2 らば第 1 種の過誤の割合が期待された値と大きく異なった また, スチューデントの t 検定も不等分散の影響を強く受けた 一方, ウェルチの t 検定は, 正規分布はもとより, ある程度の分布の歪み ( 実際の研究で現れる程度の歪みであるが ) にも対応でき, さまざまな条件に対して基本的に安定

マン・ホイットニーの U 検定と不等分散時における代表値の検定法

名取真人

岡山理科大学理学部動物学科

はじめに

マン・ホイットニーの

_{U 検定（ウィルコク}

ソン・マン・ホイットニー検定）は，対応の

ない 2 群の検定法であり，正規性の仮定を必

要としない。しかも，正規性を前提としてい

る

_{t 検定が使える状況でも，検出力がその}

95 ％ あ ま り（3

_{/π） に な る と さ れ る（Mood,}

1954）

。さらに，マン・ホイットニーの

_{U 検定}

は，順序データに基づいているため，外れ値

のような値が多少あったとしても影響を受け

にくい。

こういった理由からだと思われるが，霊長

類の研究では，2 群の代表値（平均値や中央値

など）を比較する方法として，間隔尺度以上

のデータ（たとえば，温度，体重，齢，頭数

など）に対してもマン・ホイットニーの

_{U 検}

定を採用することが少なくない。

ただ，マン・ホイットニーの

_{U 検定は，2}

つの標本を抽出した母集団が同一であること

を 元 来 の 帰 無 仮 説 と し て お り（

_{Mann and}

Whitney, 1947），代表値を検定する場合には等

分散性が前提条件として求められる（

_{cf. Siegel}

and Castellan, 1988; Zar, 2010; Sokal and Rohlf,

2012）

。事実，マン・ホイットニーの

_{U 検定は，}

不等分散に反応し，状況によっては無視でき

ないほど代表値検定の精度低下を招くことが

多くの研究者によってシミュレートされてい

る（

_{e.g., Murphy, 1976）。}

霊長類の研究には，分散の等質性を保証で

きないデータが少なからず存在するに違いな

い。このようなデータの代表値を検定する場

合，マン・ホイットニーの

_{U 検定では十分に}

対応できないことが想定できる。したがって，

別な方法も視野に入れておく必要があるので

はないだろうか。そこで，本論文では，釈迦

に説法だとは承知しつつも，別な方法になる

かもしれない検定法について少しばかり触れ

てみたい。

最近のいくつかの提案

Sokal and Rohlf（2012）は，Shoemaker（1995）

によって開発されたノンパラメトリックタイ

プのばらつきの検定を先に行い，それが棄却

されなかった場合にマン・ホイットニーの

_U

検定を用いる手法を提案した。しかし，

_{t 検定}

などでは事前に等分散性を検定することが不

適 切 だ と 指 摘 す る 研 究 者 も 多 く（

_{cf. Zar,}

2010）

，この手法の行方は不透明である。

Rasch et al.（2011）は，マン・ホイットニー

の

_{U 検定，等分散を仮定した t 検定（スチュー}

デントの

_{t 検定とする），等分散を仮定しない}

t 検定（ウェルチの t 検定）が有する，平均値

の検定法としての頑健性をモンテカルロシ

ミュレーションよって分析した。その結果，

マン・ホイットニーの

_{U 検定は，多くの状況}

で他の方法よりも検出力が低く，不等分散な

1

2014 年 2 月 13 日受付，2014 年 3 月 27 日受理，2014 年 6 月 17 日早期公開（

_J-STAGE）

e-mail: natori@zool.ous.ac.jp

意　見

らば第 1 種の過誤の割合が期待された値と大

きく異なった。また，スチューデントの

t 検定

も不等分散の影響を強く受けた。一方，ウェ

ルチの

t 検定は，正規分布はもとより，ある程

度の分布の歪み（実際の研究で現れる程度の

歪みであるが）にも対応でき，さまざまな条

件に対して基本的に安定した高い精度を維持

した。これを根拠に，

Rasch et al.（2011）は，

平均値の検定に関しては，マン・ホイットニー

の

_{U 検定は用いるべきではなく，ウェルチの t}

検定を標準的な方法にすべきだと述べた。

Ruxton（2006）も，代表値の比較においては，

ウェルチの

_{t 検定を高く評価し，スチューデン}

トの

_{t 検定やマン・ホイットニーの U 検定よ}

り先にウェルチの

_{t 検定を使用することを推奨}

した。とはいえ，

明確な非正規分布の場合には，

ウェルチの

_{t 検定を用いるにしても順序データ}

への置換を促した（

_{Ruxton, 2006）。}

間隔データを順序データに置き換えてパラ

メトリックな方法を当てはめることは可能な

ようで，マン・ホイットニーの

_{U 検定は順序}

データに基づくスチューデントの

_{t 検定と同じ}

だ と す る 指 摘 が あ る（

_{Conover and Iman,}

1981）

。 そ の 流 れ の 中 で，

_{Zimmerman and}

Zumbo（1993）は，順序データを使ったウェ

ルチの

_{t 検定に非正規分布で不等分散の状況に}

対応しうる可能性を見た。しかし，通常のウェ

ルチの

_{t 検定を用いた方が良い結果に至ったと}

する研究が存在しており（

_{e.g., Fagerland and}

Sandvik, 2009），彼らの方法の信頼性は判然と

しない。

他の，等分散の仮定を必要としないとされ

る ノ ン パ ラ メ ト リ ッ ク 検 定 と し て は，

_Zar

（2010） と

_{Sokal and Rohlf（2012） が}

Fligner-Policello 検 定 に 触 れ， い く つ か の 教 科 書 が

Brunner-Munzel 検定を取り上げている（e.g.,

Wilcox, 2012）。

Fagerland and Sandvik（2009）は，マン・ホイッ

ト ニ ー の

_{U 検 定，Brunner-Munzel 検 定，}

Fligner-Policello 検定，順序データに基づいた

ウェルチの

_{t 検定，そして 2 種類の t 検定の頑}

健性をモンテカルロシミュレーションによっ

て分析した。その結果，平均値や中央値の比

較に関しては，等分散でなければマン・ホイッ

トニーの

_{U 検定は脆弱であり，他のノンパラ}

メトリックな検定法も状況があまり変わらな

かった。分布の歪みがあって等分散でない場

合は，むしろ通常のウェルチの

_{t 検定がもっと}

も広範に対応しうる，と

_{Fagerland and Sandvik}

（2009）は結論付けた。

とはいえ，

_{Fagerland and Sandvik（2009）は，}

同じ論文で，上記のノンパラメトリックな方

法の中では

_{Brunner-Munzel 検定が最も良い結}

果に至ったと述べている。さらに別の論文で

は，離散変数の場合に

_{Brunner-Munzel 検定が}

高精度となったとも記している（

_{Fagerland et}

al., 2011）。

Brunner-Munzel 検定の帰無仮説は，2 群から

1 個ずつ取り出したとき，ある群からの値が別

の群の値よりも大きくなる確率と同じになる

確率の半分の合算が 1

_{/2 になることである（P}

(X

11

<X

12

)+1/2 P(X

11

=X

12

)=1/2）（Brunner and

Munzel, 2000）。この帰無仮説が棄却された場

合，どちらかの群が全体的に大きな値を持つ

ことになる。

Brunner-Munzel 検定は，大標本においては

検定統計量がほぼ正規分布に従っており，こ

の 状 況 で の 検 定 は き わ め て 正 確 だ と い う

（

Brunner and Munzel, 2000）。大標本でない場合

（サンプルサイズが 50 あまりよりも小さい場

合）

，

_{Brunner and Munzel（2000）は，ウェルチ}

- サタスウェイトの式で算出された自由度

（ウェルチの

_{t 検定の自由度がその例）の t 分}

布で近似することを推奨し，サンプルサイズ

が 10 以上では良い結果に至ることをシミュ

レートしている。しかし，10 未満の極端に小

さな標本に対しては，開発者は自身の検定法

の 使 用 を 薦 め て い な い（

_{Brunner and Munzel,}

2000）

。

極 小 な 標 本 に も 適 用 可 能 な 方 法 と し て，

Neubert and Brunner（2007） が Brunner-Munzel

検定に並べ替え法を加味することを提案した。

Neuhäuser and Ruxton（2009）は，自らのシミュ

レーション分析に基づいてこの方法を高く評

価し，相応の大きさを持った標本で有効であっ

た

Brunner-Munzel 検定が極小の標本において

も 適 用 可 能 に な っ た と 判 断 し た。 そ し て，

Neuhäuser は，歪んだ分布で不等分散の場合の

みならず（

Neuhäuser and Ruxton, 2009），分布

の対称性と等分散性が仮定できないケースで

も（

Neuhäuser, 2010）Brunner-Munzel 検定を用

いるべきだと述べた。

一方，

_{Fagerland et al.（2011）によれば，彼}

ら の 分 析 で は 小 標 本 の 場 合 に

_{Neubert and}

Brunner（2007）の方法が良い結果に至らなかっ

たという。高い精度が得られるのは非常に小

さな標本ではないときのオリジナルの

Brunner-Munzel 検定である，と Fagerland et al.（2011）

は記した。

Neubert and Brunner（2007）の方法の是非は

ともかく，ある程度のサンプルサイズがそろ

えば通常の

_{Brunner-Munzel 検定が有効である}

ことでは，両者の間で見解が一致している。

また，同様な指摘は

_{Delaney and Vargha（2002）}

などの研究でも見ることができる。ただ，必

要なサンプルサイズについては，研究者によっ

て異なっており判然としない。

と こ ろ で，

_{Neuhäuser た ち}

は，Brunner-Munzel 検定をきわめて高く評価しているが，

Brunner-Munzel 検定をウェルチの t 検定よりも

精度の高い検定法と位置づけているわけでは

ない。

_{Brunner-Munzel 検定の帰無仮説は代表}

値が同一であることと等しくなく，平均値の

比較に関しては，ウェルチの

_{t 検定の頑健度を}

鑑みれば，ウェルチの

_{t 検定で行える検定（強}

く歪んだ分布には不向きだとしている）を

Brunner-Munzel 検定に置き換えるべきではな

いとも彼は付言しているのである（

_Neuhäuser

and Ruxton, 2009: Neuhäuser, 2010）。

以上のように，おそらく，平均値の検定に

おいては，強く歪んだ分布には対応しがたい

が（ 極 小 の 標 本 に 対 し て も 安 定 性 を 欠 く

（

_{Adusah and Brooks（2011）），ウェルチの t 検}

定が持つ高い汎用性は多くの研究者の一致し

た見解であろう（

_{t 検定使用時に行われる等分}

散 性 の 検 定 も 基 本 的 に 必 要 と し な い（

_e.g.,

Rasch et al.（2011））。しかも，市販の統計ソフ

トウエアパッケージはほとんどがこの方法を

含有しているため，入手しやすいという利点

もある。

ノンパラメトリックな検定法の中では，代

表値の比較と意味合いが異なってしまう可能

性があるにしても，ある程度のサンプルサイ

ズが得られていれば

_{Brunner-Munzel 検定が十}

分に機能すると考えられる。

新 し い 方 法 で あ る た め か， 今 の と こ ろ

Brunner-Munzel 検定を有する普及した市販の

パ ッ ケ ー ジ は 見 当 た ら な い（

_{Neuhäuser and}

Ruxton, 2009）。しかし，R のパッケージ，た

と え ば

_{lawstat（Gastwirth et al., 2013） や}

nparcomp（Konietschke, 2012）には含まれてい

る。また，並べ替え法の

_{Brunner-Munzel 検定}

は

_{R では Neuhäuser たちがコードしたプログ}

ラムがある（

_{http://www.biostat.uni-hannover.de/}

fileadmin/institut/doku/BMpermutation_test.txt）。

簡単なシミュレーション

ここで，マン・ホイットニーの

_{U 検定，ス}

チ ュ ー デ ン ト の

_{t 検定，ウェルチの t 検定，}

Brunner-Munzel 検定の性向を概観するため，

簡単なシミュレーションを行ってみたい。

まずは，平均値が 5 で標準偏差が

σ

1

と

σ

2

からなる，正規分布，連続一様分布，対数正

規分布を想定する。σ

1

と

σ

2

については，どち

らかの標準偏差を固定し，固定した値を最大

値として

σ

1

/σ

2

が 1

/4，1/2，3/4，1，4/3，2，4

となるように，もう 1 つの標準偏差を変動さ

せた。

検定する標本は，同じタイプの分布で平均

値あるいは中央値が等しい

σ

1

と

σ

2

を持つ集

団から抽出した。ただ，対数正規分布は平均

値と中央値が異なるが，正規分布と連続一様

分布では一致するので，平均値の場合と中央

値の場合とに分けて分析する分布は，対数正

規分布のみである。

t 検定などでは，検定を遂行する上で対称分

布に近ければ，非正規性は大きな問題となら

ない（

Murphy, 1976）。しかし，強く歪んだ分

布 は 検 定 の 精 度 に 大 き な 影 響 を 及 ぼ す

（

Murphy, 1976）。連続一様分布は，正規分布と

同じように対称分布なので，分布の歪みを考

慮する必要がない。一方，対数正規分布は，

非対称な分布であることから，標準偏差を固

定する分布を歪みの弱いタイプと強いタイプ

に分けることにした。

分布の歪みを表す歪度は，正規分布と連続

一様分布が常にゼロである。対数正規分布は，

歪度が変動係数と連動するため，平均値を一

定にすれば標準偏差の推移に伴って歪度が変

動する。標準偏差を固定する対数正規分布の

歪みの弱いタイプと強いタイプは，平均値を

等しくして標準偏差を変えることで生じさせ

た。

標準偏差を固定する分布の平均値は，平均

値の検定でも中央値の検定でもすべて 5 であ

る。固定する標準偏差は，正規分布，連続一

様分布，歪みの弱い対数正規分布では 1（歪度

0

_{.608）と，歪みの強い対数正規分布では 4（歪}

度 2

_{.912）と定めた。一致させた中央値は，固}

定した標準偏差の分布の中央値である（標準

偏差１の場合は 4

_{.9029，4 のときは 3.9043）。}

当然ながら，標準偏差を固定する集団も変

動させる集団も，平均値検定の場合は 5 に平

均値を統一している。しかし，対数正規分布

での中央値検定においては，標準偏差を固定

する集団の平均値は 5 であるが，変動させる

集団の平均値は基本的に 5 とならない（両集

団で標準偏差が等しい場合は 5 となる）

。

本論文では，σ

1

の集団から

n

1

個を，σ

2

の集

団 か ら

n

2

個 を 抽 出 す る。

n

1

と

n

2

を，

n

1

≦

n

2

を満たす条件で次のように設定した。

ア）

n

1

=n

2

=10。

イ）

n

1

=10，n

2

=15。

ウ）

n

1

=10，n

2

=20。

エ）

n

1

=10，n

2

=30。

オ）

n

1

=n

2

=15。

カ）

n

1

=15，n

2

=23。

キ）

n

1

=15，n

2

=30。

ク）

n

1

=15，n

2

=45。

ケ）

n

1

=n

2

=20。

コ）

n

1

=20，n

2

=30。

サ）

n

1

=20，n

2

=40。

シ）

n

1

=20，n

2

=60。

それぞれの設定に従って無作為に抽出した

同じ標本に対し，マン・ホイットニーの

U 検定，

スチューデントの

t 検定，ウェルチの t 検定，

Brunner-Munzel 検定を適用した。そして，こ

の行為を 100000 回繰り返した（

Fagerland and

Sandvik, 2009; Rasch et al., 2011）。

ここでは，母集団の平均値あるいは中央値

が等しい設定である。しかし，抽出した標本

では第 1 種の過誤が起こりうる。有意水準を

0

_{.05 とし，100000 回のうち有意となった検定}

の割合を算出した。期待通りならば，第 1 種

の過誤の割合が 0

_{.05 となるはずである。とは}

いえ，シミュレーション結果が完全に 0

_{.05 と}

なる可能性はきわめて低い。ある程度の幅を

持った，精度を判断するための基準が必要で

ある。

Rasch and Guiard（2004）は，有意水準の前

後 20

_{% 以内，0.05 ならば 0.04-0.06 にその割合}

が入った場合に頑健な検定法とみなした（20％

の 基 準 と す る ）

。 そ れ に 加 え，

_{Fagerland and}

Sandvik（2009）は，より高い頑健性を示す値

として前後 10％以内（0

_{.045-0.055）の基準（10％}

の基準と称す）

を用いた。ここでは，

彼らに従っ

て各検定法の精度を判断した。

標 本 抽 出 は，

_{R version 3.0.2（R Core Team,}

2013）の，インストール時に導入される標準

パッケージの関数でそれぞれの分布を発生さ

せて行った。スチューデントの

_{t 検定とウェル}

チの

_{t 検定は R の標準パッケージの関数を使}

用し，

_{Brunner-Munzel 検定には追加パッケー}

ジ の

_{lawstat version 2.4（Gastwirth et al., 2013）}

マン・ホイットニーの

U 検定の関数は R の

標準パッケージにも含まれている。デフォル

トは，直接計算によって正確な有意確率を得

る設定である（

R Core Team, 2013）。しかし，

サンプルサイズが 50 以上の場合（20 を超すサ

イズとする教科書が多いように思える（

e.g.,

Sokal and Rohlf, 2012））と同順位があった場合

には，正規分布に基づいた大標本近似が行わ

れる（

R Core Team, 2013）。正確な有意確率を

求めるオプションを付けたとしても，サンプ

ルサイズの問題は解消されるが，同順位の問

題はなくならない。つまり，同順位があれば

正確確率検定を実行できない（このプログラ

ムでは，その旨の警告が表示される）

。

ここで行った標本抽出からすれば，おそら

く同順位が含まれる可能性は限りなくゼロに

近い。したがって，標準パッケージでも十分

に対応できると考えられる。とはいえ，本分

析では，このオブジェクトではなく，その設

定 が 確 実 に 実 行 さ れ る

_{coin version 1.0-23}

（

_{Hothorn et al., 2008）の関数を使って正確な有}

意確率を求めた（この関数では，検定統計量

は正規近似の値が表示されるが，有意確率は

正確確率である）

。

シミュレーションの結果は，平均値を対象

とした場合を表 1

_{~4 に，中央値については表}

5 と 6 に示した。

4 つの検定法とも，正規分布と連続一様分

布とで違いがあまりない（表 1，2）

。そこで，

両分布を一括して検定結果の状況を記述する。

マン・ホイットニーの

_{U 検定は，スチュー}

デントの

_{t 検定ほどではないにしても，検定の}

精度が標準偏差比やサンプルサイズ比の影響

を強く受けた（表 1，2，図 1）

。大きなサンプ

ルサイズの標本が小さい分散を有する設定で

は，標準偏差の違いが大きくなるにつれて有

意差が出やすく（革新的に）なった（表 1，2，

図 1）

。ウェルチの

_{t 検定は，割合が 10％の基}

準をほとんどすべての設定で満たすだけでな

く，多くが 0

_{.05 前後で推移し，精度が安定し}

て き わ め て 高 か っ た（ 表 1，2， 図 1）

。

Brunner-Munzel 検定は，全体的にウェルチの t

検定よりも精度がわずかに劣る傾向にある（表

1，2）

。 と は い え，

_n

1

=15 と n

1

=20 の と き は，

10％の基準をすべてが満足して高精度を維持

し（図 1）

，

n

1

=10 でも，10％の基準を充足し

ない設定がいくつかあったものの，すべての

割合が有意水準の 20

% 以内の範囲に収まった

（表 1，2）

。

平均値を一致させた歪みの弱い方の対数正

規分布では，マン・ホイットニーの

U 検定，

スチューデントの

t 検定，ウェルチの t 検定は

正規分布・連続一様分と同じような結果となっ

た（表 3，図 1）

。一方，

Brunner-Munzel 検定は，

正規分布・連続一様分布のときよりも革新性

が強くなり，標準偏差が大きく異なる設定で

は 0

_{.06 を逸脱することもあった（表 3，図 1）。}

平均値を一致させた歪みの強い方の対数正

規分布では，マン・ホイットニーの

_{U 検定は，}

歪みがないか弱い分布の程度をはるかに凌駕

し，精度の悪化がきわめて著しい（表 1

_~4，図

1）

。そして，

サンプルサイズの状況に関わらず，

標準偏差比が 1 から離れるに伴って検定の甘

さ が 増 大 し た（ 表 4， 図 1）

。 ま た，

Brunner-Munzel 検定もマン・ホイットニーの U 検定と

ほとんど状況が変わらなかった（表 4，図 1）

。

ウェルチの

_{t 検定は，全体的に，検定の精度が}

満足できるものではなかったとはいえ，他の

検定法と比べれば第 1 種の過誤の割合が 0

_.05

に近い値に落ち着いた（表 4，図 1）

。

この分布は，ある程度の歪みがあるため，

マン・ホイットニーの

_{U 検定の方がウェルチ}

の

_{t 検定よりも高い精度が期待されたが，危険}

度の小さい方はむしろウェルチの

_{t 検定の方で}

あった。

Simpson et al.（1960）によると，哺乳類の

体を直線的に計測した変数では，変動係数の

値は通常 4

_{% ～ 10% であるという。私の知る}

限り，霊長類の頭蓋や歯の計測値は変動係数

が

_{Simpson et al.（1960）の指摘した範囲に基}

本的に収まる。

平均値が 5 で標準偏差が 4 の場合は変動係

図 1　平均値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合

第 1 種の過誤の割合は表 1

_{~4 の結果に基づいている。典型的な例として，n}

1

=15，n

2

=45 のケースを描出した。

平均値が等しい母集団を用いて有意水準 0

_{.05 で平均値の検定を行ったので，期待される第 1 種の過誤の割合は 0.05}

である。そして，

割合が 0

_{.05 よりも大きな場合は有意差の出やすいことを，逆の場合は有意差の出にくいを意味する。}

たとえば，

対数正規分布で

σ

1

=1 と σ

2

=1/4 では，マン・ホイットニーの U 検定は割合が 0.15 強，ウェルチの t 検定は 0.05

をわずかに超えた程度である。したがって，ウェルチの

_{t 検定はほぼ期待通りになったが，マン・ホイットニーの U}

検定は 0

_{.05 の 3 倍もの検定で有意差が出てしまったことになる。}

表1．平均値が等しい

場合の

第1 種の過誤の割合（正規分布）。

有意水準は

0.05，反復回数は100000。

マン・ホイットニーのU 検定

スチューデントの

t 検定

ウェルチの

t 検定 Brunner-Munzel 検定

n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.06755 0.04561 0.03239 0.01540 0.06119 0.02472 0.01182 0.00227 0.05103 0.05048 0.05126 0.05053 0.05125 0.05221 0.05194 0.04959 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05092 0.04087 0.03140 0.02115 0.05462 0.03015 0.01814 0.00857 0.05011 0.04871 0.04874 0.04948 0.05533 0.05379 0.05228 0.05159 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.04422 0.04257 0.03876 0.03439 0.05101 0.03997 0.03282 0.02438 0.04919 0.04932 0.04960 0.05080 0.05521 0.05569 0.05475 0.05536 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04344 0.04765 0.04794 0.04997 0.05098 0.05009 0.04967 0.04999 0.04932 0.04905 0.04954 0.05158 0.05533 0.05539 0.05532 0.05674 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04424 0.05682 0.06358 0.06938 0.05099 0.06486 0.07553 0.08724 0.04922 0.05000 0.05217 0.05089 0.05504 0.05671 0.05708 0.05625 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05024 0.07357 0.08526 0.10055 0.05468 0.08751 0.11498 0.15505 0.05010 0.05177 0.05105 0.05141 0.05399 0.05713 0.05633 0.05645 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.06692 0.09767 0.11848 0.14047 0.06091 0.11320 0.16167 0.23931 0.05093 0.05009 0.05126 0.05228 0.05007 0.05045 0.05231 0.05294 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.07047 0.04515 0.03279 0.01629 0.05885 0.02184 0.01057 0.00229 0.05185 0.04967 0.04903 0.05094 0.05336 0.05044 0.05102 0.05057 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05421 0.03974 0.03216 0.02157 0.05431 0.02764 0.01849 0.00877 0.05128 0.04937 0.04965 0.04962 0.05378 0.05076 0.05229 0.05143 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.04633 0.04274 0.03836 0.03407 0.05076 0.03895 0.03180 0.02550 0.04971 0.04997 0.04890 0.05060 0.05332 0.05304 0.05161 0.05319 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04453 0.04748 0.04937 0.04894 0.04902 0.04993 0.05000 0.05004 0.04846 0.04926 0.05018 0.05107 0.05277 0.05244 0.05399 0.05374 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04678 0.05645 0.06269 0.06957 0.05104 0.06373 0.07351 0.08931 0.05107 0.05001 0.05027 0.05045 0.05341 0.05364 0.05397 0.05421 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05201 0.07396 0.08486 0.09873 0.05285 0.08703 0.11258 0.15271 0.04947 0.05103 0.05200 0.04941 0.05241 0.05371 0.05420 0.05377 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.06878 0.10077 0.11955 0.14105 0.05699 0.11229 0.15649 0.23400 0.04969 0.04965 0.04986 0.05054 0.05233 0.05293 0.05275 0.05275 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.07604 0.04849 0.03112 0.01646 0.05618 0.022443 0.00914 0.00226 0.05058 0.05156 0.04820 0.04968 0.05279 0.05150 0.04907 0.05042 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05750 0.04124 0.03143 0.02207 0.05227 0.02881 0.01744 0.00841 0.05009 0.04994 0.05113 0.05075 0.05490 0.05156 0.05137 0.05132 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.05038 0.04183 0.03998 0.03394 0.05042 0.03829 0.03288 0.02389 0.04981 0.04890 0.05101 0.05026 0.05236 0.05083 0.05334 0.05143 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04882 0.04785 0.04868 0.04974 0.04888 0.04997 0.05258 0.05035 0.04853 0.04981 0.05089 0.05029 0.05230 0.05192 0.05289 0.05248 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.05158 0.05584 0.06249 0.06935 0.05125 0.06321 0.07428 0.08992 0.05053 0.04948 0.05002 0.05106 0.05311 0.05141 0.05230 0.05341 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05792 0.07271 0.08522 0.10000 0.05213 0.08521 0.11176 0.15325 0.04995 0.05042 0.05034 0.05039 0.05251 0.05202 0.05212 0.05182 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.07426 0.10034 0.11757 0.14057 0.05549 0.10764 0.15545 0.23107 0.05018 0.05009 0.08017 0.05010 0.05200 0.05201 0.05163 0.05156

表2．平均値が等しい

場合の

第1 種の過誤の割合（連続一様分布）。

有意水準は0.05，反復回数は100000。

マン・ホイットニーのU 検定

スチューデントのt 検定

ウェルチの

t 検定 Brunner-Munzel 検定

n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.07247 0.04885 0.03279 0.01568 0.06419 0.02743 0.01201 0.00286 0.05465 0.05359 0.05019 0.05050 0.04618 0.05272 0.04959 0.05626 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05805 0.04219 0.03017 0.01849 0.05970 0.03289 0.01934 0.00923 0.05566 0.05124 0.05018 0.05139 0.05711 0.05421 0.05104 0.05210 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.04523 0.04006 0.03670 0.02914 0.05231 0.03977 0.03426 0.02564 0.05066 0.05106 0.05383 0.05356 0.05430 0.05338 0.05447 0.05306 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04274 0.04708 0.04967 0.05013 0.05142 0.05044 0.05115 0.05066 0.05047 0.05127 0.05261 0.05492 0.05485 0.05438 0.05634 0.05680 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04613 0.06184 0.07052 0.08157 0.05265 0.06603 0.07584 0.09055 0.05089 0.05342 0.05394 0.05493 0.05557 0.05759 0.05736 0.05725 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05555 0.08076 0.09832 0.11721 0.05789 0.08799 0.11582 0.15666 0.05365 0.05352 0.05471 0.05412 0.05486 0.05513 0.05584 0.05484 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.07253 0.10522 0.12561 0.14898 0.06392 0.11341 0.16103 0.23418 0.05387 0.05388 0.05352 0.05410 0.04618 0.04769 0.04731 0.04844 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.07564 0.04798 0.03445 0.01580 0.05822 0.02214 0.01030 0.00267 0.05155 0.05057 0.05113 0.05081 0.05261 0.04992 0.05124 0.05085 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05924 0.04120 0.02982 0.01678 0.05552 0.02919 0.00756 0.00817 0.05222 0.05026 0.04895 0.04992 0.05425 0.05247 0.05037 0.04973 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.04784 0.03965 0.03452 0.02753 0.05129 0.03813 0.03205 0.02480 0.05029 0.04967 0.05056 0.05281 0.05301 0.05185 0.05133 0.05233 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04564 0.04822 0.04916 0.04795 0.05132 0.05165 0.05040 0.04905 0.05096 0.05163 0.05134 0.05136 0.05354 0.05324 0.05399 0.05312 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04729 0.06160 0.07126 0.07949 0.05026 0.06498 0.07596 0.08900 0.04936 0.05057 0.05270 0.05101 0.05249 0.05364 0.05455 0.05286 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05825 0.08330 0.09630 0.11530 0.05463 0.08846 0.11233 0.15529 0.05159 0.05255 0.05139 0.05193 0.05322 0.05379 0.05217 0.05303 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.07520 0.10768 0.12831 0.15215 0.05826 0.11278 0.15713 0.23234 0.05168 0.05127 0.05269 0.05201 0.05275 0.05224 0.05300 0.05323 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.07959 0.05092 0.03413 0.01620 0.05629 0.02322 0.01019 0.00263 0.05089 0.05062 0.05053 0.05011 0.05139 0.05068 0.05020 0.04978 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.06324 0.04306 0.03081 0.01820 0.05268 0.02968 0.01814 0.00854 0.05046 0..05163 0.04995 0.05121 0.05193 0.05209 0.05010 0.05096 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.05398 0.04040 0.03588 0.02723 0.05263 0.03843 0.03260 0.02423 0.05196 0.04951 0.05142 0.05107 0.05364 0.05124 0.05197 0.05085 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04992 0.04802 0.04740 0.04783 0.05094 0.05011 0.04962 0.04893 0.05081 0.05001 0.05017 0.05018 0.05277 0.05251 0.05143 0.05100 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.05199 0.06281 0.07059 0.08179 0.05060 0.06429 0.07503 0.09062 0.04995 0.05092 0.05103 0.05229 0.05213 0.05299 0.05270 0.05283 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.06138 0.08154 0.09881 0.11674 0.05246 0.08368 0.11406 0.15437 0.05015 0.05064 0.05261 0.05144 0.05097 0.05079 0.05330 0.05188 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.08081 0.11020 0.12843 0.15320 0.05654 0.10824 0.15479 0.23011 0.05135 0.05184 0.05196 0.05138 0.05237 0.05322 0.05368 0.05126

表１　平均値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合（正規分布）

表２　平均値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合（連続一様分布）

表3．平均値が等しい

場合の

第1 種の過誤の割合（対数正規分布）。

有意水準は0.05，反復回数は100000。

マン・ホイットニーのU 検定

スチューデントの

t 検定

ウェルチのt 検定 Brunner-Munzel 検定

n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.07488 0.05482 0.04158 0.02534 0.06431 0.02643 0.01294 0.00373 0.05438 0.05215 0.05240 0.05084 0.05660 0.06247 0.06477 0.06950 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05481 0.04526 0.03861 0.02650 0.05660 0.03154 0.02013 0.00955 0.05234 0.04976 0.05068 0.04748 0.05885 0.05892 0.06134 0.06159 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.04522 0.04377 0.03950 0.03590 0.05035 0.03993 0.03234 0.02574 0.04813 0.04842 0.04721 0.05067 0.05636 0.05608 0.05447 0.05790 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04385 0.04827 0.04960 0.04900 0.04994 0.05001 0.04993 0.04853 0.04771 0.04979 0.05061 0.05183 0.05550 0.05574 0.05591 0.05559 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04572 0.05792 0.06337 0.07277 0.05195 0.06359 0.07398 0.08805 0.04942 0.05122 0.05179 0.05537 0.05686 0.05788 0.05732 0.05924 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05521 0.07651 0.09156 0.10717 0.05679 0.08738 0.11486 0.15535 0.05217 0.05383 0.05540 0.05562 0.05965 0.06121 0.06192 0.06122 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.07534 0.10835 0.12789 0.15210 0.06581 0.11795 0.16474 0.24162 0.05565 0.05528 0.05525 0.05537 0.05721 0.05887 0.05814 0.05978 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.08276 0.06057 0.04802 0.02923 0.06276 0.02377 0.01164 0.00303 0.05346 0.05277 0.05117 0.05087 0.06276 0.06708 0.07114 0.07891 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05973 0.04828 0.04161 0.02939 0.05428 0.03018 0.01973 0.00975 0.05106 0.05082 0.05062 0.05036 0.05946 0.06177 0.06409 0.06555 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.05012 0.04427 0.04086 0.03550 0.05255 0.03812 0.03239 0.02483 0.05130 0.04890 0.04940 0.05044 0.05701 0.05477 0.05574 0.05524 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04593 0.04979 0.04736 0.05006 0.04940 0.05024 0.04924 0.04996 0.04844 0.04956 0.04918 0.05223 0.05393 0.05334 0.05173 0.05419 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04812 0.05862 0.06520 0.06991 0.04965 0.06496 0.07405 0.08690 0.04855 0.05012 0.05152 0.05135 0.05546 0.05564 0.05604 0.05435 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05990 0.08132 0.09540 0.10863 0.05406 0.08808 0.11369 0.15211 0.05108 0.05318 0.05326 0.05393 0.05953 0.06037 0.06080 0.06137 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.08156 0.11612 0.13541 0.15605 0.06044 0.11574 0.16103 0.23259 0.05367 0.05283 0.05443 0.05362 0.06268 0.06311 0.06312 0.06365 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.09104 0.06857 0.05393 0.03557 0.05708 0.02413 0.01055 0.00260 0.05182 0.05193 0.05151 0.05164 0.06515 0.07242 0.07874 0.09077 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.06581 0.05169 0.04240 0.03294 0.05368 0.02966 0.01862 0.00908 0.05121 0.05025 0.05013 0.04951 0.06018 0.06306 0.06558 0.07066 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.05339 0.04642 0.04210 0.03820 0.05057 0.03984 0.03272 0.02503 0.04977 0.04983 0.05061 0.05156 0.05593 0.05595 0.05635 0.05700 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04981 0.04670 0.04851 0.04929 0.05049 0.04876 0.04848 0.04937 0.05000 0.04867 0.04926 0.05048 0.05233 0.05122 0.05224 0.05217 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.05290 0.06019 0.06405 0.07320 0.05059 0.06505 0.07231 0.08850 0.04975 0.05145 0.05010 0.05213 0.05485 0.05571 0.05473 0.05547 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.06671 0.08518 0.09673 0.11268 0.05380 0.08529 0.11151 0.15299 0.05141 0.05184 0.05247 0.05270 0.06062 0.06217 0.06133 0.06144 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.09159 0.12076 0.14011 0.16738 0.05727 0.10862 0.15592 0.23271 0.05216 0.05211 0.05262 0.05383 0.06531 0.06646 0.06602 0.06842

表4．平均値が等しい

場合の

第1 種の過誤の割合（対数正規分布）。

有意水準は0.05，反復回数は100000。

マン・ホイットニーのU 検定

スチューデントの

t 検定

ウェルチのt 検定 Brunner-Munzel 検定

n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 σ1=1, σ2=4 (σ1/σ2=1/4) 0.15591 0.16352 0.16291 0.15614 0.10460 0.06024 0.03739 0.01589 0.09791 0.08388 0.07507 0.06505 0.13397 0.18095 0.21921 0.29279 σ1=2, σ2=4 (σ1/σ2=1/2) 0.09309 0.09404 0.09355 0.08750 0.07207 0.05070 0.03856 0.02380 0.06855 0.05541 0.04999 0.04532 0.10164 0.11842 0.13285 0.15524 σ1=3, σ2=4 (σ1/σ2=3/4) 0.05421 0.05634 0.05481 0.05248 0.04832 0.04381 0.03736 0.03323 0.04372 0.04065 0.04110 0.04742 0.06698 0.06994 0.07163 0.07456 σ1=4, σ2=4 (σ1/σ2=1) 0.04336 0.04746 0.05007 0.05070 0.04052 0.04302 0.04516 0.04757 0.03498 0.04175 0.05044 0.06256 0.05566 0.05519 0.05621 0.05676 σ1=4, σ2=3 (σ1/σ2=4/3) 0.05320 0.06781 0.07503 0.08333 0.04804 0.05718 0.06391 0.07615 0.04341 0.05798 0.06733 0.07971 0.06585 0.06953 0.07068 0.07187 σ1=4, σ2=2 (σ1/σ2=2) 0.09178 0.12496 0.14585 0.17094 0.07003 0.09402 0.11651 0.15246 0.06640 0.08008 0.08869 0.09607 0.10038 0.10572 0.10863 0.11025 σ1=4, σ2=1 (σ1/σ2=4) 0.15870 0.21366 0.24253 0.27840 0.10448 0.15123 0.19278 0.26329 0.09760 0.10088 0.10184 0.10431 0.13283 0.13885 0.13853 0.14057 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 σ1=1, σ2=4 (σ1/σ2=1/4) 0.21753 0.23107 0.24308 0.24564 0.09343 0.04914 0.03119 0.01283 0.08834 0.07619 0.07173 0.06258 0.18533 0.25055 0.31017 0.41241 σ1=2, σ2=4 (σ1/σ2=1/2) 0.12275 0.12633 0.12805 0.12473 0.06907 0.04522 0.03376 0.02049 0.06716 0.05487 0.05088 0.04788 0.12565 0.15246 0.17223 0.20699 σ1=3, σ2=4 (σ1/σ2=3/4) 0.06333 0.06439 0.06269 0.05932 0.05043 0.04245 0.03768 0.03126 0.04789 0.04432 0.04460 0.04871 0.07257 0.07671 0.07914 0.08235 σ1=4, σ2=4 (σ1/σ2=1) 0.04575 0.04693 0.04968 0.05006 0.04333 0.04458 0.04604 0.04670 0.03995 0.04515 0.05160 0.06123 0.05424 0.05256 0.05425 0.05419 σ1=4, σ2=3 (σ1/σ2=4/3) 0.06113 0.07484 0.08314 0.08992 0.04944 0.05997 0.06711 0.07728 0.04709 0.05655 0.06496 0.07331 0.07042 0.07288 0.07502 0.07417 σ1=4, σ2=2 (σ1/σ2=2) 0.12226 0.15939. 0.18249 0.20552 0.06873 0.09589 0.11784 0.15092 0.06645 0.07689 0.08313 0.08667 0.12558 0.12999 0.13460 0.13599 σ1=4, σ2=1 (σ1/σ2=4) 0.21893 0.27565 0.30994 0.34445 0.09443 0.14340 0.18477 0.25395 0.08929 0.09091 0.09405 0.09566 0.18665 0.18643 0.19720 0.18850 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 σ1=1, σ2=4 (σ1/σ2=1/4) 0.28093 0.29990 0.31669 0.34161 0.05620 0.04607 0.02658 0.01011 0.08230 0.07253 0.06728 0.05917 0.23135 0.31400 0.39102 0.51997 σ1=2, σ2=4 (σ1/σ2=1/2) 0.15729 0.16129 0.16458 0.17027 0.06670 0.04401 0.03124 0.01855 0.06528 0.05679 0.05235 0.04779 0.15003 0.18738 0.21575 0.26366 σ1=3, σ2=4 (σ1/σ2=3/4) 0.07350 0.06972 0.06985 0.07042 0.04991 0.04162 0.03774 0.02981 0.04798 0.04454 0.04594 0.04995 0.07689 0.08159 0.08664 0.09383 σ1=4, σ2=4 (σ1/σ2=1) 0.04723 0.04792 0.04701 0.04824 0.04383 0.04496 0.04555 0.04656 0.04166 0.04594 0.05127 0.05881 0.05128 0.05208 0.05079 0.05109 σ1=4, σ2=3 (σ1/σ2=4/3) 0.07346 0.08393 0.09286 0.10023 0.05114 0.06027 0.07056 0.08111 0.04952 0.05688 0.06465 0.06986 0.07652 0.08031 0.08362 0.05232 σ1=4, σ2=2 (σ1/σ2=2) 0.15701 0.19263 0.21334 0.24528 0.06556 0.09340 0.11449 0.15293 0.06503 0.07251 0.07621 0.08080 0.14993 0.15896 0.15923 0.16545 σ1=4, σ2=1 (σ1/σ2=4) 0.28239 0.33307 0.37007 0.40795 0.08861 0.13574 0.17760 0.24965 0.08429 0.08707 0.08689 0.08748 0.23258 0.23442 0.23789 0.23800

表３　平均値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合（対数正規分布）

表４　平均値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合（対数正規分布）

表5．中央値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合（対数正規分布）。

有意水準は0.05，反復回数は100000。

マン・ホイットニーのU 検定

スチューデントの

t 検定

ウェルチのt 検定

Brunner-Munzel 検定

n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.06783 0.04629 0.03155 0.01626 0.06227 0.02602 0.01145 0.00314 0.05174 0.05431 0.05640 0.06433 0.05161 0.05279 0.05136 0.05044 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05216 0.03907 0.03214 0.02243 0.05609 0.02977 0.01991 0.00997 0.05069 0.04968 0..05371 0.05837 0.05682 0.05190 0.05248 0.05359 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.04469 0.04114 0.03919 0.03466 0.05064 0.03802 0.03238 0.02535 0.04815 0.4831 0.05082 0.05439 0.05534 0.05344 0.05431 0.05523 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04307 0.04738 0.04858 0.05068 0.04890 0.04842 0.04913 0.04988 0.04686 0.04820 0.05029 0.05300 0.05435 0.05512 0.05528 0.05640 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04358 0.05475 0.06283 0.06946 0.04973 0.06376 0.07413 0.08826 0.04727 0.04920 0.05151 0.05098 0.05441 0.05563 0.05756 0.05677 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05031 0.07078 0.08480 0.09907 0.05347 0.08725 0.11663 0.15674 0.04882 0.05044 0.05120 0.05195 0.05495 0.05572 0.05718 0.05652 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.06621 0.09597 0.11643 0.13804 0.06118 0.11721 0.16931 0.24839 0.05090 0.05029 0.05164 0.05109 0.05089 0.05104 0.05299 0.05236 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.06780 0.04731 0.03181 0.01548 0.05951 0.02563 0.01255 0.00311 0.05211 0.06121 0.06346 0.07547 0.05204 0.05306 0.05028 0.05015 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05301 0.03983 0.03283 0.02142 0.05500 0.03023 0.01952 0.00930 0.05140 0.05451 0.05790 0.06235 0.05365 0.05173 0.05162 0.05065 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.04669 0.04310 0.04038 0.03499 0.05007 0.03888 0.03394 0.02614 0.04872 0.05315 0.05355 0.05704 0.05328 0.05320 0.05370 0.05437 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04493 0.04795 0.04934 0.04811 0.04946 0.05053 0.04998 0.04835 0.04849 0.05030 0.05105 0.04835 0.05318 0.05366 0.05378 0.05269 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04706 0.05670 0.06276 0.06881 0.05079 0.06564 0.07591 0.09230 0.04940 0.05013 0.05085 0.05166 0.05398 0.05396 0.05380 0.05478 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05412 0.07206 0.08318 0.09707 0.05412 0.09063 0.11761 0.16111 0.05076 0.05249 0.05046 0.05065 0.05280 0.05353 0.05326 0.05283 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.06893 0.10092 0.11836 0.13950 0.06062 0.12404 0.17178 0.25228 0.05332 0.05415 0.05289 0.05308 0.05219 0.05326 0.05259 0.05319 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 σ1=1/4, σ2=1 (σ1/σ2=1/4) 0.07372 0.04665 0.03346 0.01639 0.06268 0.02769 0.02590 0.00452 0.05634 0.06354 0.05612 0.08995 0.05148 0.05001 0.05107 0.05039 σ1=1/2, σ2=1 (σ1/σ2=1/2) 0.05610 0.04156 0.03191 0.02179 0.05447 0.03297 0.02093 0.01079 0.05186 0.05769 0.06149 0.06794 0.05102 0.05172 0.05081 0.05164 σ1=3/4, σ2=1 (σ1/σ2=3/4) 0.05126 0.04189 0.02883 0.03346 0.05153 0.03926 0.03345 0.02590 0.05062 0.05152 0.05125 0.05612 0.05353 0.05113 0.05196 0.05107 σ1=1, σ2=1 (σ1/σ2=1) 0.04935 0.04789 0.04745 0.04775 0.04926 0.04962 0.04883 0.04885 0.04858 0.04929 0.04964 0.05064 0.05270 0.05219 0.05154 0.05123 σ1=1, σ2=3/4 (σ1/σ2=4/3) 0.04988 0.05596 0.06047 0.06990 0.05063 0.06460 0.07596 0.09122 0.04980 0.05014 0.05053 0.05134 0.05187 0.05189 0.05209 0.05392 σ1=1, σ2=1/2 (σ1/σ2=2) 0.05811 0.07103 0.08332 0.09773 0.06545 0.09029 0.12214 0.16477 0.05352 0.05191 0.05329 0.05234 0.05286 0.05094 0.05242 0.05207 σ1=1, σ2=1/4 (σ1/σ2=4) 0.07454 0.09968 0.11598 0.13740 0.06388 0.12291 0.17552 0.25635 0.05737 0.05693 0.05589 0.05452 0.05177 0.05176 0.05133 0.05004

表５　中央値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合（対数正規分布）

表６　中央値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合（対数正規分布）

表6．中央値が等しい

場合の

第1 種の過誤の割合（対数正規分布）。

有意水準は0.05，反復回数は100000。

マン・ホイットニーのU 検定

スチューデントの

t 検定

ウェルチのt 検定 Brunner-Munzel 検定

n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 n1=10 n2=10 n1=10 n2=15 n1=10 n2=20 n1=10 n2=30 σ1=1, σ2=4 (σ1/σ2=1/4) 0.05930 0.04256 0.03117 0.01725 0.06201 0.03073 0.01381 0.00589 0.05930 0.07255 0.10393 0.17200 0.05350 0.05333 0.05233 0.05108 σ1=2, σ2=4 (σ1/σ2=1/2) 0.04748 0.04009 0.03547 0.02856 00.4983 0.03093 0.02215 0.01328 0.04748 0.05329 0.07223 0.10513 0.05530 0.05312 0.05416 0.05428 σ1=3, σ2=4 (σ1/σ2=3/4) 0.04435 0.04425 0.04363 0.04008 0.04430 0.03647 0.03214 0.02627 0.04435 0.04731 0.05711 0.07540 0.05586 0.05576 0.05596 0.05561 σ1=4, σ2=4 (σ1/σ2=1) 0.04352 0.04755 0.04942 0.04948 0.04034 0.04235 0.04428 0.04493 0.04352 0.04136 0.04940 0.06233 0.05568 0.05515 0.05691 0.05643 σ1=4, σ2=3 (σ1/σ2=4/3) 0.04389 0.05266 0.05585 0.06261 0.04361 0.05488 0.06543 0.08125 0.04389 0.04178 0.04573 0.05333 0.05444 0.05602 0.05559 0.05774 σ1=4, σ2=2 (σ1/σ2=2) 0.04715 0.06212 0.07251 0.08420 0.04863 0.08103 0.11163 0.15927 0.04715 0.04481 0.04640 0.04905 0.05532 0.05646 0.05658 0.05707 σ1=4, σ2=1 (σ1/σ2=4) 0.06020 0.08622 0.10431 0.12463 0.06339 0.13407 0.20605 0.30739 0.06339 0.04972 0.05129 0.04994 0.05393 0.05417 0.05485 0.05508 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 n1=15 n2=15 n1=15 n2=23 n1=15 n2=30 n1=15 n2=45 σ1=1, σ2=4 (σ1/σ2=1/4) 0.06098 0.04185 0.03057 0.01618 0.08425 0.04721 0.03053 0.01492 0.07129 0.12157 0.17230 0.28006 0.05234 0.05162 0.05029 0.05010 σ1=2, σ2=4 (σ1/σ2=1/2) 0.04901 0.04089 0.03460 0.02735 0.05703 0.03816 0.02747 0.01724 0.05087 0.07699 0.09620 0.13968 0.05366 0.05288 0.05196 0.05211 σ1=3, σ2=4 (σ1/σ2=3/4) 0.04571 0.04520 0.04038 0.03853 0.04637 0.03892 0.03394 0.02561 0.04289 0.05457 0.05355 0.08331 0.05338 0.05420 0.05370 0.05259 σ1=4, σ2=4 (σ1/σ2=1) 0.04565 .0.4630 0.04934 0.04882 0.04264 0.04325 0.04998 0.04746 0.03940 0.04324 0.05105 0.06173 0.05368 0.05159 0.05378 0.05365 σ1=4, σ2=3 (σ1/σ2=4/3) 0.04603 0.05160 0.05711 0.06083 0.04661 0.05959 0.07235 0.08692 0.04244 0.04242 0.04574 0.04974 0.05394 0.05228 0.05333 0.05405 σ1=4, σ2=2 (σ1/σ2=2) 0.04929 0.06387 0.07279 0.08219 0.05627 0.10130 0.13768 0.18715 0.05061 0.05050 0.05048 0.05101 0.05334 0.05308 0.05443 0.05340 σ1=4, σ2=1 (σ1/σ2=4) 0.06143 0.08769 0.10422 0.12348 0.08348 0.18501 0.26023 0.37301 0.07051 0.07104 0.07036 0.07099 0.05305 0.05327 0.05344 0.05306 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 n1=20 n2=20 n1=20 n2=30 n1=20 n2=40 n1=20 n2=60 σ1=1, σ2=4 (σ1/σ2=1/4) 0.06523 0.04332 0.03151 0.01682 0.11289 0.07753 0.05494 0.03206 0.10056 0.17671 0.25082 0.38977 0.05086 0.05028 0.05114 0.05002 σ1=2, σ2=4 (σ1/σ2=1/2) 0.05267 0.04114 0.03440 0.02640 0.06808 0.04855 0.03719 0.02496 0.06260 0.09409 0.12243 0.17243 0.05198 0.5209 0.05138 0.05119 σ1=3, σ2=4 (σ1/σ2=3/4) 0.04906 0.04345 0.04287 0.03992 0.04842 0.03971 0.03558 0.02852 0.04568 0.05818 0.07001 0.09101 0.05162 0.05162 0.05281 0.05286 σ1=4, σ2=4 (σ1/σ2=1) 0.04938 0.04885 0.04845 0.04944 0.04409 0.04517 0.04727 0.04631 0.04201 0.04669 0.05197 0.06001 0.05237 0.05320 0.05239 0.05227 σ1=4, σ2=3 (σ1/σ2=4/3) 0.04978 0.05336 0.05654 0.06098 0.04953 0.06522 0.07628 0.09421 0.04669 0.04585 0.04585 0.04917 0.05297 0.05251 0.05256 0.05212 σ1=4, σ2=2 (σ1/σ2=2) 0.05294 0.06414 0.07160 0.08318 0.06670 0.11739 0.16031 0.21936 0.06188 0.06106 0.05987 0.06001 0.05246 0.05294 0.05227 0.05247 σ1=4, σ2=1 (σ1/σ2=4) 0.06803 0.08785 0.10333 0.12415 0.11577 0.22929 0.32194 0.43706 0.10323 0.10104 0.10060 0.09936 0.05344 0.05130 0.05179 0.05212

数が 80

_{%，標準偏差が 1 のときは 20% となる。}

上記のような変数では，変動係数が 20

_{% にな}

ることはまれで，80

_{% に至ってはほとんどあ}

りえない。仮に対数正規分布に従っていたし

ても（基本的に正規分布に従うとされる（

_e.g.,

Simpson et al.（1960）），ウェルチの t 検定は変

動係数が 20

_{% の分布でもきわめて良い精度を}

示したので，10

_{% 以下ならば，この t 検定で}

十分に対応できると考えられる。

中央値が等しい対数正規分布では，マン・

ホイットニーの

_{U 検定は平均値を一致させた}

ケースよりも検定の精度が改善された（表 5，

6，

図 2）

。しかし，不等分散の影響を受け，サン

プルサイズの違いが大きくなるにつれて精度

が悪化した（表 5，6，図 2）

。ただし，分布の

歪みの違いが及ぼす影響を見いだすことはで

きなかった（表 5，６，図 2）

。

_{Brunner-Munzel}

検定は，

_n

1

=15 と n

1

=20 の場合，ここで用いた

設定とは無関係に 10％の基準をすべてが満足

し，非常に安定した良い精度を示した（表 5，6，

図 2）

。

_n

1

=10 においても，10％の基準を満たさ

ないケースがあったものの，すべての設定で

20％の基準を充足することができた（表 5，6）

。

ここで行った簡単なシミュレーションから

も，不等分散は，スチューデントの

_{t 検定ほど}

ではないにしても，マン・ホイットニーの

_U

検定の精度に影響を及ぼすことが分かる。と

くに，サンプルサイズが大きく異なるときや

平均値の検定では分布の歪みが大きいときに，

不等分散の影響がさらに強くなる。

一方，ウェルチの

_{t 検定は，分布の歪みが}

図２　対数正規分布における中央値が等しい場合の第 1 種の過誤の割合

第 1 種の過誤の割合は表 5・6 の結果に基づいている。典型的な例として，

n

1

=15，n

2

=45 のケースを描出した。

結果の解釈は図 1 に示した通りである。

Brunner-Munzel 検定は，ほぼ 0.05 を維持しており，精度の高いことが分かる。

Brunner-Munzel

Mann-Whitney

Welch’s t

Student’s t

第

一

種

の

過

誤

の

割

合

Mann-Whitney

Brunner-Munzel

Welch’s t

Student’s t

第

一

種

の

過

誤

の

割

合

図2．対数正規分布における中央値が等しい場合の第1種の過誤の割合。

　第1種の過誤の割合は表5・6の結果に基づいている。典型的な例として，n1=15，n2=45のケー

スを描出した。

　結果の解釈は図1に示した通りである。Brunner-Munzel検定は，ほぼ0.05を維持しており，精度

の高いことが分かる

強くなければ，平均値検定の精度が安定的に

高 か っ た。 ま た，

Brunner-Munzel 検定は，中

央値の比較に限れば，高い精度を保ち続けた

（小さい方の標本のサイズが 10 のときは，若

干微妙であった）

。加えて，ウェルチの

t 検定

と

Brunner-Munzel 検定はマン・ホイットニー

の

U 検定で高精度が確保される範囲を基本的

にカバーできる（表 1

~6，図 1，2）。したがって，

ここで行った分析に基づいても，間隔データ

の代表値の比較については，制限要因がある

にしても，ウェルチの

_{t 検定か Brunner-Munzel}

検定を用いた方がよいという結論に至る。近

年しばしばなされた指摘も十分にうなずける。

具体的なデータへの適用例

表 7 に示したような測定値が

_{Aus と Bus と}

いう集団から得られたと仮定する。

_{Aus と Bus}

の代表値の違いを，マン・ホイットニーの

_U

検定，スチューデントの

_{t 検定，ウェルチの t}

検定，

_{Brunner-Munzel 検定を用いて検定した}

い。

なお，分析には基本的に前章で記したアプ

リケーションソフトウエアを用いている。

マン・ホイットニーの

_{U 検定では，検定統}

計 量 が

_U=112（n

1

=16，n

2

=24）， 有 意 確 率 が

P=0.0262 と な り（ 正 規 近 似 で は，Z=2.2125，

P=0.0279），Aus と Bus の代表値には有意水準

0

.05 で違いがあるという結果が導かれた。ま

た， ス チ ュ ー デ ン ト の

t 検 定 で も，t=2.14

（

df=38），P=0.03878 と算出され，両群の代表

値の間に有意な差が検出された。

一 方， ウ ェ ル チ の

t 検 定 で は t=1.829

（

df=17.79），P=0.08422 と，Brunner-Munzel 検

定では

W

BF N

（ 検 定 統 計 量 ）

=1.9127（df=15.648

の

t 分布を使用），P=0.07427 となった。両方

法とも，

Aus と Bus の代表値（ないしは，そ

れに準じたもの）が同じだとする帰無仮説を

棄却できなかった。

表 7 からも分かるように，

Aus と Bus では

標本分散に大きな違いがある。そこで，分散

の相違を確認するため，等分散性の検定であ

る

_{F 検定（分散比検定）を行った。その結果，}

表７　仮想の計測値の比較

*， 方法については Sokal and Rohlf（2012）を参照。計

算は

_{psych version 1.4.1（Revelle, 2014）を用いた。}

7．仮想の計測値の比較

Aus Bus

10.3 12.1

10.6 12.1

10.9 12.2

10.9 12.4

10.9 12.4

11.0 12.6

11.2 12.7

12.0 12.8

12.0 12.9

12.5 13.0

12.6 13.0

12.6 13.0

14.2 13.0

14.6 13.4

15.0 13.5

15.6 13.6

13.7

13.7

13.9

13.9

13.9

14.0

14.0

サンプルサイズ

16 24

平均値

12.3 13.1

中央値

12.0 13.0

中央値（同順位補正）

*

12.0 13.01

標準偏差

1.7 0.6

*， 方法については Sokal and Rohlf（2012）を参照。計算は psych version 1.4.1（Revelle, 2014）

を用いた。

非 常 に 小 さ い 有 意 確 率 が 表 出 さ れ た（

P=

0

.00003108; F=7.2441; df=15, 23）。ただ，この

F 検定は正規性への依存度が強いとされる

（

e.g., Zar, 2010）。そして，Aus と Bus は正規集

団でない可能性が否定できない。

ルビーン検定は，非正規性に対して比較的

頑健とされ，中央値に基づいたタイプ（

Brown-Forsythe 検定）は頑健性がさらに増すといわれ

る（

Brown and Forsythe, 1974）。そこで，lawstat

version 2.4 の関数を使って Brown-Forsythe 検定

を 試 み た。 そ の 結 果，

_{F=16.4805（df=1, 38），}

P=0.0002365 となり，有意差が認められた。ま

た，

_{Sokal and Rohlf（2012） が 推 奨 し た}

Shoemaker（1995）の方法（アプリケーション

ソフトウエアは見いだせない）を用いたとこ

ろ， こ ち ら で も 有 意 差 が 顕 示 さ れ た

（

P=0.002086）。

Aus と Bus の母分散はおそらく等質ではな

い。表 7 のデータは，このような状況下でサ

ンプルサイズの大きい

_{Bus の方が小さな標本}

分散となっている。したがって，マン・ホイッ

トニーの

_{U 検定とスチューデントの t 検定は}

甘い検定となっている可能性が高く，有意差

が表出された結果を鵜呑みにしにくい。

一方，サンプルサイズもそれなりにあり（小

さいサンプルサイズでも 16 ある）

，またその

特 性 を 念 頭 に 置 け ば， ウ ェ ル チ の

_{t 検定と}

Brunner-Munzel 検定の結果の方に妥当性があ

るように思える。やはり，

_{Aus と Bus の代表}

値には有意な相違が見いだせないとすべきで

あろう。

おわりに

本論文での解説めいた内容は，単なる統計

分析法のエンドユーザーが掻い撫でしたに過

ぎない。本誌の読者には，私などが足元にも

及ばないほど統計分析法に精通している方が

多数いるはずである。拙論文が剴切な方法を

提示していただける切掛けになれば幸甚と考

える。

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