線形代数学 II 第 2 回レポート課題（配布日： 10/15 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，Web掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当 然ながら掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．
自分の解答が合っているかどうか考えることも課題の一部である．また，講義ノートと指定教 科書では一部用語が違っており，「被約階段行列」とは「簡約な行列」のことである．なお，簡 約な行列と呼んでいる本は他にあまりないので注意すること．
様式はA4サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1枚目表 面の上に「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には 第何回の課題かも書くこと）を記入し，2枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．
提出締切は10/22（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボッ クス．別の科目のレポートボックスへ入れないように，ボックスの科目名と担当教員名（黒田）
をよく確認すること．
また，このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考える こと．それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．
1.2 問題
1. （講義ノート第8章 例題3.5）
実ベクトル空間R3 の次のベクトルv1,v2,v3 が1次独立かどうか調べよ．もし1次従属 ならば，非自明な1次関係式を1つ挙げよ．
(1) v1 =
1 2 3
, v2 =
1 1 1
, v3 =
2 1 3
(2) v1 =
1 2 3
, v2 =
4 5 6
, v3 =
7 8 9
2. （講義ノート第8章 例題3.9）
2次以下の実数係数多項式全体のなす実ベクトル空間 P2(R) のベクトル f1(x) = 1−x, f2(x) =−1 + 2x+ 3x2, f3(x) = 2 + 2x+ax2
が1次従属となるような定数 a の値を求め，そのときの非自明な1次関係式を書け．
3. （講義ノート第8章 例題3.10）
実ベクトル空間V のベクトル a,b,c が1次独立であるとする．このとき v1 =a+ 2b+ 3c
v2 = 3a+ 2b+ 2c v3 =a−2b−4c
は1次独立かどうか調べよ．もし1次従属ならば，非自明な1次関係式を1つ挙げよ．
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2 レポート課題 B
様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること（スキャンして成績保存する関係です）．
答案のバランスや体裁，読みやすさも評価対象です．解答用紙はWebからもダウンロードでき ます．
提出締切は10/22（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボッ クス．いずれもレポート課題Aと同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを 講義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．
1. 実ベクトル空間Rn のベクトルv1,v2, . . . ,vn が1次独立であるとする．また，A を 実 数を成分にもつn 次正則行列 とする．このとき
Av1, Av2, . . . , Avn
も Rn の1次独立なベクトルの組であることを示せ．
2. 上の問題で A が正則ではない場合にはどのようなことが起こりうるだろうか．例えば
A=
1 1 1
−1 2 −4 1 −1 3
, v1 =
1 0 0
, v2 =
0 1 0
, v3 =
0 0 1
としたとき，A は正則ではなく，v1,v2,v3 は R3 の1次独立なベクトルである（これは 示さなくてよい）．さらに，wi =Avi (i= 1,2,3)とおく．このとき，w1,w2,w3 はR3 の1次独立なベクトルかどうか調べよ．もし1次従属ならば，非自明な1次関係式を1つ 挙げよ．
3 次回講義までに自習しておくべき内容
• 1次独立の概念はこの講義の最後まで常に現れます．具体的なベクトルが与えられたとき に，それらが1次独立か1次従属か必ず判定できるようにしておいてください．
1次独立に関する問題は必ず定期試験に出題されます（1次独立の概念を出さずに問題を 作る方が難しい）．教科書の問題（4.1節と4.2節）にも取り組んでおくこと．
• 数ベクトルだけでなく，多項式の空間なども扱えるように練習しておいてください．
慣れるまでは数ベクトルだけでも構いませんが，次の章に入るまでに多項式空間にも慣 れておかないとやや大変です．
• だんだん講義で抽象的な記号や説明が増えてきます．
理解が難しければ，具体例など実際に手で扱えるもので確認しながら議論を追いかける よう努力してみてください．抽象的であるがゆえに，様々な分野へ幅広く応用できるのが 数学の強みです．
次回の講義内小テストの範囲は『具体的なベクトル（数ベクトルまたは多項式）に対する1 次独立性の判定』です．講義ノート第8章例題3.5〜3.9の内容を説明できるようにしておくこ と（教科書や講義ノートの例題と全く同じ問題が出るということではない）．
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