１
[2015 広島大]
を自然数とする。 ， ， ， ， の 人が 個のボールをパスし続ける。最初に がボールを持っていて， は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受 けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，以後同様にパスを続ける。
回パスしたとき， がボールを持っている確率を とする。ここで，たとえば，
の順にボールをパスすれば， 回パスしたと考える。
， ， ， を求めよ。
を求めよ。
解説
最初に は ， ， ， の 人の誰かに同じ確率でボールをパスするから， 回パ スしたとき， がボールを持っている確率 は
回パスしたとき， がボールを持っているのは， 回目のパスの後に 以外の誰かが ボールを持っていて，その人が 回目のパスで にパスする場合である。
回目のパスの後に 以外の誰かがボールを持っている確率，すなわち， がボールを 持っていない確率は
回目のパスの後にボールを持っている人が にパスする確率は であるから
回パスしたとき， 回パスしたときも同様に考えて
より すなわち
これを変形すると また
よって，数列 は初項 ，公比 の等比数列であるから
したがって
２
[2011 神戸大] 集合と命題
となる実数 ， に対して， を満たす実数 全体の集合を ， で表す。
このとき， ， と は同値である。 ， ， ， を実数とする。
， かつ ， ならば，
，
が成り立つことを示せ。
， かつ ， ならば，
，
が成り立つことを示せ。
実数 ， に対して，
， のとき のとき
， のとき
のとき
と定める。 とするとき， ， かつ ， ならば，
， ， ，
が成り立つことを示せ。
解説
， ， ， のとき …… ①， …… ② ①，② から
すなわち ，
② より …… ② ①，② から
すなわち ，
， ， ， ならば ，
のとき， であるから， の各辺に を掛けると …… ＊
＊ の がとりうる値の範囲は
のとき， より のとき， より よって， のとき
のとき すなわち ，
また， ＊ の がとりうる値の範囲は のとき， より のとき， より よって， のとき
のとき
すなわち ，
以上から ， ，
したがって ， ， ，
-1-
３
[2015 京都大] 整式の乗除
， ， ， ， を正の有理数として整式 ， を考える。
すべての正の整数 に対して は整数であるとする。このとき， は で割 り切れることを示せ。
解説
次式 を 次式 で割った商を ，余りを とおくと， ， ， は有理数
であり …… ①
このとき， を示せばよい。
であると仮定する。① の両辺を で割ると
を正の整数として， を代入すると
…… ②
ここで， ， は有理数であるから，互いに素な整数 と ， と ， を用いて ， と表せる。② に代入して
整理すると
…… ③
仮定より， は整数であるから，③ の左辺は整数である。
よって， も整数である。
また， ， ， であるから，すべての正の整数 に対して ，すなわち， …… ④
である。
一方で， であり， となる正の整数 に対して
すなわち， となる。
これは ④ に矛盾する。
したがって， であり， は で割り切れる。
４
[2019 大阪大] 領域
平面において，連立不等式 ， ， の
表す領域を とする。
を図示せよ。
点 ， が領域 を動くとき， の最大値と最小値を求めよ。
解説
