平成 29 年度 京都大学 ２次試験前期日程 ( 数学問題 )120 分 総合人間 ( 文系 ) ，文，教育 ( 文系 ) ，法，経済 ( 文系 )
1 曲線 y = x3− 4x + 1 を C とする．直線 l は C の接線であり，点 P(3, 0) を通る ものとする．また， l の傾きは負であるとする．このとき， C と l で囲まれた部 分の面積 S を求めよ．
2 次の問に答えよ．ただし，0.3010 < log102 < 0.3011 であることをは用いて よい．
(1) 100 桁以下の自然数で， 2 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ．
(2) 100 桁の自然数で， 2 と 5 以外に素因数を持たないものの個数を求めよ．
3 座標空間において原点 O と点 A(0, − 1, 1) を通る直線を l とし，点 B(0, 2, 1) と点 C( − 2, 2, − 3) を通る直線を m とする． l 上の 2 点 P ， Q と， m 上の点 R を 4 PQR が正三角形となるようにとる．このとき， 4 PQR の面積が最小となる
ような P，Q，R の座標を求めよ．
4 p ， q を自然数， α ， β を
tan α = 1
p , tan β = 1 q
を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 次の条件
(A) tan(α + 2β) = 2
を満たす p ， q の組 (p, q) のうち， q 5 3 であるものをすべて求めよ．
(2) 条件 (A) を満たす p ， q の組 (p, q) で， q > 3 であるものは存在しないこと を示せ．
5 n を 2 以上の自然数とする．さいころを n 回振り，出た目の最大値 M と最小値 L の差 M − L を X とする．
(1) X = 1 である確率を求めよ．
(2) X = 5 である確率を求めよ．
解答例
1 f (x) = x3− 4x + 1 とおくと f
0(x) = 3x
2 − 4
C 上の点 (t, f (t)) における接線の方程式は y − (t
3− 4t + 1) = (3t
2− 4)(x − t) すなわち y = (3t
2− 4)x − 2t
3+ 1 · · · ( ∗ )
O y
x C
− 1 2 1
4 l
3
これが点 (3, 0) を通るから
(3t
2− 4) · 3 − 2t
3+ 1 = 0 ゆえに (t + 1)(2t
2− 11t + 11) = 0 f
0( − 1) = − 1 < 0 であるから， t = − 1 は条件を満たす．
2t
2− 11t + 11 = 0 のとき， t
2= 11
2 (t − 1) ， t = 11 ± √ 33
4 より
f
0(t) = 3t
2− 4 = 3 · 11
2 (t − 1) − 4 = 33 8
(
4t − 4 − 32 33
)
= 33 8
{
(11 ± √
33) − 4 − 32 33
}
= 33 8
{
(6 ± √
33) + 1 33
}
> 0 したがって，条件を満たすのは， t = − 1 に限る． ( ∗ ) より l : y = − x + 3
( − x + 3) − (x
3− 4x + 1) = − (x
3− 3x − 2)
= − (x + 1)
2(x − 2) = (x + 1)
2(2 − x) C と l の共有点の x 座標は x = − 1, 2
− 1 5 x 5 2 において ( − x + 3) − (x
3− 4x) = (x + 1)
2(2 − x) = 0 よって，求める面積 S は
S =
∫
2−1
(x + 1)
2(2 − x) dx = 1
12 { 2 − ( − 1) }
4= 27 4
補足 次の公式
1に m = 2 ， n = 1 ， α = − 1 ， β = 2 を代入する．
∫
β α(x − α)
m(β − x)
ndx = m!n!
(m + n + 1)! (β − α)
m+n+11
