TRU Mathematics 22−1 （1986）
㎜AR工皿1 S田㎜和ωS皿蜘㎜姐PRODUCT㎜加皿
dasumi KAME DA ・ （Received March 5，1986） §0． 工n七roduc七i㎝．． Severa：t au七hofs s七udied七he submanifo］−ds whidh are invariant or an七i” invarian七under七he acti㎝（）f a cer七ain Vensor fielkl of ．type（1，1）㎝an a血bien七 manifold・ ［［he presen七 author （［3］， ［4］） studied 廿1e foユユowing 『 submanifolds． In a Riemanhian pr．Oduc七manifo：kl N．．of two．Sasakian manifoユds， i七is’ 翌?撃P−knowri血a七七here exist a Ptodhet’s七ructure田1d a complex one．［［1ien he considered sudh submanifoユds i㎜ersed in Nジ七ha七are invariatr七under七he produc七 s七ruc七ure and are an七i −invarian七 under 七he complex one． tt The main purPose of presen’七PaPer is七〇inves七iga七e as f。コユ。ws． im a Riemannian produc七 mani fold， we s七udy subma皿ifolds whi（）h are invarian七 〇nly under 七he pEroduet s七ruc七ure◆ We assume、七ha七 aユ1 Riemannian m頭foユds are．． co㎜ec七ed and smoo七h． 工n §1， We prep（lre some．．formUlas、and results．． qn 寧ubmanifolds． 、］h 頓e sequel we study submani eoユdS in a Riemannian pnrOduc七manifoユd of two rnanifolds of eonstan七 （mrva七ure． §2 is devoted七〇discussing the squared、 lengbh of the sec。nd fundainen七al fom・エn§3・we・’c。nsid㏄a． submanifoユd砲。se maXimal in七egral manifolds are b◎th of cOns七qn七 Gurva七ure． §4 provides fo蛤apPliCa七iOnS（）f preVi（）US SeC七iOnS・、 、
§1． Fundamen七al fbr皿ulas・ Let N be an nrdimensional Riemannian manifold and M an m−dimensionaユ submanifoユd immersed in N． We deno七e by▽（resp． R）七he Riemannian comec七iσn（・esp・th・田C㎜迦一七ur・tP…r）・f MI L・七A（…p・’B）． b・th・．secbhd
funda皿en七al七ensar （resp． fOr皿）of M． 』 As an a囮bien七 raanifold， We consider a （10caユ1y）．Riemannian produc七 inani．− f。ユdN・）f・tw・m・nif。ユdS Nl． ≠獅п@N2・・L・七Fぷhe匪。d・・t七・…r・fi・ld・）f N・ ［［・he・ub・anif。ld・M・i・ ・aid・t・・b・in・頑繊if伽㎞9砿・pace Tx（M）・七a・y poin七x・of M is invariant under七he ac七ion of七he七ensor fieユd F， i．e．，19
20
M．KAMEDA
（1・1）M。（M）＝T。（M）・ ・． ． ・t・、 「．
工fMis an invariant sub囮unifo］d in N， 七hen， iESr Gauss fb輌， we find（1・・）f＝・d㎝・ity， VX…∫ゴー’
（1．3） 置B（X，Y）＝B（FX，Y）＝B（X， FY）． 『・ ．”’ for any vec七〇r fields X， Y of M． 工七is we］ユー㎞own七hat， a七ea（h poin七pof M，Mi…叫聖．・麺・r七Ri・㎜i㎝㎜江。U畔（P）X弓（P）・wh・ひ畔（P）、．（・6・p・
弓（・））1・th・面麺．血倫画…江・・d㎡麺・・i㎝．・（・esp−n）倣加帥・．
・・…ia・・d⊇．．輌・．垣・手ぱ・・垣口r・岬≒』・il…‘（・esp…9h・4・・）
・igerr・q輌・輌ば世ゆ・・．垣竺S㏄・…佼．・．（［・］，・［9］）・th・pm・−P・pg・．碗d・h・垣叫．（・6・p・S）娠卿W血・・画㎜・f・畔（・）（・esp・弓（・））、．
。「．M f㏄・㎞P且゜ity・．’ ・．： ㌃・ ・〉 ．． 』．一
一一』 ．1．．∴．．1’ i．；．・．・㌧ ・．．’〉．： ．・こ． ・ ・．・「・レ §2． Th合squar6d lehg七h Qf・sed6hd．：fUndamenもal fOms． … ． Let M be an （m＋n）−dimensiomaユ invari孤七 submanifoユd in a Rie匝axmian tt PS・血・七N・・f・・n（・・P）輌…i・皿・・嘔ce飴m叫（・）ahd．・an（・ta）−di・・h・i。na・ ・呼6・t。づ（9）・．．．「． F．．1−∴．’1．「’．、．．．∫．1’．∵．．1：、．い．伽
jn°Wαn．禦se・垣ices．㎝輌鯉・血e，コ7aF’99S；・
． ・ ’ 、 ． ， 「 ↓ 」，k，』．1， s，七＝1ダ・・】，．、m輌・m＋1，… ，！m＋n； ’「 ・ 『． a，b，．c，一；・・＝1，…，m； ・．．・ ’．・x・yパ・…＝ m＋1・…・m＋n；
1，J， K， ・・9 ＝皿＋n＋1， … ， m＋n＋P， m＋n＋P＋1，．… ， m＋n＋P＋q； A，B， G、， ．．● ；m十n＋1， ．．．，m＋n＋p； ・−‘ “ ” 7・・ ．ジX，．Y， 一．． 一．＝ 『・ ＾ ．．． m＋n＋P＋1，∵・∴， m＋n＋P＋q・． ［1！lrie ． su・・ttna七i㎝・・nv㎝七i・n．is．apPlied t。 repeated indices・in their dim．蜘grS r ．in．七h・Seque1’．w・‘（）li・・se a．1・cal fi・ユd・）f。rth。n。rma1 fram・S i・Nas 6・且・…｛・SI・、｝一㎞卿・加．・1・・n・｛・x咋｝：≡㎞・e・i・・f・・N、正．・ti6・’a’r地・t｛・a｝，（・esp・｛・x｝）ar・㎞興t切叫lr・・p・取姉⊇四垣t・餌・
岨㎝・・W曝枷e．…Pe−・・．・f．・（・」・・、）坤・s・．φ・ar・… ・if・・r・nti・七i一增E・◎Sa七勒患一妄・’㊤…f（1・・）逗b・㎞
INVAR工ANT SUBMANIFOU）S
（・・1）皇一・・泓一・・曳…
Ie七Sbe the 8quaredユ．ength of the seoond fUndarneptal form of M． Then i七is easiユy seen from （2．1） 七ha七（…）・・S1・S2・S1一土止・S2・輻輻・
（…）西AB・C。・1・rAx一膨・ ． −
曲e「eA・＝A・エ’ The induced七ens。r．field F has componen七s given by・ ・（2・4）F。b・＝ E。b・FボーE。Y・F。x＝°・
Ejk i・diea七i・9・th・K・・n・ek・r d・1ta・by−・・f（2・4）・tl・e c°mp°nen七s°f Memamnian （nlrva七ure 七ensor and norロvaユcurvature tehsor of M are respectiveユ．yexpressed as
（・・5）・；ガP（・tk・」ゴ・t、Ej、・・。、Fj、−Fa・j、） ・ ・
・Q（・，、・」ゴ・t、E」、・Fbic・）・、−Et、・」、）・H認、−Hl、Hii、・．（・・6）弓ゴH認仁H誠，
where we pu七 ・・c麦d・Q・c元d・’ Taking accoun七 ◎f （2．5） and （2．6）， we find the foユユowing lemmas for Laplacian △S （see ［5］）3㎜2．1．毎励。㎝（ni・。）一・dim・n・i・n・Z Z・卿伽亡鋤㎜鋤Z西・吻
Ri・manni・・ P・・d… ma・ifiozd Nl （S）x”2（d）・1then we have（…）ス邸咋蕊・膓転・2・［略・・ち一綱92］
・2Q［・SI−nS2一ら（tT・・，AB）2・豪（！Z・・，Ax）2］ ・・、，。（瑚鞠2−（・t？A．IA」） 2）＋ ・1・・，・，・lt・’（Afh）・ 1㎜2．2． Let M be em（nin）−dimensionaZ invntant ε』τZ∫わZ4 in theRi・rm・ian P・・血・・㎜鋤z⇒（・）Xs（功・if M i・nd・imz・』磁』
2122 Mi KAMEDA ■
（…）；…ψ疏・2・（・SI・nS2）・題（mSl 一 ・S2） ・・
・㌔。（・・［A、・A。］2−（呼。）2）・ ．by・u・e。f（1・3）・i七is ea・ily seen甑七、 ． ’．
（・・9）一㌔，、（・・［・，・A」］2−（［1｝・AIAJ）2） 、 ・一㌔，，・・［・，・・，］2・㌔（T・AB2）2−X，，・・［AX・A，］2・㌔（7D・eAX2）2・ Applying七he l途llilna lmroved㎏． S． S． Chem， M． do Camo and’ S． Kobayashi［2］， we find七ha七 （2．9） is rewri七七en as （・・1・）−Z、，、（・・［・、・A」］2−（…、A」）2）≦（2−S12 一き㌔〈C（・・AB2−T・AC2）2・（2−；S22一諏。（・・AX2−・・A，2）？・ エ・the・es七。f皿s sec七i。・， N・Ul be assum・d七・b・a・Ri。㎜麺P。Od。。￡m・nie・ユdN1（・）XN2（・）・・＞o・エfMi・輌1・￡…（2・10），w・・btain
（・・11）・1・鑑一挿≦一・（・Sl・㎡、）・（2一き）S12・（2−1）S22・
We see tha七 七he xえgh七 hand side of （2．11） is rewri七七en as ． ． 〉（・・12）一・（・S1・・S2）・（2−；）S12・（2−S22 ．
．≦一典（…）（Sl・S2）・（2−Wh，，q）（Sl2・S22） 「
≦一・血（…）・・（2「誌可）S2 ・
becau・・。f．（2・2）・． Th・…h・ve七h・f。且・wing・Th・。・・m・・、 丁旺DREM 2．1． Let〃be an（nin）−dimensionαZ minimαZ invntant sub｝mαni fb Zd in準P（・）Xピ9（c），・＞o・27・en we have 9，，6，，−i・・≦［（・「』）・一・・hn（m・ n）］s・ THEOREM 2．2． Under the scnne assunrption as in tZVzeo？em 2．1， i了Mis eompαetαnd orientabZe，ガ吻ωθhaveL亨疏・1≦∫ti（ 12「珊）5−c嚇・）／・・1・ ・
IWARIANT SUBMANIFOLDS
where＊1 is挽ρvoZzbne eZ’ement oアλf l NOW We．prOVe 七he fOユIOWing 七heOrem． 』 r ［II田］⊃R［EIM 2．3． Let M he the ＄αvne submαnifoZd stαted in⑰eorem 2．2． ヱア・≦・M・n（m・・）／（2「』）・劫・…』
（1）Misカ・taZZy 9θ・de8i・・r（・）…M・・（…）／（2−Wh．）・ 一
・…f・・f・≦…n（…）／（2一下㊨）・v・耶・・re・・n・…h・n・・fin・
（・）・lkl… ． ・
（工工）［（2−x）S−・Min（…）］…
becau・e。f皿・。・・m 2・2・by mean・。f（1）・w・find th・七Sis c・n・セm七・by・use ・f（工工）・w・・b七・im th・t・i七h・・s・o， i…，Mi・七。七ally・9・odesi・・r…r，hn（…）／（・r㊨）・Tlr… P・’・…−ass・r七i…
We now assume 七ha七 N is a Rieman刀ian produc七manifold of七wo （皿＋p）− di．m…i・岨血・・phere・Sg’P（1）an・ S；＋P（1）…七M・be・2m−d…n・i・ma・（・・ dim D“Lt・輌抄噸1・a1・in・ari・nt・ub・・nif・ld in・N・with（・・13）S・器・ 一
［Ilhen i七 is ob七ained仕om （2．10） and （2．12） 七ha七 ． ： ‘（2・14）SIS2・0・
（・・15）一・・［・，，・、］2−・（…，2）（［1・・’AJ2）・・rエ〈」， （・・16）㌔，、（・・A、2−［ll・’AJ2）2… 工七f。11。w・f「。・（2・13）and（2・14）th・七・i七h・r日1≠0頑S2・0。r Sl−O・・nd s2 ；o・S・pP・se楓S1≠・an・・2… Th・n・・h・．・ec・nd…di七i・n y…d・th・t
is七〇七aユly geodesic．』tt工n the case’where p＞−2， by mear1s of the lβmmaL proved 2324 M；・㎜A by S． S． Che血， Mv do qarmo and S． Kobayashi ［2］， （2．15） impユies 七hat at leas七 ・n・ ・f・AB皿・七』貸・・’F・。・（2・16）・狙鑓AB皿・七b・ ze・。， W舳鵬皿S塩・七 Sl is s°一肚・i・c㎝七r・di・七ig・ tO S1 ．f O・瓢・…。・…n・1・d・．P≦2・． Applying 七he Theorem p正roved b r S． S． Ghern， M． do Carmo and S．1（obayashi．［2］， we find ． ． ・ ． − 』’ ㎜㎜2・4・1］・t M b・ a 2m−di・・n・i・naZ（m一伽中伽竺∼）minimaz
』伽』㎞・欄仇ギ’（1）X、ギ’（1）・if s・譜1， th…M・… ．
ZOσaZZy proclue古Riemanni 2 mCtnifoZd， onθ0了whioh i8・’totaZZy geodesie and the othθ㌘is a open piθθe ofθi古her Verone8θ S腱faoe O？ CZiffo㌘d h銃per｛ma，fao￠． §3・ Maximal in七egra：L ロ醐folds Qf constan七 curva七ure・ ． ． ．， le七M be an（m＋n）“輌・・i・nal． ip・a・i・n七・・bUt・1d垣N＝Nl（r）XN2（・）・Ass鵬鋤伽画゜輌七eg「alL man’f°1d⇒鋤騨』呼c七i”eコy an’
・一・iim・n・i。興（・≧2）・頑・⇒（k）。f・・n鋤七dn・㎞k鋤皿・
・di鵬・・i・nal（・≧2）皿f。ld吃（h）・）f・・n・七ar1七・一七ur・・h・lh・n・th・，Rieirumian c㎜七ure tepspr R of M isエepresented as
ロ． 哩。七・U（E」・㌦』『E」凸、s＋Fj。Fkt−Fj tFk。）
＋V（E」。Fkt−F」七叫。＋Fj。㌔一Ej・tFk。）・ ”．where we have pu七 1．
・・k圭h・V−L7’・、 t．一一、
USing七he abOVe eqUa七iOn， We ge七 ・ ・一 忌克・1，、・・U［S一誉（…，）2］・2V［S1魂一㌔（…B）2・㌦（…Ax）2］， ・｝。・議」、一・U［（m−1）S1・（n−1）S2−1（・rA、）2］ ・2V［（m−1）S1−（n−1）S2−5（II・・，AB）2・・iK（［1±…X）2］・・ 西◎m 七he equa七ion of Ricei， we ge七 tt一貼、㌦一註，声・、・AJ］2・・
「．｝』vgT・POntra・垣g the equati・n・）f（池usS・wp fi・d 、IWARIAN「T SUBMANIFOIDS
2S （・・1）S一Σエ（…、）2・（P−U）［（…−2）（亘・・）．＋（・：一・n）？コ ＋ （Q−V）［（m−n）（m＋n）＋ （m−n）（m＋n−2）］， which mealis tha七Sis c。nstentコf and〈姐y if s。 is tile mean（：urvature of M． by use of七hese eqUa七ions and foエ’nruユa foxr． Iapユacian 4S， we have． ．一・㎜3．㍉．鋤励．。。．（⇒．碗。。。。i。naZ（m，。≧2）伽遁。』㎞砿
力z鋤砺肋㎜・伽P・w・㎜己鯛巧（・）X lh（d）・・了・繊・』・z．
仇』z』⇒z叫（r・・P・M・） ’fi・f．o・』垣⑳・』友’』・h）ほ
th・m・㎝α醐鋤・ve・t・r・Pt・Zd・ア”￠・拠zz・z・then w・ have
（3・・）一娠、癖，・き・毛声ア・コ2・2可づ・nS2−・．，（ …，Ai） 2］・
．・2叫一nS2 一・，（…，A，）2・Ex（胞与）2］・ 工f七he normal connec七ion ◎f M is fユa七， 七hen 七he second imdamen七al form of M is commuta七ive． So， from （3．2）we firid 珊NA 3・2・岳力励・an（酬一・伽・n・i・naZ（m，・≧2）励励・nt ・ubmani−f・Zd・in th・Ri・manni・・励輪力㎜・鋤z叫（・）XN2（d）・・f・み鋤㎜㎜z
』卿z…剛z叫（「eSPf吃）z・・f・…協＝・』瓦（｛．e＄p・h）・
SZ（ppose that the normaZ connection of ．M is fZat・ユアthe mean curvature veetOr fieZd o王〃is paraZZeZ， then ne have（…）一磁疏・2叫・nS−・」叫2］ ．
・2岬一nら二・。（・r，AB）2・Σ。（豊・∂2］・ ．血趣・P・qu・l w・ass㎝・甑t Mi・a2曲鵬・・i。na1（・・d㎞叫〒．曲・吃≧
2）麺・e｝・i・nt・ub・・nif・lk1 in th・M・m・nni・n・Ps。du・t㎜if・ta Nl（・）XN2（d）・・fvhi也脚d皿麺七eg「PtL submanif°lds ag副吃釦鵠励゜f c°ns㎞t岬鱗鵬k
（。＋d．≧lk）・．．［lhen th・卿七i㎝（3・1）．i…血・eq t° ．
（3・4）S−E（・rA、）2・（c＋d−・・）（m−1）ml・≧・・ 『
）fbreover the equa七i◎n （3．3） is aユso reduced t◎．26 M．．KAMEDA． （・・5）一 ﾏ妄・・［（m−・1）・・（S−・E（吐・，）2）］・・ Pr◎m （3．4） ahd （3．5）， We haVe 』
㎜㎜3・1−Let・ M be・2僚畝・娠・勉Z（π≡伽当・・din S≧2）w一
鋤娠『励．』鋤z4抗ehe碗θ随ηη鋤．P「㌦ρカ㎜π斑4叫（°）X肇切＞o王
鋤鋤｛zWθ鋼z，｛￠ρzゐ叫傾惨ロカ9伍oア、°gnstCln？．、⑭α触酩
（・†・≧．・k）・，、S・・PP・・輌・吻．｛・、・・…鋤・gf・姉・ち．巧』・OP−．一
α⑳attt？e∂・6鋤fieZ4？τM三8ごZlθz・仇θカM，is；ρ毎zz〃geo4esic o鉛た≦．o・．
TnρartieuZa？・af M is fZat， then the seeond輌ηθ励αZ jわr・m．Of亙is paratZθZ． ．1 』 ．．． 1 ． ・ ． ［ ． ・ ． ・ エf・th・・e・・nd・imd・m・・t・1 t・rin 6f M’ i・輿血01，血6。 th。 。qua七i。。（3．5） is reduced 七〇 （3・6） 『b＝k［（m−1）s＋ （s一 モ（TrAエ）2）］， ・ 『． ．fr㎝曲ich tie bave
mnREM−3・2・「L・t M be・2礁物ε・・』Z（m・di・ ag・伽．5：≧2） invarimt subnmmifoZd．in the RZ勃砲η㎞P掬4泌力■，mifoZd Nl（司’ w・ h（の，・oτ ／ whieh．’mastMa・Z integraZ sutmifolds叫 Cttzd 1ち‘』Cti’e ・ bbth of ooηs励ltσza・VatZtreた （e＋ d−≧2k）・ Stlpρose that the normZ conneotion of〃isヂZαZ」 ’1アthe seoond プWhentαZ fOi？n O王〃is’paraZZeZ， then M is fZat or tOtaZZy geodesiθ．1 エfMi・血ぬ1；七hen（3．4）i呼hes．tha七。．＋d≧盈． S。 w。 hav。 一一 …rmRE ffゴ3・3・L・t・M．E・α・磁・…i・ha・（が＝励叫・●dκ・ AS≧2）m…maZ
鋤（㎡鋤力Ehtlmidnlfbzd in ’t’he R￡ε㎜2滅加戸・血θヵ㎜η鋤z4弓（e）『X』 h（cD’；∂f ∨砺碗≡㎜Zinteg？dz『submctnifoZゐ叫■d 5卿わ・th・fθ・nstant．Wと』θ∴
k ユアthe norvnqZ eotUec’tion oS’ M￡S fzdt， thllri〃『is’t6tbZly 9ξ04θ8Zら0㌘ パ k≦0・ 」「npavtieuZαn∼分MZsρ嘩・カ1励1仇θseρond・声η㎞￠励αZ、form． of ．M己s・・ PCt㌘αZlθz． 』． 〕’9・ ．．L ： ． こ ． ’ ・ ． ．・．… 三 」で．／’．え ’INVARIANT SU㎜IFOIDS
27 Silnilarユy， from （3．6）， we find ！㎜）REM・3・4・L・t・M b・α鋼』・i・naZ（m・di・ M1−di・ M2≧2）mi”imαZ invndαnt＄uimanafoZd in the Riemαnniαn produet mαni》eoz∂Nl（o）X「v2（の・’o了 ・輪』』Z i・t・g・・Z ・ubmanafioZds M1 and M2 are h°鋤fθ゜nstant m° №狽浮た．SttpposeガUαt助θnonnaZ”
?盾獅獅?モ狽奄盾氏@of M is了Zαカ． ヱアthe second jUn・imentaZ foM・f M i・pavaZZ・Z， th・n M i・ρα古・r t・t・ZZy 9・・desi・・§4．Flat subinanifoコ．ds． ’ 『
［Ehroughou七七his section N is assumed七〇be a Riemannian prOduc七manifold畔＋P（・）X弓＋q（・）…七M』（…）−d・…n・i・岨血岨』・皿・輌証一
f。1d in．N．with para］L・l sec。・dゴimdarn・・七・l f・m． lk・ri． i2．7）i・npli・・ ・≦一Σエ，、・・［・±・・、］2・・（・S1・・S2）一Σエ＞J（・・A、AJ）2・ 工f c is non−posi七ive， 七hen 七he above inequali七y iinplies 七ha七Mis 七〇七aユユy geodesic． 1 ’ Converseユーy if c is posi七ive， 七hen，血om 七he above equaもion， we find 2 ・ ・ °≦一Σエ，JTr［Aエ・A」］ ≦…1・x（…）S−S，［El？・Σエ＞J（・・Aエ2−T・A」2）2］ ≦，｛，［・（・・q）im（…）一 ・］・・ ・。。＿榔≧・（，・q）｝・lax（・，・），・h・n・w・fi・d・h・t・・r［・，，AJ］2・・f・r ・ny indices l and J， whi（血means七ha七七he second fundamen七aユ七ensors of M are com㎜七a七ive． Therefore， sillce N is七he prroduc七manifold of space fonms，七he normai connec七ion of M is fla七． 』’ Ga七herixlg七hese resuユ七s， we have㎜1画4．1．Let M b・α・（⇒．dim…ごZ㌦・・z物癌・・力鋤α励z4、
・・ th・ R・・mann・an P・・d・・t ma・・f・・d IVII”P（・）Xヂ＋q（・）…h・P・・・・・・・・・…ndfun（imentαz foren． ・ ・
（1）if・≦0， then M isカ・taZZy ge・desie， ・．．・ ’・
（2） ff c＞0， thenβ≦ o（P＋ q） Max（m， n），28 ． M．．KA唖DA （3）lf e＞0のUl・S・≧θ（P＋の拠（m，η）， then免η・輪Z e・ηη・・力鋤・ア〃i・ fZat・ ． G。血b単㎎The・r’ems 3・4・with 4・1，we鎚
