数学的探究の習得を目指したオリガミクスによる数学教材の開発 船の荷物積載を題材として

数学教育学会誌 2019/Vol.60/No.3･4

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＊＊＊＊ 概要：高等学校における数学教育では，学習者自らが現実事象に対して数学的な問いを見出し， 数学を用いて解決できる数学教材の開発が必要である。折り紙が科学的に発展して生まれ たオリガミクスは，折り紙に幾何学的な手法を適用し，数理の妥当性を実際に検証できる といった教育的利点を有する。本研究の目的は，数学的探究の習得を目指した高等学校の 「理数科」および「数学科」の内容として，オリガミクスを取り上げ，船の荷物積載を題 材とした数学教材を開発することと，本教材に関する数学的探究の習得の可能性を探るこ とである。 検索語：数学的探究，オリガミクス，教材開発

Abstract : For high school mathematics education, it is necessary to develop teaching materials that enable learners to apply mathematical problems to real-life events and solve them using mathematics. “Origamics” was born from the scientific development of origami. Origamics has the educational advantage of applying geometric methods to origami and verifying the validity of mathematics. This study aims to develop mathematics teaching materials using Origamics and to explore the possibility of acquisition the mathematical inquiry of the teaching materials.

Keywords : Mathematical Inquiry, Origamics, Development of Teaching Materials

１ １．．ははじじめめにに 折り紙自体の原理・仕組みを科学的に分析す る方法として，「オリガミクス（Origamics）」 がある。オリガミクスに関する研究は，数学（特 に幾何学），工学，医学，教育などの様々な領域 で取り組まれており，日用品から医療・宇宙工 学といった幅広い分野で，折り紙の特性や技術 を生かした製品が開発されている（西川 _2017， 三浦・川崎 2018，萩原・奈良 2019）。 数学教育研究では，オリガミクスを用いた幾 何教材が開発され，小学生から高校生までを対 象に教育実践が検討されてきた（芳賀 1996， ＊ _{Tsukasa KATSURAGI} 京都教育大学附属高等学校 ＊＊ _{Yasufumi KURODA} 京都教育大学 杉山・野島 _{2009，杉山・野島 2011，黒田・岡} 本 2014）。オリガミクス教材の特長は，学習者 自らが試行錯誤の中で，既習の数学内容を活用 できることや，得られた数学的結果を実際に折 り紙で確認できる点にある。また，紙の折り方 を工夫することで，数学的に発展性のある課題 や新たな解法の創出が可能である（黒田 _2013）。 高等学校における新学習指導要領（文部科学 省 2019）の改訂では，教科「理数科」が新設予 定である。理数探究科目では，学習者自らが現 実事象に対して課題を設定し，客観的な手法を 用いて課題解決するといった探究の過程全体を 遂行する力の育成が求められる。「数学科」では， 様々な事象を数学的問題と捉えて，それを数学 的に表現・処理し，問題解決できる力の育成が より一層重視される。数学教育の立場において， これらを効果的なものとしていくためには，数 られる理解テスト得点が異なることを示してい る。さらに本実践からは「他者の想定の違いが 学習の質の違いを生む」ことも示唆される。さ らに「自分よりも数学レベルが低い人を想定す る傾向」のある生徒の学びの深まりとその要因 について検証し、想定傾向の違いと学びの質と の関連について知見を得ることが課題である。 また、この_{2 つの想定傾向が、生徒に固定さ} れているのか2 つを流動的に想定する場合もあ るのかは不明瞭である。生徒が想定するべき他 者は不特定なだけでなく、多数でもあるため、 想定の傾向は見えたものの、その想定が固定さ れていたとは言い切れない。この傾向の違いは 学習者の理解状況によって変化する可能性もあ るし、発表ブースのレベル分けが影響した可能 性もある。他者の想定傾向と学びの質について 複数の事例を扱い、整理、分類することが課題 である。 ６ ６．．おおわわりりにに 本研究では「数学研究発表会」の有効性につ いて他者意識と学習の深まりの関連に注目して 検証してきた。まだ課題は多いものの、他者意 識の発生が少なからず数学の学習に影響する一 事例として検証できたことは成果である。 本稿で得た知見と課題をもとに、さらに研究 を継続していきたい。 注 注 ［1］2016 年 12 月 18 日実施 ［2］この内容は「信夫智彰，中学校数学におけ る作図不可能問題の事例研究－40°の作図 ができるか考える活動を通して－，数学教育 学会 2017 年度春季年会予稿集，数学教育学会， pp.178-180，2017．」に掲載、発表したもので ある。 引 引用用・・参参考考文文献献

Benware，C．A．and Deci，E．L. ，Quality of learning with an active versus passive motivational set， American Educational Research Journal, Vol.21，pp. 755–765， 1984． 深谷達史，学習内容の説明が文章表象とモ ニタリングに及ぼす影響，心理学評論， vol.54，pp.179–196，2011. 深谷達史，説明予期が文章理解に及ぼす影響-実験とメタ分析による検討-，心理学研究 第 85 巻，第 3 号，pp. 266–275，2014. 学校図書,ステップパワード 3,学校図書，2016. Gunel, M.Hand, B. and McDermott, M. A.，

Writing for different audiences : Effects on high school students conceptual understanding of biology, Learning and Instruction,Vol.19, pp.354-367,2009. 稲葉芳成・黄瀬正敏・竺沙敏彦，中学生を対象 とした数学的モデリング・チャレンジプロ グラムの記録，数学教育学会誌，Vol.57， No.1・2，数学教育学会，2017． 文部科学省，平成 25 年度スーパーサイエンスハ イスクール生徒研究発表会要旨集，文部科 学省，2013． 文部科学省，中学校学習指導要領解説編，文部 科学省，2017． 大阪府立大手前高等学校，平成 29 年度スーパー サイエンスハイスクール 研究開発実施報 告書，大阪府立大手前高等学校，pp88-90， 2018． 澁谷久，三層の教授-学習活動で構成する『マ ス・フェア』の実践的研究-数学教育から発 信する学びの伝播による地域活動の遂行， 数学教育学会 2018 年度春季年会予稿集，数 学教育学会，pp.173-175，2018． 新学社，数学の問題ノート 3,新学社，2016. 辻平治郎，自己意識と他者意識，北大路書房， 1993. 数学教育学会誌 2019/Vol.60/No.3･4 Note

数学的探究の習得を目指したオリガミクスによる数学教材の開発

－船の荷物積載を題材として－

葛城 元

＊

_{黒田 恭史}

＊＊

学を主軸とした探究の方法，すなわち「数学的 探究（葛城ほか 2016，葛城ほか 2017）」を習 得できる数学教材の開発が必要であると考える。 現実事象を題材とした数学教材の開発に関す る先行研究として，町田（1983）は，学習者の 身の回りで起こっている事象を現実化し，それ を理論にまで仕上げた上で教材化する必要性を 指摘している。松宮・柳本（_{1995）は，現実性} を持つ問題解決の過程の中で，既習の数学を総 合的に活用できること，実験，実習，作業，調 査および教具を含めることを条件に挙げている。 つまり，具体性のある現実事象と抽象度の高い 数学との関連性を持たせた上で，学習者が現実 事象を数学的問題と捉え，数学知識を活用し， 実験・検証ができる数学教材の開発が必要であ ると考える。そうした状況を鑑みると，科学研 究の分野で学際的な広がりを持つオリガミクス を取り入れた教材化は，これからの高等学校の 「理数科」および「数学科」の教育内容の構築 に寄与できるものであると考える。 本研究の目的は，数学的探究の習得を目指し た高等学校の「理数科」および「数学科」の内 容として，オリガミクスを取り上げ，船の荷物 積載を題材とした数学教材を開発することと， 本教材に関する数学的探究の習得の可能性を探 ることである。 ２ ２．．数数学学的的探探究究モモデデルルのの枠枠組組みみ 22..11．．数数学学的的探探究究モモデデルルととはは 数学と他分野との協働化が推進されており， 様々な現実事象を数学的問題として取り上げ， 数学を適応・展開して問題解決できる人材育成 が希求されている（國府 _{2015）。その意味にお} いて，これからの高等学校の「理数科」および 「数学科」では，現実事象に対して数学知識を 適用・活用し，実験するなどの客観的な手法を 用いた学習活動を経験させることが重要である。 そのような状況の下，数学を主軸とした高等学 校に相応しい科学的思考，および探究の方法を 明示化する「数学的探究モデル」の設計と改良 を行ってきた（葛城ほか 2016，葛城ほか 2017）。 数学的探究とは「様々な現実事象に対して， 数学的な観点から問いを立て，科学的思考を用 いて問題解決すること」であり，それらを図式 化したものが数学的探究モデルである（図1）。 図1 数学的探究モデル 数学的探究モデルは，次の_{6 つの段階で構成} される。_{6 つの段階とは，}「（_{1）問題発見」}「（_2） 計画」「（3）情報収集」「（4）情報整理」「（5） 数学的処理」「（6）振り返り」のことである。 「（_{1）問題発見」から「（4）情報整理」の役} 割は，情報に基づき問題を明確化する，問題を 解釈・翻訳して数学的な問いを立てることであ る。「（_{5）数学的処理」から「（6）振り返り」} の役割は，数学を適用・活用して，結果を確か めることである。 22..22．．数数学学的的探探究究モモデデルルのの役役割割 数学的探究モデルの扱い方については，「授業 実践型」と「課題研究型」に分けた上で，数学 教材の開発と教育実践を行ってきた（葛城ほか 2019）。今回の教材開発では，数学を主軸とし た探究の方法を学習者に経験させるといった基 礎・基本的な部分をねらいとするため，前者を 想定して行う。教育実践の実施にあたっては， 題材のまとまりや単元末における一斉授業での 教材利用を検討している。また，教育実践で扱 いたい学習内容と，数学的探究モデルの各段階

の内容の対応を示しておくことで，教育評価に 役立てられると考えられる。 数学的探究モデルと高等学校の「理数科」お よび「数学科」の学習内容の関連性を整理して おく。理数科の「探究の過程を通じた課題解決」， 数学科の「算数・数学の問題発見・解決」に対 して，数学的探究モデルは，数学的な問いの創 出・設定，数学的な知識や考え方の適用・活用， 実験・検証を通じた結果の導出などの数学的探 究の習得に必要となる学習内容を明示・追加し ている。その意味において，数学的探究モデル の枠組みに従った教材開発と教育実践は，今後 の両教科の教育内容を構築していく上でも重要 であると考える。 ３ ３．．オオリリガガミミククススのの教教育育的的意意義義 オリガミクスを幾何教育に活用する利点は， 次の5 点が考えられる（葛城ほか 2018）。「① 道具は紙のみであり，いつでも・どこでも・手 軽に使用できる」「②折り紙で図形（線・角・多 角形・多面体など）を制作できる」「③条件を変 えて様々な折り方が試せるために，学習者自ら が試行錯誤できる」「④同じ題材においても小・ 中・高等学校の算数・数学内容に対応できる」 「⑤紙を折るという操作活動から，図形の特徴 や成り立つ性質を確認できる」である。 上記のオリガミクスの教育的利点を，数学的 探究モデルの各段階と対応させると，①が「（2） 計画」，②・③・④が「（5）数学的処理」，⑤が 「（_{6）振り返り」に概ね位置付く。オリガミク} スを用いた問題解決において，代数処理による 計算結果の妥当性や図形の特徴・性質の存在を 確かめる際には，実際に紙を折る操作活動を通 じて検証することができる。これらは，学習者 の内容理解の促進と多様な考えの創出が期待さ れる。すなわち，数学的探究モデルとオリガミ クスを取り入れることで，学習者自らが試行錯 誤の中で問題解決ができるようになると考えら れる。 ４ ４．．オオリリガガミミククススにによよるる数数学学教教材材のの開開発発 ここでは，船の荷物積載を題材としたオリガ ミクスによる数学教材の開発を，図_{1 の数学的} 探究モデルに従って行う。その理由は，教材開 発に至るまでの手順が精緻化されることで，教 材開発の内容と数学的探究モデルの各段階との 対応を示せるからである。これらは，教育実践 での学習成果を段階ごとに整理・分析できる点 においても効果的であると考えられる。 44..11．．「「（（11））問問題題発発見見」」 題材となるコンテナ船は，人や貨物を運ぶた めの「商船」のことであり，日用品・工業製品・ 冷凍食品などの物資が，国際規格のコンテナの 中に積み込まれ海上輸送されている。最近の動 向としては，商船の経済効率の向上のために， できるだけ多くの物資をまとめて運ぶことが求 められ，コンテナ船の大型化が進行してきてい る（商船三井 2014）。 今回は，折り紙を用いた船（「折り紙船」と表 記）の大型化に着目し，問題を「折り紙船に積 載できる重りの最大個数の解明」と設定する。 問題解決にオリガミクスを扱う理由は，船の大 型化について，折り紙船の形状を同じサイズの 一枚の紙で変形できることや，折り紙船に重り を積載して実験するといった検証活動が可能と なるからである。 44..22．．「「（（_22））計計画画」」 各段階での実施内容を述べる。 「（3）情報収集」では，文献から船に関する 基本的な情報を収集する。「（_{4）情報整理」で} は，収集した情報の中で，数学を用いて問題解 決する際に必要な内容を編集・整理する。「（5） 数学的処理」では，折り紙船の基準となる「見 本船」よりも，重りを多く積載できる「改良船」 を，見本船と同じサイズの一枚の紙を用いて， 折り方の一部分を変更して制作する注１）_。続い て，改良船の展開図を解析幾何の手法により分 析し，改良船の体積を一般化する。求めた体積 から改良船に積載できる重りの最大個数を計算 する。「（_{6）振り返り」では，耐水紙で制作し} た改良船に重りを積載し，水槽に浮かべて実 験・検証する。 44..33．．「「（（_33））情情報報収収集集」」 船に関する基本的な情報は，文献（川崎 2014， 商船三井 2014）から，船の寸法，船の構造， 船体各部の名称などを収集する。船が水に浮く 学を主軸とした探究の方法，すなわち「数学的 探究（葛城ほか 2016，葛城ほか 2017）」を習 得できる数学教材の開発が必要であると考える。 現実事象を題材とした数学教材の開発に関す る先行研究として，町田（1983）は，学習者の 身の回りで起こっている事象を現実化し，それ を理論にまで仕上げた上で教材化する必要性を 指摘している。松宮・柳本（_{1995）は，現実性} を持つ問題解決の過程の中で，既習の数学を総 合的に活用できること，実験，実習，作業，調 査および教具を含めることを条件に挙げている。 つまり，具体性のある現実事象と抽象度の高い 数学との関連性を持たせた上で，学習者が現実 事象を数学的問題と捉え，数学知識を活用し， 実験・検証ができる数学教材の開発が必要であ ると考える。そうした状況を鑑みると，科学研 究の分野で学際的な広がりを持つオリガミクス を取り入れた教材化は，これからの高等学校の 「理数科」および「数学科」の教育内容の構築 に寄与できるものであると考える。 本研究の目的は，数学的探究の習得を目指し た高等学校の「理数科」および「数学科」の内 容として，オリガミクスを取り上げ，船の荷物 積載を題材とした数学教材を開発することと， 本教材に関する数学的探究の習得の可能性を探 ることである。 ２ ２．．数数学学的的探探究究モモデデルルのの枠枠組組みみ 22..11．．数数学学的的探探究究モモデデルルととはは 数学と他分野との協働化が推進されており， 様々な現実事象を数学的問題として取り上げ， 数学を適応・展開して問題解決できる人材育成 が希求されている（國府 _{2015）。その意味にお} いて，これからの高等学校の「理数科」および 「数学科」では，現実事象に対して数学知識を 適用・活用し，実験するなどの客観的な手法を 用いた学習活動を経験させることが重要である。 そのような状況の下，数学を主軸とした高等学 校に相応しい科学的思考，および探究の方法を 明示化する「数学的探究モデル」の設計と改良 を行ってきた（葛城ほか 2016，葛城ほか 2017）。 数学的探究とは「様々な現実事象に対して， 数学的な観点から問いを立て，科学的思考を用 いて問題解決すること」であり，それらを図式 化したものが数学的探究モデルである（図1）。 図1 数学的探究モデル 数学的探究モデルは，次の_{6 つの段階で構成} される。_{6 つの段階とは，}「（_{1）問題発見」}「（_2） 計画」「（3）情報収集」「（4）情報整理」「（5） 数学的処理」「（6）振り返り」のことである。 「（_{1）問題発見」から「（4）情報整理」の役} 割は，情報に基づき問題を明確化する，問題を 解釈・翻訳して数学的な問いを立てることであ る。「（_{5）数学的処理」から「（6）振り返り」} の役割は，数学を適用・活用して，結果を確か めることである。 22..22．．数数学学的的探探究究モモデデルルのの役役割割 数学的探究モデルの扱い方については，「授業 実践型」と「課題研究型」に分けた上で，数学 教材の開発と教育実践を行ってきた（葛城ほか 2019）。今回の教材開発では，数学を主軸とし た探究の方法を学習者に経験させるといった基 礎・基本的な部分をねらいとするため，前者を 想定して行う。教育実践の実施にあたっては， 題材のまとまりや単元末における一斉授業での 教材利用を検討している。また，教育実践で扱 いたい学習内容と，数学的探究モデルの各段階

ための基本的な原理である「浮力」や，それら に関連する数学的な内容は，文献（木田 2003， 高見 2009，滝川・山村 2001，中野 2012，宮 原・愛木 _{2009，宮原・愛木 2010）などから収} 集する。 44..44．．「「（（44））情情報報整整理理」」 収集した情報の中から，「（5）数学的処理」 で扱う情報を整理すると，次のようになる。 ・船の寸法は，「全長（縦幅）」「型深さ（高さ）」 「全幅（横幅）」を扱う（図 2）。 ・船尾方向から船首方向を「船の進行方向」と いう。 ・船の基本的な原理の一つである「浮力」とし て，「アルキメデスの原理」を用いる。すな わち，船の体積（容積）を考える。 ・物体が押しのけた水の容積を「排水容積」，そ の重さを「排水量」という。 ・コンテナ（荷物）の寸法は規格化されている。 図2 船の寸法（川崎 2014） なお，船の基本的な原理を考える際には，水 の抵抗，揚力，速度などを考慮する必要がある が，「（1）問題発見」での問題設定の内容を踏 まえて，「（5）数学的処理」では，「体積（容積）」 のみに着目（単純化）して分析する。 44..55．．「「（（55））数数学学的的処処理理」」 44..55..11．．折折りり紙紙船船のの制制作作 折り紙船の制作では，はじめに折り紙船の基 準となる見本船を，Jo Nakashima（2016）の 折り方をもとに制作する注２）_{。次に，見本船と} 同じサイズの一枚の紙を用いて，折り方の一部 分を変更して，改良船を制作する。見本船と改 良船の完成形は図3 のようになり，両船ともに 中央部分の図形は直方体，先端部分の図形は四 角錐である。 図3 見本船と改良船の制作 見本船と改良船の制作方法の違いについて， 説明する。図_{3 の「折り方変更部分」において，} 見本船の場合の折り方に着目すると，基準の長 さに対して半分_{1 2⁄ に折っている。この箇所を} 半分折り以外で折れば，改良船を制作できる。 例えば，改良船（A）は基準の長さに対して， 長さが_{1 4⁄ の浅いところで折ったものである。} 一方，改良船（_{B）は，基準の長さよりも深い} ところで折ったものである。ただし，この場合 は船の両舷が船外に出るため除外する。 44..55..22．．改改良良船船のの体体積積 改良船の展開図の分析から，体積の一般化を 行う。ここでは，改良船の展開図や完成形の形 状が変化する様子やその特徴を，コンピュータ により視覚化して捉えやすくするために，解析 幾何による座標を用いて数学的処理をする。こ の方法以外にも，初等幾何，三角法，ベクトル 幾何による数学的処理が可能であることからも， 発展性のある課題への接続が期待される。 改良船の体積の一般化に向けて，仮定や条件 を設定する。展開図（正方形）の一辺の長さを_{𝑎𝑎𝑎𝑎}

cm とする（𝑎𝑎𝑎𝑎 は実数）。展開図の 4 つの頂点の 点A から点 D の座標を A（－𝑏𝑏𝑏𝑏，𝑏𝑏𝑏𝑏），B（－𝑏𝑏𝑏𝑏， －_{𝑏𝑏𝑏𝑏），C（𝑏𝑏𝑏𝑏，－𝑏𝑏𝑏𝑏），D（𝑏𝑏𝑏𝑏，𝑏𝑏𝑏𝑏）と設定する（𝑎𝑎𝑎𝑎＝} 2𝑏𝑏𝑏𝑏である）。このとき，線分 AC と線分 BD の 交点をE とすると，点 E は原点 O と一致する。 図4 は，図 3 の「改良船（A）」の展開図を座 標平面上に置いたものである注３）_。 図4 改良船の展開図 1 改良船の制作後の展開図について，展開図内 の黒丸（●）は，紙の折り方を変更しても移動 しない点である（点 G・H など）。一方，四角 （□）は，紙の折り方を変更すると移動する点 である（点N・L など）。なお，線分 AF は∠ DAC の二等分線であり，折り方の変更に依存し ない。点G は△ACD と△JKL の内心であり， 内接円が2 つ存在する。オリガミクスでは実際 に紙を折る操作を通じて，内角の二等分線や三 角形の内心の存在が確認でき，学習者の理解を 促しながら学習活動を進められるという利点が ある。 ここから，改良船の体積の一般化を，改良船 の「高さ」「中央部分の横の長さ」「中央部分の 縦の長さ」「先端部分の高さ」の順で行う（図3， 図4，図 5 を参照）。 まず，改良船の「高さ（線分_{NH）」を基準の} 長さである線分GH に対して，媒介変数を用い て表示する。そこで，線分GH の長さを求める ために，点G の座標を求める。直線 BD の方程 式は，_{𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0 である。ここで，点 F の座標} を求める。∠CAD に対して，内角の二等分線の 性質から，AC：AD＝CF：DF＝√2：1 である ので，点_{F は線分 CD を，AC：AD＝√2：1 に} 内 分 す る 。 点 _{F の𝑦𝑦𝑦𝑦座標は，}1×(−𝑏𝑏𝑏𝑏)+√2×𝑏𝑏𝑏𝑏 √2+1 ＝ �√2 − 1�2𝑏𝑏𝑏𝑏より，F�𝑏𝑏𝑏𝑏, �√2 − 1�2𝑏𝑏𝑏𝑏�となる。点 A （－_{𝑏𝑏𝑏𝑏，𝑏𝑏𝑏𝑏）と点 F�𝑏𝑏𝑏𝑏, �√2 − 1�}2_{𝑏𝑏𝑏𝑏�を通る直線 AF} の方程式は，_{�1 − √2�𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + �2 − √2�𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0と} なる。よって，直線_{BD と直線 AF の交点 G の} 座標は，_{G��√2 − 1�𝑏𝑏𝑏𝑏, �√2 − 1�𝑏𝑏𝑏𝑏�となる。点 G} と点H の距離（線分 GH）は， GH＝�2 − √2�𝑏𝑏𝑏𝑏 となる。基準の長さである線分GH を用いて， 「改良船の高さ（線分NH）」と「紙を折った部 分の長さ（線分_{GN）」を，媒介変数𝑡𝑡𝑡𝑡(0 < 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 1)} で表示すると，NH＝�2 − √2�𝑏𝑏𝑏𝑏(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)，GN＝ �2 − √2�𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡𝑡𝑡 となる。 次に，改良船の「中央部分の横の長さ」を求 める。図5 のように，点 G は△ACD と△JKL の内心であり，内接円が_{2 つ存在する。ゆえに，} EG＝HG＝IG，PG＝NG＝MG である。このこ とから，PE＝NH＝MI である。 ここで，点_{L と直線 AC に対して距離の公式} を用いて，線分LS の長さを求める。点 N の座 標は，線分GN を𝑡𝑡𝑡𝑡：1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 に内分する点である ので， N��√2 − 1�𝑏𝑏𝑏𝑏, �√2 − 1��√2𝑡𝑡𝑡𝑡 + 1�𝑏𝑏𝑏𝑏�であ る。点 L は直線 AF と点 N の𝑦𝑦𝑦𝑦座標（𝑦𝑦𝑦𝑦 = ための基本的な原理である「浮力」や，それら に関連する数学的な内容は，文献（木田 2003， 高見 2009，滝川・山村 2001，中野 2012，宮 原・愛木 _{2009，宮原・愛木 2010）などから収} 集する。 44..44．．「「（（44））情情報報整整理理」」 収集した情報の中から，「（5）数学的処理」 で扱う情報を整理すると，次のようになる。 ・船の寸法は，「全長（縦幅）」「型深さ（高さ）」 「全幅（横幅）」を扱う（図 2）。 ・船尾方向から船首方向を「船の進行方向」と いう。 ・船の基本的な原理の一つである「浮力」とし て，「アルキメデスの原理」を用いる。すな わち，船の体積（容積）を考える。 ・物体が押しのけた水の容積を「排水容積」，そ の重さを「排水量」という。 ・コンテナ（荷物）の寸法は規格化されている。 図2 船の寸法（川崎 2014） なお，船の基本的な原理を考える際には，水 の抵抗，揚力，速度などを考慮する必要がある が，「（1）問題発見」での問題設定の内容を踏 まえて，「（5）数学的処理」では，「体積（容積）」 のみに着目（単純化）して分析する。 44..55．．「「（（55））数数学学的的処処理理」」 44..55..11．．折折りり紙紙船船のの制制作作 折り紙船の制作では，はじめに折り紙船の基 準となる見本船を，Jo Nakashima（2016）の 折り方をもとに制作する注２）_{。次に，見本船と} 同じサイズの一枚の紙を用いて，折り方の一部 分を変更して，改良船を制作する。見本船と改 良船の完成形は図3 のようになり，両船ともに 中央部分の図形は直方体，先端部分の図形は四 角錐である。 図3 見本船と改良船の制作 見本船と改良船の制作方法の違いについて， 説明する。図_{3 の「折り方変更部分」において，} 見本船の場合の折り方に着目すると，基準の長 さに対して半分_{1 2⁄ に折っている。この箇所を} 半分折り以外で折れば，改良船を制作できる。 例えば，改良船（A）は基準の長さに対して， 長さが_{1 4⁄ の浅いところで折ったものである。} 一方，改良船（_{B）は，基準の長さよりも深い} ところで折ったものである。ただし，この場合 は船の両舷が船外に出るため除外する。 44..55..22．．改改良良船船のの体体積積 改良船の展開図の分析から，体積の一般化を 行う。ここでは，改良船の展開図や完成形の形 状が変化する様子やその特徴を，コンピュータ により視覚化して捉えやすくするために，解析 幾何による座標を用いて数学的処理をする。こ の方法以外にも，初等幾何，三角法，ベクトル 幾何による数学的処理が可能であることからも， 発展性のある課題への接続が期待される。 改良船の体積の一般化に向けて，仮定や条件 を設定する。展開図（正方形）の一辺の長さを_{𝑎𝑎𝑎𝑎}

�√2 − 1��√2𝑡𝑡𝑡𝑡 + 1�𝑏𝑏𝑏𝑏）の交点より，L��√2 − 1 − √2𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑏𝑏𝑏𝑏, �√2 − 1��√2𝑡𝑡𝑡𝑡 + 1�𝑏𝑏𝑏𝑏�となる。点 L と直 線AC の距離𝑑𝑑𝑑𝑑₁は， _{𝑑𝑑𝑑𝑑1}＝_{�2 − √2�(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑏𝑏𝑏𝑏 とな} る。よって，改良船の中央部分の横の長さは， 2LS＝2�2 − √2�(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑏𝑏𝑏𝑏 となる。 図5 改良船の展開図 2 続いて，改良船の「中央部分の縦の長さ」を 求める。点L と直線 BD に対して距離の公式を 用いて，線分_{LP の長さを求める。点 L と直線} BD の距離𝑑𝑑𝑑𝑑2は，𝑑𝑑𝑑𝑑2＝��√2−1−√2𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑏𝑏𝑏𝑏−�√2−1��√2𝑡𝑡𝑡𝑡+1�𝑏𝑏𝑏𝑏�_√2 より，_{𝑑𝑑𝑑𝑑2}＝_{√2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏 となる。よって，改良船の中} 央部分の縦の長さは，LK＝2𝑑𝑑𝑑𝑑₂＝_{2√2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏 となる。} 最後に，改良船の「先端部分の高さ」を求め る注４）_{。先端部分（四角錐）の高さの導出には，} 線分AS と線分 NH の長さに対して，三平方の 定理を用いれば，_{2�√2 − 1𝑏𝑏𝑏𝑏(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) となる。よ} って，中央部分の体積_{𝑉𝑉𝑉𝑉1}，先端部分の体積_{𝑉𝑉𝑉𝑉2}は， 𝑉𝑉𝑉𝑉1= √2�√2 − 1�2𝑎𝑎𝑎𝑎3(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2𝑡𝑡𝑡𝑡 （𝑎𝑎𝑎𝑎＝2𝑏𝑏𝑏𝑏） 𝑉𝑉𝑉𝑉2=2₃�√2 − 1� 5 2_{𝑎𝑎𝑎𝑎}3_{(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)}3 _{（𝑎𝑎𝑎𝑎＝2𝑏𝑏𝑏𝑏）} と，_{𝑡𝑡𝑡𝑡の 3 次関数となる。改良船全体の体積𝑉𝑉𝑉𝑉は，} 𝑉𝑉𝑉𝑉＝𝐴𝐴𝐴𝐴(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2_{𝑡𝑡𝑡𝑡＋𝐵𝐵𝐵𝐵(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)}3_{（𝐴𝐴𝐴𝐴: = √2�√2 − 1�}2_{𝑎𝑎𝑎𝑎}3_， 𝐵𝐵𝐵𝐵 ≔2₃�√2 − 1�52_{𝑎𝑎𝑎𝑎}3_{）…（＊）。なお，見本船の} 体積は，（＊）に _{𝑡𝑡𝑡𝑡 =0.5 ，改良船（A）の体積} は，（＊）に 𝑡𝑡𝑡𝑡 =1 4を代入すれば求まる。 ここから，折り紙船の大型化を考えるために， 改良船の体積が最大となる_{𝑡𝑡𝑡𝑡の値を求める。} 改良船の体積（＊）から，微分法を用いて最 大値を求める。_{𝑉𝑉𝑉𝑉の極値の候補は，𝑡𝑡𝑡𝑡 =} 𝐴𝐴𝐴𝐴−3𝐵𝐵𝐵𝐵 3(𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐵𝐵𝐵𝐵), 1と なる。定義域と増減から，_{𝑡𝑡𝑡𝑡 =} 𝐴𝐴𝐴𝐴−3𝐵𝐵𝐵𝐵 3(𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐵𝐵𝐵𝐵)が，𝑉𝑉𝑉𝑉の極 値となる。そこで，（＊）の_{𝐴𝐴𝐴𝐴，𝐵𝐵𝐵𝐵の値を代入し} て_{𝑡𝑡𝑡𝑡の値を求めると，𝑡𝑡𝑡𝑡 =} 𝐴𝐴𝐴𝐴−3𝐵𝐵𝐵𝐵 3(𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐵𝐵𝐵𝐵)＝ 1−�2�√2−1� 3−�2�√2−1� とな る。したがって，_{𝑉𝑉𝑉𝑉は，𝑡𝑡𝑡𝑡＝}1−�2�√2−1� 3−�2�√2−1� （≒0.043） …（＊’）のとき，最大値をもつ。なお，_{𝑉𝑉𝑉𝑉に（＊’）} を代入すると，_{𝑉𝑉𝑉𝑉≒0.074𝑎𝑎𝑎𝑎}3 _{となる（正方形用紙} の 1 辺の長さである𝑎𝑎𝑎𝑎＝16 を代入すると，𝑉𝑉𝑉𝑉≒ 303 となり，見本船の体積の約 2 倍であること が分かる）。 図_{6 は，改良船の体積のグラフである}注５）_。グ ラフは正方形用紙の1 辺が 16cm の場合を表示 している。グラフの縦軸は体積_{𝑉𝑉𝑉𝑉（㎤），横軸は} 変数_{𝑡𝑡𝑡𝑡（0＜𝑡𝑡𝑡𝑡＜1）である。改良船全体の体積は，} （＊’）のとき最大となる。ちなみに，中央部分 （直方体）の体積は，_{𝑡𝑡𝑡𝑡＝}1 3 のとき最大となる。

先端部分（四角錐）の体積は，_{𝑡𝑡𝑡𝑡の値が大きくな} るにつれて，体積は減少する。 図6 改良船の体積のグラフ（𝑎𝑎𝑎𝑎 =16） 44..55..33．．重重りりのの積積載載個個数数 改良船の体積公式をもとに，改良船に積載で きる重りの最大個数を求める注６）_{。浮力と体積} の関係から，「改良船と重りの総重量_[g]＝排水 量（浮力の大きさ）_{[g]」となる。この関係式か} ら「改良船と重りの総重量≧最大排水量」の場 合は，船が水中に沈み，「改良船と重りの総重量 ＜最大排水量」の場合は，改良船が水中に浮く。 重りの積載実験の概要を述べる。改良船の紙 自体の重さは約5g（耐水紙を使用），実験で扱 う重りの重さは約_{10g である。重りの寸法は，} 縦の長さが約1.9cm，横の長さが約 2.3cm であ る。重りの配置方法は，「船の中央部分のみに重 りを積載する」「重りの横の長さと船の進行方向 を揃えて重りを積載する」の2 点設定する。 ここから，改良船に積載できる重りの最大個 数を求める（重りの個数を_{𝑥𝑥𝑥𝑥とする）。浮力と体} 積の関係から_{1 次方程式を解くことで求められ} る。見本船（_{𝑡𝑡𝑡𝑡＝0.5）の場合は，10𝑥𝑥𝑥𝑥＋5＝162} より，_{𝑥𝑥𝑥𝑥＝15.7 となる。式中の「10𝑥𝑥𝑥𝑥＋5」が見} 本船と重りの総重量，「_{162」が見本船の最大排} 水量（最大体積と同じ水の重さ）である。方程 式の自然数の解の「15」が，見本船に積載でき る重りの最大個数である。 改良船の体積最大（＊’）の場合は， _{𝑥𝑥𝑥𝑥＝29.8} となり，改良船に積載できる重りの最大個数は 29 個である。ただし，この理論値に基づいて改 良船を制作すると，中央部分（底面）の寸法が 重り1 個の寸法よりも小さくなるために重りを 積載できない。そこで，改良船の中央部分に重 りを配置できるように，_{𝑡𝑡𝑡𝑡の値を調整すると}注７）_， 𝑡𝑡𝑡𝑡≒0.102となり，体積は約300㎤となる。なお， 調整した場合でも，改良船に積載できる重りの 最大個数は29 個である。 44..66．．「「（（66））振振りり返返りり」」 耐水紙で制作した改良船に重りを積載し，水 槽に浮かべて実験することで数学的結果の妥当 性を検証する注８）_{。水中には表面張力を防ぐた} めに，食器用洗剤（無色）を適量混ぜている。 図7 の左図は，見本船に重りを 15 個積載し て実験したものである。見本船と重りの総重量 （約_{155g）が，見本船の最大排水量（約 162g）} を下回っているので浮いていた。一方，図7 の 右図は，見本船に重りを 16 個積載して実験し たものである。見本船と重りの総重量（約165g） が，最大排水量（約_{162g）を上回っているので} 水中に沈んだ。 図_{7 重りの積載実験（見本船）} 図8 の左図は，改良船の体積最大（𝑡𝑡𝑡𝑡≒0.102） に重りを29 個，図 8 の右図は，改良船の体積 最大（_{𝑡𝑡𝑡𝑡≒0.102）に重りを 30 個積載して実験} したものである。見本船の場合と同様に，重り を29 個積載した場合は浮き，30 個積載した場 合は水中に沈んだ。 図8 重り積載実験（改良船） �√2 − 1��√2𝑡𝑡𝑡𝑡 + 1�𝑏𝑏𝑏𝑏）の交点より，L��√2 − 1 − √2𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑏𝑏𝑏𝑏, �√2 − 1��√2𝑡𝑡𝑡𝑡 + 1�𝑏𝑏𝑏𝑏�となる。点 L と直 線AC の距離𝑑𝑑𝑑𝑑₁は， _{𝑑𝑑𝑑𝑑1}＝_{�2 − √2�(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑏𝑏𝑏𝑏 とな} る。よって，改良船の中央部分の横の長さは， 2LS＝2�2 − √2�(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑏𝑏𝑏𝑏 となる。 図5 改良船の展開図 2 続いて，改良船の「中央部分の縦の長さ」を 求める。点L と直線 BD に対して距離の公式を 用いて，線分_{LP の長さを求める。点 L と直線} BD の距離𝑑𝑑𝑑𝑑2は，𝑑𝑑𝑑𝑑2＝��√2−1−√2𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑏𝑏𝑏𝑏−�√2−1��√2𝑡𝑡𝑡𝑡+1�𝑏𝑏𝑏𝑏�_√2 より，_{𝑑𝑑𝑑𝑑2}＝_{√2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏 となる。よって，改良船の中} 央部分の縦の長さは，LK＝2𝑑𝑑𝑑𝑑₂＝_{2√2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏 となる。} 最後に，改良船の「先端部分の高さ」を求め る注４）_{。先端部分（四角錐）の高さの導出には，} 線分AS と線分 NH の長さに対して，三平方の 定理を用いれば，_{2�√2 − 1𝑏𝑏𝑏𝑏(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) となる。よ} って，中央部分の体積_{𝑉𝑉𝑉𝑉1}，先端部分の体積_{𝑉𝑉𝑉𝑉2}は， 𝑉𝑉𝑉𝑉1= √2�√2 − 1�2𝑎𝑎𝑎𝑎3(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2𝑡𝑡𝑡𝑡 （𝑎𝑎𝑎𝑎＝2𝑏𝑏𝑏𝑏） 𝑉𝑉𝑉𝑉2=2₃�√2 − 1� 5 2_{𝑎𝑎𝑎𝑎}3_{(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)}3 _{（𝑎𝑎𝑎𝑎＝2𝑏𝑏𝑏𝑏）} と，_{𝑡𝑡𝑡𝑡の 3 次関数となる。改良船全体の体積𝑉𝑉𝑉𝑉は，} 𝑉𝑉𝑉𝑉＝𝐴𝐴𝐴𝐴(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2_{𝑡𝑡𝑡𝑡＋𝐵𝐵𝐵𝐵(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)}3_{（𝐴𝐴𝐴𝐴: = √2�√2 − 1�}2_{𝑎𝑎𝑎𝑎}3_， 𝐵𝐵𝐵𝐵 ≔2₃�√2 − 1�52_{𝑎𝑎𝑎𝑎}3_{）…（＊）。なお，見本船の} 体積は，（＊）に _{𝑡𝑡𝑡𝑡 =0.5 ，改良船（A）の体積} は，（＊）に 𝑡𝑡𝑡𝑡 =1 4を代入すれば求まる。 ここから，折り紙船の大型化を考えるために， 改良船の体積が最大となる_{𝑡𝑡𝑡𝑡の値を求める。} 改良船の体積（＊）から，微分法を用いて最 大値を求める。_{𝑉𝑉𝑉𝑉の極値の候補は，𝑡𝑡𝑡𝑡 =} 𝐴𝐴𝐴𝐴−3𝐵𝐵𝐵𝐵 3(𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐵𝐵𝐵𝐵), 1と なる。定義域と増減から，_{𝑡𝑡𝑡𝑡 =} 𝐴𝐴𝐴𝐴−3𝐵𝐵𝐵𝐵 3(𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐵𝐵𝐵𝐵)が，𝑉𝑉𝑉𝑉の極 値となる。そこで，（＊）の_{𝐴𝐴𝐴𝐴，𝐵𝐵𝐵𝐵の値を代入し} て_{𝑡𝑡𝑡𝑡の値を求めると，𝑡𝑡𝑡𝑡 =} 𝐴𝐴𝐴𝐴−3𝐵𝐵𝐵𝐵 3(𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐵𝐵𝐵𝐵)＝ 1−�2�√2−1� 3−�2�√2−1� とな る。したがって，_{𝑉𝑉𝑉𝑉は，𝑡𝑡𝑡𝑡＝}1−�2�√2−1� 3−�2�√2−1� （≒0.043） …（＊’）のとき，最大値をもつ。なお，_{𝑉𝑉𝑉𝑉に（＊’）} を代入すると，_{𝑉𝑉𝑉𝑉≒0.074𝑎𝑎𝑎𝑎}3 _{となる（正方形用紙} の 1 辺の長さである𝑎𝑎𝑎𝑎＝16 を代入すると，𝑉𝑉𝑉𝑉≒ 303 となり，見本船の体積の約 2 倍であること が分かる）。 図_{6 は，改良船の体積のグラフである}注５）_。グ ラフは正方形用紙の1 辺が 16cm の場合を表示 している。グラフの縦軸は体積_{𝑉𝑉𝑉𝑉（㎤），横軸は} 変数_{𝑡𝑡𝑡𝑡（0＜𝑡𝑡𝑡𝑡＜1）である。改良船全体の体積は，} （＊’）のとき最大となる。ちなみに，中央部分 （直方体）の体積は，_{𝑡𝑡𝑡𝑡＝}1 3 のとき最大となる。

したがって，最終的な答えは，「折り紙船に積 載できる重りの最大個数は29 個」である。 ５ ５．．教教育育実実践践にに向向けけてて ここでは，今回開発したオリガミクスによる 数学教材を用いた教育実践の計画概要と，教育 実践の学習内容を述べる。 55..11．．教教育育実実践践のの計計画画概概要要 教育実践の計画概要は，次の通りである。 目標：（1）初等幾何や解析幾何の手法を用いて， 既習の数学内容を活用すること。（_{2）得られ} た結果の妥当性を，実験により検証すること。 対象：高等学校第2・3 学年 時間：計_{6 コマ（計 300 分程度）} 内容：1 回目では，個別（50 分）で見本船の体 積と積載できる重りの最大個数を，具体的な 数値をもとに求める。_{2～4 回目では，個別・} グループ（150 分）で改良船を制作し，体積 公式を作る。5・6 回目では，グループ（100 分）で改良船に積載できる重りの最大個数を 求め，実験から計算結果の妥当性を検証する。 55..22．．目目標標（（11））のの学学習習内内容容 目標（1）に関する学習内容は，改良船の体積 の一般化から，改良船に積載できる重りの最大 個数を求めることである（数学的探究モデルの 「（5）数学的処理」の段階）。改良船の体積の一 般化では，改良船の展開図・完成形の図形（点・ 直線・角など）に着目し，そこに数学内容（① ～⑩）を活用することが学習者に求められる（表 1）。表内の項目（⑧）の記号 A・B は「いずれ か選択」を表す。併せて，図_{9 は，表 1 の数学} 内容（①～⑩）を対応させたものである。 解析幾何の手法を扱う項目（③・④）につい ては，展開図の中から必要な図形を見出し，そ の性質と関連させながら適切な数学的処理をす ることが困難であると予想される。さらに，紙 を折る程度によって，「改良船の高さ（線分_NH）」 と「折った部分（線分GN）」の比が変化するこ とを理解した上で，項目（⑦）を数学的処理す ることにも困難性が生じると考えられる。これ らの項目では，紙を折る活動を通じて，学習者 の内容理解を確認しながら活動に取り組ませる。 この後に続く「重りの最大個数」の求め方に ついては，浮力と体積の関係を丁寧に抑えた上 で，改良船の体積を一般化し，微分法による3 次関数の最大値を求めさせる。 表_{1 目標（1）の学習内容} 改良船 数学内容 中央部分の高さ 解析幾何 ① 点 A～点 D ② 直線 BD ③ △ACD（∠CAD） ④ 点 F ⑤ 直線 AF ⑥ 点 G ⑦ 点 N（GN，NH） ① 座標 ② 直線の方程式 ③ 角の二等分線と比 ④ 線分の内分点の座標 ⑤ 直線の方程式 ⑥ 2 直線の交点 ⑦ 線分の内分点（t：1－t） 中央部分の縦・横 初等幾何 ⑧-A △ALR と△ALS ⑧-B 点G（△ACD，△JKL） ⑨ △ACG と△LKG ⑧-A 三角形の合同 ⑧-B 三角形の内心・内接円 ⑨ 三角形の相似 先端部分の高さ 初等幾何 ⑩ 線分AS と線分 NH ⑩ 三平方の定理 図_{9 数学内容との対応（表 1 参照）} 55..33．．目目標標（（22））のの学学習習内内容容 目標（2）に関する学習内容は，改良船に積 載できる重りの最大個数の計算結果が妥当であ るかを，実験により検証することである（数学 的探究モデルの「（6）振り返り」の段階）。 まずは，理論値に基づいて正確に改良船を制 作し，そこに重りを正確に配置することが求め られる。この時点で「改良船が制作できない」，

「計算通りに重りが積載できない」などの不都 合が生じる場合は，理論値に誤りがある可能性 が高いため，求めた数学的結果を見直す必要が ある。次に，重りを積載した改良船が実際に水 槽に浮くのかを確かめ，実験結果を記録・整理 させる。ここでは，実験結果と計算結果の誤差 を評価し，本問題に対する最終的な答えを決定 することに困難性が生じると考えられる。実験 で得られた結果から，計算結果が妥当であるの か，妥当であればなぜそういえるのかといった 根拠や理由を，全体共有する活動を取り入れる。 ６ ６．．結結語語 本研究の目的は，数学的探究の習得を目指し た高等学校の「理数科」および「数学科」の内 容として，オリガミクスを取り上げ，船の荷物 積載を題材とした数学教材を開発することと， 本教材に関する数学的探究の習得の可能性を探 ることであった。 本研究の成果をまとめると，次の2 点である。 第一に，高等学校の理数科の「探究の過程を 通じた課題解決」，数学科の「算数・数学の問題 発見・解決」の双方に応じ得ると考えられる数 学的探究モデルの枠組みに従って，オリガミク スによる船の荷物積載を題材とした数学教材を 開発できた。 第二に，数学的探究の習得の可能性について， 本教材では，見本船の折り方を変更して改良船 を制作し，改良船の展開図・完成形を分析から， 改良船に積載できる重りの最大個数を求めた。 学習者が紙を折る操作活動を通して，展開図・ 完成形に潜む数学内容を見出すことや，求めた 計算結果を実際に確認することは，「（_5）数学 的処理」の段階を遂行する上での一助になると 考えられる。また，「（6）振り返り」の段階に おける最終的な答えの決定では，重りを積載し た折り紙船を水槽に浮かべる実験まで行った。 学習者が数学的結果の妥当性を検証するという 目的意識の下で，最終的な答えを決定すること は，問題の設定，解決手法の考案，情報収集・ 情報整理を再考する機会を持たせる点でも有効 であると考える。 今後の課題は，教育実践の計画案に基づき， 高校生を対象に本教材を用いたオリガミクスに よる教育実践を行うことで，本教材の有効性を 検証することである。 注 注 1）「見本船」とは，Jo Nakashima（2016）の 折り紙作品に，筆者が名付けた造語である。 「改良船」とは，筆者が「見本船」を改良し て制作した折り紙作品に名付けた造語である。 2）Jo Nakashima（2016）の制作工程では，右 舷と左舷にある紙で五角形を制作している が，制作手間の削減のために，右舷と左舷に ある紙を見本船の外板にセロハンテープで 固定することにした。今回，見本船と改良船 の制作には，1 辺が 16cm の正方形用紙を用 いることにする。 3）図 4 の展開図の作成には，「友田勝久「関数 グラフソフト GRAPES」ホームページ，http ://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grape s/（2019 年 9 月 26 日現在）」の関数グラフ作 成ソフトを利用している。 4）先端部分の体積は，「改良船の高さ」と「中 央部分の横の長さ」の積が，「四角錐の底面積」 となるため，後は，「四角錐の高さ」を求めれ ばよい。 5）注 3 と同じである。 6）船の荷物の代用として，自動車のタイヤホ イールに使われている「バランスウェイト」 を重りとして扱うことにする。 7）改良船の中央部分の縦の長さ（16√2𝑡𝑡𝑡𝑡 cm） に，重り_{1 個分を積載するように調整するの} ので，重りの横の長さ（2.3cm）を対応させ ると，_{16√2𝑡𝑡𝑡𝑡＝2.3 より，𝑡𝑡𝑡𝑡≒0.102 となる。} 8）見本船と改良船の重りの積載実験について は，「「算数科－GAKUMACHI.KYOTO」京 都教育大学公式サイト，http://gakumachi.ky oto/?cat=88（2019 年 9 月 26 日現在）」にお いて，動画閲覧ができる。 付 付記記 本稿は，「葛城元・林慶治・黒田恭史，コン テナ船の荷物積載を題材とした折り紙数学教材 の開発，数学教育学会秋季例会予稿集，_pp.46-48， したがって，最終的な答えは，「折り紙船に積 載できる重りの最大個数は29 個」である。 ５ ５．．教教育育実実践践にに向向けけてて ここでは，今回開発したオリガミクスによる 数学教材を用いた教育実践の計画概要と，教育 実践の学習内容を述べる。 55..11．．教教育育実実践践のの計計画画概概要要 教育実践の計画概要は，次の通りである。 目標：（1）初等幾何や解析幾何の手法を用いて， 既習の数学内容を活用すること。（_{2）得られ} た結果の妥当性を，実験により検証すること。 対象：高等学校第2・3 学年 時間：計_{6 コマ（計 300 分程度）} 内容：1 回目では，個別（50 分）で見本船の体 積と積載できる重りの最大個数を，具体的な 数値をもとに求める。_{2～4 回目では，個別・} グループ（150 分）で改良船を制作し，体積 公式を作る。5・6 回目では，グループ（100 分）で改良船に積載できる重りの最大個数を 求め，実験から計算結果の妥当性を検証する。 55..22．．目目標標（（11））のの学学習習内内容容 目標（1）に関する学習内容は，改良船の体積 の一般化から，改良船に積載できる重りの最大 個数を求めることである（数学的探究モデルの 「（5）数学的処理」の段階）。改良船の体積の一 般化では，改良船の展開図・完成形の図形（点・ 直線・角など）に着目し，そこに数学内容（① ～⑩）を活用することが学習者に求められる（表 1）。表内の項目（⑧）の記号 A・B は「いずれ か選択」を表す。併せて，図_{9 は，表 1 の数学} 内容（①～⑩）を対応させたものである。 解析幾何の手法を扱う項目（③・④）につい ては，展開図の中から必要な図形を見出し，そ の性質と関連させながら適切な数学的処理をす ることが困難であると予想される。さらに，紙 を折る程度によって，「改良船の高さ（線分_NH）」 と「折った部分（線分GN）」の比が変化するこ とを理解した上で，項目（⑦）を数学的処理す ることにも困難性が生じると考えられる。これ らの項目では，紙を折る活動を通じて，学習者 の内容理解を確認しながら活動に取り組ませる。 この後に続く「重りの最大個数」の求め方に ついては，浮力と体積の関係を丁寧に抑えた上 で，改良船の体積を一般化し，微分法による3 次関数の最大値を求めさせる。 表_{1 目標（1）の学習内容} 改良船 数学内容 中央部分の高さ 解析幾何 ① 点 A～点 D ② 直線 BD ③ △ACD（∠CAD） ④ 点 F ⑤ 直線 AF ⑥ 点 G ⑦ 点 N（GN，NH） ① 座標 ② 直線の方程式 ③ 角の二等分線と比 ④ 線分の内分点の座標 ⑤ 直線の方程式 ⑥ 2 直線の交点 ⑦ 線分の内分点（t：1－t） 中央部分の縦・横 初等幾何 ⑧-A △ALR と△ALS ⑧-B 点G（△ACD，△JKL） ⑨ △ACG と△LKG ⑧-A 三角形の合同 ⑧-B 三角形の内心・内接円 ⑨ 三角形の相似 先端部分の高さ 初等幾何 ⑩ 線分AS と線分 NH ⑩ 三平方の定理 図_{9 数学内容との対応（表 1 参照）} 55..33．．目目標標（（22））のの学学習習内内容容 目標（2）に関する学習内容は，改良船に積 載できる重りの最大個数の計算結果が妥当であ るかを，実験により検証することである（数学 的探究モデルの「（6）振り返り」の段階）。 まずは，理論値に基づいて正確に改良船を制 作し，そこに重りを正確に配置することが求め られる。この時点で「改良船が制作できない」，

2017．」と「葛城元・黒田恭史，折り紙数学を 用いた解析幾何の教育実践－高校生を対象とし て－，日本・中国数学教育国際会議論文集， pp.77-80，2017．」の内容を大幅に加筆・修正 したものである。 引 引用用・・参参考考文文献献 Jo Nakashima，折り紙 「カヌー」 の折り方， YouTube 公式サイト，2016．https://www. youtube.com/watch?v=X8tp6fVEwF（2019 年_{9 月 26 日現在）} 葛城元・黒田恭史，科学的思考方法の習得を目 指したオリガミクスによる数学教材の開発 －ダイヤカット缶を題材として－，数学教 育学会誌，57（3・4），pp.125-139，2016． 葛城元・黒田恭史・林慶治，数学教育における 知識創造を目指した数学的探究モデルの設 計と教育実践，知識共創，7，Ⅳ3.1-12，2017． http://www.jaist.ac.jp/fokcs/（2019 年 9 月 26 日現在） 葛城元・黒田恭史，小学校算数科の図形領域に おける折り紙の教育実践－伝承文化を取り 入れた連続折りの活動を通して－，京都教 育大学教育実践研究紀要，_{18，pp.53-62，} 2018． 葛城元・深尾武史・黒田恭史，高校1 年生を対 象とした斜方投射の数学授業の実践，京都 教育大学教職キャリア高度化センター教育 実践研究紀要，1，pp.65-74，2019． 川崎豊彦，これだけ！ _{船舶，秀和システム， 2014．} 木田重雄，なっとくする流体力学，講談社，pp. _{59-61，2003．} 黒田恭史，中等教育におけるオリガミクスを活 用した平面幾何教育のあり方について，数 学教育学会誌，54（3・4），pp.135-144， _2013． 黒田恭史・岡本尚子，幾何教育における実践； 黒田恭史編著，数学教育実践入門，共立出 版，_{pp.87-138，2014．} 國府寛司，数学と諸分野の協働の推進のために 数学・数理科学の教育について考えること， 数学教育学会秋季例会発表論文集，_{pp.142- 143，2015．} 商船三井，暮らしと産業をささえるいろいろな 船，株式会社商船三井，pp.1-12，2014． 杉山文子・野島武敏，エデュテインメント性を 有する教育用数理折紙モデルの提案－アル キメデス螺旋状折線を用いた膜の巻き取り 収納モデル－，数学教育学会誌，50（1・2）， _{pp.15-25，2009．} 杉山文子・野島武敏，正多角形要素からなる平 面充填型膜の螺旋状折線を用いた収納モデ ル－エデュテインメント性を有する教材の 開発－，数学教育学会誌，51（1・2），pp.25- 38，2011． 高見寿，教室でできる_{5 分間ぶつり実験，日本} 評論社，pp.73-80，85-89，2009． 滝川洋二・山村紳一郎編著，ガリレオ工房の科 学あそび _{PART2，共同印刷，pp.68-69，} 2001． 中野友裕，大学新入生のためのやさしい力学， 森北出版，pp.58-67，2012． 西川誠司，折り紙学 _{起源から現代アートまで，} 今人舎，2017． 芳賀和夫，オリガミクスによる数学授業，明治 図書，_1996． 萩原一郎・奈良知恵，おもしろサイエンス折り 紙の科学，日刊工業新聞社，2019． 町田彰一郎，現実をどのように教材化するか－ 壁紙模様幾何を素材にして－；横地清編著， 図形・幾何の体系化と実践，ぎょうせい， _{pp.195-224，1983．} 松宮哲夫・柳本哲編著，総合学習の実践と展開， 明治図書，pp.16-19，1995． 三浦公亮・川崎敏和編著，折り紙数理の広がり， 森北出版，_2018． 宮原里奈・愛木豊彦，浮力を題材とする「課題 学習」の提案と実践，岐阜数学教育研究， _{8，pp.47-62，2009．} 宮原里奈・愛木豊彦，浮力を題材とする「課題 学習」の提案と実践Ⅱ，岐阜数学教育研究， _{9，pp.1-8，2010．} 文部科学省，高等学校学習指導要領（平成30 年告示）解説 数学編 理数編，学校図書， _2019．