• 検索結果がありません。

セール予想の証明 : 一般の場合

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

シェア "セール予想の証明 : 一般の場合"

Copied!
22
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

山内 卓也(大阪府立大学) 0.序文

本稿の目的はKhare とWintenberger によるセール予想の証明[26], [27]を解説すること である. 証明で使われる重要な結果はmod pガロア表現のstrictly compatible system への minimal lifting theorem (以下, LTと略記する) とmodular lifting theorem (主に4タイプ, Taylor-Wiles, Skinner-Wiles, Kisin, Khare-Wintenberger)の二つである. 証明は[27]で与えら れているが,ページ数が多くなるためここでは解説しないことにする. これらの結果は認めて しまえば,セール予想の証明をフォローすることは難しくはない.

証明の方法はレベルとガロア表現(の表現空間)の漂数p(又は,重さ)による二重帰納法で証明 される. 詳しい説明は後にして,どのように証明されるかをラフに述べる. ρ: GQ −→GL2(Fp) をSerre type のガロア表現とする. ρに適当なminimal lifting theorem(=LT)を適用しガロア 表現の族(ρp)pを構成する. ρとはρp modp=ρという関係で結ばれている. 適当な素数p1 に 対して, ρ1 :=ρp1 modp1 を考える. 再び,ρ1にLT を適用し,族(ρ1p)pを構成する. 以下,これ を繰り返して(途中でTate twist などをとる必要があるが)n回目で族(ρnp)pのある素数P に 対して, ρn+1 :=ρnP mod P がmodular form fに付随するmod P ガロア表現でρf あったと する:

p)p ∋ρp1

$$I

II II II II

I1p)p

!!B

BB BB BB

Bnp)p

%%J

JJ JJ JJ JJ

ρ

LTvvvvvvv;;

vv vv

ρ1

LT|||||||>>

|

ρ2 ... ρn

LT|||||||==

| ρn+1 =ρf

ρn+1 が modularであることがわかったなら, 今度は矢印を逆向きにたどって,ρに帰りたくな

る. そこで用いるのがModular lifting theorem (=MLT)である:

p)p ∋ρp1

{{vvvvvvvvvvv

1p)p

~~||||||||

np)p

}}||||||||

ρ ρ1

dd MLT

IIIIIIIIII

ρ2

aa MLT

BBBBBBBB

... ρn ρn+1 =ρf

ee MLT

JJJJJJJJJ

右端のmodularity が次々と伝播し, 最後はρがmodularity を得るのである.

ではどのようにして, ρn+1のmodularity を示すかであるがそれは次のように行う. 上記の 操作を巧みに用いることで, ρn+1のSerre weight およびlevel はρのそれらよりも小さくなる ことが分かる. よって, Serre weight およびlevel が小さいガロア表現のmodularity に帰着さ

れる(帰納法の第一段階). この部分は田口氏[47]によって解説されており,この結果は認める

ことにする. また, 萩原氏の論説ではlevel 1の場合[25]が解説されており, 帰納法に関する基 本的アイデアはそこで初めて登場する. こちらも合わせて参照されたい.

以下ではmodular lifting theorem のことをMLT と略記する.

1

(2)

1. 主結果 まず, セール予想について復習しておく.

定義. pを素数. FをFpの有限次拡大とする. このとき,連続, 絶対既約かつ, 奇である1二次元 modpガロア表現ρ: GQ := Gal(Q/Q)−→GL2(F) のことをSerre type または, S-type と呼 ぶ. 以下, 便宜上 pのことをρの漂数と呼び, char(ρ) =pと表すことにする.

セール予想. ([42]) S-type ガロア表現ρ: GQ −→GL2(F)はモジュラー. つまり, ある elliptic newformf が存在して, ρ∼ρfとなる.

S-typeガロア表現ρが与えられると, Serre weight k(ρ), Serre levelN(ρ)が定まるのであっ た(cf. [42], [17]). 一般に, 2 k(ρ) ≤p21 であり, ある整数jがあって, 2 k(χpj ⊗ρ) p+ 1, (p > 2)とできる(cf. [39]). p = 2の場合は定義からk(ρ)∈ {2,4}である. また, N(ρ) は定義からchar(ρ) = pと素な正の整数である.

Serre はさらにρが どのような modular form からくるかも予想した.

セール予想の精密版.([42])S-type ガロア表現ρ: GQ −→GL2(F)はSk(ρ)1(N(ρ)))からくる.

注意. char(ρ) = pが奇数のとき, セール予想の精密版とセール予想は同値であることが知ら

れている[11]. p= 2のときは, Buzzard, Wiese によって, ある条件の下で同値性が示されて

いる[6],[53].

Khareは論文[25]において, level 1 (N(ρ) = 1)の場合にセール予想の精密版を証明した.

定理1.1. S-type ρN(ρ) = 1を満たすとき, ρSk(ρ)(SL2(Z))からくる.

その後, locally good dihedral という概念を導入し, 定理1.1を拡張した[26].

定理1.2. S-type ρ の漂数をpとする.

(i)pN(ρ)は共に奇数とする. このとき, ρSk(ρ)1(N(ρ)))からくる.

(ii) p= 2かつ k(ρ) = 2とする(定義からレベルは奇数になる). このとき, ρS21(N(ρ))) からくる.

この結果とKisin の2-adic modular lifting theorem を使うことで, セール予想の精密版が 従う(p= 2の場合にもセール予想の精密版が証明されていることに注意.):

定理1.3. 任意の S-type ρ ガロア表現はSk(ρ)1(N(ρ)))からくる.

この結果の系として, 次の重要な結果が得られる:

1.4. 任意のArtin type ガロア表現ρ: GQ −→GL2(C)はS11(N(ρ)))からくる.

定理1.2 の証明のアイデアは(i) ”locally good dihedral” という概念の導入, (ii) 重さ2への 帰着(weight cycles), (iii) Killing ramification (KisinのMLTへ帰着と帰納法) の三つである.

1detρ(c) =1,cは複素共役. p >2 のとき, ρodd であるとき, 既約であることと絶対既約であることは 同値であることを注意しておく.

(3)

(i)の概念はS-type ガロア表現ρの中である良いクラスを定め, ρの像が大きい(非可解)な ど,いくつかの良い性質をもつ. 特に,「ρの勝手なstrictly compatible system へのlift をとっ たとき, 別の素点でreduction をとったものも同様の性質を満たす.」という事実は証明に頻繁 に使われる. 一般にガロア表現の像が小さい場合のMLTには強い仮定がガロア表現に課され るため定理の適用に制限がかかる. しかし, (i)の導入によって,このような(ρの像が小さい場 合のMLTを適用しなければならないという)状況をできるだけ回避することができる.

これらの結果の証明は8,9,10節で与える.

2. Locally good dihedral

次の関数を考える: Q:N−→N, Q(1) = 1, Q(n) = max{p素数| p|n}.

定義2.1. pを素数,ρ: GQ −→GL2(Fp)を連続表現とする. 素数q ̸=pが次の条件を満たすと き, qρに対するgood dihedral prime と呼ぶ:

(i) ρ|Iqは Ã

ψ 0 0 ψq

!

の形(これより, q2|N(ρ)がわかる). ただし, ψは惰性群Iqの非自明 な指標で,その位数は次の性質を満たす奇素数tの冪: t|q+ 1, t >max{Q(N(ρ)

q2 ),5, p}. (ii) q≡1 mod 8 かつmax{Q(N(ρ)

q2 ), p}以下のすべての素数rに対して, q≡1 mod r.

ρに対して, この条件を満たす素数q ̸=pが存在するとき, ρはlocally good dihedral, 又 は, q-dihedralであるという. 定義から, ρ|Dqは既約であり, ρ(Dq)のprojective image は位 数2ta, (ord(φ) = ta)のdihedral group である.

3. 補助定理たち 整数r≥1に対して, 次の二つのhypothesis を考える.

(Lr)次の条件を満たすS-typeρはモジュラー:





(a) locally good dihedral

(b) もしp= 2ならばk(ρ) = 2を満たす (c) N(ρ)は奇数で, その素因子の数はr以下

(Wr)次の条件を満たすS-typeρはモジュラー:





(a) locally good dihedral (b) k(ρ) = 2

(c) N(ρ)は奇数で, その素因子の数はr以下 (Lr)と(Wr)の違いは重さk(ρ)の条件にのみ現れる.

定理1.2 を証明するために, 次の主張を証明する. この部分が論文の大半を占めることに なる.

定理3.1. (1) (W1)は成立する.

(2) (Lr)は (Wr+1)を導く.

(3) (Wr)は (Lr)を導く.

3.2.すべてのr 1に対して, (Wr), (Lr)が成立.

次に, この系3.2を用いて, “locally good dihedral” case からgeneral caseへ移行する.

(4)

定理3.4すべての非負整数r≥0に対して,次のhypothesis を仮定する.

(Dr) 次の条件を満たすS-type ρ はモジュラー:





(a) locally good dihedral (b) char(ρ) =p は奇数 (c) N(ρ)は2r+1で割れない このとき,次の条件を満たすS-type ρ はモジュラー:





(i) char(ρ) = 2かつ r= 0ならば, k(ρ) = 2 (ii) N(ρ)は2r+1で割れない 注意. 系3.2はhypothesis (D0)を導き,さらに,定理3.4から,定理1.2が従う. また, hypothesis (D1)から, char(ρ) = 2のS-type ρはモジュラーであること(char(ρ) = 2かつ= 0より,仮定 から重さの制限がなくなっている)と, char(ρ) = pが奇数のS-type ρで, N(ρ)が4で割れな いものはモジュラーであることが導かれる.

Kisin の2-adic modular lifting theorem を用いて, hypothesis (Dr) をすべてのr 0に対 して証明し, 定理1.2 を完結させる.

この節の定理たちの証明は8節で与える.

4. Modular lifting results

この節では, 3節で説明した定理の証明に必要な結果を紹介する. ここで紹介する結果はセー ル予想の証明において大変重要な役割を果たすのだが, ここでは結果を紹介するに留める.

ρ: GQ −→GL2(F)をS-type とし, 次の仮定を設ける:

(i) 2≤k(ρ)≤p+ 1, (p >2)

(ii) p= 2のとき, Im(ρ)はnon-solvable group,

ρρp-adic liftとする. つまり,剰余体がFであるようなO =OK(KはQpの有限次拡 大)を係数にもつ連続表現ρ: GQ −→GL2(O)であって, 次の可換図式を満たすもの:

GQ

ρGGGGG##

GG GG

ρ// GL2(O)

²² mod

GL2(F)

以下, ρがHodge-Tate 表現であり, Hodge-Tate weight (k1,0), k 2を持つとき,「ρは 重さkである」という.

定理4.1ρを上記の仮定を満たすものとし, さらに, modularであると仮定する. このとき, 次 が成立:

(1) (p= 2の場合)ρの2-adic odd lift ρ は有限個の素点以外で不分岐であって, 次のどちらか 一方を満たせばρはmodular:

(i)ρp= 2において重さ2のcrystalline表現(Barsotti-Tate 表現であることと同値) (ii) ρp= 2において重さ2のsemi-stable 表現(k(ρ) = 4のときに限る)

(2) (p >2の場合)ρのp-adic odd liftρ は有限個の素点以外で不分岐であって, 次のどちらか 一方を満たせばρはmodular:

(5)

(i)ρpにおいて重さk(2≤k ≤p+ 1)のcrystalline 表現 (ii) ρpにおいて重さ2のsemi-stable 表現

5. Lifting results

この節では幾何学的ガロア表現やガロア表現の(strictly) compatible system について簡単 に解説した後で, 「ρはその局所的な条件によって, 様々な性質をもつ(strictly) compatible

systemに持ち上がることができる」という定理を紹介する. その前に, 記号の準備をする.

pを素数とし,埋め込みιp :Q,→Qpを固定. χp : GQ −→Z×pp進円分指標,ωp : GQ −→Z×p

をmodp 円分指標χpのTeichm¨uller liftとする. 以下では, ιιp1p) : GQ −→Z× のことも同 じ記号ωpで表すことにする.

同様に, level 2の fundamental characterωp,2 :Ip −→Z×pιιp1p,2)とを同じ記号で表す ことにする.

Kを代数体, pを素数とする. (連続な)ガロア表現ρ : GK −→GLn(Zp)が幾何的であると は次の性質を満たすときをいう:

(i)ρが分岐するようなKの素点は有限個

(ii) Kのすべての素点でρはpotentially semi-stable (cf. [20])

注意.(i) pを割らないF の素点に対して, ρは常に(ii)の仮定を満たす(Grothendieck のモノ ドロミー定理).

(ii) K =Q, n= 2のとき,無限個の素点で分岐するようなsemi-stable 表現が存在する[36].

定義. E を代数体とする. このとき, 各埋め込みι : E ,→ Qによって, 添え字付けされ た組(ρι) = (ρι)ι

:E,→Q で, 次の性質を満たすデータが与えられているとき, (ρι)のことを E-rational, 2次元幾何的表現のstrictly compatible system という:

(i) 各と埋め込みιに対して, 2次元半単純幾何的表現ρι : GQ −→ GL2(Q) が与えられて いる.

(ii) F の素点qとフロベニウス半単純表現rq : WDq −→ GL2(E)が与えられていて, 次を満 たす:

a)有限個のF の素点を除くすべてのF の素点qに対して, rqは不分岐

b)各F の素点qに対して, ρι|Dqに付随するWeil-Deligne 群はrqιQと共役.

(iii) ある整数a, b(a≥b)が存在して, 任意のに対して, ριのHodge-Tate weight は(a, b).

定義.(1) E を代数体, ρ : GQ −→ GL2(F)をmod pのガロア表現とする. このとき, ρE-rational 2次元strictly compatible system (ρι) に持ち上がるとは, ρ ριp となるときを いう.

(2) 各ιに対して,ριがodd (resp.既約)な表現のとき, (ρι)はodd (resp.既約)であるという.

(3) ρp =ριpがminimal であることの定義は[12](p >2), [27](p= 2)を参照. ρのminimal lift がρpであるとき,それぞれのArtin conductor は一致する(一般にはN(ρ)|Np)).

定理5.1. S-type ρの漂数をpとし, 次を仮定:

(i) 2≤k(ρ)≤p+ 1, (p >2)

(ii) p= 2のとき, Im(ρ)はnon-solvable group.

(6)

このとき,次が成立する.

(1). もしp= 2ならば, k(ρ) = 2と仮定. このとき, ρE-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι)でρp :=ριppを割らない素点ではminimally ramified かつpで重さ k(ρ)のcrystalline表現となるようなものにリフトする.

(2). ρE-rational 2次元既約oddな strictly compatible system (ρι)でρp :=ριppを割ら ない素点ではminimally ramified かつpで重さ2. ρppでのinertia Weil-Deligne parameter はk(ρ) ̸=p+ 1 (p >2),または, k(ρ) ̸= 4 (p= 2)のとき, (ωk(ρ)p 2 1,0), それ以外のときは (id2, N),(Nは非自明な冪零行列).

(3). 奇素数qq||N(ρ)かつp|q−1を満たすものが存在すると仮定. このとき, qの満たす条 件から, ρ|Iq

à χ

0 1

!

の形になる(cf. [12]). ただし, χIqの指標で(Z/qZ)を経由する もの.

いま, 指標χ :=ωiq:Iq −→Zpで,χのreduction がχとなるものとする. ただし, p= 2の ときはiは偶数と仮定する.

このとき, ρE-rational 2次元既約oddな strictly compatible system (ρι)でρp :=ριpp, qを割らない素点ではminimally ramified かつpで重さ2. ρppにおいて, 次のいずれか の条件を満たす:

(i) semi-stable of weight 2 (ii) Barsotti-Tate overQpp)

(iii) もしk(ρ) = 2ならば, Barsotti-Tate さらに, ρp|Iq

à χ 0 1

!

の形で, ρqχqの適当な冪による捻りでρqのSerre weight は i+2 またはq+ 1−i のどちらかをとることができる.

(4). q ̸=pp|q+ 1を満たす素数. ρ|Dqは(必要なら)不分岐指標の捻りにより, Ã

χp 0 1

!

の形をしていると仮定. , χq}IqのZpに値を持つ, レベル2の基本指標でp冪位数をも つものとする. 順番を入れ替えることでχ =ωq,2i ωqjq,2, (0≤j < i ≤q−1)としてよい. さら に, p= 2のときはi+jは偶数であると仮定.

このとき, ρE-rational 2次元既約oddな strictly compatible system (ρι)でρp :=ριpp, qを割らない素点ではminimally ramified かつpで重さ2. ρppにおいて, 次のいずれか の条件を満たす:

(i) semi-stable of weight 2 (ii) Barsotti-Tate overQpp)

(iii) もしk(ρ) = 2ならば, Barsotti-Tate さらに,ρp|Iq

Ã

χ 0 χq

!

の形で, もし, qが奇素数ならば, ρqχqの適当な冪による捻 りでρqのSerre weightは

(

q+ 1(j−i) または(j−i) j > i+ 1のとき

q j =i+ 1のとき ととることが できる.

(7)

注意.(i) 定理5.1 の(1)は重さは変わらないが, crystalline リフトで分岐する素点の個数が変 わらないというところが利点であり,定理5.1(2)は分岐する素点の個数が高々1つ増える可能 性があるものの重さが2のliftが構成されるところが利点である. 証明を読めばわかるが, (1) と(2)は多用するが, (3)と(4)は余り使わない.

(ii) 定理5.1(3), (4)のSerre weightの計算はSavittよる[41]. また,p= 2のparity条件はlift がoddであることを保証している.

(iii)定理5.1-(2)について,重さが2(つまり, Hodge-Tate weight (0,1))なので,N = 0のときは, ρ はpotetially crystalline (この場合, potetially semi-stableと同値)表現となり,逆に,N ̸= 0 のときはそうならない(cf. [20],[23]).

6. 有益な補題

この節ではいくつかの補題を紹介する. 内容は群論に関するものとガロア表現の簡単にわ

かる(が重要な)性質に関するものである. 群論に関する部分の結果はDickson によるものだ

が, p= 2の場合はより精密な結果が得られる.

Fp2に既約に作用するGL2(Fp)の有限部分群のprojective image (i.e. 自然な射影GL2(Fp)−→

PGL2(Fp) := GL2(Fp)/Fpによる像)は

dihedral group, A4, S4, A5, PSL2(F), PGL2(F), (FはFpの有限次拡大)

のどれかとなる. ここで, PSL2(F)が単純群となるためには|F| ≥4という条件が必要十分で あることを注意しておく. また, PSL2(F2)≅S3, PSL2(F3)≅A4である.

次の補題は上記の分類をp= 2の場合にrefineしている.

補題6.1. F22に既約に作用するGL2(F2)の有限かつ可解な部分群のprojective image H は dihedral group である.

(証明) Dickson の分類より, H

dihedral group, A4, S4 のどれかなので,後ろの2つの場合を締め出せばよい.

A GL2(F2)が2冪位数であるとき, Aの位数は1か2であることが簡単な計算でわかる (A2m = 12 ⇐⇒(A1)2m = 0⇐⇒(A1)2 = 0). よって,Hに位数4の元は存在しない. 従っ て, H =S4となることはない.

H =A4のとき,A4の正規部分群をK4(クラインの4元群)とする. 上で見たように, GL2(F2) の2冪位数の元は位数1か2なので,漂数が2であることからunipotent matrix であることが わかる. よって, Lie-Kolchinの定理(cf. [46])より, 2冪位数の元の成す群は上三角行列の成す 群のある部分群と共役である. PGL2(F2)でも同様で, 特に, K4

à 1 0 1

!

の形をしている.

K4A4の正規部分群なので, H =A4

à ∗ ∗ 0 1

!

の形をしていなければならないことが直

(8)

接計算からわかる. HのGL2(F2)への引き戻しにGは含まれるのだから, G

à ∗ ∗ 0

! の 形をしており, GはF22に既約に作用するという仮定に矛盾. (証明終わり)

次の補題は有用で特に, (ii)はSerre weightが2のガロア表現を円分体の絶対ガロア群に制 限したときに, 既約であることを保証するために使われる.

補題6.2.(1) S-type ガロア表現ρ : GQ −→ GL2(F) でそのprojective image がdihedral のと き, ρはモジュラー. さらに, ρSk(ρ)1(N(ρ)))からくる.

(2) ρ : GQ −→ GL2(F)をS-type ガロア表現, char(ρ) = pは奇素数, 2 k(ρ) p+ 1 とし, ρ|GQp)は可約であると仮定する. このとき,k(ρ) = p+ 1

2 かまたはp+ 3

2 である.

(証明) (i)p > 2のときはmodular (かつセール予想の精密版との同値性も知られている)であ

ることはwell-known でセール予想の精密版との同値性も知られているので(cf. [35]). p = 2

のときは補題6.1 よりprojective image がdihedral だからmodular であることはwell-known (cf. [42]の5節). 精密版は[53]の結果から従う.

(ii) (実際の証明では飛躍した議論をしているので注意.) 仮定より, ρ|GQp)は可約なので, Ã ∗ ∗

0

!

の形をしている. ρ|GQp)の半単純化へのwild 作用はないので, もし, ρ|GQp) が wild action を持てば, ̸= 0. 特に,

à 1 1 0 1

!

の形の元を含む. これより, GQp)は GQ は正 規部分群なので, ρ

à ∗ ∗ 0

!

の形をしてなければならないので, ρの既約性に反する. よっ て, ρ|GQp)pでtame. 特に,Q(µp)/Qはpでtame なので,ρpでtame.

ρ|GQp)は可約なので, 像は可解群. 特に, ρの像も可解群である. Dickson の分類から, Imρproj

dihedral group, A4, S4

のどれか. ρ(Ip)はtame なので,アーベル群である. これらの条件から, S4の正規部分群が非 アーベルなのでこれはない. A4のときは正規部分群はクラインの4元群K4で補題6.1 と同 様の議論から, ρが可約となり矛盾. よって, dihedral group の場合しかない(実はA4, S4にあ たる場合はρが絶対既約になること知られているのでdihedral group になることはすぐにわ かる). この群のinvolutionにはQ(µp)に含まれるQの2次体(p̸= 2より必ず存在) が対応し ているので, ♯ρproj(Ip) = 2.

あとはSerre weight の定義からk(ρ)が容易に計算できる. (証明終わり)

補題6.3. 連続ガロア表現ρ: GQ −→GL2(F)はある素数qに関して locally good dihedral で あるとする. このとき,次が成立:

(i) Imρ=ρ(GQ)は可解ではない.

(ii) (ρι)をρの勝手なstrictly compatible system lift で分岐する素数はすべてN(ρ)pを割り, ρp|Dqρ|Dq のminimal lift であるとする. このとき, max(Q(Nq(ρ)2 ), p)以下のすべての素数r に対して,ρrqにおいてlocally good dihedral. とくに, Imρrは可解ではない.

(9)

(証明) (i) 定義より,ρ(Iq)は

à ψ 0 0 ψq

!

の形. ただし, ψは惰性群Iqの非自明な指標で,その 位数は次の性質を満たす奇素数tの冪: t|q+ 1, t >max{Q(N(ρ)

q2 ),5, p}. ここで, もし,ρ|Dqが可約なら,

à ϕ 0 ϕ

!

の形で, ϕ|Iq =ψをみたす. ϕ:Dq −→Fp を考 えると, その導手は, qであり, 像は(Z/pZ)×(Z/qZ) を経由する. ψの位数は奇素数tの冪 より, t|p−1または, t|q−1だが, tのとり方からt|q+ 1かつt > pなので矛盾. よって,ρ|Dq は既約. 特に,ρも既約.

ここで, Imρが可解であるとして矛盾を導く. もしそうなら, Dickson の定理より, ρの projective image は

dihedral group, A4, S4

のどれか. t >5はprojective imageの位数を割るのだから,A4, S4ではない. よって, dihedral groupであるとすると,ある2次体K/Qと1次元表現τ :GK −→Fp が存在して,ρ≅IndGGK

Qτ となる. Kの分岐する素数sはN(ρ)を割り, locally good dihedral の定義から, =qならば, q≡1 mod s(s ̸= 2), q≡1 mod 8 (s = 2) である.

これより, qKで分岐するか,分解するかのどちらかである. qKで分岐する場合は, ψ

のorder taは2で割れなければならないが, tは奇数なので矛盾. qが分解するときは, ρは可

約になるので既約性に反する.

(ii) dihedral groupD2ta PGL2(Q)を固定しておく. まず,ρp|Dqρ|Dqのminimal lift な ので,ρ|Iq

à ψe 0 0 ψeq

!

の形をしている. ただし,ψeはψのTeichm¨uller lift. したがって,ρ(Dq) のprojective imageはD2taιpZpと同型. ここで,(strictly compatible systemを添え字付けし ている埋め込み)ιp :E −→QpはQにまで一旦延長しZに制限したものとして考える. このと き, strictly compatible systemの定義から,rq⊗Qのprojective imageはD2ta と同型なので,素 数rに対して,ρr(Dq)のprojective imageはD2taιrZrと同型となる. ここで, max(Q(N(ρ)q2 ), p) 以下の素数rに対して, 定義からt ̸=rだから, reduction map PGL2(Zr) −→PGL2(Fr)によ り, D2taιr ZrD2ta ιr Frへ同型に写る. よって, ρrqに関してlocall good dihedral で あることがわかる.

7. ある素数の評価

この節では帰納法のstep をうまく機能させるある素数の系列の存在を示す. 証明は萩原氏 の原稿を参照されたい.

定理7.1. 素数p≥5に対して, ある素数P > pが存在して次のどちらかを満たす:

(i)奇素数と整数r≥1でr||(P 1)となるものが存在して,

(1) P

p 2m+ 1

m+ 1 m m+ 1

1

p, (m= r1 2 ) (ii) 整数r 4で2r||(P 1)となるものが存在して,

(10)

(2) P

p 2r

2r1+ 2 2r12 2r1+ 2 1

p, (m= r1 2 ) (i)の場合, (1)の評価から,

(3) p+ 1 m+ 1

2m+ 1(P 1) + 2 = (P + 1) m

2m+ 1(P 1) を得る.

(ii)の場合, (2)の評価から,

(4) p+ 1 2r1+ 2

2r (P 1) + 2 = (P + 1) 1

2(P 1) を得る.

8. 定理3.1-3.4の証明 定理3.1(Killing Ramification: (Lr) =(Wr+1)) の証明.

整数r 1に対して, hypothesis (Lr)を仮定する. (Wr+1)の条件を満たすS-type ガロア表 現ρをとる. ρはある素数qに関して, locally good dihedral であり, k(ρ) = 2かつN(ρ)は奇 数でその素因子はr+ 1個以下である. N(ρ)の素因子sqと異なるものをとる(取れない場 合は(Lr)の条件が満たされるので示すことはない). char(ρ) = 2のときは, 補題6.1 と補題

6.2-(1)より, Imρが可解ならばmodular なので, Imρは可解ではないと仮定してよい. この

とき, 定理5.1 (1)より, ρE-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι) で ρp :=ριppを割らない素点ではminimally ramifiedかつpで重さk(ρ)のcrystalline表現と なるようなものにリフトする. 前に選んでおいた素数sに対して, ρsを考える. 補題6.3 (ii) よ り, そのreduction ρsq-dihedral で特に, 非可解な像をもち, 特に, ρsは既約である. lift が oddなのでρsもそうなので,ρsはS-type ガロア表現. さらに, minimal lift の定義から, Ns) の素因子はN(ρ)pの素因子でもあるので,

♯{Ns)の素因子} ≤♯{N(ρ)pの素因子でsではないもの} ≤r+ 11 = r

がなりたつので, (Lr)からρsはmodular. 定理 4.1 より, (ρι)もmodular よって, ρ = ρp も modular. (証明終わり)

定理3.2(weight 2への帰着: (Wr) =(Lr))の証明.

ρを(Lr)の条件を満たすS-type ガロア表現とし, その漂数をpとする. ρはlocally good dihedral であり, p= 2ならばk(ρ) = 2. また,N(ρ)は奇数でその素因子はr個以下である.

p= 2のときには証明することはない. 以下, p = 3, p= 5, p > 5の3つの場合に分けて証 明する. 前の二つの場合の証明は一般の場合のそれとやや異なる.

p= 3の場合.

定理5.1-(2)を用いると, ρE-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι) でρp :=ριppを割らない素点ではminimally ramified かつpで重さ2となるようなものに リフトする. 今, ρ2を考える. 補題6.3より, ρ2は非可解な像をもつ. また, N(ρ)は奇数なの で, ρ2は2でcrystalline で重さ2 (strictly compatible system の性質から従う) なので, ρ2

(11)

Barsotti-Tate 表現となる. これより, ρ2はfinite flat group scheme からくるので, k(ρ2) = 2.

minimal lift の定義から, N2)の素因子はN(ρ)3を割るので, その個数はr+ 1以下である.

いま, ρ2が3で不分岐ならば, (Wr)よりρ2はmodular. 定理4.1 より, (ρι)もmodularなの で,ρもモジュラー. ρ2が3で分岐するならば, ρ3のinertia Weil-Deligne parameterの形から, (χ3がorder 2であることに注意すると) ρ2|I3

à 1 0 1

!

の形をしている. これより, ρ2|D3

à χ2

0 1

!

の形をしていることがわかる. よって, p= 2, q = 3, χ =ω3,22 ,(i= 2, j = 0) として, ρ2に定理5.1 (4)を適用すると, ρ2E-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι) にlift される. ρ3について考える. 定理5.1 (4)の結果より, ρ3χ3の冪による twistρ′′3 のweight は2 となる(j = 2>1 =i+ 1だから). N′′3)の素因子はN3)のそれと 同じなので, その個数はr以下. よって, (Wr)よりρ′′3はmodularなので,ρ3もmodular. 後は 定理4.1から(ρι)はmodular. (ρι)と(ρι)はρ3で繋がっているので, (再び定理4.1 より) (ρι) もmodular. よって, ρもmodular.

p= 5の場合(やや複雑).

この場合,N(ρ)は奇数で素因子の個数はr以下, k(ρ)≤5 + 1 = 6である. 定理5.1(2)より, ρE-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι) にlift される. ρ2を考える.

p= 3の場合と同様にして,ρ2はlocally good dihedralなので,像は非可解. また,k(ρ2) = 2で N2)の素因子はN(ρ)5を割るので, それらの個数はr+ 1以下. ρ2が5で不分岐なら(Wr)よ りρ2はmodular. 定理4.1 より, (ρι)もmodular なので, ρもモジュラー. ρ2が5で分岐する ならば, ρ5は5でsemi-stable なので, ρ2も5でsemi-stable (strictly compatible system の性 質). これより, 5||N2)が従う. よって, p= 2, q = 5, χ =ω25,(i= 2)として, ρ2に定理5.1 (3)を適用すると,ρ2E-rational 2次元既約oddなstrictly compatible system (ρι)にlift さ れる. ρ5を考える. ρ5は補題6.3 よりlocally good dihedral であり,その像は非可解. 定理5.1 (3)を用いたので, (ρ5χ5の適当な冪によるtwist により) k(ρ′′5) =i+ 2 =q+ 1−i = 4 と なる. また, N5)は奇数でその素因子の個数はr以下であることがわかる(minimal liftの定 義より).

次の二つ場合に分ける:

(i) 3|N5).

この場合, 定理5.1-(2) より, E-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρ′′ι) にlift される. ρ′′3を考える. ρ′′3は補題6.3 より locally good dihedral であり, その像は非可解.

N′′3)は奇数で,

♯{N′′3)の素因子} ≤♯{N′′3)5の素因子で3ではないもの} ≤r+ 11 =r

が成り立つので, (Wr)よりρ′′3はmodular. 定理4.1より, (ρ′′ι)はmodular,よって, (ρι)である ことがわかるので, ρもmodular.

(ii) 3̸ |N5).

この場合, 定理5.1-(1) より, E-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρ′′ι) にlift される. ρ5は5でcrystalline of weight 4 であるので, ρ′′3は5で不分岐. 特に, N′′3)は 5で割れない. また, ρ′′3は補題6.3 より locally good dihedral であり, その像は非可解. 一方,

(12)

N′′3)の素因子はN(ρ5)を割り, さらに, これは仮定から3で割りきれないのだから, N(ρ′′3) の素因子の個数はN5)と一致するのでその個数はr以下よって, 先に扱ったp = 3の場合 の証明からρ′′3はmodular (k(ρ′′3) = 43 + 1より重さに関する条件をクリアしていることに 注意). 定理4.1より, (ρ′′ι)はmodular, よって, (ρι)もmodularであることがわかるので, ρも modular.

p >5の場合.

pに対して, 定理7.1を適用することで得られる素数P(> p)をとる. このとき, (Wr)の下で 次の主張を示す:

「S-typeρ





(a) locally good dihedral (b) char(ρ)≤P

(c) N(ρ)は奇数でその素因子の個数はr以下

を満たすなら,ρはmodular」

今まで見たとおり, P = 5のときにはこの主張は正しいので, p= 5からスタートして,この 操作を繰り返すことで, 一般の場合の主張を得る.

ρを上の主張の条件を満たすchar(ρ) = P なるS-type ガロア表現とし, char(ρ)< P なる同 様のS-type ガロア表現はモジュラーと仮定する. 定理7.1 によって得られた素数r||P−1 と評価式(1),(2) を満たすものをとる. ℓ >2のときはm= r1

2 とおく.

定理5.1-(2)より, E-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι) にlift され る. ρを考えると,ρは補題6.3 より locally good dihedral であり, その像は非可解, N)は 奇数でその素因子はN(ρ)P を割るのでそれらの個数はr+ 1以下.

N)がPと素であるとき,N)の素因子の個数はr. の取り方から, 2ℓr ≤P−1<2P1 より, ℓ < P が成り立つ. よって, 帰納法の仮定より, ρ はmodular. 定理4.1 より, (ρι)は modular,よって, ρもmodular.

N)がP と素でないとき, ρP でsemi-stable だから, P||N). よって, p = ℓ, q = P, χ =ωPi , i





h m

2m+ 1(P 1), m+ 1

2m+ 1(P 1) i

(ℓ >2のとき) h1

2(P 1),2r1+ 2

2r (P 1) i

(ℓ = 2のとき)

として, ρに定理5.1 (3)を適用すると,ρE-rational 2次元既約oddなstrictly compatible system (ρι)にlift さ れる. ρP を考える. ρP は補題6.3 より locally good dihedral であり, その像は非可解. 定理 5.1 (3)を用いたので, (ρPχP の適当な冪によるtwist により) ℓ >2のとき, 定理7.1(3)の 評価式を用いると,

k(ρP) =



i+ 2 m+ 1

2m+ 1(P 1) + 2≤p+ 1, または, P + 1−i≤P + 12m+1m (P 1)≤p+ 1

= 2のとき, 定理7.1(4)の評価式を用いると,

k(ρP) =



i+ 2 2r1 + 2

2r (P 1) + 2≤p+ 1, または, P + 1−i≤P + 112(P 1)≤p+ 1

(13)

となる. また, NP)は奇数でその素因子はN)P を割るのでそれらの個数はr以下である ことがわかる(minimal liftの定義より). よって,もしρP がmodular であれば, 定理4.1 より, (ρι)はmodular. (ρι)もmodularであることがわかるので, ρもmodular.

よって, ρP がmodular であることを示す. 次の二つ場合に分ける:

(i)p|NP).

この場合, 定理5.1-(2) より, E-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρ′′ι) にlift される. ρ′′pを考える. ρ′′pは補題6.3 より locally good dihedral であり, その像は非可解.

N′′p)は奇数で,

♯{N′′p)の素因子} ≤♯{N(ρ′′p)P の素因子でpではないもの} ≤r+ 11 = r

が成り立つので, (Wr)よりρ′′pはmodular. 定理4.1より, (ρ′′ι)はmodular,よって, (ρι)である ことがわかるので, ρもmodular.

(ii) p̸ |NP).

この場合, 定理5.1-(1) より, E-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρ′′ι) にlift される. ρ′′pはpでcrystalline of weight k(ρP)≤p+ 1 である. ρ′′pP で不分岐. 特に, N′′p)はP で割れない. また,ρ′′p は補題6.3 より locally good dihedral であり, その像は非可 解. 一方, N′′p)の素因子はNP)を割り, さらに, これは仮定からpで割りきれないのだか ら, N′′p)の素因子の個数はNP)と一致するのでその個数はr以下よって,帰納法の仮定よ りρ′′pはmodular. k(ρP)≤p+ 1より, 定理4.1の仮定が満たされてることに注意して, (ρ′′ι)は modularがわかる. よって, (ρι)もmodularであることがわかるので, ρもmodular. (証明終 わり)

定理3.3((W1) の証明).

定理3.3 は次の系8.1 から従う:

8.1(i)ρは既約, odd な連続mod pガロア表現で,k(ρ) = 2, N(ρ) =qは奇素数とする. こ のとき,ρS21(q))からくる.

(ii) ρは既約, odd な連続mod p ガロア表現で, k(ρ) = 2, ρは奇素数q ̸=pp以外では不分 岐でqではtamely ramified とし さらに, ρ(Iq)の位数はある奇素数t >5の冪と仮定する. こ のとき,ρは(必ずしもnewformとはかぎらない)S21(q2))からくる.

(証明) (i)p > 2のときは[25]の系1.2. p= 2のとき, Imρが可解ならば, 補題6.2 から主張は 従うので, Imρが非可解としてよい. 定理5.1-(1)より(p= 2かつk(ρ) = 2なので),E-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι) にlift される. 奇素数p ̸=qをひとつとり, ρpを考える. Np) =qなので, 系8.1-(1)のp > 2 の場合に帰着. よって, ρpはmodular. よ り強く, S21(q))のnewformからくるstrictly compatible systemのreduction として得られ るので, (ρι)もモジュラー. 従って, ρもmodular.

(ii) (i)に帰着する. t = pのとき, ρqでtame なので, ρ|Iq

à 1 0 1

!

の形をしている ので, ρの表現空間のIqによる固定部分の次元は1かつtameであることから, N(ρ) = qより, (i)から従う.

(14)

t =pのときは, ρqでtame (ρ(Iq)の位数とqは素)なので, q ̸=tである. Imρが可解な ら, 補題6.2 よりmodularなので, そうではないと仮定してよい. すると,定理5.1 (1)が適用 できるので, ρE-rational 2次元既約odd なstrictly compatible system (ρι) にlift される.

ρtを考える. (ρι)は{p, q}の外で不分岐かつρt のweight は2なので, ρttでordinary. ρtが 可約ならば, Skinner-Wiles のMLT, [44],[1] より, ρtはmodular. とくに, (ρι)もmodularなの で,ρもmodular. ρtqで不分岐のときは, k(ρt) = 2,Nt) = 1となり, この場合は可約とな ることが知られている(cf. [47])ので, 先ほどの場合と同様にしてρはmodular.

ρtが既約のときはqでtame なので,N(ρ) = qだから(i)よりρtはmodular.

ρt|GQ(t), (t := (1)t−12 t) が可約ならば, ρt|GQt)も可約. しかし, 補題6.2-(2)と ρtの weightは2 (Fontaine-Laffailleより)であることから矛盾. よって, ρt|GQ(t) は既約. また,ρttでcrystalline of weight 2 なのでBarsotti-Tate (p-divisible group からくる)であることと 同値[3],[31]) よって, [54]の定理0.2 より,ρtはmodular. とくに, (ρι)もmodularなので,ρも modular. (証明終わり) 2

定理3.4(Rasing levels)の証明.

ρをS-type ガロア表現とし, 2r+1 ̸ |N(ρ)かつp = 2ならk(ρ) = 2を満たすものとする.

char(ρ) =p, S ={ℓ̸=p: 素数| ρはℓで不分岐} とおく. ρの像が可解ならmodular (cf. [35]

の定理4)なので,非可解としてよい. すると,定理5.1 (2) (Skinne-Wiles, WilesのMLT使うた めにweight 2という条件が必要)が適用できるので,ρE-rational 2次元既約oddなstrictly compatible system (ρι) にlift される. p ̸∈S∪ {p}, p >5を満たす素数pをとり, ρpを考え る. ρp が可解ならmodular ある.

ρp が可約ならば, ρppでcrystalline of weight 2 なので, pでordinaryだから, Skinner- Wilesの結果[44]より, ρpはmodular. (ρι)はmodular より,ρもmodular. 

ρp が既約ならば, ρp|GQ(

p′∗), (p′∗ := (1)p′−12 p) が可約ならば, ρp|GQp′)も可約. しか し, 補題6.2-(2)と ρp のweight は2 (Fontaine-Laffailleより) であることから矛盾. よって, ρp|GQ(

p′∗) は既約. また, ρppでcrystalline of weight 2 なのでBarsotti-Tate (p-divisible group からくる)であることと同値[3]) よって, [54]の定理0.2 より, ρp はmodular. とくに, (ρι)もmodular なので,ρもmodular.

以上の議論から, p >5, p 1 mod 4 かつp ̸∈ S∪ {p}ρp が非可解な像をもつものに

対して,ρpがmodular であることが示せればよい. これを証明するために次の補題を使う:

補題8.2. ρをS-type ガロア表現とし, char(ρ) =p, p≡1 mod 4, かつ, Im ρは非可解と仮定 する. ρprojρの射影化とする. このとき, 次の性質を満たす素数qρが不分岐となるもの の集合は正の自然密度をもつ:

(i)ρproj(Frobq)∼ρproj(c), (cは複素共役)

(ii) すべての素数r≤p−1に対して,q 1 mod r かつ, q 1 mod 8

2この証明中に[44][54]を用いたのは,ρtの像が非可解であるということが保証されないためである. もし 非可解であれば定理4.1が使える. locally good dihedralという性質は勝手なliftのメンバーのreduction の像 が非可解になるという非常に優れた性質を備えているため, MLTが使えるかどうかということに頭を悩ませな くてもよいという利点がある. また,定理5.1-(1)(3)を組み合わせれば, (W1)を示すだけなら, [44][54] 用いる必要はない.

参照

関連したドキュメント

この調査は、健全な証券投資の促進と証券市場のさらなる発展のため、わが国における個人の証券

・Squamous cell carcinoma 8070 とその亜型/変異型 注3: 以下のような状況にて腫瘤の組織型が異なると

Wiese, Dihedral Galois representations and Katz modular forms, Doc. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s

12―1 法第 12 条において準用する定率法第 20 条の 3 及び令第 37 条において 準用する定率法施行令第 61 条の 2 の規定の適用については、定率法基本通達 20 の 3―1、20 の 3―2

RCEP 原産国は原産地証明上の必要的記載事項となっています( ※ ) 。第三者証明 制度(原産地証明書)

被保険者証等の記号及び番号を記載すること。 なお、記号と番号の間にスペース「・」又は「-」を挿入すること。

FSIS が実施する HACCP の検証には、基本的検証と HACCP 運用に関する検証から構 成されている。基本的検証では、危害分析などの

※証明書のご利用は、証明書取得時に Windows ログオンを行っていた Windows アカウントでのみ 可能となります。それ以外の