たすよう に値を決めなければ𝑍𝑍�. 𝑍𝑍�が負となり船型が破綻するため， 式(2.4),(2.5)にこの条件を満足するような推奨値を示してい る．𝑋𝑋�の式にあるsgn(𝑥𝑥)は符号関数で，𝑥𝑥 = 0の時0，𝑥𝑥 > 0の とき1，𝑥𝑥 < 0のとき−1をとる．前報では𝐶𝐶�≤ 𝐶𝐶�𝐶𝐶�を満た す船型のみを想定していたが，𝐶𝐶�> 𝐶𝐶�𝐶𝐶�となるような水面 下で肥大した船型も扱えるように，𝑋𝑋�の式の指数に符号関 数を導入している．また，𝑋𝑋�, 𝑋𝑋�の式内の𝑁𝑁は前報では𝑁𝑁 = 2 に固定していたが，これは正の実数の範囲で自由にとること ができる内部パラメータで，大きくとるほど主要パラメータ が不変なまま断面積が中央に集中し平行部が増える．基本値 は𝑁𝑁 = 2とし，本論文でもそのようにとることにする．3. 水線面二次モーメントに関するパラメータの導入
3.1. 水線面二次モーメント係数の定義 水線面積係数𝐶𝐶�が水線面積を𝐿𝐿 × 𝐵𝐵で除した値として定 義されていることに対し，𝑦𝑦軸回りの水線面二次モーメント 係数𝐶𝐶��を，“水線面二次モーメントを水線面が𝐿𝐿 × 𝐵𝐵の矩形 の時の値(𝐿𝐿�𝐵𝐵/12)で正規化した値”とし，次式によって定義 する． 𝐶𝐶��=𝐿𝐿12�𝐵𝐵 � 𝑥𝑥�d𝑦𝑦d𝑥𝑥 �� (3.1) ここに，𝐴𝐴�は水線面の領域を指す．G.W.船型の𝐶𝐶��は，𝐶𝐶�に よって次のように一意に定まる． 𝐶𝐶��= 12 � �𝜉𝜉2� � 𝜂𝜂|���d𝜉𝜉 � � = 𝐶𝐶� 3 − 2𝐶𝐶� (3.2) 参考までに，𝐶𝐶��と重心回りのpitch の無次元復原力係数𝐶𝐶̅��(= 𝐶𝐶��/𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌�𝐵𝐵)との関係式を以下に示しておく． 𝐶𝐶̅��=𝐶𝐶12 + 𝐶𝐶�� ���𝜉𝜉2 −� 𝜉𝜉2 �� � − �𝜉𝜉2 �� �� +𝑑𝑑𝜌𝜌��𝐶𝐶�(𝜁𝜁�− 𝜁𝜁�) (3.3) ここに，𝜉𝜉�, 𝜉𝜉�はそれぞれ浮心，浮面心の𝜉𝜉座標，𝜁𝜁�, 𝜁𝜁�はそ れぞれ浮心，重心の𝜁𝜁座標である．右辺第 2 項はモーメント の原点の前後位置がmidship から重心に移ったことによる 項であり，平行軸の定理により導かれる．右辺第 3 項は縦 メタセンタ半径BM�から縦メタセンタ高さGM�に変換する 項で，復原力の𝑥𝑥方向成分と浮心-重心高さ距離の積であるた め一般にその影響は小さい． 154 隻の実船12)について，式(3.3)のうち右辺の第 2 項， 第3 項の占める割合を調べたところ，右辺第 2 項は 75%の 船舶が 2%以内に収まっていたが，一部の痩せ型船で最大 10%程度になるものも見られた．一方で右辺第 3 項は 96% の船舶が1~2%の範囲内にあり，最大でも 4%であった．し たがって一部の痩せ型船を除き𝐶𝐶̅��≅ 𝐶𝐶��/12であり，𝐶𝐶��を pitch の支配パラメータと考えて差し支えない． 3.2. 水線面形状に関する形状パラメータの追加 G.W.船型の水線面形状を変更するには，式(2.1)右辺第 1 項の𝜉𝜉の関数を変更すればよい．パラメータの追加には種々 の方法が考えられるが，本研究では従来のG.W.船型の自然 な拡張となりかつ簡便さが失われないように，“𝜉𝜉軸を𝛼𝛼倍 することで船型を前後に伸縮し，その係数𝛼𝛼を新たなパラメ ータとする”ことにする．Fig. 1 に，船型を前後に伸縮する ことで𝐶𝐶�を変えずに𝐶𝐶��を変化させる様子を示す．Fig. 1 か らわかるように，船体の前後端が A.P.，F.P.に一致せず (𝛼𝛼 − 1) × 𝜌𝜌/2だけ前後してしまうが，実際の船舶においても A.P.は舵軸位置なので水線面の後端とは通常一致しない．こ の事によって，波浪中応答が実船相当になるような数学船型 を生成するといった目的からは逸脱しないと考える． 以上の考えに基づき，伸縮係数𝛼𝛼を導入した数学船型を前 節に示したG.W.船型と区別するため便宜的に“G.W.α船型” と呼び，次のように表す． 𝜂𝜂 = (1 − 𝜁𝜁��)�1 − (𝜉𝜉/𝛼𝛼)��� + 𝜁𝜁��(1 − 𝜁𝜁��)�1 − (𝜉𝜉/𝛼𝛼)����� (0 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 𝛼𝛼, 0 ≤ 𝜁𝜁 ≤ 1) (3.4)
Fig. 1 Schema of stretching the water plane along 𝜉𝜉-axis to change 𝐶𝐶�� without changing 𝐶𝐶�.
3.3. 伸縮係数の計算式 G.W.𝛼𝛼船型の水線面の関数（𝜂𝜂|���= 1 − (𝜉𝜉/𝛼𝛼)��）は𝛼𝛼と𝑋𝑋� の 2 自由度で，これらは水線面形状のパラメータ𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��に よって決定される．そこで，本節では𝛼𝛼と𝑋𝑋�の𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��による 表示式を導く． まず，G.W.𝛼𝛼船型水線面係数𝐶𝐶�は次のように求まる． 𝐶𝐶�= � �1 − (𝜉𝜉/𝛼𝛼)��� � � d𝜉𝜉 = 𝛼𝛼𝑋𝑋� 𝑋𝑋�+ 1 (3.5) 一方で，水線面二次モーメント𝐶𝐶��は次のように求まる． 𝐶𝐶��= 12 � �2�𝜉𝜉 � �1 − (𝜉𝜉/𝛼𝛼)���d𝜉𝜉 � � = 𝛼𝛼�𝑋𝑋 � 𝑋𝑋�+ 3 (3.6) 続いて，式(3.5),(3.6)の連立方程式を𝛼𝛼, 𝑋𝑋�について解く．ま ず，𝑋𝑋�は式(3.5)からただちに 𝑋𝑋�=𝛼𝛼 − 𝐶𝐶𝐶𝐶� � (3.7) との表示が得られる．一方で𝛼𝛼は，式(3.7)の右辺を式(3.6) 右辺に代入することで次の三次方程式が得られる． 𝐶𝐶�𝛼𝛼�− 3𝐶𝐶��𝛼𝛼 + 2𝐶𝐶�𝐶𝐶��= 0 (3.8) この方程式は判別式より𝐶𝐶��≥ 𝐶𝐶��の範囲内で 3 つの実数解 を持つことが分かる．式(3.8)を満足する 3 つの𝛼𝛼のうち， 𝛼𝛼 = 1のとき従来の G.W.船型に一致する（式(3.2)が成り立 つ）ものを目的の𝛼𝛼とし，次式のように定める． 𝛼𝛼 = 2�𝐶𝐶𝐶𝐶�� � cos � 𝜋𝜋 3 − 1 3 tan��� 𝐶𝐶�� 𝐶𝐶�� − 1� (3.9) 式(3.8)から式(3.9)の導出手順を付録 A に示す． 3.4. G.W.α船型 G.W.船型のパラメータ𝑋𝑋�, 𝑋𝑋�, 𝑋𝑋�, 𝑍𝑍�, 𝑍𝑍�, 𝑆𝑆のうち，𝑋𝑋�以外に 伸縮係数𝛼𝛼が式に現れるのは𝑋𝑋�, 𝑋𝑋�, 𝑆𝑆である．𝑍𝑍�, 𝑍𝑍�について は G.W.船型の式(2.6), (2.7)のままである．式(2.4), (2.5)の 𝑋𝑋�, 𝑋𝑋�の基本値ならびに式(2.8)の𝑆𝑆に対応する G.W.𝛼𝛼船型の 式は次の通りになる． 𝑋𝑋�= max ��,𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶� �− 𝐶𝐶�� (basic value) (3.10) 𝑋𝑋�= (𝐶𝐶�/𝐶𝐶�𝛼𝛼)�����(�������) (basic value) (3.11) 𝑆𝑆 = 𝛼𝛼Γ(1 + 𝑋𝑋Γ(1 + 𝑋𝑋�)Γ(1 + 1/𝑋𝑋�) �+ 1/𝑋𝑋�) (3.12) これらのパラメータの計算式の導出は付録B に示す．以上 の式(3.4), (2.6), (2.7), (3.7), (3.9)~(3.12)によって，G.W.船型 の水線面二次モーメントを水線面積とは独立に任意に決め られるように拡張された“G.W.𝛼𝛼船型”が定義された．これ らの式で𝛼𝛼 = 1とすれば従来の G.W.船型に一致することか ら，G.W.𝛼𝛼船型は G.W.船型の自然な拡張になっていること 𝜉𝜉 𝜂𝜂|��� Small 𝐶𝐶�� Large 𝐶𝐶�� 1 (A.P. or F.P.) 1 𝛼𝛼 Same 𝐶𝐶�
がわかる． 本船型の適用可能なパラメータの範囲は次の通りである． � 0 < 𝐶𝐶0 < 𝐶𝐶�≤ 𝐶𝐶�< 1 �< (𝐶𝐶��)�/� (3.13) 式(3.13)の 1 つ目の条件は G.W.船型と同じである．2 番目 の条件は式(3.9)の平方根内の値より読み取れる適用条件で あるが，𝐶𝐶��は水線面が𝛼𝛼𝛼𝛼 × 𝐵𝐵の矩形となる極限で最小値 𝐶𝐶��= 𝐶𝐶��をとるため，𝐶𝐶��≤ 𝐶𝐶��となる船型を考慮する必要 はない．むしろ，𝐶𝐶�の上限がG.W.船型では 1 だったのが実 質取り払われていることになる．これによって，例えば水線 面の後端が A.P.より後方にあるトランサムスターンを有す る船舶ではmidship より aft 側の水線面積が𝛼𝛼𝐵𝐵/2を超える ことがあるが，これについても本船型の適用範囲内となる． Fig. 2 に，実際のコンテナ船型と G.W.船型ならびに G.W.𝛼𝛼船型の水線面形状の比較を示す．Fore 側，aft 側でそ れぞれ𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��, 𝛼𝛼を定義しており，それぞれ下付き文字に𝑎𝑎, 𝑓𝑓 を付している．Fig. 2 の aft 側を見ると，実船型の水線面の 後端が A.P.より後方に位置しており，従来の G.W.船型は aft 側の𝛼𝛼/2 × 𝐵𝐵の矩形領域の範囲内で水線面積を合わせる ために実船型よりも矩形に近い形状になっている．これに対 して，G.W.𝛼𝛼船型は𝛼𝛼�= 1.071と後端が A.P.より 0.035L 後 方に位置しており，実船型との一致度が高いことが確認でき る．Fore 側については，実船型が G.W.船型よりもやや先細 った形状をしており，G.W.𝛼𝛼船型は𝐶𝐶���を実船と揃えるため に𝛼𝛼�= 0.935と前端が F.P.より 0.033L だけ手前に位置して い る ．G.W.船型の水線面二次モーメントの値は𝐶𝐶���= 0.909, 𝐶𝐶���= 0.368で，fore 側の値が実船より 6%大きく， これが波浪中応答に影響を及ぼす．
Fig. 2 Comparison of water plane area between a real ship, G.W. hull-form and G.W.𝛼𝛼 hull-form of a container ship.
4. 前後非対称パラメータの導入
以上までの議論ではmidship より aft/fore どちらか片側 の船型生成法について述べており，前後非対称船型を生成す るには前後部で別々の𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��, 𝐶𝐶�を定義する必要がある．と ころが前後部の𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��, 𝐶𝐶�というパラメータは扱い難い上 に物理的な意味も薄いため，本節では，波浪中応答に対して より物理的に意味のある前後非対称パラメータとして浮心 前後位置LCB（重心前後位置 LCG に一致）および浮面心前 後位置LCF（heave-pitch の連成に強く影響）を導入し，目 的のLCB, LCF を有する前後非対称数学船型の生成法につ いて述べる． 以降は，𝐶𝐶��, 𝐶𝐶��のように下付き文字に𝑎𝑎, 𝑓𝑓の付された変 数はすべてaft/fore 側のパラメータであることを意味し，か つこれらをまとめてシンボル”∗”によって𝐶𝐶�∗のように表記 する．前後部の肥痩係数𝐶𝐶�∗, 𝐶𝐶�∗, 𝐶𝐶�∗は，いずれも𝛼𝛼 × 𝐵𝐵 × 𝑑𝑑の 箱船のとき1 になるように正規化された係数である． 4.1. 前後部の水線面積係数の決定法 目的の LCF を満足するような前後部の水線面積係数𝐶𝐶�∗ の決定法について述べる．まず船舶全体の水線面積係数𝐶𝐶� および LCF を前後部の水線面積係数𝐶𝐶�∗によって表し，そ れらを𝐶𝐶�∗について解くことで𝐶𝐶�∗を𝐶𝐶�, LCF によって表す． 船全体の𝐶𝐶�と前後部の𝐶𝐶�∗との関係は，定義より次の通り である． 𝐶𝐶�= �𝐶𝐶��+ 𝐶𝐶���/2 (4.1) 続いて，LCF の𝜉𝜉座標（midship 基準，前方を正）を𝜉𝜉�と書 くと，これは次のように表される． 𝜉𝜉�=2𝐶𝐶1 ��− 𝛼𝛼��𝐶𝐶�� 2(2𝛼𝛼�− 𝐶𝐶��) + 𝛼𝛼��𝐶𝐶�� 2�2𝛼𝛼�− 𝐶𝐶���� (4.2) 式(4.2)の導出については付録 C に示す．式(4.1),(4.2)を𝐶𝐶�∗に ついて解くことで目的は達成されるが，𝛼𝛼∗が𝐶𝐶�∗に依存する 量なので解析的に解くことは困難である．そこで，近似的に 𝛼𝛼∗= 1とみなすことにする．その場合 𝜉𝜉�≅2𝐶𝐶1 � 𝐶𝐶��− 𝐶𝐶�� (2 − 𝐶𝐶��)�2 − 𝐶𝐶��� (4.3) と表され，これと式(4.1)から𝐶𝐶��を消去して𝐶𝐶��について解 くことで次の式が得られる． 𝐶𝐶��= 𝐶𝐶�+ (2𝜉𝜉�𝐶𝐶�)��± �(2𝜉𝜉�𝐶𝐶�)��+ (𝐶𝐶�− 2)� = 𝐶𝐶�− 𝜉𝜉�𝐶𝐶�(𝐶𝐶�− 2)�+ 𝑂𝑂(𝜉𝜉��) (4.4) 一行目の右辺は𝜉𝜉�→ ±0の極限で発散するように見えるが， 第3 項の符号を𝜉𝜉�の正負と反対にとることで右辺第2 項と 第3 項がキャンセルし有限値をとるようになっている．2 つ 目 の 等 号 の 変 形 は ， マ ク ロ リ ー ン 展 開 に よ る 等 式 √𝑎𝑎�𝑥𝑥�+ 1 = 1 + 𝑎𝑎𝑥𝑥�/2 + 𝑂𝑂(𝑥𝑥�) の 両 辺 を 𝑥𝑥 で 割 り ， 𝑎𝑎 = (𝐶𝐶�− 2)�, 𝑥𝑥 = 2𝜉𝜉�𝐶𝐶�と置けば得られる．𝜉𝜉�の値は一般に 1 より十分小さいため，𝑂𝑂(𝜉𝜉��)の項を無視すれば，式(4.1), (4.4)より結局，𝐶𝐶�, 𝜉𝜉�を用いた𝐶𝐶�∗の式が次のように得られ る． 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 η | ζ= 0 ξ Real ship G.W.α G.W. 𝛼𝛼�= 0.935 𝛼𝛼�= 1.071 𝐶𝐶��= 0.646 𝐶𝐶���= 0.349 𝐶𝐶��= 0.956 𝐶𝐶���= 0.903�𝐶𝐶𝐶𝐶��≅ 𝐶𝐶��1 − 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� ��≅ 𝐶𝐶��1 + 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� (4.5) この近似式の精度を調べるため，Fig. 3 に，154 隻の実船12) の LCF/𝐿𝐿(= 𝜉𝜉�/2)と，式(4.5)を用いて生成した数学船型の LCF/𝐿𝐿を比較している．式(4.5)は𝛼𝛼∗= 1および𝑂𝑂(𝜉𝜉��) = 0と した近似式であるが，Fig. 3 より LCF/𝐿𝐿の誤差は高々1%程 度で，実用性を有することがわかる．このことは即ち，前後 部の伸縮係数𝛼𝛼∗ひいては前後部の水線面二次モーメント 𝐶𝐶��∗のLCF に対する影響が小さいことを示唆している． 数学船型の LCF を目的の LCF に一致させるには，式 (4.1),(4.2)を厳密に満足する𝐶𝐶�∗を繰り返し計算によって求 める必要があるが，その場合も近似式(4.5)を有効に活用す ることができる．例えば𝐶𝐶��について繰り返す場合，式(4.5) の𝐶𝐶��を初期値𝐶𝐶��(�)とし，𝑛𝑛 + 1回目の値𝐶𝐶��(���)を，式(4.5)か ら得られる微分係数d𝐶𝐶��/d𝜉𝜉�≅ −𝐶𝐶�(𝐶𝐶�− 2)�より 𝐶𝐶��(���)= �𝜉𝜉�������− 𝜉𝜉�(�)� �−𝐶𝐶�(𝐶𝐶�− 2)�� + 𝐶𝐶��(�) (4.6) と決定すれば，表計算ソフト等でも比較的容易に目的の𝐶𝐶�� を得ることができる．式(4.6)右辺の𝜉𝜉�������は目的の LCF， 𝜉𝜉�(�)は𝐶𝐶�∗(�), 𝛼𝛼∗(�)より式(4.2)によって計算されたLCFの𝑛𝑛回目 の試行値である．
Fig. 3 Comparison of LCF/𝐿𝐿 between target value and the value of the ship generated by using approximation formula(4.5). 4.2. 前後部の水線面二次モーメント係数の決定法 前後部の水線面二次モーメント係数𝐶𝐶��∗は，𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��, LCF からは定まらず，一意に定めるには水線面の前後非対称性に 関するパラメータが LCF に加えてもう１つ必要になる． 𝐶𝐶��∗をそのまま数学船型の入力パラメータとしてもよいが， 本研究ではより扱いやすい前後非対称パラメータ𝛽𝛽を導入 し，𝐶𝐶��, 𝛽𝛽によって𝐶𝐶��∗を定義する． まず，船全体の𝐶𝐶��と前後部の𝐶𝐶��∗には，式(4.1)と同様の 次の関係がある． 𝐶𝐶��= �𝐶𝐶���+ 𝐶𝐶����/2 (4.7) 式(4.7)および式(3.13)に示した𝐶𝐶��∗の下限値より，𝐶𝐶��∗の上 下限値は次のように定まる �𝐶𝐶��� < 𝐶𝐶���< 2𝐶𝐶��− 𝐶𝐶��� 𝐶𝐶��� < 𝐶𝐶���< 2𝐶𝐶��− 𝐶𝐶��� (4.8) そこで，前後非対称パラメータ𝛽𝛽を，−1 < 𝛽𝛽 < 1の範囲を動 きかつ𝛽𝛽 𝛽 ±1のときに𝐶𝐶��∗が互いに式(4.8)の上下限値をと るように，次式によって定義する． �𝐶𝐶���= (1 − 𝛽𝛽)𝐶𝐶��+ 1 2 �(1 + 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� − (1 − 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� � 𝐶𝐶���= (1 + 𝛽𝛽)𝐶𝐶��−12 �(1 + 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� − (1 − 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� � (4.9) 𝐶𝐶��∗が分かっている場合，𝛽𝛽は次式によって計算される． 𝛽𝛽 =�𝐶𝐶���− 𝐶𝐶��� � − (𝐶𝐶���− 𝐶𝐶��� ) �𝐶𝐶���− 𝐶𝐶��� � + (𝐶𝐶���− 𝐶𝐶��� ) (4.10) 式(4.9)は，𝛽𝛽 = 1で𝐶𝐶���が最小かつ𝐶𝐶���が最大，即ち aft 側が矩形でfore 側が鋭い船型となり，𝛽𝛽 = −1でその逆とな る．Fig. 4 に，Fig. 2 と同じ船型について，𝐶𝐶�, LCF を変化 させずに𝛽𝛽を変化させたときの水線面形状変化の様子を示 す．図の斜線領域は実船型である．図からわかるように，通 常の船舶の水線面形状は船首側が痩せているため，𝛽𝛽を 0~0.5の範囲にとっておけばおよそ現実的な船型が得られ る．154 隻の実船12)のうち𝐶𝐶 �< 0.8の痩せ型船型 41 隻の𝛽𝛽を 調べると，平均が0.25, 標準偏差が 0.24 であった． 本節では𝐶𝐶��∗に代わるパラメータ𝛽𝛽を導入したが，𝐶𝐶��∗を そのまま数学船型のパラメータとして扱ってもよい．𝛽𝛽によ って𝐶𝐶��∗を定義することのメリットは次の通りである． ・ 𝛽𝛽による船型の変化が Fig. 4 にみられるとおり直感的に 理解しやすい ・ 𝛽𝛽は(−1,1)の範囲内にしておけば船型が破綻することが ないため安全なパラメータである ・ 𝐶𝐶��∗の情報がなくとも，𝛽𝛽 = 0としておけばおおむね実船 に近い応答を得ることができる（5.2 節にて後述）
Fig. 4 Change in the waterplane area shape with change 𝛽𝛽 without changing 𝐶𝐶�, 𝐶𝐶�� and LCF. Shaded area is a real hull-form.
4.3. 前後部の方形係数の決定法 目的の LCB が得られるような前後部の方形係数𝐶𝐶�∗の決 定法について述べる．まず，式(4.1)と同様に，船全体の𝐶𝐶�と -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 LC F/ L by u si ng fo rm ul a LCF/L (target) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 η| ζ= 0 ξ β=-1 β=0.5 β=0 β=0.5 β=1
前後部の𝐶𝐶�∗には次の関係がある． 𝐶𝐶�= �𝐶𝐶��+ 𝐶𝐶���/2 (4.11) 続いて，LCB の𝜉𝜉座標（midship 基準，前方を正）を𝜉𝜉�と書 くと，これは次のように表される． 𝜉𝜉�=2𝐶𝐶1 ��−𝛼𝛼� ��𝐶𝐶��� 𝐶𝐶�� 2(2𝛼𝛼�− 𝐶𝐶��) + 𝐶𝐶���𝑆𝑆��� +𝛼𝛼���𝐶𝐶���2�2𝛼𝛼𝐶𝐶�� �− 𝐶𝐶���+ 𝐶𝐶���𝑆𝑆���� (4.12) 式(4.12)の導出および右辺の𝐶𝐶��∗, 𝐶𝐶��∗, 𝑆𝑆�∗の定義は付録 C に示す．𝐶𝐶��∗, 𝐶𝐶��∗, 𝑆𝑆�∗は𝐶𝐶�∗に依存かつ𝑆𝑆�∗はガンマ関数によ って表されるパラメータなので，式(4.11), (4.12)を𝐶𝐶�∗につ いて解くことは困難である．そこで，𝐶𝐶�∗の実用的な近似式 として，𝐶𝐶�∗の近似式(4.5)と同じ形の次式を提案する． �𝐶𝐶𝐶𝐶��≅ 𝐶𝐶��1 − 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� ��≅ 𝐶𝐶��1 + 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� (4.13) これは，断面積分布の関数形を水線幅分布と同じ冪関数と仮 定したときの近似式である．式(4.13)の精度の確認のため， Fig. 5 に実船 154 隻12)のLCB/𝐿𝐿(= 𝜉𝜉 �/2)と式(4.13)を用い て生成した数学船型の LCB/𝐿𝐿の比較を示す．Fig. 5 より LCB/𝐿𝐿の誤差は 2%程度となっており，𝐶𝐶�∗の近似式(4.5)よ りは精度が悪いが，式(4.13)はその簡便さゆえに一定の実用 性を有すると考えられる． 数学船型のLCB を目的の LCB に一致させるには，やは り繰り返し計算が必要である．これについても，4.1 節で述 べた𝐶𝐶�∗の繰り返し計算と同様の手順が有効である．すなわ ち式(4.13)の𝐶𝐶��を初期値𝐶𝐶��(�)とし，𝑛𝑛 + 1回目の値𝐶𝐶��(���)を次 式によって繰り返せばよい． 𝐶𝐶��(���)= �𝜉𝜉�������− 𝜉𝜉�(�)� �−𝐶𝐶�(𝐶𝐶�− 2)�� + 𝐶𝐶��(�) (4.14) ここに，右辺の𝜉𝜉�������は目的のLCB，𝜉𝜉�(�)は𝐶𝐶�∗(�)より式(4.12) によって計算されたLCB の𝑛𝑛回目の試行値である．
Fig. 5 Comparison of LCB/𝐿𝐿 between target value and the value of the mathematical hull-form generated by using approximation formula (4.13).
4.4. 前後非対称の G.W.α船型 以 上 を ま と め る と ，𝐿𝐿, 𝐵𝐵, 𝑑𝑑, 𝐶𝐶�, 𝐶𝐶�, 𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��, 𝜉𝜉�(= LCB/(𝐿𝐿/ 2)), 𝜉𝜉�(= LCF/(𝐿𝐿/2)), 𝛽𝛽を入力パラメータとする前後非対称 のG.W.𝛼𝛼船型は次のように表わされる． 𝜂𝜂 = (1 − 𝜁𝜁��∗)�1 − (|𝜉𝜉|/𝛼𝛼∗)��∗� + 𝜁𝜁��∗(1 − 𝜁𝜁��∗)�1 − (|𝜉𝜉|/𝛼𝛼∗)��∗���∗ �−𝛼𝛼�≤ 𝜉𝜉 ≤ 𝛼𝛼�, 0 ≤ 𝜁𝜁 ≤ 1� (4.15) Where, 𝑋𝑋�∗=𝛼𝛼 𝐶𝐶�∗ ∗− 𝐶𝐶�∗ (4.16) 𝑋𝑋�∗= max ��,𝛼𝛼 𝐶𝐶�∗ ∗𝐶𝐶�− 𝐶𝐶�∗� (basic value) (4.17) 𝑋𝑋�∗= (𝐶𝐶�∗/𝐶𝐶�𝛼𝛼∗)�����(��∗�����∗) (basic value) (4.18) 𝑍𝑍�∗=𝐶𝐶 𝐶𝐶�∗− 𝑆𝑆∗𝐶𝐶� �∗− 𝐶𝐶�∗− 𝑆𝑆∗(1 − 𝐶𝐶�) (4.19) 𝑍𝑍�∗=(𝐶𝐶𝐶𝐶�∗𝐶𝐶�− 𝐶𝐶�∗)/(1 − 𝐶𝐶�) �∗− 𝐶𝐶�∗− 𝑆𝑆∗(1 − 𝐶𝐶�) (4.20) 𝑆𝑆∗ = 𝛼𝛼∗𝛤𝛤(1 + 𝑋𝑋Γ(1 + 𝑋𝑋�∗)𝛤𝛤(1 + 1/𝑋𝑋�∗) �∗+ 1/𝑋𝑋�∗) (4.21) 𝛼𝛼∗= 2�𝐶𝐶𝐶𝐶��∗ �∗cos � 𝜋𝜋 3 − 1 3 tan��� 𝐶𝐶��∗ 𝐶𝐶�∗� − 1� (4.22) 各パラメータの下付き文字にある“∗”は，midship より aft 側では"𝑎𝑎"に，fore 側では"𝑓𝑓"にそれぞれ置き換えて計算すれ ばよい．前後部の肥痩係数𝐶𝐶�∗, 𝐶𝐶�∗, 𝐶𝐶��∗をそのまま入力パラ メータとして用いてもよいが，これらを前後非対称パラメー タ 𝜉𝜉�, 𝜉𝜉�, 𝛽𝛽から次式によって決めることもできる． �𝐶𝐶𝐶𝐶��≅ 𝐶𝐶��1 − 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� ��≅ 𝐶𝐶��1 + 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� (4.23) �𝐶𝐶𝐶𝐶��≅ 𝐶𝐶��1 − 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� ��≅ 𝐶𝐶��1 + 𝜉𝜉�(𝐶𝐶�− 2)�� (4.24) �𝐶𝐶���= (1 − 𝛽𝛽)𝐶𝐶��+ 1 2 �(1 + 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� − (1 − 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� � 𝐶𝐶���= (1 + 𝛽𝛽)𝐶𝐶��−12 �(1 + 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� − (1 − 𝛽𝛽)𝐶𝐶��� � (4.25) ただし，式(4.23),(4.24)を用いて生成された数学船型の LCF, LCB は目的の LCF, LCB に完全には一致せず，Fig. 3, Fig. 5 にみられる程度の誤差を生じる．一致させたい場合は 4.1, 4.3 節にて述べた繰り返し計算が必要になる． 船型パラメータの適用範囲については，式(3.13)が前後半 それぞれについて成り立つので，𝐶𝐶�∗, 𝐶𝐶�∗の範囲が次式のよ うに表される． � 0 < 𝐶𝐶0 < 𝐶𝐶�∗≤ 𝐶𝐶�< 1 �∗< (𝐶𝐶��∗)�/� (4.26) 式(4.26)の条件は，現実的な船舶ではまず満足されると考え -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 LCB/ L by f orm ul a LCB/L (target)
てよい．よって，提案船型は実質的に船型パラメータの制限 無しに適用することができる．
5. 実船型と数学船型の波浪中応答比較
開発した数学船型の適用性を検証するため，実際の12 隻 の 船 型 と ， 同 じ 船 型 パ ラ メ ー タ （𝐿𝐿, 𝐵𝐵, 𝑑𝑑, 𝐶𝐶�, 𝐶𝐶�, 𝐶𝐶�, 𝐶𝐶��, LCB, LCF, 𝛽𝛽）を有する数学船型を生成し，波浪中運動ならび にハルガーダ断面力を比較する．用いた船種は，ばら積み船， 油タンカー，鉱石運搬船，コンテナ船，自動車運搬船である． 重量分布は実船と数学船型とで同じ分布を用い，船速は CSR1)に基づき一律で5kt とした．波浪中応答の計算には 3 次元Green 関数法コード NMRIW3D-Lite13)を用いた．本論 文ではroll については検討の対象外とし，roll による横運動 やハルガーダ断面力に対する影響が生じないように横環動 半径を十分に大きくとった上で比較している． 5.1. 水線面二次モーメントの影響 数学船型の水線面二次モーメントを実船と一致させるこ とが波浪中応答に対してどう影響を及ぼすか調べるため，実 船とG.W.𝛼𝛼船型，および従来の G.W.船型とで波浪中応答の 比較を行った． まず12 隻のうちの代表として，前報8)でも用いたコンテ ナ船について波浪中船体応答関数を比較する．対象とするコ ンテナ船の船型パラメータをTable 1 に，実船型と G.W.𝛼𝛼船 型の比較をFig. 6 に示す．ただし，G.W.船型については水 線面二次モーメントを調整することができないので，船型パ ラメータのうち𝐶𝐶��, 𝛽𝛽は実船と異なる値をとっている．Fig. 7 に，実コンテナ船型および数学船型の正面向い波（𝜒𝜒= 180°） および斜め向い波（𝜒𝜒= 135°）中の heave, pitch および midshipにおけるVBM の無次元応答関数をそれぞれ比較し ている．Fig. 7 より，G.W.船型よりも G.W.𝛼𝛼船型の方が実 船の応答との一致度が明らかに高く，このことから水線面二 次モーメントが縦運動および VBM に対して支配的なパラ メータであることが確認できる．Fig, 8 には斜め追い波（𝜒𝜒= 60°）中の sway, yaw および midship における水平曲
げモーメント（HBM），S.S. 7.5 における水平せんだん力 （HSF）および捩りモーメント（TM）の比較を示している． Fig. 8 では 3 船型の大きな違いは見られず，横運動および HBM, HSF, TM については水線面二次モーメントを合わせ なくても数学船型によって実船相当の応答が得られること が分かる．
Fig. 6 Comparison of hull-form under water line between real ship and G.W.𝛼𝛼 hull-form of container ship. Table 1 Hull-form parameters of the container ship.
𝐿𝐿 (m) 283.8 𝐶𝐶� 0.802
𝐵𝐵 (m) 42.8 𝐶𝐶�� 0.628
𝑑𝑑 (m) 14 LCB/𝐿𝐿 -2.16%
𝐶𝐶� 0.628 LCF/𝐿𝐿 -7.31%
𝐶𝐶� 0.993 𝛽𝛽 0.488
Real hull-form G.W.𝛼𝛼 hull-form
𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑧𝑧 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X3/ ζa, X 5/ ζa[ deg ] λ/L Real G.W.α G.W. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0 0.5 1 1.5 2 2.5 VBM@MS /ρ gζ aBL 2 λ/L Real G.W.α G.W. Pitch Heave 5knot 𝜒𝜒 = 180° 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X3/ ζa , X 5/ ζa[ deg ] λ/L Real G.W.α G.W. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0 0.5 1 1.5 2 2.5 VB M@ M S/ ρg ζa BL 2 λ/L Real G.W.α G.W. 5knot 𝜒𝜒 = 135°
Fig. 7 Comparison of vertical motion (left) and VBM (right) in head sea (upper) and bow sea (lower) between a real ship, G.W. hull-form and G.W.𝛼𝛼 hull-form of the container ship.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 HSF @ SS7. 5/ ρg ζ a BL 2 λ/L Real G.W.α G.W. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0 0.5 1 1.5 2 2.5 TM@ SS7 .5/ ρg ζ a B 2L λ/L Real G.W.α G.W. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X2 /ζ a, X6 /ζ a [d eg] λ/L Real G.W.α G.W. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0 0.5 1 1.5 2 2.5 HBM @ MS/ ρg ζ a BL 2 λ/L Real G.W.α G.W. 5knot 𝜒𝜒 = 60°
Fig. 8 Comparison of lateral motion (upper left), HBM amidship (upper right), HSF (lower left), and TM (lower right) at S.S. 7.5 in quartering sea between a real ship, G.W. hull-form and G.W.𝛼𝛼 hull-form of the container ship.
続いて12 隻を対象に，船型の差の影響をうけやすい応答 関数の最大値に着目した比較を行う．向い波におけるpitch 角, midship の VBM および S.S. 7.5 の縦せん断力（VSF） の応答関数の最大値を比較したものを Fig. 9 に示す． Ship-1~7 は𝐶𝐶�が0.78 以上の肥大船型（ばら積み船，油タン カー，鉱石運搬船），ship-8~12 は𝐶𝐶�が0.63 以下の痩せ型 船型（コンテナ船，自動車運搬船）である．Table 1 に示し たコンテナ船はship-8 である．Fig. 9 より，G.W.船型は肥 大船型については実船型と大差ないが，痩せ型船型はpitch は過少，VBM, VSF については過大な応答を与えている． これに対して，G.W.𝛼𝛼船型は痩せ型船型についても一定以上 の相関を確保できており，特にpitch は 12 隻のいずれも実 船とほぼ一致している． VBM については痩せ型船型で G.W.𝛼𝛼船型が実船より若干低めの傾向となっているが，十分 実用的な精度である．この差についてVBM の各流体力成分 を調べたところ，radiation/scattering 流体力に若干の差が 見られた．すなわち水線面二次モーメントは復原力成分と Froude-Krylov 力 成 分 に 対 し て は 支 配 的 で あ る が ， radiation/ scattering 流体力成分の支配パラメータではな いことを示唆している．また，VSF については pitch, VBM ほど相関が高くないが，水線面二次モーメントの調整によっ て実船にやや近づいていることが確認できる．水線面二次モ ーメントはpitch および midship における VBM に対しては pitch に起因する復原力成分に相当するため支配的であるが， station 7.5 の VSF に対してはその限りでは無い．VSF は船 体梁に作用する上下方向流体力・慣性力のローカルな分布形 状の影響を受けやすく，一致度を向上させるには水線面形状 をより正確に再現する必要があると考えられる． 次に，斜め追い波（𝜒𝜒= 60°）における midship の HBM， S.S.7.5 における HSF および重心回りの TM の応答関数の 最大値を比較したものをFig. 10 に示す．横運動については 船型の影響を受けにくく，船舶の差があまりみられなかった 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 M ax. pit ch angle [deg] ship No. Real G.W.α G.W. 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Max. V BM@MS/ ρg ζ a BL 2 ship No. Real G.W.α G.W. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ma x. VS F@ SS7 .5 /ρ gζ a BL ship No. Real G.W.α G.W. 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 M ax. H BM@ MS/ ρg ζ a BL 2 ship No. Real G.W.α G.W. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Max . HSF@ SS7 .5 /ρ gζ a BL ship No. Real G.W.α G.W. 0 0.002 0.004 0.006 0.0080.01 0.012 0.014 0.016 0.0180.02 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 M ax . T M@ SS7 .5 /ρ gζ a B 2L ship No. Real G.W.α G.W. Slender ship (𝐶𝐶𝑏𝑏< 0.63) Full ship (𝐶𝐶𝑏𝑏> 0.78)
Fig. 9 Comparison of the maximum value of pitch angle, VBM amidship, and VSF at S.S. 7.5 in head sea among real ships, G.W.𝛼𝛼 and G.W. hull -forms.
Fig. 10 Comparison of the maximum value of HBM amidship, HSF at station 7.5, and TM at station 7.5 in quartering sea among real ships, G.W.𝛼𝛼 and G.W. hull-forms.
ためここでは比較していない．Fig. 10 より，これらのハル ガーダ断面力に対しては，G.W.船型の方がいずれの応答， 船舶に対しても実船とよく一致していることが分かる． G.W.𝛼𝛼船型は全体的に相関がやや低く，特に痩せ型船型の TM については G.W.𝛼𝛼船型と実船とで大きな差が見られる． すなわち，水線面形状を調整することは垂直方向力に関係す る縦運動およびVBM, VSF については効果的であるが，水 平方向力に関係するHBM, HSF, TM についてはむしろ船 舶の𝑥𝑥-𝑧𝑧面への投影形状が重要であり，G.W.𝛼𝛼船型では船型 を𝑥𝑥方向に伸縮することによって水平方向力分布が実際と は異なるものとなったと考えられる．したがってよって HBM, HSF, TM を推定する場合，𝛼𝛼 = 1とした G.W.船型を 用いるべきである． 5.2. 前後非対称パラメータの影響 前4 節で導入した前後非対称パラメータ LCB, LCF, 𝛽𝛽そ れぞれの波浪中応答に対する重要性について確認する．ここ ではVBM についてのみ調べる．前後非対称パラメータのう ちLCB（=LCG）はごく一般的な主要目であるが，LCF, 𝛽𝛽に ついては入手が難しい場合もある．そこで，LCB, LCF, 𝛽𝛽の 各情報が無い場合を想定し，前後非対称パラメータそれぞれ を0 とした次の 5 種類の数学船型の波浪中応答について調 べる． a) 通常の G.W.𝛼𝛼船型（Fig. 9 の G.W.𝛼𝛼船型と同じ） b) 𝛽𝛽のみ 0 とした G.W.𝛼𝛼船型 c) 𝛽𝛽, LCF を 0 とした G.W.𝛼𝛼船型 d) 𝛽𝛽, LCB を 0 とした G.W.𝛼𝛼船型 e) 𝛽𝛽, LCB, LCF を 0 とした前後対称の G.W.𝛼𝛼船型 ここでd), e)の船型については，静水中の釣り合いを考慮し てLCG が LCB と一致するように重量分布も変化させてい る．そのときに，全重量およびpitch 慣性モーメントについ ては変化させないようにしている． 前5.1 節で検討した 12 隻について以上の 5 種類の数学船 型を生成し，それらの向い波中の midship 位置の VBM の 最大値を実船型の値で除したものをFig. 11 に示す．Fig. 11 より，肥大船についてはa)~e)の 5 種類の数学船型いずれも 1 に近く，前後非対称パラメータの影響が大きくないのに対 し，痩せ型船型では 1 から大きく離れ，前後非対称パラメ ータが強く影響する傾向にあることが分かる．肥大船型で差 が生じないのは，肥大船型ではそもそも船型が変化する余地 自体が少なく，前後非対称パラメータを変化させても船型が さほど変わらないためである．また，痩せ型船型においても b)の船型は 1 から大きく離れておらず，前後非対称パラメー タの中でも𝛽𝛽は 0 とおいてもそこまで大きな影響がないこと がわかる．その理由は，𝛽𝛽の定義（式(4.9),(4.10)）上，𝛽𝛽 = 0と しても前後半の水線面積𝐶𝐶��の大きさに応じて前後半の水線 面二次モーメント𝐶𝐶���が適切に割り振られるためである．他 方で，LCB, LCF を 0 とおいた c), b), d)の船型の VBM の変 化は著しく，実船相当の応答を得るにはLCB, LCF の情報 は不可欠であることが分かる．竹川らは縦運動に対する LCG の影響は大きくないと述べている14)が，ハルガーダ断 面力に対してはLCG の移動に伴う重量分布の変化によって 慣性力が変化するため，その影響は無視できない．またLCF はheave-pitch 連成影響に強く影響するもので，実際に高木 3)は縦運動に対する最も支配的な船型パラメータは𝐶𝐶 ��すな わち𝐶𝐶�とLCF であることを示している．痩せ型船型では主 にfore 側が痩せることで LCF が後方に大きく移動するため， 数学船型でもそのような形状を正しく表現する必要がある． 続いて，前後非対称パラメータの影響をmidship 以外の 場所についても確認するため，VBM の船長方向分布につい ても比較した．実際のコンテナ船（ship-8）と 5 種類の数学 船型について，向い波のピーク周波数である𝜆𝜆/𝐿𝐿 = 0.9にお ける VBM の無次元振幅の船長方向分布を比較したものを
Fig. 12 に示す．Fig. 12 より，実船と a)はどの位置でもよく
一致しており，G.W.𝛼𝛼船型が midship 以外の断面でも有用
であることが確かめられる．また，b)についても実船の分布
と近く，Table 1 より𝛽𝛽 = 0.48だったものを 0 とおいても差
Fig. 11 The effect of longitudinal asymmetric parameter LCB, LCF and 𝛽𝛽 against maximum value of VBM amidship in head sea.
Slender ship (𝐶𝐶�< 0.63) Full ship (𝐶𝐶�> 0.78) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
ship-1 ship-2 ship-3 ship-4 ship-5 ship-6 ship-7 ship-8 ship-9 ship-10 ship-11 ship-12
Ra
tio
of m
ax.
V
BM
(G.W .α )/(r ea l s hip ) a) Normal b) β=0 c) β,LCF=0 d) β,LCB=0 e) Simmetryし支えないことが分かる．対してLCB あるいは LCF を 0 と置いたc), b), d)は分布自体も元から大きく変化している． c), d)は LCF/L が−7.3%であったのを前方に移動させている ことで，VBM のピークも前方に移動している．d)は LCB/L が−2.2%から midship に移動させたることで慣性力に変化 が生じるが，これが復原力と打ち消しあう関係にあるため VBM のピークが後方に移動している．
Fig. 12 Comparison of distribution of VBM of container ship among real ship and G.W.𝛼𝛼 forms of which longitudinal asymmetric parameters are changed (head sea, 𝜆𝜆/𝐿𝐿 = 0.9).
5. 結 言
本論文では，前報で開発したgeneralized Wigley (G.W.) 船型に水線面二次モーメントおよび前後非対称性に関する パラメータを導入し，10 個の船型パラメータ（船長𝐿𝐿，幅𝐵𝐵，喫 水𝑑𝑑，方形係数𝐶𝐶�，中央横断面積係数𝐶𝐶�，水線面積係数𝐶𝐶�， 水線面積二次モーメント係数𝐶𝐶��，浮心前後位置LCB，浮面 心前後位置 LCF，水線面積二次モーメントに関する前後非 対称パラメータ𝛽𝛽）を独立に変化させることのできる数学船 型“generalized Wigley-𝛼𝛼 (G.W.𝛼𝛼)船型”を開発した．本船 型は船型パラメータの制限無しに適用することができ，10 個の船型パラメータから実船と同等の波浪中応答を得られ る船型をごく簡単に生成することを可能とする． 以下に，G.W.𝛼𝛼船型の開発に関する要点を示す． i.) G.W.𝛼𝛼船型は，G.W.船型をベースに船長方向の伸縮パ ラメータ𝛼𝛼を導入することで，水線面積とは独立に水線 面二次モーメントを変化させられる数学船型である． 𝛼𝛼 = 1とすれば従来の G.W.船型に一致するため，G.W.𝛼𝛼 船型は G.W.船型を自然に拡張した概念になっている． G.W.𝛼𝛼船型の前後端は A.P., F.P.に限定されないため， 船尾がA.P.に一致しないような船型をも無理なく表現 することができる． ii.) 従来の G.W.船型で前後非対称船型を生成するには前 後部で異なる肥痩係数を用いていたが，前後非対称パ ラメータとしてより物理的に意味のある LCB および LCF を船型パラメータとして導入し，指定の LCB, LCF を有する前後非対称の G.W.𝛼𝛼船型の生成法につい て示した． iii.) 前後部の水線面二次モーメント𝐶𝐶���, 𝐶𝐶���に代わるパ ラメータとして，𝐶𝐶���, 𝐶𝐶���の割合を定めるパラメータ 𝛽𝛽を定義した．𝛽𝛽は(−1, 1)の範囲としておけば船型が破 綻することが無いため安全なパラメータである上に， 𝐶𝐶���, 𝐶𝐶���の情報が得られない場合，𝛽𝛽 = 0としておけ ば概ね妥当な波浪中応答が得られる． また以下に，実船型とそれを模擬した G.W.𝛼𝛼船型の波浪 中応答の比較を通して得られた結果の要点を示す． iv.) Heave, pitch 運動と縦曲げモーメントについては，実船と同じ水線面二次モーメントを有するG.W.𝛼𝛼船型の 応答関数が，いずれの波条件，船種についても実船と よく一致した．このことから，水線面二次モーメント がこれら縦系の応答に対して支配的なパラメータであ ることが確かめられた．縦せん断力については縦曲げ モーメント等と比べ実船との相関はやや低いものの， 水線面二次モーメントを実船と合わせることで実船の 応答に近づくことが確認された． v.) Sway, yaw 運動については G.W.𝛼𝛼船型，従来の G.W.𝛼𝛼 船型ともに実船と良い一致を示した．一方で水平曲げ モーメント，水平せん断力，捩りモーメントに関して は，従来のG.W.船型の方が実船とよく一致した．G.W.𝛼𝛼 船型では水線面積二次モーメントを調整するために船 型を𝑥𝑥軸に伸縮したことによって，特に痩せ型船型の捩 りモーメントで実船との乖離が生じた．したがって， これら横系の応答を推定する際には，伸縮係数を𝛼𝛼 = 1 としたG.W.船型を用いた方がよい． vi.) 前後非対称パラメータ（LCB, LCF, 𝛽𝛽）のうち，LCB, LCF はどちらも痩せ型船型の縦曲げモーメントに対し て強く影響する重要なパラメータであることが確認さ れた．LCF は縦運動に対して支配的なパラメータ， LCB はその移動に伴い重量分布が変化することで慣 性力分布に影響を及ぼすパラメータである． vii.) 肥大船型（𝐶𝐶�> 0.78）については𝐶𝐶��やLCB, LCF, 𝛽𝛽の 波浪中応答に対する影響は大きくなく，これらを実船 に一致させなくても合理的な応答が得られることが確 認された．肥大船型では船型が変化する余地が少なく， これらのパラメータを変化させても船型が大きく変化 しないためである．
謝
辞
本論文を執筆するに当たり，ご助言を戴いた海上技術安全 研究所フェローの深沢塔一博士ならびに村上睦尚博士，デー タ提供にご協力いただいた日本海事協会の篠本恭平様なら びに杉本圭様に感謝の意を表します． 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 VBM /ρ gζ a BL 2 Station No. Real a) Normal b) β=0 c) β,LCF=0 d) β,LCB=0 e) simmetry参
考 文 献
1) IACS: Common Structural Rules for Bulk Carriers and Oil Tankers, 2019.
2) Aratani, A.: A Simple Estimating Method for Resistance Increase of Ships in Head Seas, Journal of the Society of Naval Architects of Japan, Vol. 161, pp. 92-98, 1987 (in Japanese).
3) Takaki, M.: Effect of Hull Forms on Ship Motions and Optimization of Hull Forms for Seakeeping Performance, Journal of the Society of Naval Architects of Japan, Vol. 166, pp. 239-249, 1989 (in Japanese).
4) Cakici, F., and Aydin, M.: Effects of hull form parameters on seakeeping for YTU gulet series with cruiser stern, International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering, Vol. 6, pp. 700-714, 2014.
5) Sayli, A., Alkan, A. D., and Uysal, A. O.: Automatic elimination of ship design parameters based on data analysis for seakeeping performance, Brodogradnja, Vol.65, pp. 15-33, 2014.
6) Moor, D.I.: Longitudinal bending moments on models in head seas, Transactions of RINA, Vol. 109, pp. 117-165, 1967.
7) Akita, Y., Tashiro, S., and Hikasa, N.: A Study of Wave Induced Forces and Moments Acting on the Ship Hull, Journal of the Society of Naval Architects of Japan, Vol. 142, pp. 264-272, 1977 (in Japanese).
8) Matsui, S.: Development of Mathematical Hull Form of Which Principal Parameters can be Varied Methodically, Journal of the Japan Society of Naval Architects and Ocean Engineers, Vol. 30, pp. 71-78, 2019 (in Japanese). 9) Katoh, A., Li, Q., and Ikeda, R.: Estimation of External
Force by means of Mathematical Hull Forms (Part 1, Still Water Bending Moment and Shearing Force), Transactions of the West-Japan Society of Naval Architects, Vol. 96, pp.155-161, 1998 (in Japanese). 10) Katoh, A., Li, Q., and Ikeda, R.: Estimation of External
Force by means of Mathematical Hull Forms (Part2, Wave Bending Moment and Shearing Force), Transactions of the West-Japan Society of Naval Architects, Vol. 97, pp.35-40, 1998 (in Japanese).
11) Matsui S., and Murakami, C.: Study on Wave Load Estimation Using Mathematical Hull Form -Effect of Bulbousbow and Shape of Water Plane Area -, Conference proceedings, the Japan Society of Naval Architects and Ocean Engineer, Vol. 30, pp.565-568, 2020 (in Japanese). 12) Matsui, S., Shinomoto, K., Sugimoto, K.: Development of
Simplified Formula of Froude-Krylov Force of 6-DOFs Acting on Monohull Ship, Journal of the Japan Society of Naval Architects and Ocean Engineers, Vol. 32, pp.9-19,
2020 (in Japanese) (in press).
13) Matsui, S., Murakami, C., Hayashibara, H., Fueki, R.: Development of Direct Load and Structure Analysis and Evaluation System on Whole Ship DLSA-Basic for Ship Structural Design, Papers of National Maritime Research Institute, Vol. 19-3, 2019 (in Japanese).
14) Takekawa, M., Ikebuchi, T., and Matsumoto, K.: Ship Design and Seakeeping Research, Applications of Ship Motion Theory to Design, the 11th Marine Dynamics Symposium, The Society of Naval Architects of Japan, pp.33-92, 1994 (in Japanese).
竹川正夫，池淵哲朗，松本光一郎：船舶設計と耐航性 研究，耐航性理論の設計への応用，運動性能研究委員 会第11回シンポジウム，日本造船学会，pp.33-92，1994. 15) Aoyama, K., Ueno, K., et al.: Iwanami Math Introductory
Dictionary, Iwanami Shoten, Publishers, 2005 (in Japanese).
青本和彦，上野 健爾他：岩波数学入門辞典，岩波書店， 2005
付録
A. 伸縮係数の計算式の導出
式(3.8)から式(3.9)を導出する．まず，式(3.8)の両辺を𝐶𝐶�で 割り，𝛼𝛼 = 𝑥𝑥, −𝐶𝐶��/𝐶𝐶�= 𝑝𝑝, 𝐶𝐶��= 𝑞𝑞とおく． 𝑥𝑥�+ 3𝑝𝑝𝑥𝑥 + 2𝑞𝑞 = 0 (A.1) この実係数三次方程式を解く15)．この式は2 次の項が無く， すでにチルンハウス変換（立法完成）された形であるため解 の形は比較的簡単に表すことができる．まず，この方程式の 判別式𝐷𝐷は式(3.13)より𝐶𝐶��> 𝐶𝐶��を満たすことから 𝐷𝐷 = −108�𝑝𝑝�+ 𝑞𝑞�� = 108𝐶𝐶𝐶𝐶��� �� �𝐶𝐶��− 𝐶𝐶� �� > 0 (A.2) であり，方程式(A.1)は異なる 3 つの実数解をもつことが分 かる． 三次方程式を満たす𝑥𝑥を求めるには，三次方程式の解の公 式（カルダノの公式）がよく知られているが，𝐷𝐷 > 0の三次 方程式は“還元不能”と呼ばれ，カルダノの公式では実数解 を求めるために複素数の計算が必要になる．実際，式(A.1) にカルダノの公式を適用すると ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥𝑥�= �−𝑞𝑞 + 𝑖𝑖√𝐾𝐾� � �+ �−𝑞𝑞 − 𝑖𝑖√𝐾𝐾��� 𝑥𝑥�= 𝜔𝜔�−𝑞𝑞 + 𝑖𝑖√𝐾𝐾� � �+ 𝜔𝜔��−𝑞𝑞 − 𝑖𝑖√𝐾𝐾��� 𝑥𝑥�= 𝜔𝜔��−𝑞𝑞 + 𝑖𝑖√𝐾𝐾� � �+ 𝜔𝜔�−𝑞𝑞 − 𝑖𝑖√𝐾𝐾��� (A.3) where, 𝐾𝐾 = 𝐷𝐷/108 (A.4) が確かに式(A.1)を満たす 3 つの解になるが，三乗根内が複 素数で，さらに�−𝑞𝑞 + 𝑖𝑖√𝐾𝐾��/�自体も3 つの解を持つことに 注意を払う必要がある．よって，𝐷𝐷 > 0の場合の求解としてより実用的なビエタの解法によって𝑥𝑥を示すことにする15)． 式(A.1)にビエタの解法を適用すると以下の通りになる． ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥𝑥�= �−4𝑝𝑝 cos �𝜋𝜋3 −13 tan���𝐾𝐾/𝑞𝑞�� 𝑥𝑥�= �−4𝑝𝑝 cos �𝜋𝜋 −13 tan���𝐾𝐾/𝑞𝑞�� 𝑥𝑥�= �−4𝑝𝑝 cos �5𝜋𝜋3 −13 tan���𝐾𝐾/𝑞𝑞�� (A.5) ここで再度𝑝𝑝 = −𝐶𝐶��/𝐶𝐶�, 𝑞𝑞 = 𝐶𝐶��かつ𝑥𝑥を伸縮係数𝛼𝛼に戻す と次のように書ける． ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 𝛼𝛼�= 2�𝐶𝐶𝐶𝐶�� �cos � 𝜋𝜋 3 − 1 3 tan��� 𝐶𝐶�� 𝐶𝐶�� − 1� 𝛼𝛼�= 2�𝐶𝐶𝐶𝐶�� � cos �𝜋𝜋 − 1 3 tan��� 𝐶𝐶�� 𝐶𝐶�� − 1� 𝛼𝛼�= 2�𝐶𝐶𝐶𝐶�� � cos � 5𝜋𝜋 3 − 1 3 tan��� 𝐶𝐶�� 𝐶𝐶�� − 1� (A.6) この解の大小関係は，0 < tan���𝐶𝐶��/𝐶𝐶��− 1 < 𝜋𝜋/2より次 のように示せる． 𝛼𝛼�< 0 < 𝛼𝛼�< �𝐶𝐶��/𝐶𝐶�< 𝛼𝛼� (A.7) ここで，𝛼𝛼�, 𝛼𝛼�, 𝛼𝛼�から𝛼𝛼になり得ない解を排除する．まず𝛼𝛼 は正の実数でなければならないため，𝛼𝛼�が排除される．続 いて，式(3.13)より，𝐶𝐶�< 𝛼𝛼かつ𝐶𝐶�< �𝐶𝐶��/𝐶𝐶�であるから， 𝐶𝐶�< 𝛼𝛼 < �𝐶𝐶��/𝐶𝐶�の場合の解𝛼𝛼�と，�𝐶𝐶��/𝐶𝐶�< 𝛼𝛼の場合の 解𝛼𝛼�が可能性として残る．𝛼𝛼�, 𝛼𝛼�はどちらも式(3.8)を満たす 正の伸縮係数𝛼𝛼であるが，これらのうち，G.W.𝛼𝛼船型が G.W. 船型を自然に拡張した概念となるように𝛼𝛼 = 1が従来の G.W.船型に一致する方を選択することにする．G.W.船型で は式(3.2)に示した通り 𝛼𝛼 = 1 when 𝐶𝐶��=3 − 2𝐶𝐶𝐶𝐶� � (A.8) であり，これを任意の𝐶𝐶�で満足するのは𝛼𝛼�の方である．結 局，式(3.8)を満たす目的の𝛼𝛼が式(A.6)の𝛼𝛼�として得られ，式 (3.9)が導かれた．
