本日の内容 G.Verbeke, and G.Molenberghs. 著 Linear Mixed Models for Longitudinal Data (Springer, 以下 テキスト と呼びます ) の 章のうち モデリングに関する部分をまとめます 最後の方を除いて 誤差は

1

経時データのモデリング

(1)

第

_{10回BioS継続勉強会}

本日の内容

• G.Verbeke, and G.Molenberghs.著 “Linear

Mixed Models for Longitudinal Data”(Springer, 以下「テキスト」と呼びます_{) の3・6・9章のうち、モデ} リングに関する部分をまとめます。 • 最後の方を除いて、誤差は独立と仮定しています。 誤差の系列相関は、次回扱います。 • 参考文献は、今回と次回の内容を合わせたもので す。

3

本日の内容

1. はじめに

（データの紹介・モデリングの基礎）

2. 3章の内容

3. 6章の内容

4. 9章の内容

5. まとめと参考文献

注意

• テキストは、記号の使い方等が結構いい加減です （確率変数とその実現値の使い分け、など）。 • 数理的な部分で、たまに間違い（誤植と呼ぶには大 きいもの）もあります。 • 本資料ではテキストより記号等を変更しています。 大抵は意図的に「修正」していますので、大体はこっ ちの方が正しいです（が、誤植は結構あるはずで す）。

• LMMは線形混合効果モデル_{(Linear Mixed Model)} の略です。

5

1. はじめに

はじめに

症例 の 個の時点 のデータが

1症例の経時変化

7

本書を通して大事なこと

• 目的は

探索解析

– 本当のモデルは分からないので、探索しましょう。 – 「使える」モデルをみつけるための「試行錯誤」の方 法論を考えましょう。

Essentially, all models are wrong,

統計で最も重要なこと（私見）

• 全てのtoolは不完全である。 – プロットして目視・尤度比検定・情報量規準など、どれも 「決定的」な知識はくれない。 – 「これさえしておけば絶対大丈夫」という人は信用しては いけません。 • しかし、「不完全だからいい加減でよい」わけではな い。むしろ「不完全なので、一層注意深く観察・検討 しよう」という態度が重要。 – 最終モデルに対しても、「もしかしたら不完全かも」と思う こと。ただし、「現在の知識・情報・技術ではここが限界」と

9

モデリングとは（私見）

• 「全く分からない」から入って、 「少しは分かった

かも

」で終わるもの。 • 「完全に分かる」=「真のモデルが分かる」は（人間の 力では）あり得ない。 • 情報がさらに蓄積すれば、構築されるモデルは変わ りうる。 • あまり自信のない判断をせざるを得なくなるときもあ るが、その時は「ここで微妙な判断をした」ということ を忘れないことが重要。 → 自分のモデルを冷静に評価すること

経時データのモデリング

• 決めなければいけないものがたくさんある

（ ・ は_{9章までのテーマ）} 平均構造 変量効果の 分散構造 どの要因を選ぶか？ (3.8)

11

今回のモデルの

固定効果、変量効果、誤差

固定効果： → に依存しない。 → 全症例・投与群など、複数の個人に 共通の部分。 変量効果： → に依存する。 → 被験者特有の部分。被験者内変動。 誤差 ： → 固定効果・変量効果で説明できない データのばらつき。被験者間変動。

症例は固定効果か変量効果か？

• どちらでも解析することは可能

– 症例内のデータの相関を考慮した解析を行うため 、変量効果を用いることが多い。 – テキストでも、変量効果として扱う。 – 「投与群」の固定効果を入れて、「投与群全員に共 通の値からのずれ」という形で扱う。

13

モデリングで決めなければいけないこと

• どの変数が入るか？

– 時間、性別、・・・etc

• どういう風に入るか？

– 時間の1次関数？2次関数？ – 変数はそのままでOK? 変換してから入れる？ – 誤差は独立？相関あり？ – 変量効果同士の相関は？

本章であつかう実データの紹介

（

Prostate Data：前立腺癌のデータ）

• 詳しくは2.3.1節参照 • 前立腺癌は、アメリカでは男性の癌による死亡の2番 目の原因。治療にお金もかかる。 – 早期発見が重要。

• PSA (prostate-specific antigen) がマーカーになる。 • PSAは正常細胞にも癌性前立腺細胞にも含まれる

15

本章であつかう実データの紹介

（

Prostate Data：前立腺癌のデータ）

• BPH(benign prostatic hyperplasia, 良性前立腺過形成） でも_{PSAが大きくなる。}

• Pearson et al. (1991)によると、 PSAの値だけで判断し た場合、最大_{60%のBPH患者が前立腺癌と誤診される。} → 現状では、_{PSAは前立腺癌のマーカーとして不十分。}

前立腺癌だけを 検出する判断基準を導けるような モデルを作りたい（目的）。

Prostate Data 個人ごとのデータの推移（図2.3)

（横軸は診断前の時間：

右が過去

）

これを 区別する モデリングを したい

17

本章であつかう実データの紹介

（

Prostate Data：前立腺癌のデータ）

【仮説】

PSAの変化率を見れば、前立腺癌の早期発見ができるの ではないか？ → _{PSAの数値だけではなくて経時変化の仕方まで} よく見れば、よりよい前立腺癌のマーカーに なるのでは？ → 時間に依存した部分に注目 単位時間あたりの変化：正しい意味での「率」

本章であつかう実データの紹介

（

Prostate Data：前立腺癌のデータ）

BLSA (Baltimore Longitudinal Study of Aging)のデータ → _{Pearson et al. (1994)参照。} • デザイン – 後ろ向きCase-Control研究。 – 凍結させた血清サンプルを使用 • 被験者の内訳は – 前立腺癌：18例 • 局所浸潤性癌(L/R Cancer)：_14例 • 転移性癌(Metastaic Cancer)：4例

19

本章であつかう実データの紹介

（

Prostate Data：前立腺癌のデータ）

【選択基準】 1. 泌尿器科医によって、前立腺癌、BPHによる単純前立 腺摘出術、前立腺の病気はない、と診断されるまでに7 年以上の追跡調査のデータがある。 2. 病理学的診断により確認されている 3. 診断の前に前立腺の手術がない

デザインの詳細

• 診断時の年齢、追跡期間は対照群、BPH群、前立 腺癌群でマッチングした。 • 50歳以上ではBPHの罹患率が高すぎるため、対照 群を見つけるのが難しかった。 – 対照群は、BPH群に比べて、初回来院や診断時の年齢 がだいぶ若い。 • 局所浸潤性癌と転移性癌を分けて考えた。 • PSAは指数関数的に増加するので、対数を考え、0 に近い値であることも考慮して、

21

Prostate Data

人口統計学的データなど（表

2.3)

テキスト12P

国立がんセンターの

Webページ

(http://ganjoho.jp/public/cancer/data/prostate.html)

より

23

Prostate Data 個人ごとのデータの推移（図2.3)

（横軸は診断前の時間：

右が過去

）（再掲）

これを 区別する モデリングを したい テキスト13P より引用

25

誤差とは？

• 誤差

というからには、

独立同分布

が基本で

は？ 少なくとも独立性は欲しい。

– 「誤差が相関する」というのは不思議な表現。 – 「モデリングが不十分」と解釈するべきでは？ • 誤差が相関がある場合、その要因を取り出して、 「変量効果によるモデリング」+「（独立同分布の）誤差」 となるまでモデリングを続けたい（理想）

探索：モデルを段々複雑にしていく

（１）固定効果のみのモデル（固定効果以外は全て誤差） （2）変量効果をいくつか入れたモデル 相関構造が複雑 → 別の要因の影響では？ を分解

27

系列相関

(Serial Correlation)とは

• いくつかの変量効果を入れた後、

– 個人のデータの経時推移による相関が に 残っているか？ – 残っているなら、その部分を「時間依存する要因」 として取り出したい。 – 逆に、とりあえず取り出して見て、「相関が無視で きるか」を考えてみては？ 誤差 時間に依存する部分（変量効果） この部分の相関が 十分大きいかどうかをみる

モデルの一般形

誤差：独立同分布 時点ごとの相関 → 系列相関 (10.1) 独立

29

3章の内容

• 「手当たり次第に変数を入れたモデルで解析する」章 • 3章では、基本的なモデル構築と推定方法である「_2段 階解析_{(2-stage analysis)」「LMMの解析」}がテーマ。 – どの要因を固定効果にして、平均構造をどうするか、等は9 章に回す。 – とりあえず、変数は多めに入れる（本書は、「足りないよりは、 多すぎる方がいい」というスタンス）。

31

3章の内容

（モデル選択の基本戦略

1）

2段階解析（_3.2節） 1st step 個人ごとに異なる。 固定効果と思って推定。 を求める。 代入 1st stepの「固定効果」が2nd step では「変量効果」 になるので、厳密に言うと「変」。 → 推定せずに代入して一括で推定を行うのが_LMM (3.1) 2nd step 全員に共通したパラメータ (3.2) 個人ごとの変動

今回のモデルで用いる説明変数

• 時間 → グラフより時間依存は明らか。

• 群

→ 入れないと意味がない。

• 年齢 → 背景の偏りがあったため入れる。

• 時間と群・年齢の交互作用

本書では、これだけを入れている。

→ 本当に十分？

→ それでいて「変数は多めに入れましょう」

33

記号

被験者 の年齢： 群を表すダミー変数（その群のとき_{1, それ以外0）} 対照群 ： BPH群 ： 局浸潤性癌群 ： 転移性癌群 ：

Prostate Data 個人ごとのデータの推移（図2.3)

（横軸は診断前の時間：

右が過去

）

時間の

2次関数として

3章の復習：Prostate Dataの例

（

2段階解析）

1st step (3.5) 1人1人別々のパラメータ 2nd step (3.6) ：全症例に共通の固定効果 ：変量効果 → 変量効果は、_{1st stepの要因全ての内のみに存在}35

3章の解析2：Prostate Dataの例

LMM(2nd stepに1st stepを代入)

(3.10)

変量効果はここだけ

37

行列で表現してみる

1症例の1時点分

行列で表現してみる

1症例分

とおくと、 1症例の全体をまとめたベクトル・行列表示は となる。ここで、分布の仮定を 誤差は独立同分布 9・10章ではここを 変える

39

3章：手当たり次第に変数を入れたモデル

（誤差分布は独立同分布）

Proc mixed data = prostate covtest; class id group;

model lnpsa = group age group*time age*time

group* time2 age*time2 / noint solution; random intercept time time2 / type = un subject = id g; run; 変量効果の分散共分散行列には制限をつけない repeated statement 不要 時間の_{2乗：データセットで作る} パラメータ6個

出力

1：固定効果（表5.1）

左がmodel based 右がrobust 不要? 下から 順に 検討 基本的な 固定効果は 残す

41

出力

2：分散成分（表5.1）

◎ _{covtest オプションの検定はあまり信頼できない} → 変量効果が必要かどうかの検定は_{6章で扱う} テキスト49P より引用

43

6章の内容

• 「不要な変数を減らす」章 • 3章では、手当たり次第変数を入れた。 – 6章で、不要な変数かどうかを判断する検定を考える。 • Wald検定 • F検定

Overall の帰無仮説

（表

5.1の結果からあたりをつける）

(6.7) まとめて判断する。 → _{Wald検定とF検定の} 2つを示す。

45

6章の解析

余分な変数を減らすための検定（

_2種類）

(6.5) (6.6) Overall の帰無仮説に対する検定統計量 自由度： 分子の自由度： , 分母の自由度：何種類かある

不要な固定効果を消すための検定

Proc mixed data = prostate covtest; class id group;

model lnpsa = group age group*time age*time

group* time2 age*time2 F検定の分母の自由度

Satterthwaiteの方法

/ noint ddfm=satterth chisq solution; random intercept time time2 / type = un subject = id g; contrast ‘Final model’ age*time 1,

group*time 1 0 0 0, age*time2 1, group*time2 1 0 0 0, group*time2 0 1 0 0, group*time2 0 0 1 -1 / chisq; 不要な固定効果を 消すための検定

47

SASの出力

テキスト113P より引用 分子の自由度 F分布の分母の自由度 (Satterthwaite) 統計量間の関係 どちらも有意差なし

判断の根拠と私見

• 帰無仮説が棄却されなかった場合、「減らす」

– 本当にこれでOK? 例数や入れる変数の数に依存す ると思うけど_{…。今回は例数も少ないですし…。} – 「有意差なし」＝「帰無仮説が正しい」という解釈が、 臨床統計家としては大変心苦しかったり。 – では、「こうすれば大丈夫」という対案があるかと言 われると、困る。情報量規準等も、あくまで参考値。 – なので、「不十分な方法」ということを認識して、先に 進みましょう。最終モデルも「多分 _{True Model では}

49

6章の解析：Prostate Data

(3.10)式から検定で減らした結果

(6.8)

行列で表現してみる

1症例の1時点分

とおくと、_{(6.8)は以下のように書ける。} 投与群 ⇒ ダミー変数 投与群ごとに違う 時間の1次関数 時間の2次関数

51

行列で表現してみる

1症例分

とおくと、 1症例の全体をまとめたベクトル・行列表示は となる。ここで、分布の仮定を とする。 誤差は独立同分布 9・10章ではここを 変える （3章と見た目は全く同じ）

6章：変数を絞ったモデル

（誤差分散は独立同分布）

Proc mixed data = prostate covtest; class id group;

model lnpsa = group age bph*time loccanc*time

metcanc*time2 cancer*time2 / noint solution; random intercept time time2 / type = un subject = id g;

run;

群を表す ダミー変数

前立腺癌の_{2群を併合した群を} 表すダミー変数

53

表

6.1

seの 4倍以上 テキスト59P より引用

55

変数を減らしたモデルで、

群ごとの違いをみる

BPH群と、局所浸潤性癌群の比較 (1)5年時点の の値の比較 表6.1の推定値を代入 局所浸潤性癌 BPH ：10年

(2)5年時点の の変化率の比較 時間に対する 変化が知りたい 「局所浸潤性癌群の方が、 右に行くほど減少が大きい」 ⇒ 右が過去なので、

57

表

6.2 SASの出力

テキスト61P より引用 ◎ _{PSAの経時変化は群間差がありそう。} → 継続的にデータ収集して変化をみるべき

変量効果が必要かどうかの判断

【大問題】

帰無仮説が、パラメータ空間の端点 → 通常の漸近論が使えない。 → _{Wald統計量や尤度比検定統計量が、} 帰無仮説のもとで漸近的に 分布に従わない。 変量効果の分散パラメータ に対して、 として検定を行う。

59

【解決策】

尤度比検定統計量

の漸近的に従う分布を考える（_{MLはREMLでも可）。} → 分布の混合分布になることが多い。

（_{Self and Liang(1987), Stram and Lee} (1994,1995) 参照）。

Prostate Data

パラメータ_3つ。 → 通常なら自由度_3の 分布 切片 の影響範囲 より、「時間の_{2乗の項が必要かどうか」をみる検定の} 帰無仮説は

61

Prostate Data（表6.5）

◎高次の項から考える。 「時間の_{2乗が必要か？」が知りたい} → _{Model1 と Model2 の比較。} テキスト72P より引用

自由度_{2と3の 分布を} 1:1で混合した混合分布 かなり大きい。 明らかに帰無仮説は棄却。 → 時間の2乗の変量効果は必要。 テキスト73P より引用

63

結論

• 帰無仮説が棄却された • → 時間の_{2乗の項も必要っぽい。} （やっぱり少し心苦しい。ただ、棄却されたので、 そこまで大きな問題はなさそう？例数も少ないので、 「臨床的に意味がないほど小さい差」が検出された 可能性は低そう） → 変量効果は「切片項」「時間」「時間の_2乗」 の_{3つが必要そう。}

これまでのまとめ

• 3章：手当たり次第要因を入れてモデルを構築 – 2段階解析 – LMM（誤差は独立） • 6章：不要っぽい変数を減らした – 固定効果：Wald検定・F検定の使用 – Overallの帰無仮説を使用して、「帰無仮説が棄却されな い」=「帰無仮説を採択」という方針 • 固定効果はだいぶ減った – 変量効果：尤度比検定 – ただし、通常の漸近論は使えず。検定統計量の漸近分布

65

9章の内容

• モデル構築の一般論の章

• 9章では、

– 平均構造が正しそうかどうかはどうやって判断し たらよいか？ – 変量効果はどのように選べばよいか？ – 系列相関が必要かどうかの判断

がテーマ。

67

方針

• Altham(1984)「変数が少なすぎると、モデルの仮定 が正しくないときに推測が正しくなくなる。一方、変 数が多すぎると、推定効率が下がり、標準誤差が大 きくなるだけである」 → 本書は「少なすぎるより多すぎる方がよい」 というスタンス。

9章の仮定など

（モデル選択の基本戦略

2）

• モデル選択の基本戦略

固定効果は 平均構造に影響 仮定 しばらくの間は

69

基本的なモデル構築の手順（図

9.1)

Prostate Dataでは 1周半 テキスト122P より引用

固定効果と変量効果

• 相関構造のモデリングは、平均構造で説明しき

れない部分に対して行われる

– 用いる平均構造が変わると、相関構造のモデリン グも影響を受ける。

71

平均構造（固定効果）の検討

• 効果を多めに入れて「正しいモデリング」より

も「間違った場合の影響が少ないモデリング」

をする。

– 次に分散構造を検討し、その後変数を減らす、と いう方針。

• 平均構造が「間違っていそうかどうか」は

残差

プロット

で検討する

誤差と残差の関係

y -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 真のモデル 推定したモデル 誤差 残差

73 73

誤差と残差の関係

• 「誤差」と「残差」は違います。

– 誤差：真のモデルに入っているもの。未知。 – 残差：モデルを当てはめた後、データと推定値 （や予測値）とのズレ。既知。

• 「残差は誤差の予測値」

と考えることができます。

– 誤差 の性質を検討して、「誤差は未知だから、代わ りに残差 でその性質を満たすかどうか検討する。 大体性質同じでしょ？」という論法が、本章でよく用い られます。

（準備）平均構造の特定を正しくした場合と

誤った場合の残差プロット

無理矢理1次関数をあてはめる y -30 -20 -10 0 10 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y -30 -20 -10 0 10 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

75 誤って_{1次関数を当てはめた残差} → _{0との大小に傾向がある} x の値によらず、0 の周りに均等にばらついていれば、 平均構造の特定は大きく間違ってはいないかも。 残差 -20 -10 0 10 20 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 正しく2次関数を当てはめた残差 → xによらず均等にばらつく 残差 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

残差プロット

平均構造の検討：

Prostate Data

（図

9.2：図9.1の矢印1週目左）

77 確率変動する部分 ＝ 平均構造以外の部分 ＝ データから平均構造を 除いた部分 平均構造の特定が 正しければ不偏推定量 のプロットには、 分散構造の情報があるのでは？ 推定

「平均構造の特定がおかしそう」

なことは、どうすれば分かる？

平均構造の特定が 正しくなければ、_0の 不偏推定量でない プロットしてみて、時点ごとの残差の平均が 0 から大きく離れていれば、平均構造の

79

平均構造決定 ⇒

_OLSで推定

⇒ 残差プロット

_{( の成分 )}

どの時点でも残差が_{0を中心に均等} ⇒ 平均構造の特定は悪くないかも 個人差 → 変量切片 で減らせる 図_9.3 テキスト125P より引用

変量効果の検討

• 変量切片 – 個人のばらつきに対応 • 時間依存する変量効果 – 時点ごとの分散の変化に対応 ◎ばらつきの個人差・時間変化を検討する

81

「分散が時間依存する」とは？

例）変量効果が時間の_{1次関数（のみ）の場合} とすると、 → 分散は時間の_2次関数 → 時間に変量効果を入れれば、分散は 時間依存する。 時間の_1次関数

変量効果検討の際の

ガイドライン

(1)

①個人ごとの残差のプロファイルの回帰モデルを作る → 例）残差プロットが個人ごとに直線っぽいなら、 切片と傾きに変量効果を入れる。 ② を仮定するなら、変量効果は 「固定効果からのずれ」を表す。 → の各列は、 の列の_{1次結合で} 表されることが必要。 → _{2段階解析でモデルを作れば、この条件は}

83

変量効果検討の際の

ガイドライン

(2)

③_{Morrell, Pearson, and Brant (1997)によると、} には下意の項が全て入ったときのみ、上位の 項も入れるようにする。 → _{2次の項を入れる場合は、切片と1次の項} は必ず入れる。 ④変量効果を入れる場合、理想は しかし、確認（推定した分散関数と_Smoothingの 結果の比較）は必要。 誤差は 独立同分布

変量効果の検討

85

残差の

_{2乗（ の各成分の2乗 ）のプロット}

と

_Smoothing

残差の_{2乗が時間依存している} → 時間依存する変量効果が必要では？ 分散の次元 テキスト126P より引用

図

9.3 残差プロットをもう1回検討

1次関数では少し不安

テキスト125P

87 分散の経時変化を 変量効果として取り出したい。 「誤差」は「時間によらず 等分散」が望ましい 今回のプロットからは、変量効果の追加を検討 → ガイドライン①より、時間の_{2次関数まで含める。} → ガイドライン③より、_{1次の項、切片項も含める。}

分散関数の推定

（

3章のモデルをあてはめる）

とおくと、_{(3.10)のモデルは、}

と書けた。これより、

89

3章のモデルの解析結果（表5.1)をもとにして、

図

9.5 推定した分散関数と

Smoothing した関数とのずれ

両端がずれる。 → 系列相関を 考えてみる。 Smoothing テキスト128P

91

両端のずれをどうにかしたい

⇒系列相関の追加

として、 を仮定し、 をモデリングする。 → 詳しくは_{10章。とりあえず、Gaussianを仮定。} 誤差 系列相関 対角成分は₁ 検討済み まだ。 ⇒ ここを変更。 という仮定を 変えてみる。

3章の手当たり次第に変数を入れたモデル

+系列相関をGaussianに指定(p129)

Proc mixed data = prostate covtest; class id group timeclss;

model lnpsa = group age group*time age*time

group*time2 age*time2 / noint solution; random intercept time time2 / type = un subject = id g; repeated timeclss / type = sp(gau)(time) local subject = id; run; 系列相関をGaussianに。 repeated statement で指定 カテゴリ変数 （中身は _{time と} 誤差に も入れる

93

出力（表

_{9.1 :変量効果・誤差部分のみ）}

REML推定

テキスト130P

分散関数の推定

（

_{3章のモデル+系列相関のモデルをあてはめる）}

とおくと、_{(3.10)のモデルは、}

と書けた。これより、

95

図

9.6 推定した分散関数とSmoothingとのずれ

Smoothing テキスト131P 端のfittingがだいぶ改善 → 系列相関は必要っぽい。 （ただし、0～5 yearはそれほど 改善していない）

97

変数を絞る

（図

9.1の矢印2週目）

• 6章で検討した方法を用いて、減らすべき要因を減 らす。 • 本書ではきちんと書かれていない。が、 – SASの出力をみて、減らせそうなパラメータの目星をつけ る → Wald 検定か F 検定で検討。 – 平均構造が変わると、分散構造も影響を受けるので、もう 1回残差プロットをして、妥当性を検討する、などが必要。

9章：変数を絞ったモデル

+ 系列相関をGaussianに指定(p133)

Proc mixed data = prostate covtest; class id group timeclss;

model lnpsa = group age bph*time loccanc*time

metcanc*time2 cancer*time2 / noint solution; random intercept time time2 / type = un subject = id g;

repeated timeclss / type = sp(gau)(time) local subject = id; run;

99

出力

1：固定効果（表9.3）

テキスト134P

出力

2：分散成分など（表9.3)

101

最終モデルで、

群ごとの違いをみる

BPH群と、局所浸潤性癌群の比較 (1)5年時点の の値の比較 表9.3の推定値を代入 局所浸潤性癌 BPH ：10年

(2)5年時点の の変化率の比較 時間に対する 変化が知りたい 「局所浸潤性癌群の方が、 右に行くほど減少が大きい」 ⇒ 右が過去なので、

103

9章のまとめ

• モデル構築の一般論。

– 固定効果構築 → 変量効果構築 → 減らすかどうかの検討

の順番。

• テキストの記載は、最後の「詰め」が甘いです

（ただし、著者らは本書に記載していない解析を大量にしている はずです。甘いのはあくまで「記載」だけだと思います）

。

105

本日のまとめ

• 3章

– 2段階解析とLMMを用いて、とりあえず解析して みた。

• 6章

– 固定効果・変量効果をF検定・Wald検定・尤度比 検定で減らす方法を検討した。

• 9章

– モデル選択の指針、固定効果・変量効果・系列相 関のモデリングの方法を検討した（系列相関は 「さわり」だけ。詳しくは_{10章で）。}

今回のモデル構築で微妙な点

• 固定効果・変量効果が少なすぎるのでは？ – 「最低限必要なもの」しか加えていないように見える。 – 本書のスタンスは「少ないよりは多い方がよい」なので、主張 と行動が一貫していない？ • 「変数を減らす」ことを検定で判断した – 「帰無仮説が棄却できない」＝「帰無仮説が正しい」と判断した – 帰無仮説が棄却されるかどうかは例数に依存する – 帰無仮説の選び方が比較的恣意的 • 「だからおかしい」ではなくて、 – この点を忘れないように気をつけながら使いましょう。

107

テキストの参考文献

(1)

Altham,P.M.E. (1984) Improving the precision of estimation by

fitting a model. Journal of the Royal Statistical Society, Series

B, 46, 118-119.

Diggle,P.J. (1988) An approach to the analysis of repeated measures. Biometrics, 44, 959-971.

Diggle,P.J., Liang,K.-Y., and Zeger,S.L. (1994) Analysis of

Longitudinal Data. Cxford Science Publications. Oxford:

Clarendon Press.

Lesaffre,E., Asefa,M., and Verbeke,G. (1999) Assessing the

goodness-of-fit of the Laird and Ware model: an example: the Jimma Infant Survival Differential Longitudinal Study. Statistics

in Medicine, 18, 835-854.

Morrell, C.H., Pearson,J.D., and Brant,L.J. (1997) Linear

transformations of linear mixed-effects models. The American

テキストの参考文献

(2)

Pearson,J.D., Kaminski,P., Metter, E.J., Fozard, J.L., Brant,L.J.,

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