最小自乗法による母数の推定と最良線型不偏推定値について

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(1)Title. 最小自乗法による母数の推定と最良線型不偏推定値について. Author(s). 宇喜多, 義昌. Citation. 北海道學藝大學紀要. 第二部, 5(2): 21-25. Issue Date. 1954-12. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5449. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 北海道学墓大学紀要（第二部）. 第５縦第２号. 昭和２９年１２月. 最小自乗法による母数の推定と最良線型不偏推定値について宇. 喜. 多. 昌. 義. 北海道学馨大学札幌分校数学教室. ｉｉｔ宝ｎａｔｅｓｅｄＥｓｔＬｉｎｅａｒＵｎｂａｓｔｅｒｓａｎｄＢｅｓｉｉα ｔｏｎＬｅａｓｔ１。ｎｏｆｐａｒａｍｅｔ－ＳｑｕａｒｅｓＥｓａ. ｌ．序. 説. ）で作られた又鋤Ｐαのミ弼のの観測値 ”① のれ回（ｔ）或る未知数 α ，Ｐ２の，ＰＫＺ・…確と既知函数Ｐ・～．. ）の最小自乗法に依る推熟ま古くから論ぜら αた，）の結果である傾ご，…，．，…偽物）によってｘ α“劫の即ち（α の＝１）による或る種の母数叉はそのも，…，ズ７れているが、この最小自乗法による推定量と数理統計学上の確率変数（Ｘ１２）（１（）及びＡＩＴＫＥＮによって論ぜられているが大抵のＨＫＯＦＦ＼がＭ，. 任意の一次式の最良線型不偏推定量との関係. ‐ ‐ ）が互に独立な場合である。併し（ＸＩ…，Ｘ）の ×をとＸｉに相関が有る場合も極めて大切場合は（又ー，…，揺るとしてｉｅの内で最小な数量を％・ｚｅ ” のＳａｍｐｌで、例えばｓ，次を物…最大のものをズ“ としてそれを実現値ｉＣｌｔがあるｎｉｅａｏｉｔｏｄＳｔａｔｃｓを考えると普通はｏｒｒｓ。こ取るｘ，Ｘ２，…，Ｘれなる確率変数を考える。即ちｒｅｒｉｉｍａｔｔｏｎとの関係を論じて置くこと ‐ｓｑｕａｒｅｓｅｓｔｉｍａｉｔｅａｓｉｎｅａｒｕｎｂｔｅｓを論じてｌｅｄｅｓａｓのときのｔｈｅｂｅａｔｌＰ３）的に重要である。依ってこのａｐｅｒはは極めて最近の研究｛ズ，ｘ“）を考え、粥，（１）或る有限な平均粥と標準偏差ｄをもつ母集団から ” ヶの相関のある確率変数（「・ｉｉｍａｔｔｏｎとの関係ｔ‐ｓｑｕａｒｅｓｅｓｉｍａｅａｓｔｉａｓｅｄｅｓｔｉｅｓを求めてｌｔｌｎｅａｒｕｎｂ・Ｘによるｔｈｅｂｅｓぴの（Ｘ，、. ｒ，７. を示す。ｉｍａｉｔｔｅｓを後半で示しＭＡＲＫＯ脚の最小自乗法の定理を拡ｉｎｅａｒｕｎｂｔｌａｓｅｄｅｓ（２）一般の母数のｔｈｅｂｅｓｉｏｎを使うことにして、そのために二・三の張した。計算の簡便化を計るためにｖｅｃｔｏｒ及ｍａｔｒｉｘのｎｏｔａｔｌｅｍｍａを示す。２ｅｍｍａ．二、三のｌ・％今ェ′＝（匁・，ズメ・. （１）. ｔ）なる行Ｖｅｃｏｒを考えると、・謝る．ｇ′＝（ｙｂｙｒ・. ′ γ ％＝ “γ. ・．（，. ２（）為（ダリ『３（）. 金（尤夕日. ‐％物＋ … ＋γ桝秘＝％γ） γ尤‐. ・・台じり－％）（．２１）より明が（（）と（. ′ ＝とし貌現に；ｉ＝））（；. （４）. ：. α ｉ２. －２１【.

(3) . 宇喜多義昌. 品（ギの覗ｒ. 貌」（の幽．◎. 瑚％）一貌％＋貌′％. （５）琵. ａ. ａｉち＋又吻幼（刃吻晦第＝！α ・ｊ・時ニヱ吻ち＋又〃贈．より明らかに成ずｚを. ａ％た. Ｊブ．. ｆ．. ｊ．. ｚ. Ｊ. 立する。. （６）Ｅを期望値の. Ｖで分散、共分散のｏｐｅｒｅｔａｒを示せばＥ（＠′％）＝Ｅ（“ ⑧）－ ⑨′Ｅ（匁）但し ⑧′＝（ｃ，ｃ偽），ｃの…，ｏｐｅｒｅｔａｒとし. ２（７）Ｅ〔⑨′ （％－須≧）〕 ‐ ‐⑧′Ｅ〔（％－抑≧）（％－ｍ２）ｙ〕⑨．. 但し抑. 従ってＶ（⑨′％）－ ⑨′Ｖ（北）＠. ，・．. ２一Ｅ〔＠′ Ｅ〔⑨′ （尤一柳と）〕（％－抑≧） ⑨′ （＃－卯≧）〕. ＝（粥，，ｍ. 然るに ⑨′ （％－抑≧）. －（＃－雛）ｙ⑨ ょり. ＝Ｅ〔⑨′ （％－抑≧）（％－瓢）ｙ⑨〕 ′ ＝⑨ Ｅ〔（＃－卯≧）（％－訓ツ〕⑨. （６）ょり. ３．〃（平均値）、ｄ（標準偏差）の最小自乗法による推定母平均、母標準偏差を ” ｉｉｚｅ７２のＳａｍｐｌｔｅをとりそのｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｏｂｓｅｒｖａｏｎｓ，ぴとする母集団からのｓを（％）とし、それを小さい方から大きさの順に排列して改めて夕 ≦ ≦ ・ｒ・彩る・ “≦… 労るなる（，夕）順序統計ｊ，…，量を考える。元の母集団の確率変数叉を標準化して（ｘ－”）〃ニワとして置いたとすると（ＹＺ－‘ ／〆〃… 偽とし、）／ β（マリ＝ αｚｖａｒ（ｙゑｃｏｖ（蔭巧）：のり）：の“ とすると、. ・Ｅ（ｙ十鳩ｄｖａｒ（Ｙｚ）ｄ２の“ Ｃｏｖ（Ｙｚヱヂ）＝ ‘ ）＝ｄ２のりこの係件の下で（藍… ％もｉｉｍａ）のｌｎｅａｒｆｏｒｍで ”，ｄのｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉｔｅで且つｍｌｍｍｕｍｖａｒａｎｃｅのもの ′ を探して見ょぅ。即ち α 藍＋…÷ 藍ｉののみ，現＝（α ）を求めて見る。上式をｖｅｃｔｏｒｔ・ｒｘで表す。・…”％，ｍａ. 但しヱ訓ニニ）① ＝ ◎に ≧ｒザ（；；にコｉ（. 先ず現′ｙが “ のｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉｍｓｔｅであるため貌′ の燦件を求めて見る。６だ＝Ｅ（蛾′γ）－貌′Ｅ（γ）（）ょり）（＝貌′（／” ＋αα）． ‘＝”（現．．／. ，．（９）. （侮）ょり）. ）＋ｏ（現′α）. 貌ー１. （１０）. 貌′α ＝０. 次にｅ循ｃｉｅｎｃｙの｛係件を入れる。. ｒ（γ）現ニメ現′① 現Ｖ（現’）＝貌′ ｌ. ７（）及び（８（）にょる）. ′ これを最小にする現（α α％）を決定することは結局貌′の貌を貌′Ｚヒ１ー９Ｆ，，α ，貌 α ＝０の儀件下で最小ならしめるように決めれるま良い。従ってＬａｇｒａｎｇｅの未定係数法により、万三班′の現－２月（貌－１）－２４（貌′α）ＡＡは未知常数）（ｉｍａｍ，よりこれをＭｉｎＩ，，にする貌を決定する。従ってｄｇヱ－２４４＝０ ‐ －＝の現十のノ貌－２４，－２２一. ３５（（））による），（.

(4) . . 最小自乗法による母数の推定と最良線型不偏推定値について ′ よりこの＝ α）然る『の貌一月，ヱ十４２α. １（イ．ヱ十４２α）（１１）．．．貌－ ⑦‐ １０）に代入してこれを（９）及（. ；金番 ≦ 三に１－→＠）陰欝長な臨も；豊三－→. １ヱーｒの‐ １α′ ）であることに注意してＡＩこ｝に（α′の‐ ，Ａ９を求めると、 ’α α′①・. ．・. ＡＩニー－－ｒの．リ. １（. ヱ′⑦’ α. ）. Ａ２一，”. ｚＪリｘｘ（. α′⑦－ α. 〃がり. . ｌｘヱ〃ｚｄ. 〃灼のり－ＸＸ”漁 ” ，，［［［【 . １α －ｒの‐ ＪＪ，Ｊ－ ” . ｌｒの一α. この分母の行列式を４. 又１〃灼ｍ“. ｒのＪα. α１１ α′の一Ｚ偽鱒のり１嫁が. ｉｍａｔｔとして ” ｅｓｅは. Ｌ（１３）ゑコ貌′ｙ－〔の‐ （Ａ，ヱ十Ａｑ）γγ １１・－（Ａ，ｒの＋Ａ α′①‐ ）γ. 耀］①’. １［Ｚ－〆 ①‐ ‐ ｄｆｙ. １１（）より）（. スｂを使った）（鬼－冴書寵‐. －（ヱ豹－＆≧ 但しｒ … ⑦－. ・の－. ｉｎｅａｒｕｎｂｉｍａｔｉ全く同様な方法によって α のｔｈｅｂｅｓｔｌｔｅはａｓｅｄｅｓ. （１４）み‐ ‐ α 「ｙ従って. ’はヱ十４ α）ｙの（の‐ １ヱ十＆α）Ｖ（ゑ）コリ２現′⑦ 貌＝〆（の‐ ）２．， ′ ２－ＡＡ α ＡＡ－ｏ（（，十ｑ）の，０＋，α）. １１（（）を代スした）. ２９））を使うと、（，（ｌｏ），（１. １ヱ〃２１α〃２／ゴ／Ｊ．Ｃｏｖ ⑦，み）－－ヱ′①‐ 同様にしてＶａｒ（み）－ｒの‐ ｉｍａｉｍａｔｉｔ－ｓｑｕａｒｔｔ）なるｅｓｔｅｓｅｓｅはｌ１３）ｅａｓｏｎｓと一致する即ちかくて求めた（，（１４. ））（釣－（ＸＸのり（％－彰十α均）〃＋び巧）ｉｉ. ｒｋｏ” の定理の拡張の単なるを最小ならしめる〆，α に外ならぬことが示されるが、これは次節で述べるＭａＳｐｅｃｉｌａｃａｓｅに過ぎないから直ちに拡張定理に移ることにしよう。４ｆの定理の拡長（独立でない場合）．Ｍａｒｋｏｆ）の一次式であ（ｘ，）の確率変数あり、この平均値がｓ（＜”）ヶの未知常数Ｐｄ（α＝１，…ｓ，Ｘ２，…×“ るとする。即ち定量. Ｚ－１，２，…乃） … ＋α （．Ｐと表わされたとする。こに凡てののｓは常数でＲａｎｋ＠“）＝ｓとる。更にｘ‘ の分散、Ｘ，叉ｉの共分散を２のりα ２とするこにのりは既知数ぴ２は未知常数とするとゑゆの一次（任意）式のりぴ，。、Ｅパリ一角，Ｐ. Ｓ. （１５）ろＸｂ“＆．孔十も２劇十 … ＋もＰ－－２３－.

(5) . 宇喜多義昌の最良線型不偏推定量はｘｉを常数と考えた時のＳーＸ又（ひげ（苅－Ｘα ， “Ｐα）（Ｘｊ－Ｘ馬“Ｐ“） . . . ５１）式に代入して得られるＸｚの一次式を最小ならしめる鋤＠＝ヱ…Ｓ）の値をＰ品としてこれを（偽. Ｓ. により興えられる。講明. ３節にならって仮設を整理する。Ｐ′ －. Ｑ卿ｆＡ）. 労′ －（る“ るず・）. ＝の貌＝（器量；ニコ）（とすると仮設は、. （１６）Ｅ（％）一切Ｐ. ｙ（％） ‐ のび２. のとき β 三鶏′Ｐの最良線型不偏推定量を求めて見よぅ。先ず、求める推定量を又ん義一九ノ％. として. . ｉｉｔｎａｔｅなることから・ｕｎｂａｓｅｄｅｓ. （１６）及ｌ（ｅｍｎｌａより）始′Ｐ … Ｅ（九′％）＝九′Ｅ（＃）－ん′貌Ｐ ′ ′ ．（”＞ｓであるから、解九は一組でない）労－（九以ｙ－貌ん（１７）．．. ３）節と同様に γ（九′％）次に九の選定を γ（九′％）のｍｉｎｉｍａｍならしめるものに置く。然るに（１７）の係件下で求める。今未知常数Ａ′ ニメ九′のんであるからん′の九をｍｉｎｉｍａｌｎにする九を（）を使いＬａｇｒａｎｇｅの方法で求め＝（Ａ・Ａ２… ＡＲ. ｆ（ん）一九′のん－２Ａ′ （貌′九一鴻）－九′のん－２（現Ａｙ九十２Ａ′労ｄｆ（ん）コの九十 ①′九一２貌Ａｄ入. ｌ５）より）２（）の及び（ｅｍｍａ（. 一２（の′九－貌Ａ）を０ならしめるＡ‐ ，九を求める。ノ．．のんコ貌Ａ．. （１８）．．．九＝（の－ツ貌Ａこれを（）に代入して１７. ｌｙ貌Ａー貌′①‐ １貌Ａ鶏 ‐ 現′ （の‐ ＝. ＧＡ. １貌とした但し（１９）Ｇ三現′①‐ 。１８）よりこれと（. １男１貌Ｇ‐ 九－ ①‐. これを〃二九′尤に代入すると（Ｇ－γ. １１（の‐ツー（の‐ Ｇ‐ 直ちに）より・，. （２０） ″ －蛤′ＧＩ現′のＪ％こ. にα ，β についてはヱからｓまでの和. た，ブについてはヱから ” までの和をとつた。２０さて次にこの（）は－２４【.

(6) . よる母数の推定と最良線型不偏推定値について最小自乗法に・Ｓ（Ｐｐの．…凡）三〆（物一物“Ｐ”）（均一のａ１ ‐ Ｐ＝（％－貌ｙの（％－貌Ｐ）. ｉｎｄｅｘの重複したものは縮合とす）（. をｘを定数と見て最小ならしめるＰを求める。. Ｓ（Ｐ）. １（％－現Ｐ））の‐ （ギーＦ貌′ １貌Ｐ１貌Ｐ十Ｐ以′の‐ １％－〆の‐ １％－Ｆ貌′の‐ ；〆の‐. ｄｓ（Ｐ）ｄＰ. １貌ｙＰ・貌ｙ＋貌′の‐ １貌Ｐ十（貌ノの‐ ，＃－（ギの‐ ＝－貌′①‐ １貌Ｐ＝０ｌｘ十２現′の‐ 二一２現′①‐ ．. １％１貌Ｐー貌′の‐ ，現′①‐ ．１％ＧＰ ‐ 現′①‐ ，Ｐつ＝Ｇ‐ 現′① ％．. ，．. Ｐつ一（Ｐｉ…Ｐ１）. のＧ％現Ｐ・ヴＪ ‐ ４労′ ′ （２１）．男′ ．一ｉｍａｔｉｉｎｅａｒｕｎｂｔｅがｔｈｅｔｌａｓｅｄｅｓ２０）式と全く同じであることが示された。即ちｔｈｅｂｅｓ２１）式は（この（１α. ；ｄ）ョｉ）蹴１ｉｔｔ細師鰍ｓｍ，ａ鵬疏弧跡廠櫨卿論義は帥，ものに外ならぬことが分る。なを、. 但し. . ｚｉ ÷ × Ｓ一 ×（（ひ ≧－偽′＆）（ズＪ一物Ｐ盈）。． ‘１＝. であることも３節と同様に示される。ｉｉｏｎをもつ場合ｉｔｒｃなＤｉｓｔｒｉｂｕｔｃｓに於ては極めてきれいな発展をしＳ第３節の説明はｏｒｄｅｒＳｔａｔｉｓｔｙｍｍｅはム，ふも簡軍な形になり更にＲｅｃｔａｎｇｕｌａｒＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎの場合は. . すき琵圭三トル～”）となり、 ″. Ｎ。，分布では声＝Ｊ÷（コれ＋…＋％）となることが最近のＬＩ。ｙｄの研究で示されているして鰍更にＡ．Ｂ．ｒｍａ . ｉｉｌＩＰｏｐｕｌｉｌｉｉＩＰｏｐｕｅＢｘｐｏｎｅｎｔｏｎの各ａａｔｏｎＳ郡山＼ＮによってＴｒｉａｎｇｕｌａｒＰｏｐｕｌａｔａｔｏｎａ，Ｄｏｕｂ，Ｅｘｐｏｎｅｎｔ４（）種の場合について論ぜられて来ている。. Ｒｅｆｅｒｅ箆ｃｅｓ；. ５２～ｐ（１）松下嘉米男；統計数理の基礎理論，（朝倉書店）．１，初版，ｐ ↑１６０． ”ｏｎ１ｉｉｉｂｄｌｉｔＣｅｒｖａｔｏｎｓＰＰγ肥．Ｒｏｙｏｎｏｆｏｂｓｍｎｔａｒｅｎｎｅａｒｏｅｓｕａｓａａｓ（２）Ａ．Ｃ．ＡｒｒＫＲＮ：（１９３５）ｑ．Ｓｏｃ．．Ｅｄｉ”る．．５５，４２. ” ｉｌｉｏｎｏｆｌｉｉｍａｔｔａｔ ‐ ｔｅｒｎｇｏｒｄｅｒｓｔｏｎａｎｄｓｃａｅｐａｒａｍｅｓｕｓｏｃａ（３）Ｅ．Ｈ．ＬＬＯＹＤ：（１９５２）．Ｌｅａｓｔ‐ｓｑｕａｒｅｓｅｓｉ１ｉｉｔｔｒｔくａｖｏｌｃｓｒＢｉｏｍｅｓ．・３９，Ｐ・８８～Ｐ．９５，（１９５２）. ” ｉａｉｉｉｔｔｉｉｔｔａｔａｎｄａｒｄｄｅｖｓｃｓ” Ａｎｎ，ｏｎｂｙｏｒｄｅｒｓｔＨＡＮ：（１９５４）１ｎａｔｏｎｏｆｔｈｅｍｅａｎａｎｄｓ（４）Ａ．Ｅ．Ｅｓｔ．ｕＭａｔｈ，Ｓｔａｔ．．，（１９５４），２５，Ｐ．３１７～Ｐ．３２８，，Ｖｏｌ１９５４．８．．１５. ５－－２.

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