有限群の表現と商族と正多面体

(1)

有限群の表現と商族と正多面体

高村茂

(

京都大学

)

Dedicated to the seventieth birthday of Professor Yukio Matsumoto

巡回商構成

Σ

は向き付け可能なコンパクト閉曲面とし，

f : Σ → Σ

を位数

m

の周期的同相写像とする．このとき

Kerckhoﬀ

の定理より，

Σ

の複素構造で

f

が正則になるものが存在する．次に，写像

g : Σ × C → Σ ×C

を

g : (x, t) 7→ (f (x), e

^2πi/m

)

で定め，

G

を

g

で生成される位数

m

の巡回群とする．このとき

G

不変関数

ϕ : Σ ×C → C

，

ϕ(x, t) = t

^mは写像

ϕ : (Σ × C )/G → C

を定める．これを退化という．(ここでは

(Σ × C )/G

の特異点を解消しない.)

0 (Σ × C )/G

C ϕ

m

ここで重複度

m

は

G

の位数に等しい．また，ϕのモノドロミーは

f

⁻¹である．

商族有限群

G

が複素解析空間

Y

に正則に作用しているとする．このとき，Gの表現

ρ : G → GL

_n

( C )

を与えるごとに商族が構成できる．まず，Gは

ρ

を通じて

C

ⁿにも作用することに注意．つまり，g

∈ G

は

ρ(g)

として

C

ⁿに作用する．このとき，次の図式は可換である:

Y × C

ⁿ

g

_//

射影

pr

Y × C

ⁿ 射影

pr

C

ⁿ

g

_//

C

ⁿ

.

よって，写像

η := pr : (Y × C

ⁿ

)/G → C

ⁿ

/G

が定まる．これを商族

(quotient family)

という．

注: 巡回商構成において，Gの代わりに改めて

G := ⟨ f ⟩

と取り，表現

ρ : G → GL

₁

( C )

を

ρ(f ) = e

^2πi/m で定めると，商族

η : (Σ × C )/G → C /G

は退化

ϕ : (Σ × C )/G → C

にほかならない．ここで

C /G ∼ = C

である．実際，Gの不変式環

C [t

^m

]

は

C [t]

に同型．

商ファイバー定理

s ∈ C

ⁿ

/G

に対し，η⁻¹

(s) ∼ = Y /Stab

_tである．ここで

t ∈ C

ⁿ は

s ∈ C

ⁿ

/G

の持ち上げで，Stabt

⊂ G

は

t

の固定化群

(stabilizer)．

(2)

ファイバー

η

⁻¹

(s)

の近くの一般ファイバー

η

⁻¹

(r)

は，r

→ s

のとき

| Stab

_t

|

重被覆

η

⁻¹

(r) → η

⁻¹

(s)

としてつぶれていく

(折り畳まれる)．このことを念頭に置

いて，η⁻¹

(s)

の被覆重複度

(covering multiplicity)

を

Stab

_tの位数

| Stab

_t

|

で定める．つまり，被覆写像

Y → η

⁻¹

(s) = Y /Stab

_tの次数が

η

⁻¹

(s)

の被覆重複度である．

簡約化

ρ

が単射なとき，

ρ

の一般ファイバーは

Y

であり，被覆重複度は

1

である．

一方，

ρ

が単射でないときは，

ρ

Y /Ker ρ

である．また，被覆重複度は

| Ker ρ | ̸ = 1

となり具合が悪い．これは次のようにして解消される:

K := Ker ρ

とおく．ρは

ρ : G = G/K → GL

_n

( C )

を誘導する．Y

:= Y /K

とおくと，Gの

Y

への作用は，Gの

Y

への作用に自然に降下する．よって，表現

ρ : G → GL

_n

( C )

から商族

η : (Y × C

ⁿ

)/G → C

ⁿ

/G

が定まる．これを

η : (Y × C

ⁿ

)/G → C

ⁿ

/G

の簡

約化

(reduction)

という．

η

Y

，その被覆重複度は

1

である．

正多面体群の表現から作られる商族正多面体は，5種類ある: 正四面体

(tetrahedron) T

，正六面体

(hexahedron) H

，正八面体

(octahedron) O

，正十二面体

(dodecahedron) D

，正二十面体

(icosahedron) I

．

dodecahedron octahedron

hexahedron

tetrahedron icosahedron

正多面体の各辺をふくらませて得られた曲面を

Y

とする．たとえば

正四面体T 正四面体のケーブル曲面Y

また，サッカーボール

S

に対しても，正多面体と同様に辺をふくらませたケーブル曲面を考える．以下では，

P

は

T , H , O , D , I , S

のいずれかとする．また，

P

は

R

³の中に重心が原点であるように埋め込まれているものとする．

P

の向きを保つ自己同相写像全体の成す群

G := Aut

₊

( P )

は

SO(3)

の部分群である．また，Gは自然に

P

のケーブル曲面

Y

に作用する．Kerckhoﬀの定理より，

Y

の複素構造で，この作用が正則であるものが存在する．表現

ρ : G → GL

_n

( C )

を

× C → C

(3)

埋め込み表現

G , → SO(3)

から定まる商族を図

3〜図 8

に描いた．この表現は単射であるが，Gのどの指標

(1

次元表現)も単射ではない．

例

G = Aut

₊

( T )

のとき，G

∼ = A

₄．ここで

4

次交代群

A

₄はクラインの

4

元群

K

4と巡回置換

(1 2 3) =

(

1 2 3 4 2 3 1 4

)

で生成される:

A

₄

= ⟨K

4

, (1 2 3) ⟩．

具体的には，K4

= {

id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) }

である．(

K

4 の

3

つの元

(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(2 3)

は，2つの互換の積ゆえ偶置換，つまり

A

4の元である.) また抽象群として，K4 は

⟨ a, b : a

²

= b

²

= (ab)

²

= 1 ⟩

で与えられ，Z2

× Z

2

に同型である．幾何的には，(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(2 3)

∈ K

4 は

T

の

3

通りの

1/2

回転に対応する

(図 1)．

4

2

3

4

2 3 1 3

2 (1) (2) 1/2-rotation (3) 1/2-rotation

1 1

σ = (1 2)(3 4) τ = (1 3)(2 4) µ = (1 4)(2 3) 4

1/2-rotation

図

1:

正四面体の

3

通りの

1/2

回転は，それぞれ偶置換

(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，

(1 4)(2 3) ∈ K

4 で表される．

一方，巡回置換

(1 2 3)

は正四面体

T

の

1/3

回転を表す

(図 2)．

2 2/3-rotation

2

3 1 1 3

4 4

1/3-rotation

σ

²

= (1 3 2) σ = (1 2 3)

図

2:

正四面体の

1/3

回転は巡回置換

σ = (1 2 3) ∈ A

4

(3

つの頂点

1, 2, 3

を巡回的に動かし，頂点

4

を固定する置換)で表され，

2/3

回転は巡回置換

σ

²

= (1 3 2) ∈ A

₄ で表される．

(4)

さて，正四面体群

G

の自明でない指標は

2

つある:

χ : G → Z

3

= ⟨ e

^2πi/3

⟩，

χ

^′

: G → Z

3

= ⟨ e

^2πi/3

⟩

．これらは次のようにして定められる:

G = ⟨K

4

, (1 2 3) ⟩

に注意して，まず

χ

を

χ( K

4

) = 1，χ (

(1 2 3) )

= e

^2πi/3 で定める．χは

G

の指標であ

る．次に，χ^′

:= χ

²とおくと，これも

G

の指標である．Gの指標

χ

を用いて構成された商族

η : (Y × C )/G → C /G ∼ = C

の簡約化

η : (Y × C )/G → C /G ∼ = C

を考える．ηの一般ファイバーは，Y

:= Y /Ker (χ) = P

¹である

(Riemann-Hurwitz

の公式より，genus(Y

) = 0

がわかる)．また，ηのモノドロミーは

− 1

3

回転である．

同様に，Gの指標

χ

^′を用いて構成された商族

η

^′

: (Y × C )/G → C /G ∼ = C

の簡約化

η

^′

: (Y × C )/G → C /G ∼ = C

の一般ファイバーは，Y

:= Y /Ker (χ

^′

) = P

¹．また，η^′のモノドロミーは

− 2

3

回転である．

正多面体群の

2次元以上の既約表現のうち，単射でない既約表現は G = Aut

₊

( H ) ∼ = Aut

₊

( O )

の

2

次元表現

ρ : G → O(2)

のみである．(このとき

Ker (ρ) = K

4

.)

指標

χ

の場合と同様に

Riemann-Hurwitz

の公式を用いて計算すると，正六面体

H

の場合，Y

= Y / K

4は種数

2，正八面体 O

の場合，Y

= Y / K

4は種数

1

である．

変幻部分と変幻ファイバー

η : (Y ×C

ⁿ

)/G → C

ⁿ

/G

を，有限群

G

の表現

ρ : G → GL

_n

( C )

に付随する商族とする．Cⁿ

/G

の点

s

のうち

η

⁻¹

(s) ̸ = Y

を満たすもの全体のなす集合を変幻部分

(kaleido locus)

といい，KLηで表す．η⁻¹

(s) = Y /Stab

_t

(t ∈ C

ⁿは

s ∈ C

ⁿ

/G

の持ち上げ)ゆえ，KLηは，固定化群が自明でない点

t ∈ C

ⁿ 全体の集合の商写像

C

ⁿ

→ C

ⁿ

/G

による像で与えられる．したがって，各

g ∈ G

に対し

Fix(g) := { z ∈ C

ⁿ

: ρ(g)z = z } (ρ(g ) ∈ GL

_n

( C )

の固定点集合)とおくと，

KL

_η

= ( ∪

g∈G\{1}

Fix(g) )

/G．

(ρ

が単射でないとき，KLη

= C

ⁿ

/G

であることに注意.) KLη上の点

s

上のファイバー

η

⁻¹

(s)

を変幻ファイバー

(kaleido fiber)

といい，その中でも特に，0

∈ KL

η

の逆像

η

⁻¹

(0) (= Y /G)

を結晶ファイバー

(crystal fiber)

という．

正多面体群の埋め込み表現に付随する商族の描写正多面体群

(およびサッカー

ボールの向きを保つ変換群)

G := Aut

₊

( P )

に対し，

G

の埋め込み表現

G , → SO(3)

に付随する商族

η : (Y × C

³

)/G → C

³

/G

を描写する．

(5)

general ﬁber general ﬁber 3

kaleido ﬁber

kaleido locus 0

K

2

K

1

generic direction

(Y × C

³

)/G

kaleido ﬁber 2

X

₁

12 crystal ﬁber

X

₂

X

0

η

C

³

/G

図

3:

正四面体群

G := Aut

₊

( T )

G , → SO(3)

に付随する商族．変幻ファイバー

X

₁

, X

₂および結晶ファイバー

X

₀上の自然数はそのファイバーの被覆重複度を表し，黒点は