（付録）
「屈折率と誘電率（１）」
1. 屈折率の考え方
2. 分極電流と円電流
3. 分極振動と電流密度
4. アンペールの法則の修正
5. 複素電気感受率
6. 補足：世界観（実空間と複素空間）
暫定版 修正・加筆の可能性あり 注意：整理しましょう！ 前回：付録（401）のアプローチ 1. 電子振動子模型を利用して媒質を電気双極子の集団としてモデル化 2. 薄いシート媒質中の分極振動（電気双極子の集団運動）による電気双極子放射を考慮 3. オリジナル光と電気双極子放射光との間で起きる干渉（重ね合わせ）で位相遅れ（屈折率）と損失のメカニズムを説明 4. 位相遅れ（屈折率）と損失は同一現象（分極振動）を起源とする。 5. 説明省略：位相遅れ（屈折率）と損失は相互依存関係にある（クラマース・クローニヒの分散公式）。 今回：付録（411、412、413）のアプローチ 1. 電気双極子放射は考慮しない。位相遅れ（屈折率）と損失のメカニズムについて説明はしない。 2. 媒質中の誘電率を定義して屈折率と損失を媒質固有のものと考える。 3. 定義の仕方：誘電率（電気感受率）を複素数として扱い、 屈折率と損失をそれぞれ実部と虚部に対応させる。 4. 複素誘電率扱いのため振動電場も複素数扱い。 5. 同じ物理現象を別の角度から考察（教科書的なアプローチ）薄いシート状の物質を透過する光
平面波近似説明
1. 入射光波の振動電場Eが電子振動の
強制力となる
2. シートに含まれる分極が集団として
振動を開始（同位相）
3. 各分極が双極子放射
シート透過後の光波
1. 双極子放射に寄与しなかった「透過
オリジナル光」と「双極子放射光」
の和
ご注意 1. 「双極子放射光」は四方八方に拡がるけれども、今回は出 射側のみに注目する。 2. 境界面での反射は後方双極子放射光による。（詳細省略） 3. 出射側の「ある一点」で考えるなら、光波は「透過オリジ ナル光」と様々な角度から届く「双極子放射光」の「積分 的な」和となる透過オリジナル光＋各双極子放射
オリジナル光
入射側 出射側屈折率の考え方：比較
出射側( )
sin
(
0)
cos
(
0)
xE
z
=
C
t
−
k z
+
B
t
−
k z
各双極子放射 透過オリジナル光 波数：真空中（添字：零）0
0
0
0
k
c
=
=
光速 誘電率 前回のモデル：分極振動による双極子放射の影響を考慮 • 入射光波（オリジナル光）の振動電場Eが電子振動の強制力となる • 分極振動：シートに含まれる分極が集団として振動を開始 • 双極子放射を利用して「位相遅れ」と「損失」を説明 透磁率 角速度今回のモデル：教科書的なアプローチ
•
分極振動で位相おくれ（屈折率）や損失が発生することを事実として受け入れる。
•
誘電率（電気感受率）を定義して分極振動による位相おくれや損失を上手に表現する。
•
定義の仕方は電気感受率を複素数扱いして、実部を屈折率、虚部を損失にそれぞれ対応づける。
•
電気感受率は媒質固有であり、与えられるものとする。
•
誘電率（電気感受率）が複素数なので電場も磁場も複素表示を使用
•
自然界が「実数の世界」であることを考慮すると、「複素電場」「複素磁場」「複素誘電率」はやや「人
為的、抽象的な量」である。世界観については最終頁で補足する。
•
非磁性体を扱うため、透磁率は不変、「真空中の透磁率」を使用
電気感受率の役割：電磁場（光）と物質の相互作用の一切をこれに集約して表現する
真空中：電気感受率は零、真空中の誘電率（実数）
媒質中：電気感受率は非零（複素数）、媒質中の誘電率（複素数）
0
分極電流と円電流（１）
時間経過 原子核（不動） 電子（振動）( )
0
cos
x t
=
x
t
電子 位置 電子の位置：ｘ成分 分極振動：とりあえず何らかの理由で電子位置が変化 もし、ｙ成分が以下のように記述できるなら円運動( )
0sin
y t
=
x
t
電子：円運動( )
t
r
円電流( )
x y
,
,
x
0
=
=
r
r
(
)
0
0
sin
, cos
,
2
I
r
I
t
t
ev
v
x
I
x
=
−
=
=
=
速度ベクトル 負号：電子のため0
0
2
2
e d
e
d
x dt
x dt
→−
−
=
r
⎯⎯⎯→ =
r
r
r
I
I
結論：分極振動は円運動のｘ成分である。 もちろん、ｙ成分と考えてもよい。 電子の速度 反転：位置ベクトル 負から正電荷の向き 原点 原子核 誘電分極：electronic polarization 分極電流：polarization current 電流密度：current density分極電流と円電流（２）
円電流密度：とりあえず「大きさ」のみ 電子の円運動：ドーナッツ状領域（点線）に限定 反転：位置ベクトル（負電荷から正電荷の向き）( )
t
r
断面積：Ｓ2
0
1
2
I
A
J
e
v
eNv
S
Sx
m
= =
=
電子は１個： N：単位体積当たりの電子数( )
0
0
1
,
2
N
x
t
Sx
=
= r
電流密度：ベクトル表記
0
( )
,
,
d
d
eN
eN
N
e
C m
x
t
dt
dt
=
=
r
=
p
=
=
J
v
p
r
r
電子振動子の電気双極子モーメント 原子１個：電子と原子核で構成 注意：円電流の場合、電気双極子の長さは一定、回転運動(
)
3
2
,
x
x
x
x
x
d Np
dP
C m
C
J
P
Np
dt
dt
m
m
=
=
=
=
Ｐ：誘電分極（dielectric polarization） 、但し、ｘ成分のみ Ｎ：単位体積当たりの電気双極子数で読み替え 分極振動：円運動のｘ成分である 分極振動による電流密度：ｘ成分のみ ベクトルの大きさ 電子と原子核間の距離分極振動と電流密度
(
x
)
x
x
d Np
dP
J
dt
dt
=
=
誘電分極（dielectric polarization） ：ｘ成分のみ 分極振動による電流密度：ｘ成分のみ x xP
=
Np
誘電分極：振動電場（electric field）に誘われて （induced）分極（polarization）振動する電気双極子 の集団運動。但し、文字通りの意味は誘電体中の分極 Ｐ：誘電分極（dielectric polarization） ベクトル Ｎ：単位体積に存在する電気双極子数(
)
,
,
,
x
y
z
N
Ne
P P P
=
=
=
P
p
r
P
一般化しましょう！ 誘電分極ベクトル( )
t
=
e
( )
t
p
r
伸縮する電気双極子モーメント ベクトルの向き：負から正電荷 注意：ベクトルは回転しません！( )
t
r
電気双極子の長さベクトル方向： 負から正電荷 大きさ：電気双極子の長さに対応 注意： • 電気双極子の長さは時間変化 • 電気双極子は伸縮 • 回転運動はしない！ • 本当は原子核は動かない ベクトル：分極振動による電流密度( )
d N
d
dt
dt
=
P
=
p
J
( )
x t
伸縮する電気双極子モーメント：向き（ｘ軸） 矢印の向き：負から正電荷( )
( )
x
p t
=
ex t
青丸：電子、赤丸：原子核 時間経過 時間経過 本当は原子核は動かない絵解き：分極振動（１）
数え方：電気双極子 1. 振動方向が一致すれば 2. 電気双極子が横に並んでも 3. 電気双極子が縦に並んでも 4. 関与する個数が等しければ 5. 電気双極子モーメント総量は同じ 6. 一例：個数５( )
5
5
e
e
=
→
=
p
r
r
p
( )
5
5
e
r
+ +
e
r
=
e
r
=
p
r
r
r
r
r
r
r
r
( )( )
3
e
3
r
=
9
e
r
=
9
p
二次元の場合 青丸：電子、赤丸：原子核 原点e
−
e
0
電気双極子モーメント：参照403-10 ベクトルの向き：負から正電荷、大きさ：間隔 負電荷 正電荷r
3r
3e
−
3e
二次元でも： 1. 振動方向が一致：電気双極子モーメント総量は 2. 関与する電気双極子数に比例、一例：個数９5e
5e
−
r
絵解き：分極振動（２）
伸縮する電気双極子モーメント • 例：横並び（一次元） • 本当は原子核は動かない( )
t
r
青丸：電子、赤丸：原子核( )
t =
0
r
時間経過 伸縮する電気双極子モーメント • 例：縦並び（一次元） • 本当は原子核は動かない 媒質中 双極子数は巨大 ほぼ永遠に続く 時間経過( )
t
r
( )
t
r
r
( )
t
( )
t
r
点線矢印：個々の電気双極子の伸縮状態絵解き：分極振動（３）
r
r
r
9e
−
9e
媒質中の電気双極子数は巨大：「Ｎ：単位体積に存在する電気双極子数」で「誘電分極ベクトル」を定義
9e
9e
−
9e
−
9e
3r
3r
3r
青丸：電子 赤丸：原子核( )( )
9
e
3
r
=
27
e
r
=
27
p
半周期後 一周期後 分極振動による 電流密度：参照411-6( )
( )
2
d N
d
A
N
N e
dt
dt
m
=
=
=
=
p
P
J
P
p
r
分極振動：電気双極子の集団運動 三次元の場合：一例：２７個、但し、現実の媒質では「電気双極子数は巨大です！」( )
,
( )
,
C
C
t
t
d
dS
t
=
H r
l
P r
n
内
磁電誘導：ファラデーの電磁誘導の法則の逆過程 物理現象：電場Eの時間変化により非零渦巻磁場Hが誘起される。 磁場Hと電場Ｅで表記すると( )
0
( )
,
,
C
C
t
t
d
dS
t
=
H r
l
E r
n
内
本来のアンペールの法則とは、物理現象：電流（電子）が流れると渦巻磁場Hが発生 実在する電子による電流( )
,
( )
,
C
t
=
d
C
t
dS
H r
l
J r
n
内
括弧内：変位電流、電場Eが存在できる空間（場）さえあればよい。 電子不要の仮想的な電流（真空中でも変位電流は可）。n
E
ループC 面積分：閉ループＣの内側 線積分の向き 法線ベクトル 電場Ｅアンペールの法則の修正（１）
次頁参照：真空中の誘電率 光と物質（電子）の相互作用：分極電流により非零渦巻磁場Hが誘起される。 言い換えると：誘電分極（ dielectric polarization ）の時間変化により非零渦巻磁場Hが誘起される。 括弧内：電子電流 実在する電子による電流 括弧内：分極電流 多数の電気双極子の集団運 動（分極振動）による電流 真空中では分極電流零d
dt
=
P
J
分極電流密度 参照：411-8( )
,
( )
,
C
C
t
t
d
dS
t
=
H r
l
P r
n
内
( )
0
( )
,
,
C
C
t
t
d
dS
t
=
H r
l
E r
n
内
解答：「真空中の誘電率」のままでよい。 • 磁電誘導は電場Eの時間変化により非零渦巻磁場Hが誘起 される物理現象 • 但し、光と物質（電子）との相互作用とは無関係であり、 「媒質中の誘電率」の起源とはならない。アンペールの法則の修正（２）
媒質中の誘電率の起源はどこ？ 再掲：分極電流により非零渦巻磁場Hが誘起される。 解答：分極電流 多数の電気双極子の集団運 動（分極振動）による電流 が媒質中の誘電率の起源d
dt
=
P
J
分極電流密度 参照：411-10 磁電誘導：ファラデーの電磁誘導の法則の逆過程（再掲） 疑問：媒質中でも誘電率は「真空中の誘電率」のままでよいのか？ 通常、添字の「ｍ」は省略されるが、媒質中の振動電場Ｅを強調するために使用 導入：電束密度Ｄ( )
( )
(
0
m
)
,
,
,
C
C
C
t
d
t
d
dS
dS
t
t
dt
=
=
+
=
H r
l
D r
n
E
P n
J
D
内
内
変位電流密度：displacement current density
アンペールの法則の修正（３）
物理現象：渦巻磁場Hが発生する事象を全部まとめる！( )
,
( )
,
( )
,
C
C
C
t
t
d
t
dS
dS
t
=
+
H r
l
J r
n
D r
n
内
内
電流：電子は自由に移動 電束密度Ｄ：「渦巻磁場H発生に振動電場Ｅが関与する部分」（定義を見よ！） 振動電場Ｅ ＋ 振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子の集団運動（誘電分極）• 電束密度Ｄをいくら眺めても分極の有無は分からないから、電束密度Ｄは「極めて人工的な」物理量
• もし、分極の有無を明確にしたいなら、電場Ｅと誘電分極ベクトルＰを利用しなければならない。
d
dt
=
D
J
変位電流密度：displacement current density
定義：電束密度Ｄ
electric flux density
D
=
0E
+
P
真空中：分極無D
=
0E
( )
( )
m
( )
( )
0
,
,
,
,
C
C
C
C
t
t
t
d
t
dS
dS
dS
t
t
=
+
+
H r
l
J r
n
E
r
n
P r
n
内
内
内
振動電場Ｅによる変位電流 電気双極子の集団運動による分極電流 媒質中の誘電率の起源 真空中の誘電率のまま（permittivity） 媒質固有 アンペールの法則の修正：媒質中（分極有）( )
m, t
E
r
重要：通常、添字の「ｍ」は省略されるが、媒質中の振動電場Ｅを意味する 電流：電子は自由に移動アンペールの法則の修正（４）
( )
( )
m
( )
( )
0
,
,
,
,
C
C
C
C
t
t
t
d
t
dS
dS
dS
t
t
=
+
+
H r
l
J r
n
E
r
n
P r
n
内
内
内
背景：媒質( )
( )
m
( )
0
,
,
,
C
C
C
t
t
d
t
dS
dS
t
=
+
H r
l
J r
n
E
r
n
内
内
背景：真空 添字ｍ：媒質中の振動電場Ｅ 添字ｖ：真空中の振動電場Ｅ 仮定 両者間で同一 電流：電子は自由に移動ややこしいかな！
• 両者間で同一の渦巻き磁場Ｈが観測されたとすれば
• 電束密度Ｄは分極の有無と無関係なので両者間で同一
D
=
0E
m+ =
P
0E
v/ /
m
→
m
v
E
P
E
E
誘電分極ベクトルＰは振動電場Ｅｍと同じ向き（お詫び：異方性媒質は無視） 電気双極子モーメント：位置ベクトルは負から正電荷の向き mE
媒質中の振動電場Ｅｍ 分極：媒質固有( )
N
N e
=
=
P
p
r
+
−
−
P
+
アンペールの法則の修正（５）
別の言い回し！ • 最初、背景は真空、渦巻き磁場Ｈ、電束密度Ｄを観測する • 途中で背景が媒質（分極有）に変化しても、磁場Ｈが不変であったとすれば • 電束密度Ｄも不変となるから、電束密度Ｄを比較しても分極の有無は分からない • 振動電場Ｅを比較すれば分極の有無が分かる vE
最初：振動電場Ｅｖ 途中で：振動電場Ｅｍ 0 v→
m m=
v−
E
E
E
E
P
vE
もう一度書きます！ • 両者間で同一の渦巻き磁場Ｈが観測されたとすれば • 分極効果により媒質中の振動電場Ｅｍは真空中の振動電場Ｅｖより小さくなる • 電束密度Ｄは分極の有無と無関係なので両者間で同一 0 m 0 v
=
+ =
D
E
P
E
媒質中の振動電場Ｅｍと誘電分極ベクトルＰは同じ向きE
m
/ /
P
→
E
m
E
v
簡単のため：電気双極子1個からなる分極 青丸：電子、赤丸：原子核 mE
媒質中の振動電場Ｅｍ 0
− P
誘電分極Ｐによる電場重要：
•
媒質中の振動電場Ｅｍと誘電分極ベクトルＰは同じ向き
•
誘電分極Ｐによる電場
は振動電場Ｅｖ、Ｅｍと逆向きの関係
0
− P
分極Ｐによる電場P
−
+
+
−
磁性体とアンペールの法則
アンペールの法則の修正版（変位電流を追加：同時存在を許す） • 非磁性体でも磁性体でも渦巻磁場Ｈは不変、磁場Ｈは「磁性」の効果を含まず、極めて「人工的な」物理量( )
,
( )
,
( )
,
C
C
C
t
t
d
t
dS
dS
t
=
+
H r
l
J r
n
D r
n
内
内
アンペールの法則の修正版（変位電流を追加：同時存在を許す） • もし、磁性体と非磁性体の違いを明確にしたいなら、磁場（磁束密度）Ｂと磁化ベクトルＭを利用しなければならない。( )
( )
0
,
1
,
C
C
C
t
d
t
dS
dS
t
−
=
+
B M
l
J r
n
D r
n
内
内
( )
( )
( )
0
1
,
,
,
H r
t
B r
t
M r
t
=
−
非磁性体なら 00,
=
=
M
B
H
真空中の透磁率 magnetic permeability電束密度Ｄ： electric flux density 説明省略：ＥーＨ対応 0
=
+
B
H
M
0
=
+
D
E
P
誘電分極Ｐ： dielectric polarization 磁化（ベクトル）Ｍ： magnetization 説明省略：磁化（ベクトル）Ｍ 説明省略：ＥーＢ対応B
=
0H
+
0M
複素電気感受率
電気感受率χ： electric susceptibility • 複素数：振動電場Eと誘電分極Pの振動のタイミング （位相）が異なるかもしれない！ • 電子振動子模型でのブランコを思い出してほしい！ （参照：401） • 振動電場Eとブランコ振動間の位相ずれを考慮( )
0
N
e
N
,
Re
f
f
=
=
=
=
P
E
r
p
世界観：実数の世界と複素数の世界 橋渡しのルール： • これまでは、電場Ｅ、誘電分極Ｐ、電束密度Ｄとも複素数扱いでも実数扱いでもよかった。黒色表示： • これまでは、誘電分極Ｐに電気感受率χは陽に現れなかった。（Ｐとｒは位相ずれありません） ところが、複素電気感受率χを導入した時点で • 振動電場Ｅと誘電分極Ｐ間の位相ずれを表現するために複素表示 • 簡単のため、誘電分極Ｐが電場Ｅに比例（線形電気感受率） これからやりたいこと • 電気感受率の実部が屈折率、虚部が損失に対応することを確認（これが定義） • ブランコを勢いよくこぎたいのであれば、「いつ、どこで、どちらの方向に」力を与えればよいのか？（光損失の場合） 注意：実数表示と複素数表示 赤色（正実数）青色（複素数） 但し、強調したいときのみ
(
)
(
)
Re
f
=
f
→
Re
A
exp
i
t
−
kz
=
A
cos
t
− +
kz
0
, ,
⎯⎯⎯→
P= ED E P
光の世界での分極表現 電気感受率 電子の世界での分極 電気双極子モーメント 入射光波：振動電場EE
r
( )
N e
P
r
'
''
'
''
',
''
0
~ 1
2
2
n
i
i
= −
→
+
−
複素電気感受率と屈折率
媒質中の誘電率（複素数）：ε • 真空中（実数）でも媒質中（複素数）でも形式上同じ • 誘電率の形式的な置換で何が見えてくるか？ • 形式的な置換：ε0→ε 光速：誘電率を含む（誘電率置換） • 真空中：実数 • 媒質中（非磁性体）：とりあえず複素数扱い 複素電気感受率 屈折率変化：Δｎ 電気感受率の実部に対応 注意：複素屈折率の実部（赤色）はお馴染みの屈折率。では、屈折率（電気感受率）の虚部とは何？ → 損失 負号：虚部、理由：虚部を減衰率と対応させるため（次頁） 00
0
0
0
1
1
c
c
→
=
⎯⎯⎯
→
=
1 0 01
1
2
n
c
c
=
=
=
+
⎯⎯⎯
→
+
'
'
''
Re
1
,
1
,
Im
2
n
2
n
2
n
n
= = +
= − =
n
= −
屈折率はどうなる？ • 真空中：ｎ＝１ • 媒質中：とりあえず複素数扱い(
)
0 01
=
+ =
+
=
D
E P
E
E
複素電気感受率と損失
真空中の波数：実数 媒質中の波数：複素数 単位断面積当たりの光強度は電場E振幅の自乗に比例 電気感受率の虚部：損失に対応 減衰率：Γ＞０ 光増幅：Γ＜０ 負号：虚部(
)
0 00
0
0
0
0
0
0
0
,
~ 1
2
''
'
exp
exp
1
,
'
''
2
2
''
'
exp
exp
1
2
2
c
c
k
c
c
k
i
t
z
i
t
k
z
k
n
c
n
A
k
A
A
i
z
i
k
z
i
t
k
z
→
→
=
⎯⎯⎯
→
=
=
=
+
−
→
−
+
+
= −
=
−
−
+
(
)
2exp
A
z
−
0'',
'
''
k
i
=
= −
''
0
0
→
''
0
0
→
納得：複素電気感受率の実部と虚部 ＝ 媒質の屈折率と損失 形式的な置換 複素電気感受率の虚部に注目！誘電分極と複素電気感受率
誘電分極Ｐ（スカラー表示） 複素電気感受率の役割 光の世界と電子の世界の橋渡し( )
,
0( )
,
( )
,
xz t
xz t
Ne
P
=
E
=
x
z
t
電子の世界での誘電分極 ｐ：電気双極子モーメント Ｎ：単位体積に存在する電気双極子数N
p
=
N e
( )
r
=
P
→
N
e
x
( )
z
,
t
これからやりたいこと！：参照412 1. 振動電場Eに対してどんなときに分極振動は追従できる？ 2. 実は、追従できるときは電気感受率は実数なので屈折率のみ 3. このとき光から電気双極子へのエネルギーの移動はない（透明媒質） 4. どんなときに追従できない 5. 実は、追従できないときエネルギーの移動がおきる（損失）。 6. ブランコを思い出しましょう！ 7. 電気感受率が複素数でなければならない必然性が見えてきた！( )
,
xE
z t
誘電分極：振動電場Ｅに 誘われて伸縮する電気双 極子の集団運動( )
,
e
x
z t
( )
,
e
x
z t
( )
,
e
x
z t
黒矢印：電子振動、振動方向：ｘ軸( )
( )
( )
( )
(
)
( )
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位相遅れ：ブランコを加速、減速するタイミングを決める（エネルギーの移動） 光の世界での表現 電気感受率 電子の世界での表現 電気双極子誘電分極：言葉の問題
英語の方が分かりやすいかも！
• A dielectric（誘電体） is an electrical insulator that can be polarized by an applied electric field.
• Dielectric polarization （誘電分極） describes a state of well aligned electric dipoles inside the material.
• An electric dipole（電気双極子）is a pair of positive and negative charges whose positions are slightly shifted from their average equilibrium positions.
In summary
• When a dielectric is placed in a constant electric field, electric charges do not flow (an insulator).
• When a dielectric is exposed by an alternating electric field, electric dipoles inside the material start expansion and contraction in order (coherently) causing a flow of alternating current (polarization current or displacement
current)
