数値計算：フーリエ変換

(1)

数値計算：フーリエ変換

平井慎一

(2)

1 離散フーリエ変換 8 点離散フーリエ変換逆離散フーリエ変換 2 高速フーリエ変換 3 画像の照合マッチドフィルタ位相限定相関法 4 まとめ

(3)

講義の目標

講義の内容離散フーリエ変換高速フーリエ変換画像の照合への応用講義の目標高速フーリエ変換のアルゴリズムを理解する

(4)

̻ ̻ ̻

(5)

離散フーリエ変換

例：振幅スペクトル

$PSOLWXGHb6SHFWUXP

(6)

擬似的なデータの作成 Fs = 1000; % Sampling frequency T = 1/Fs; % Sample time L = 1000; % Length of signal t = (0:L-1)*T; % Time vector y=1+0.7*sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t)+2*randn(size(t)); plot(Fs*t(1:1000),y(1:1000)) xlabel(’time (milliseconds)’)

(7)

sample.m

高速フーリエ変換 fft を実行

NFFT = 2^nextpow2(L); Y = fft(y,NFFT)/L;

(8)

振幅スペクトルをグラフで表示

f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);

% Plot single-sided amplitude spectrum. plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))

xlabel(’Frequency (Hz)’) ylabel(’Amplitude Spectrum’)

(9)

離散フーリエ変換

離散フーリエ変換 (discrete Fourier transform; DFT)

観測値 g0, g1, · · · , gN−1 離散フーリエ変換 G0, G1, · · · , GN−1 Gk = N−1 ∑ n=0 gnwkn ただし w = e−i 2π/N 回転因子

(10)

回転因子 w = e−i2π/8 1 i -1 -i Re Im w

(11)

離散フーリエ変換 8 点離散フーリエ変換

8 点離散フーリエ変換

回転因子 w = e−i2π/8 1 i -1 Re Im w Re Im w w3 w4 w5 w6 w7 w0 w8

(12)

回転因子 w = e−i2π/8 1 i -1 -i Re Im w Re Im w w-6 w-5 w-4 w-3 w-2 w-1 w0 w-8 w-7

(13)

8 点離散フーリエ変換

G0 = g0w0·0+ g1w0·1+ g2 w0·2+· · · + g6w0·6+ g7w0·7 G1 = g0w1·0+ g1w1·1+ g2 w1·2+· · · + g6w1·6+ g7w1·7 G2 = g0w2·0+ g1w2·1+ g2 w2·2+· · · + g6w2·6+ g7w2·7 .. . G6 = g0w6·0+ g1w6·1+ g2 w6·2+· · · + g6w6·6+ g7w6·7 G7 = g0w7·0+ g1w7·1+ g2 w7·2+· · · + g6w7·6+ g7w7·7

(14)

         G0 G1 G2 .. . G6 G7          =          w0·0 _w0·1 _w0·2 _{· · · w}0·6 _w0·7 w1·0 _w1·1 _w1·2 _{· · · w}1·6 _w1·7 w2·0 w2·1 w2·2 · · · w2·6 w2·7 .. . ... ... . .. ... ... w6·0 _w6·1 _w6·2 _{· · · w}6·6 _w6·7 w7·0 _w7·1 _w7·2 · · · w7·6 _w7·7                   g0 g1 g2 .. . g6 g7         

(15)

8 点離散フーリエ変換

         G0 G1 G2 .. . G6 G7          =          w0 _w0 _w0 _{· · · w}0 _w0 w0 _w1 _w2 _{· · · w}6 _w7 w0 w2 w4 · · · w12 w14 .. . ... ... . .. ... ... w0 _w6 _w12 _{· · · w}36 _w42 w0 _w7 _w14 · · · w42 _w49                   g0 g1 g2 .. . g6 g7         

(16)

F8 =△          w0 _w0 _w0 _{· · · w}0 _w0 w0 _w1 _w2 _{· · · w}6 _w7 w0 w2 w4 · · · w12 w14 .. . ... ... . .. ... ... w0 _w6 _w12 _{· · · w}36 _w42 w0 _w7 _w14 · · · w42 _w49         

(17)

8 点離散フーリエ変換

         G0 G1 G2 .. . G6 G7          = F8          g0 g1 g2 .. . g6 g7         

(18)

         g0 g1 g2 .. . g6 g7          = F₈−1          G0 G1 G2 .. . G6 G7         

(19)

離散フーリエ変換逆離散フーリエ変換

逆離散フーリエ変換

F₋₈ =△          w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 _w0 w0 _w−1 _w−2 _{· · · w}−6 _w−7 w0 w−2 w−4 · · · w−12 w−14 .. . ... ... . .. ... ... w0 _w−6 _w−12 _{· · · w}−36 _w−42 w0 _w−7 _w−14 · · · w−42 _w−49         

(20)

行列の積 F8F−8を計算          w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w1 _w2 _{· · ·} _w7 w0 w2 w4 · · · w14 .. . ... ... . .. ... w0 _w6 _w12 _{· · ·} _w42 w0 _w7 _w14 · · · _w49                   w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w−1 _w−2 _{· · · w}−7 w0 w−2 w−4 · · · w−14 .. . ... ... . .. ... w0 _w−6 _w−12 _{· · · w}−42 w0 _w−7 _w−14 · · · w−49         

(21)

逆離散フーリエ変換

行列の積 F8F−8を計算          w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w1 _w2 _{· · ·} _w7 w0 w2 w4 · · · w14 .. . ... ... . .. ... w0 _w6 _w12 _{· · ·} _w42 w0 _w7 _w14 · · · _w49                   w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w−1 _w−2 _{· · · w}−7 w0 w−2 w−4 · · · w−14 .. . ... ... . .. ... w0 _w−6 _w−12 _{· · · w}−42 w0 _w−7 _w−14 · · · w−49          F8F−8の (0, 0) 要素 = w0 + w0+ w0+· · · + w0+ w0 = 8

(22)

(23)

逆離散フーリエ変換

行列の積 F8F−8を計算          w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w1 _w2 _{· · ·} _w7 w0 w2 w4 · · · w14 .. . ... ... . .. ... w0 _w6 _w12 _{· · ·} _w42 w0 _w7 _w14 · · · _w49                   w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w−1 _w−2 _{· · · w}−7 w0 w−2 w−4 · · · w−14 .. . ... ... . .. ... w0 _w−6 _w−12 _{· · · w}−42 w0 _w−7 _w−14 · · · w−49          F8F−8の (2, 0) 要素 = w0+ w2+ w4+· · · + w12+ w14 = 0

(24)

行列の積 F8F−8を計算          w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w1 _w2 _{· · ·} _w7 w0 w2 w4 · · · w14 .. . ... ... . .. ... w0 _w6 _w12 _{· · ·} _w42 w0 _w7 _w14 · · · _w49                   w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 w0 _w−1 _w−2 _{· · · w}−7 w0 w−2 w−4 · · · w−14 .. . ... ... . .. ... w0 _w−6 _w−12 _{· · · w}−42 w0 _w−7 _w−14 · · · w−49          F8F−8の (0, 1) 要素 = w0+ w−1+ w−2+· · · + w−6+ w−7 = 0

(25)

逆離散フーリエ変換

(26)

F8F−8の (i, j) 要素 = { 8 (i , j ) = (0, 0), (1, 1),· · · , (7, 7) 0 それ以外 ⇓ F8F−8 = 8 I8×8 ⇓ F₈−1 = 1 8F−8

(27)

逆離散フーリエ変換

         g0 g1 g2 .. . g6 g7          = 1 8F−8          G0 G1 G2 .. . G6 G7         

(28)

         g0 g1 g2 .. . g6 g7          = 1 8          w0 _w0 _w0 _{· · ·} _w0 _w0 w0 _w−1 _w−2 _{· · · w}−6 _w−7 w0 w−2 w−4 · · · w−12 w−14 .. . ... ... . .. ... ... w0 _w−6 _w−12 _{· · · w}−36 _w−42 w0 _w−7 _w−14 · · · w−42 _w−49                   G0 G1 G2 .. . G6 G7         

(29)

高速フーリエ変換

高速フーリエ変換 (fast Fourier transform; FFT)

DFT を高速に計算するアルゴリズム Cooley and Tukey, 1965

N 点 DFT を 2 回の (N/2) 点 DFT に分解し，計算量を減らす

FFT と DFT の計算量の比較

N log₂N FFT の計算量 DFT の計算量 倍率 N/ log₂N

4 2 8 16 2.00

(30)

8 点離散フーリエ変換             G0 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7             =             w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 w0 _w1 _w2 _w3 _w4 _w5 _w6 _w7 w0 w2 w4 w6 w8 w10 w12 w14 w0 _w3 _w6 _w9 _w12 _w15 _w18 _w21 w0 _w4 _w8 _w12 _w16 _w20 _w24 _w28 w0 w5 w10 w15 w20 w25 w30 w35 w0 _w6 _w12 _w18 _w24 _w30 _w36 _w42 w0 _w7 _w14 _w21 _w28 _w35 _w42 _w49                         g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7            

(31)

高速フーリエ変換

添字が偶数の観測値を上半分，奇数の観測値を下半分に             G0 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7             =             w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 w0 w2 w4 w6 w1 w3 w5 w7 w0 _w4 _w8 _w12 _w2 _w6 _w10 _w14 w0 _w6 _w12 _w18 _w3 _w9 _w15 _w21 w0 _w8 _w16 _w24 _w4 _w12 _w20 _w28 w0 _w10 _w20 _w30 _w5 _w15 _w25 _w35 w0 w12 w24 w36 w6 w18 w30 w42 w0 _w14 _w28 _w42 _w7 _w21 _w35 _w49                         g0 g2 g4 g6 g1 g3 g5 g7            

(32)

w2 _{= e}−i2π/4_{：4 点 DFT における回転因子} 左上ブロック =     w0 _w0 _w0 _w0 w0 w2 w4 w6 w0 _w4 _w8 _w12 w0 _w6 _w12 _w18     =     (w2)0 (w2)0 (w2)0 (w2)0 (w2₎0 _(w2₎1 _(w2₎2 _(w2₎3 (w2₎0 _(w2₎2 _(w2₎4 _(w2₎6 (w2)0 (w2)3 (w2)6 (w2)9     = F4 (4 点 DFT を表す行列)

(33)

高速フーリエ変換

w8 _{= 1 に注意して左下のブロックを計算} 左下ブロック =     w0 _w8 _w16 _w24 w0 _w10 _w20 _w30 w0 w12 w24 w36 w0 _w14 _w28 _w42     =     w0 _w0 _w0 _w0 w0 w2 w4 w6 w0 _w4 _w8 _w12 w0 _w6 _w12 _w18    

(34)

右上ブロック =     w0 _w0 _w0 _w0 w1 _w3 _w5 _w7 w2 w6 w10 w14 w3 _w9 _w15 _w21     =     w0 w1 w2 w3         w0 _w0 _w0 _w0 w0 w2 w4 w6 w0 _w4 _w8 _w12 w0 _w6 _w12 _w18     =     w0 w1 w2     F4

(35)

高速フーリエ変換

右下ブロック =     w4 _w4 _w4 _w4 w5 _w7 _w9 _w11 w6 w10 w14 w18 w7 _w13 _w19 _w25     =     w4 w5 w6 w7         w0 _w0 _w0 _w0 w0 w2 w4 w6 w0 _w4 _w8 _w12 w0 _w6 _w12 _w18       w 4 w5  

(36)

8 点離散フーリエ変換の分解     G0 G1 G2 G3     = F4     g0 g2 g4 g6     +     w0 w1 w2 w3     F4     g1 g3 g5 g7         G4 G5 G6 G7     = F4     g0 g2 g4 g6     +     w4 w5 w6 w7     F4     g1 g3 g5 g7    

(37)

高速フーリエ変換

8 点離散フーリエ変換の分解     G0 G1 G2 G3     = F4     g0 g2 g4 g6    +     w0 w1 w2 w3     F4     g1 g3 g5 g7         G4 G5 G6 G7     = F4     g0 g2 g4 g6    +     w4 w5 w6 w7     F4     g1 g3 g5 g7    

(38)

8 点離散フーリエ変換の分解     G0 G1 G2 G3     = F4     g0 g2 g4 g6     +     w0 w1 w2 w3    F4     g1 g3 g5 g7         G4 G5 G6 G7     = F4     g0 g2 g4 g6     +     w4 w5 w6 w7    F4     g1 g3 g5 g7    

(39)

高速フーリエ変換

8 点離散フーリエ変換の分解     G0 G1 G2 G3     = F4     g0 g2 g4 g6    +     w0 w1 w2 w3    F4     g1 g3 g5 g7         G4 G5 G6 G7     = F4     g0 g2 g4 g6    +     w4 w5 w6 w7    F4     g1 g3 g5 g7    

(40)

回路 C8 4 4 8 + + D8d D8u D₈u =     w0 w1 w2     , D₈d =     w4 w5 w6    

(41)

高速フーリエ変換

4 点離散フーリエ変換     Q0 Q2 Q4 Q6     =F4     g0 g2 g4 g6     分解 [ Q0 Q2 ] = F2 [ g0 g4 ] + [ w0 w2 ] F2 [ g2 g6 ] [ Q ] [ g ] [ w4 ] [ _g ]

(42)

4 点離散フーリエ変換     Q0 Q2 Q4 Q6     = F4     g0 g2 g4 g6     分解 [ Q0 Q2 ] = F2 [ g0 g4 ] + [ w0 w2 ] F2 [ g2 g6 ] [ Q4 Q ] = F2 [ g0 g ] + [ w4 w6 ] F2 [ g2 g ]

(43)

高速フーリエ変換

4 点離散フーリエ変換     Q1 Q3 Q5 Q7     =F4     g1 g3 g5 g7     分解 [ Q1 Q3 ] = F2 [ g1 g5 ] + [ w0 w2 ] F2 [ g3 g7 ] [ Q ] [ g ] [ w4 ] [ _g ]

(44)

4 点離散フーリエ変換     Q1 Q3 Q5 Q7     = F4     g1 g3 g5 g7     分解 [ Q1 Q3 ] = F2 [ g1 g5 ] + [ w0 w2 ] F2 [ g3 g7 ] [ Q5 Q ] = F2 [ g1 g ] + [ w4 w6 ] F2 [ g3 g ]

(45)

高速フーリエ変換

回路 C4 2 2 4 + + D4u D4d D₄u= [ w0 w2 ] = [ 1 −i ] , D₄d = [ w4 w6 ] = [ −1 i ]

(46)

2 点離散フーリエ変換 [ P0 P4 ] = [ 1 w0 1 w4 ] [ g0 g4 ] [ P2 P6 ] = [ 1 w0 1 w4 ] [ g2 g6 ] [ P1 P5 ] = [ 1 w0 1 w4 ] [ g1 g5 ] [ P3 P7 ] = [ 1 w0 1 w4 ] [ g3 g7 ]

(47)

高速フーリエ変換

回路 C2 D2u D2d + + 1 1 2 D₂u= w0 = 1, D₂d = w4 =−1

(48)

C2 C2 C2 C2 g010 g110 g000 g100 g011 g001 g101 C4 C4 2 2 2 C8 4 4 G010 G011 G000 G001 G110 G100 G101 8

(49)

高速フーリエ変換

観測値と離散フーリエ変換の並び             g0 g4 g2 g6 g1 g5 g3 g7             =             g000 g100 g010 g110 g001 g101 g011 g111                         G0 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7             =             G000 G001 G010 G011 G100 G101 G110 G111            

(50)

8 点高速フーリエ変換：二回の 4 点高速フーリエ変換二回の 4 次の対角行列とベクトルの積 4 次の対角行列とベクトルの積：4 回の乗算 (8 点 FFT の乗算回数) = 2× (4 点 FFT の乗算回数) + 8 4 点高速フーリエ変換：二回の 2 点高速フーリエ変換二回の 2 次の対角行列とベクトルの積 2 次の対角行列とベクトルの積：2 回の乗算 (4 点 FFT の乗算回数) = 2× (2 点 FFT の乗算回数) + 4 2 点 FFT の乗算：2 回 [ P0 ] = [ 1 +1 −1 ] [ g0 ] = [ g0 + (+1)× g4 −1) × g ]

(51)

高速フーリエ変換

(2 点 FFT の乗算回数) = 2 = 2× log₂2 (4 点 FFT の乗算回数) = 2× 2 + 4 = 8 = 4 × log₂4 (8 点 FFT の乗算回数) = 2× 8 + 8 = 24 = 8 × log₂8 (16 点 FFT の乗算回数) = 2× 24 + 16 = 64 = 16 × log₂16 .. . (N 点 FFT の乗算回数) = N× log₂N 256× 256 = 28+8_{ピクセルの画像}

(52)

回転因子：w = e−i2π/6         G0 G1 G2 G3 G4 G5         =         w0 w0 w0 w0 w0 w0 w0 _w1 _w2 _w3 _w4 _w5 w0 _w2 _w4 _w6 _w8 _w10 w0 w3 w6 w9 w12 w15 w0 _w4 _w8 _w12 _w16 _w20 w0 _w5 _w10 _w15 _w20 _w25                 g0 g1 g2 g3 g4 g5        

(53)

6 点高速フーリエ変換

回転因子：w = e−i2π/6         G0 G1 G2 G3 G4 G5         =         w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 w0 _w2 _w4 _w1 _w3 _w5 w0 w4 w8 w2 w6 w10 w0 _w6 _w12 _w3 _w9 _w15 w0 w8 w16 w4 w12 w20 w0 _w10 _w20 _w5 _w15 _w25                 g0 g2 g4 g1 g3 g5        

(54)

  w 0 _w0 _w0 w0 _w2 _w4 w0 w4 w8   =   w 0 _w6 _w12 w0 _w8 _w16 w0 w10 w20   = F3   w 0 _w0 _w0 w1 _w3 _w5 w2 w6 w10   =   w 0 w1 w2   F3   w 3 _w9 _w15 w4 _w12 _w20 w5 w15 w25   =   w 3 w4 w5   F3

(55)

9 点高速フーリエ変換

回転因子：w = e−i2π/9               G0 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7               =               w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 _w0 w0 w3 w6 w1 w4 w7 w2 w5 w8 w0 _w6 _w12 _w2 _w8 _w14 _w4 _w10 _w16 w0 w9 w18 w3 w12 w21 w6 w15 w24 w0 _w12 _w24 _w4 _w16 _w28 _w8 _w20 _w32 w0 _w15 _w30 _w5 _w20 _w35 _w10 _w25 _w40 w0 _w18 _w36 _w6 _w24 _w42 _w12 _w30 _w48 w0 _w21 _w42 _w7 _w28 _w49 _w14 _w35 _w56                             g0 g3 g6 g1 g4 g7 g2 g5              

(56)

左上 = 左中 = 左下 = F3 中上 =   w 0 w1 w2   F3, 右上 =   w 0 w2 w4   F3 中中 =   w 3 w5 w5   F3, 右中 =   w 6 w8 w10   F3 中下 =   w 6 w7   F3, 右下 =   w 12 w14   F3

(57)

画像の照合

(58)

(59)

画像の照合

グレースケール画像

40x40

(60)

4× 4 ピクセルピクセル (pixel) picture element の略 8 ビットグレースケール画像各ピクセルの輝度 0 (黒) — 255 (白)

(61)

画像の照合

グレースケール画像

640× 420 ピクセル 8 ビットグレースケール画像

(62)

FFT

(63)

画像の照合

二次元フーリエ変換

二次元観測値 gm,n (m, n = 0, 1, 2,· · · , N − 1) 回転因子 w = e−i 2π/N 二次元離散フーリエ変換 Gj ,k = ∑ m ∑ n gm,nwjmwkn = ∑ m ∑ n gm,ne−i 2π(jm+kn)/N 二次元 (連続) フーリエ変換

(64)

Input Reference inp

G

ref

G

㸰D DFT ┦㛵㛵ᩘ 㸰D IDFT ref inp

G

(65)

画像の照合マッチドフィルタ

マッチトフィルタ

(matched filter)

連続画像上の点 (x, y ) における輝度値 g (x , y ) 関数 g (x, y ) は連続画像を表わす 画像 g (x, y ) の二次元フーリエ変換 G (ξ, η) =F[g(x, y)]=△ ∫∫ g (x , y ) e−i(ξx+ηy)dx dy 二次元フーリエ逆変換 ∫∫

(66)

参照画像 gref を x 方向に x0，y 方向に y0並進移動させると，入力

画像 ginpに一致すると仮定

gref(x − x0, y− y0) = ginp(x , y )

参照画像のフーリエ変換を Gref(ξ, η)，入力画像のフーリエ変換を

Ginp(ξ, η) で表すと

Gref(ξ, η) e−i(x0ξ+y0η) = Ginp(ξ, η), ∀ξ, η これより

F−1[Ginp(ξ, η)] _{= δ(x}_{− x}

(67)

画像の照合マッチドフィルタ

マッチトフィルタ

(matched filter)

(68)

Input Reference inp

G

ref

G

㸰D DFT ref ref inp inp ref inp

G

⋅

=

∠

఩┦㝈ᐃྜᡂ ref ref inp inp ref inp

G

⋅

=

∠

఩┦㝈ᐃྜᡂ 㸰D IDFT

(69)

画像の照合位相限定相関法

位相限定相関法

(phase only correlation; POC)

二次元フーリエ変換 G (ξ, η) の振幅スペクトルを|G|(ξ, η)，位相ス

ペクトルを_{∠G(ξ, η) で表す}

|G|(ξ, η) = |G(ξ, η)|, ∠G(ξ, η) = _{|G|(ξ, η)}G (ξ, η)

参照画像のフーリエ変換 Gref(ξ, η) と入力画像のフーリエ変換

Ginp(ξ, η) の関係式

Gref(ξ, η) e−i(x0ξ+y0η) = Ginp(ξ, η), ∀ξ, η 位相スペクトルを求めると

(70)

Gref の複素共役を Gref と表わす

= Ginp|Gref||Gref|

Gref|Ginp||Gref| = GinpGrefGref

Gref|GinpGref|

= GinpGref

|GinpGref| これより

[

(71)

画像の照合位相限定相関法

位相限定相関法

(phase only correlation; POC)

参照画像

(72)

離散フーリエ変換 離散フーリエ変換：行列 FN 逆離散フーリエ変換：行列 F_N−1 = (1/N) F_−N 高速フーリエ変換離散フーリエ変換を分解 計算量 N_{× log}₂N マッチドフィルタと位相限定相関法画像間の位置ずれを検出

(73)

付録

フーリエ変換

x (t) = c0 · 1 + a1cos t + b1sin t +a2cos 2t + b2sin 2t +a3cos 3t + b3sin 3t +· · · ⇓

a1cos t + b1sin t ⇒ (a1 − ib1)(cos t + i sin t) の実部 a2cos 2t + b2sin 2t ⇒ (a2 − ib2)(cos 2t + i sin 2t) の実部

.. .

(74)

フーリエ級数

(75)

付録

フーリエ変換

c1 = a1 − ib1の絶対値 r1，偏角 α1

a1 = r1cos α1, −b1 = r1sin α1

c1eitの実部 = a1cos t + b1sin t

= r1(cos t cos α1− sin t sin α1)

= r1cos(t − α1)

(76)

c0を求める ∫ 2π 0 1 dt = 2π, ∫ 2π 0 eitdt = [ eit i ]t=2π t=0 = 0, ∫ 2π 0 e2it dt = [ e2it 2i ]t=2π t=0 = 0, .. . フーリエ級数の式を積分 ∫ 2π x (t) dt = c · 2π ⇒ c = 1 ∫ 2π x (t) dt

(77)

付録

フーリエ変換

c1を求める．

フーリエ級数の式に e−it _{を乗じる．}

x (t) e−it = c0e−it+ c1· 1 + c2eit+ c3e2it+· · ·

積分 ∫ 2π 0 x (t) e−itdt = c1 · 2π ⇒ c1 = 1 2π ∫ 2π 0 x (t) e−itdt

(78)

c2を求める．

フーリエ級数の式に e−2it _{を乗じる．}

x (t) e−2it = c0e−2it+ c1e−it + c2· 1 + c3eit+ c4e2it +· · ·

積分 ∫ 2π 0 x (t) e−2it dt = c2 · 2π ⇒ c2 = 1 2π ∫ 2π 0 x (t) e−2it dt

(79)

付録

フーリエ変換

複素関数と複素関数の内積 < f (t), g (t) >= ∫ 2π 0 f (t) g (t) dt < x (t), 1 > = ∫ 2π 0 x (t) dt < x (t), eit > = ∫ 2π 0 x (t) e−it dt ∫

(80)

x (t) = c0· 1 + c1eit+ c2e2it+ c3e3it +· · · c0 = 1 2π < x (t), 1 > c1 = 1 2π < x (t), e it _> c2 = 1 2π < x (t), e 2it _> c3 = 1 2π < x (t), e 3it _> ..

(81)

付録

フーリエ変換

< 1, 1 >=< eit, eit >=< e2it, e2it >= · · · = ∫ 2π 0 1 dt = 2π

< 1, eit >=< eit, e2it >=< e2it, e3it >=· · · =

∫ 2π 0

e−itdt = 0,

< 1, e2it >=< eit, e3it >=< e2it, e4it >=· · · =

∫ 2π 0

(82)

g0 = 1, g1 = eit, g2 = e2it, g3 = e3it,· · · < gi, gj >= { 2π i = j のとき 0 i ̸= j のとき ⇓ 異なる gi と gj は直交している．

(83)

付録

フーリエ変換

離散化 (8 点) サンプリング間隔 h = 2π/8 観測量 f (0) = f0, f (h) = f1, f (2h) = f2, · · · , f (7h) = f7 ∫ 2π 0 f (t) dt = f0h + f1h + f2h +· · · + f7h したがって w = e−i (2π/8)とおくと ∫ 2π 0 x (t) e−it dt = (x01)h + (x1w )h + (x2 w2)h +· · · + (x7w7)h h { }

(84)

定数を無視 c1 ⇒ x0+ x1w + x2w2+· · · + x7w7 他の係数とまとめて c0 ⇒ x0+ x1+ x2+· · · + x7 c1 ⇒ x0+ x1w + x2w2+· · · + x7w7 c2 ⇒ x0+ x1w2 + x2w4+· · · + x7w14 c3 ⇒ x0+ x1w3 + x2w6+· · · + x7w21 .. .