2019/11/6 講義前配布物 : 講義資料 :9 枚 (A4 版両面 ) 5-11/12, 復習用資料 1/2~3/4 7-1/2~7-11/12 前回の配布資料は黒板に向かって右側最前列の机の上にあります db 解説 x(t) 波形の合成 = フーリエ変換 a 0 a cos(

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(1)2019/11/6. 講義前配布物：講義資料:９枚（A4版両面） 5-11/12, 復習用資料1/2~3/4 7-1/2～7-11/12 前回の配布資料は黒板に向かって右側最前列の机の上にあります。 dB解説. 波形の合成 x(t ) ＝. フーリエ変換. a0. +. a1 cos(ω1t + θ1 ). +. a2 cos(ω2 t + θ 2 ). +. a0～an，θ1～θn は一意に定まるのか？. • • •. +. 資料 6-1. フーリエ変換対 X ( ω) =. x( t ) =. . ∞. −∞. 1 2π. . ∞. −∞. 1 2π. . x( t )e − jωt dt ∞. −∞. x(t) と X(ω) は１対１に対応. x( t )e − jωt dt = F { x( t )}. . ∞. −∞. X (ω)e jωt dω = F. an cos(ωn t + θ n ). フーリエ変換対の解釈：フーリエ変換周波数分析. フーリエ変換. X (ω)e jωt dω 逆フーリエ変換. −1. { X (ω)}. どうやって， a0～an，θ1～θn を決めるか？. 角周波数が ω で振幅１の正弦波の複素共役１. X ( ω) =. . ∞. −∞. x( t )e − jωt dt. x(t)とe−jωt を乗算し，全ての時間に関して積分 →「内積」. 1.

(2) 2019/11/6. 資料6-2. フーリエ変換対の解釈：フーリエ変換周波数分析 ω に関する複素関数. X ( ω) = 複素振幅になっている. . ∞. −∞. x( t )e − jωt dt. f. x(t)に含まれる角周波数ω の正弦波の複素振幅を求める式. t 波形の合成. FourierDemo. 1kHzの方形波の周波数スペクトル. 資料6-3. 演習問題[1]. 6000. WG. 5000. 4000. WS 3000. 2000. 1000. 0. f (kHz) 0. 1. 2000. 3. 4000. 5. 6000. 7. 8000. 9. 10000. 11. 12000. 13. 14000. 16000. 15. 資料6-5. フーリエ変換対の導出 ⅰ）周期 T の連続時間信号を正弦波の和で表す（フーリエ級数展開）. ⅰ）周期 T の連続時間信号を正弦波の和で表す（フーリエ級数展開）. 1 x T (t ) = T. ⅱ）周期T を無限の長さに拡張する. ∞. X. ke. j 2π. k t T. １周期に複素振幅 k個の波. k = −∞. この式を満たすXn ( n = 0, ±1, ±2,⋯) は？. Xn =. . T /2. n − j 2π t. T dt x T ( t )e −T / 2 合成したい波形. 2.

(3) 2019/11/6. 複素振幅 ∞. 1 x T (t ) = T. X. k. k j 2π t T e. 角周波数2π k/T. k =−∞. t = 0～Tの間に， 0～ 2π・k [rad]. 幅T の区間にk 個の波 1. 1 x T (t ) = T. ・・・. 2. Xn =. 1 T. . . 複素共役. k. Xn =. . T /2. −T / 2. xT. n − j 2π t T dt ( t )e. 乗算して幅T の区間「内積」での積分値を求める. X. ke. j 2π. k t となるようにする T. ためには，. k = −∞. −T / 2. e. k. k = −∞. 資料6-5. ∞. T /2. T/ 2. X. k j 2π t T e. 展開係数 Xn は，次の式で求められる. T. 1 x T (t ) = T. ∞. j 2π. xT. n − j 2π t T ( t )e dt. n m t − j 2π t T e T dt. −T / 2 nとmが異なるとき，直交している。. とすればよい資料6-6 クロネッカー. = δ nm のデルタ 1 ⋯ n = m = 0 ⋯ n ≠ m. n = m のとき. 1 T. 1 T. . T /2. e. j. 2π( n− m ) t T dt. −T / 2. n = m のとき1 n ≠ m のとき0. 幅Tの区間で n–m 個の波. n ≠ m のとき. . T /2. 0. e dt 1. −T / 2. =1. 1 T. . T /2. −T / 2. e. j. 2π( n− m ) t T dt. =0. T 幅Tの区間で n–m 0 個の波 T. 幅Tの区間で n–m 個の波 T. 1. 3.

(4) 2019/11/6. 1 T. . T /2. 2π( n− m ) j t T e dt. 1 T. n = m のとき1 n ≠ m のとき0. −T / 2. . −T / 2. xT. x T (t ) =. n − j 2π t T dt ( t )e. 1 T. ∞. . Xke. Xn =. に，. j 2π. k t T. k = −∞. を代入して整理. e. j. 2π( n− m ) t T dt. =. . T /2. −T / 2. x T ( t )e.  1  −T / 2 T . . T /2. X n となることを示す。. .  1  Xk  T k = −∞ . . Xke. . T /2. −T / 2.  (X δ. ). k kn. k = −∞. x T (t ) =. 1 T. X. ke. k = −∞. e. =. =. ∆ω 2π. ke. ∆ω. 2π = ∆ω T 1 ∆ω = T 2π. jk ∆ω t. k = −∞. 1 ∞ X k e jk ∆ω t ∆ω 2π k = −∞. (. k t T. e. j 2π. 1 T. ∞. . Xke. j 2π. k t T. k = −∞.  − j 2 π n t T dt e . k n  t − j 2π t T e T dt .  . + X nδ nn + X n+1δ ( n+1) n + ⋯. 資料6-6 k番目の周波数成分. jk ∆ω t. ∞. X. k t T. j 2π. x T (t ) =. δmk δ + X δ + X δ + ⋯ = ⋯+ X 0 0n 1 1n −1 (−1) n. = Xn. j 2π. n t T dt. k = −∞. ∞. =. − j 2π. ∞. ∞. =. ∞. = δ nm. −T / 2. 1 ⋯ n = m = 0 ⋯ n ≠ m. 資料6-6 T /2. . T /2. 資料6-6. x T (t ) =. Xk =. . 1 ∞ X k e jk ∆ωt ∆ω 2π k = −∞. T /2. −T /2. . x T ( t )e − jk ∆ωt dt. ). 4.

(5) 2019/11/6. 資料6-7. 資料6-7. フーリエ変換対の導出. 1 ∞ X k e jkΔωt Δω (6-8) T →∞ 2π k =−∞. x( t ) = lim xT ( t ) = lim. ⅰ）周期 T の連続時間信号を正弦波の和で表す（フーリエ級数展開）. T →∞. . 1 ∞ X ( ω)e jωt dω 2π −∞ よって， 1 ∞ x( t ) = X ( ω)e jωt dω 2π −∞ =. ⅱ）周期T を無限の長さに拡張する. . . (6-9) (6-10) ２. 資料6-7 Xk =. . T /2. −T /2. x T ( t )e. − jk ∆ω t. X ( ω) = lim X k = T →∞. . dt ∞. −∞. 周期信号は基本角周波数∆ω = 2π/T の整数倍の角周波数成分で構成される（ライン・スペクトル）周期 T を長くしていくと・・・. x ( t )e − jωt dt ３. フーリエ変換の式. ω を中心とする微小な幅∆ω の区間の成分の複素振幅がX(ω) ∆ω. X ( ω). ω フーリエ級数展開. ω ∆ω = 2π/T. 周期信号は基本角周波数∆ω = 2π/T の整数倍の角周波数成分で構成される（ライン・スペクトル）. 周期信号は基本角周波数∆ω = 2π/T の整数倍の角周波数成分で構成される（ライン・スペクトル）. 周期 T を長くしていくと・・・. 周期 T を長くしていくと・・・. ω ∆ω = 2π/T. ω ∆ω = 2π/T. 5.

(6) 2019/11/6. T →∞で・・・連続になる. T →∞で・・・連続になる. ω. ω. 連続時間システムの入出力関係資料6-8  1 ∞  y( t ) = L { x ( t )} = L  X (ω)e jωt dω (6-12)  2π −∞  1 ∞ jωt = X (ω) L e dω (6-13) 2π −∞. . 1 = 2π. . { }. . H(ω) e. ∞. . jω t. Xn =. (6-14). X ( ω) H ( ω)e jωt dω. −∞. 1 2π. . ∞. −∞. Y ( ω)e jωt dω. . T /2. −T / 2. xT. ４. 一方，逆フーリエ変換の式より y( t ) =. 2 演習問題[3] 周期 T の周期関数が資料6-8 k j 2π t 1 ∞ x T (t ) = Xke T となるようにする T k = −∞ ためには，. (6-15). ５. 1 T. T/2. . e. j 2π. n − j 2π t T ( t )e dt. n m t − j 2π t T e T dt. - −T /2 nとmが異なるとき，直交している。. したがって，Y(ω) = H(ω)X(ω). . T /2. −T / 2. x T ( t )e. x T (t ) =. 1 T. − j 2π. n t T dt. ∞. X. k = −∞. ke. j 2π. に， k t T. を代入して整理. Xn =. =. . T /2. −T / 2. x T ( t )e.  1  −T / 2 T . . T /2. .  1  Xk  T k = −∞ . =.  (X δ.  ∞. k kn. = Xn. j 2π. . T /2. −T / 2. ). e. k k. . k t T. k = −∞. ∞. k = −∞. Xke. クロネッカー. = δ nm のデルタ 1 ⋯ n = m = 0 ⋯ n ≠ m. j 2 πj 2 πt t 1 ∞∞ T T xxT T( t()t )== CX k ek e Tk =k−∞ = −∞. n t T dt. ∞. = X n となることを示す。. − j 2π. とすればよいことを示せ．. j 2π. n  − j 2 π T t dt e . 注意. k n  t − j 2π t T e T dt .  . δmk δ + X δ + X δ + ⋯ = ⋯+ X 0 0n 1 1n −1 (−1) n + X nδ nn + X n+1δ ( n+1) n + ⋯. 6.

(7) 2019/11/6. 資料6-7 演習問題[3] 周期T の方形波のフーリエ級数展開の係数を求めよ． T/2 T/2. x (t ) t. −T/2 −T/4. T. T/4. T/2. 1 ⋯ t ≤ T / 4 x(t ) =  0 ⋯T / 4 < t. Ck =. 1 T. . T /2. −T /2. x T ( t )e. k − j 2π t T dt. =. 1 T. . T /4. −T /4. e. k − j 2π t T dt. Ck =. 1 T. . T /4. −T /4. e. k − j 2π t T dt. この範囲で1，外側で0. k ≠ 0の場合. t T. 1 T 1 = T. Ck =. T/4. k = 0 とk ≠ 0 に場合分けして考える. 2 = T. 2 T /4 cos(2πkt / T )dt T 0 T /4 1 2 T  =  sin(2πkt / T )  = [sin(2πkt / T )]T0 /4 πk T  2πk 0 =. e. . x (t ) −T/4. k − j 2π t T. = e0 = 1 1 T /4 1 T 1 C0 = 1 dt = × = T /4 T − T 2 2. k = 0 の場合. . {. =. 1 sin(2πkt / T ) t =T /4 − sin(2πkt / T ) t =0 πk. =. sin( πk / 2) πk. }. Ck =. . T /4. −T /4 T /4. e. k − j 2π t T dt. Eulerの公式. −T /4 {cos(2πkt / T ) − jsin(2πkt / T )}dt . 偶関数なので半分奇関数を対称区間で積分すると0. T /4 の区間の２倍. cos(2πkt / T )dt. 0. sin( πk / 2) πk. sin( πk / 2). k ・・・ −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 · · ·. 0. 7.

(8) 2019/11/6. Ck =. 1 sin( πk / 2) C0 = 2 πk 1 1 C −1 = C1 = π π. C −5. 1 = 5π. 1 C5 = 5π. k. 1 2  C k = 0  m  ( −1)  π k. ⋯k = 0 ⋯ k が偶数( k = 0 を除く） ⋯ k が奇数, k = 2m + 1とする. ・・・ −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8・・・. C −3 = −. 1 3π. C3 = −. 0 sin( πk / 2)  =  ( −1) m πk   πk. 1 3π. ⋯ k が偶数( k = 0 を除く） ⋯ k が奇数, k = 2m + 1とする. x( t ). 参考：平均値0の方形波 0  Ck =  ( −1) m   πk. ⋯ k が偶数( k = 0 を含む）. t. ⋯ k が奇数, k = 2m + 1とする. T. x (t ). X (ω ). ω0 =. t. 2π T. 方形波の繰り返し周波数. 5ω0. T C1 = 1/π , C3 = −1/(3π) , C5 = 1/(5π), ・・・基本角周波数 2π/T の奇数倍の角周波数成分で構成される. フーリエ変換の解釈乗算して. 資料6-2 積分 . x(t ). ∞. −∞. . ∞. −∞. • • •. • • •. { ⋅ }dt { ⋅ }dt. −∞. . . −∞. { ⋅ }dt. ∞. −∞. x(t )e − jω1t dt = X (ω1 ). 周波数成分. . ∞. −∞. x(t )e. − jω N t. dt = X (ω N ). ω. 7ω0. 波形の合成. フーリエ変換対の解釈：逆フーリエ変換波形合成角周波数が ωで振幅１の正弦波. x(t )e − jω2t dt = X (ω2 ). ω1～ωNでの. • • • ∞. ∞. . 3ω0. 9ω0. x( t ) = 複素振幅. 1 2π. . ∞. −∞. X ( ω)e jω t dω. 角周波数ω の周波数成分全ての周波数について積算. 発振器. e − jω1t. e − jω 2 t. e − jω N t. • •. ：乗算器：発振器. 8.

(9) 2019/11/6. フーリエ変換対の解釈：逆フーリエ変換波形合成. x( t ) =. 1 2π. . ∞. −∞. 逆フーリエ変換の解釈発振器増幅と位相シフト 1 jω t 1. 2π. e jω 2 t. 1 X (ω 2 )dω ⋅ e jω2t 2π. X ( ω)e jω t dω. • • •. • • •. e. 角周波数ω の正弦波を全ての周波数について加算して波形を求める式. X (ω1 )dω ⋅ e. e jω1t. x (t ) =. 1 2π. . ∞. −∞. X (ω )e jωt dω. +. 1 X (ω N )dω ⋅ e jω N t 2π. 総和. jω N t. 1 X (ω1 )dω 2π 1 X (ω 2 )dω 1 2π X (ω N )dω • • • 2π. X (ω ). dω. ω. 9.

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