LNSC2010_HK.dvi

宇宙創成を探る

小玉 英雄

高エネルギー加速器研究機構

目 次

1 光と重力で探る宇宙 1 1.1 銀河のハッブル図 . . . . 1 1.2 現代の宇宙地図 . . . . 3 1.3 宇宙の大規模構造 . . . . 4 1.4 銀河に付随したダークマター. . . . 5 2 宇宙モデルと宇宙進化 7 2.1 一様等方宇宙モデル . . . . 7 2.2 宇宙膨張と赤方偏移 . . . . 8 2.3 基礎方程式 . . . . 9 2.4 簡単な宇宙モデル . . . . 10 2.5 宇宙の構造と膨張を測量する. . . . 12 2.5.1 光度距離. . . . 12 2.5.2 宇宙の加速膨張 . . . . 13 2.6 宇宙進化の概要 . . . . 14 2.6.1 宇宙の物質組成 . . . . 14 2.6.2 熱いビッグバンモデル . . . 16 3 電波で探る宇宙 17 3.1 Jeans不安定. . . . 17 3.2 宇宙音波 . . . . 18 3.3 CMBによる観測 . . . . 20 4 重力波で宇宙誕生過程を探る 21 4.1 ビッグバンモデルの諸問題 . . . . . 21 4.1.1 平坦性問題 . . . . 21 4.1.2 ホライズン問題 . . . . 21 4.1.3 宇宙構造の起源 . . . . 21 4.2 インフレーション宇宙モデル. . . . 22 4.2.1 ビッグバンモデルの諸問題の 解決 . . . . 22 4.2.2 ゆらぎの生成 . . . . 23 4.2.3 原始重力波 . . . . 24

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光と重力で探る宇宙

都会ではもはや星を見ることは難しくなったが， 山間地など街灯のないところで夜空を眺めると，空 は瞬く星々で満たされている．特に，夏の時期に は帯状に夜空を横切る天の川を眺めることができ る．また，星々の間に目をこらすと，肉眼でも所々 にぼんやりとした光の雲（nebula)を発見すること ができる．天の川が銀河系と呼ばれる膨大な数の 星の集団であることは双眼鏡でも確認できるが，シ ミのような光の雲の多くも実は巨大な星の集団で ある．このことを最初に明らかにしたのはハーシェ ル(Frederick William Herschel, 1738–1822) であ

るが，この銀河(galaxy)と呼ばれる星の集団が天

の川の遙か彼方にあり，我々の属する銀河系と対等 の宇宙に点在する島宇宙であることを観測により示 したのはハッブル(Edwin Powell Hubble, 1889− 1953)で1924年のことである[28]．これにより銀 河という宇宙の基本階層が確立した． 本節では，この銀河という階層を軸として，宇宙 の階層構造を眺めてみよう．

1.1 銀河のハッブル図

最も大きな階層から出発しよう．明らかに，宇宙 における最も上の階層は宇宙全体であるが，観測を 通してその様子を具体的に把握する一つの方法は， 宇宙の基本単位である銀河の分布や運動を調べる こと，すなわち，宇宙地図をつくることである． すでに述べたように，この試みを最初に行ったの は，ハッブルである．地図を作るためは，まず銀河 の距離を決めないといけない．ハッブルはその方法 として，リービット(H. Leavitt)が1916年に発見 したセファイド型変光星の周期光度関係を利用し た．この方法では，周期変光星の周期の対数値と絶 対等級の間に比例関係があることを用いて，変光

図1: SDSSによる宇宙地図[SDSS homepage] 周期の観測から星の絶対等級を推定する．絶対等級 がわかると，それを見かけの明るさ（等級）と比較 することにより星までの距離を決定することがで きる． 銀河の運動については，すでに1910年代にスラ イファー(V.M. Slipher)が光のスペクトルの観測 を用いて研究し，アンドロメダ銀河を除く多くの 銀河が大きな速度で銀河系から遠ざかる運動をし ていることを発見していた．彼は，ドップラー効果 により，銀河の光のスペクトルが速度vに比例して 偏移することを用いたのである．ハッブルはこの研 究を発展させ，助手のフマンソン(M. Humanson） とともに，24個の銀河についてその速度と距離を 決定した．その結果，これら銀河がほぼ，距離に比 例する速度で遠ざかる運動（後退運動）をしている ことを発見した(1929年[12]：図2): v = H₀d. (1) この比例関係はハッブルの法則，比例係数H₀はハッ ブル定数と呼ばれる． ハッブルとフマンソンによる観測は高々2Mpcま での銀河に限られ，素直に図を見ると比例関係を結 論するのは強引に思えるが，現在ではその100倍以 図2: ハッブルダイアグラム．ハッブルが発表した 銀河の後退速度と距離の相関図[12] 図 3: 現在のハッブルダイアグラム 上の距離にまで観測は拡大され，明確な比例関係を 見て取ることができる．特に，人工衛星に搭載され たハッブル望遠鏡による観測は，暗い変光星の精密 な観測によりハッブル定数を精度良く決定すること を可能にした（図3）．現在のハッブル定数の観測 値(66%信頼度）は H₀ = 74.2± 3.6km/s/Mpc (2) である[23]． 実は，1929年にハッブルが発表したH₀の値は この７倍程度もあった．後ほど述べるように，ハッ ブルの法則は宇宙の膨張を意味しており，1/H₀は 宇宙年齢を決定する．このため，ハッブルの得た値 では宇宙年齢が，放射線年代測定法により求めた地 球の年齢より短くなるという困難を生じた．後ほど

方法 適用距離 年周視差測定 0∼100pc 星団視差法 100pc∼10kpc 散開星団主系列星 100pc∼50kpc Cepheid型変光星 10kpc∼25Mpc Tully-Fisher法 10Mpc∼200Mpc SNIa 60Mpc∼4000Mpc 表 1: 宇宙の距離はしご バーデ(Baade)により指摘されたように[2]，間違 いの大きな原因の一つは，周期の大きく異なる２つ の種族の変光星（δ-Cephei型(種族I)とRR Lyrae 型(種族II)）が同じ周期光度関係に従うと仮定し たことにあった． 【問 1.1】  Hubbleの法則 v = H₀dが我々か ら見て厳密に成り立つとすると，我々から距離 aの銀河にいる観測者にとって他の銀河はどの ように運動して見えるか？  【問 1.2】  銀河の運動速度が一定とする．こ のとき，過去に時間をさかのぼると銀河の分布 はどのように変化するか？また，その変化の特 徴的な時間はいくらか． 

1.2 現代の宇宙地図

ハッブルの法則は宇宙地図を作製するうえの欠 かせないものである．それは，銀河からの光の赤方 偏移を観測することにより，直ちにその銀河までの 距離を決定できるためである．宇宙における距離測 定は最も難しい作業で，通常，近距離の直接測定か ら順次，様々な経験則を組み合わせてより遠くの距 離決定法を開発するという手法（距離梯子(cosmic distance ladder)の方法）が用いられる(表1)．す でに述べた，変光星を用いた方法もその一つであ る．また，ハッブルの法則を用いる方法もその一つ で，ハッブル定数の決定には距離梯子の方法が用い られる．もちろん，実際の銀河は，平均的なハッブ ルの法則からずれた運動（固有運動）をしている． 大きな銀河団（後述）に属する銀河では，この固有 運動は1,000km/s以上になることもある．この場 合，距離推定に15Mpc以上のずれが生じる．しか

図4: CfAサーベイによる銀河地図[Huchra home-page] し，100Mpcを超える距離では，この効果は距離の 増大と共に相対的に小さくなる． ハッブル法を用いる場合，距離はハッブル定数 H₀に依存するが，H₀には現在でも10%程度の不 定性がある．そこで，しばしばハッブル定数を H₀ = 100hkm/s/Mpc = 70h₇₀km/s/Mpc (3) のように，１程度の無次元量hやh₇₀で表す．この 記号を用いると，後退速度vの銀河までの距離は d = v 100km/sh −1_{Mpc =} v 70km/sh −1 70Mpc (4) となる．h₇₀は(2)よりほぼ１である．また，距離 の代わりに直接，速度vないし対応する赤方偏移パ ラメータ z =λ _{− λ} λ = Δλ λ (5) を用いることもある．ここで，λは光源の位置での （光源に対して静止した観測者に対する）波長，λ は観測された波長である．赤方偏移の場合，z > 0 となる．光源の観測者に対する運動速度が光速cと 比べて小さいとき，vを光源と観測者の距離の変化 率として，z = v/cの関係が成り立つ．

期間 有効立体角 銀河数 CfA 1977-1982 CfA2 1985-1995 34% （北天） 18,000 個 SSRS -1998? 13% （南天） 5,400 個 LCRS 1987-1997 1.7%（銀極近傍） 26,000 個 2dFGRS 1996-2003 3.6% （南天） 220,000 個 6dFGRS 2001-2006 （南天） 150,000 個 SDSSI 2000-2005 19% （主に北天） 657,000 個 SDSSII 2005-2008 20% （主に北天） 790,000 個 表2: 銀河赤方偏移サーベイ 図5: 主要サーベイにおける銀河の赤方偏移分布 このハッブル法を用いた最初の組織的な銀河の赤 方偏移測定（CfAサーベイ）が，ハックラ（John

Huchra)，デービス(Marc Davis)らにより始めら

れ，その後，ハックラとゲラー(Margaret Geller) により最初の広域宇宙地図が作られた（図4）．そ の結果明らかとなったのは，銀河が面状やフィラメ ント状のパターンを描いて分布し，さらにそれら 銀河密集域に囲まれて銀河のほとんどない領域（ボ イド）が散らばっているという驚くべき宇宙の姿で あった．この構造は宇宙の泡構造と呼ばれる． この結果を受けて，より多くの銀河，より遠い銀 河を含む銀河地図を作るプロジェクトが次々と行わ れた．表2にその代表的なものをあげたが，最新の

SDSS(Sloan Digital Sky Survey)では80万個の近

い銀河の赤方偏移が測られ，その値も最初のCfA のz < 0.05（v < 15, 000km/s)と比べて5倍以上と なっている（図5参照）．ただし，観測された天球 上の領域はCfAサーベイより狭くなっている（図 6）．図1と図7は，これらの観測により作られた 図 6: 2dFRS(左）とSDSS(右)の観測領域 [2dF-GRS homepage] 図7: 2dFサーベイによる宇宙地図[2dFGRS home-page] z ∼ 0.25< （距離でd ∼ 1, 000h< −1₇₀Mpc)にまで広が る最新の宇宙地図である． 【問 1.3】  Hubbleの法則が大きな距離でもそ のまま成り立つとすると，銀河の後退速度が光 速に達する距離は？ 

1.3 宇宙の大規模構造

これらの宇宙地図を見ると，CfAサーベイで発見 された泡構造は観測領域全体にわたって規則的に続 いていることがわかる．2dFGRSデータの解析に よると，ボイドの平均サイズは22h−1₇₀Mpc程度と なる[11]．これは，泡構造の特徴的なスケール（約 40Mpc)より十分大きなスケールでならしてみると， 銀河の分布が一様であることを示唆している． 一方，銀河のネットワーク構造をよく見ると， その厚みや形状は必ずしも均一でない．例えば， 図4を見ると，北天に厚み10h−1Mpc程度，長さ

図8: 髪の毛座銀河団の光学イメージ（左）とＸ線 イメージ（右）[Chadra homepage] 100h−1Mpc程度という長大な銀河高密度領域が存 在することに気づく．この構造は，最初にCfAサー ベイで発見され，宇宙の万里の長城(Great Wall)と 名付けられた[21]．その後，南天サーベイのSSRS でも類似の構造（Southern Wall)が発見されたが [7]，現在では，図1や図7に見られるように，こ のような構造は我々の近傍に限られたものでなく， 観測領域全体で200Mpc程度の間隔で存在してい ることが知られている．また，これらより規模は小 さいものの，銀河がフィラメント状に集中した構造 が多く見られる．これらは，超銀河団と呼ばれ，全 質量にして1015M_ 以上の銀河が集まった領域で ある．図4に示したように，我々の銀河もそのよう な超銀河団の縁に位置している．この超銀河団は， 局所超銀河団と呼ばれる． さらに小さなスケールに目を向けると，泡構造 のフィラメントや面の結節点に銀河の集中した固ま りがある．これらの銀河集団には超銀河団に近い ものから数個の銀河からなるものまで様々なものが 存在するが，通常，50個以上の銀河からなる集団 を銀河団，50個未満の集団を銀河群という．例え ば，我々の銀河はアンドロメダ銀河(M31)および 小さな30以上の銀河からなる局所銀河群に属して いる．局所銀河群は乙女座銀河団の周辺に位置し， 共に局所超銀河団を構成している．いくつかの銀河 団には，髪の毛座銀河団のように千個以上の銀河か らなるものもある． 銀河団内の銀河間空間は空っぽではなく，比較的 大量の電離ガスが存在する銀河団も多い．このガス は１千万度から１億度という高温で強いＸ線を放出 している．例えば，図8は髪の毛座銀河団の中心部 （0.7Mpc程度の領域）の光学写真とＸ線像である． １億度の電離ガスでは陽子の速度は1,500km/s程 度となるが，実は銀河も銀河団中心部では同じ程度 の速度で運動していることが赤方偏移の観測によ り知られている．これは，銀河団中で銀河の集団と ガスが自己重力のもとで力学平衡にあることを示 唆しており，このことを用いると，銀河団の質量を 推定することができる．まず，力学平衡ではビリア ル定理より各銀河の運動エネルギーが重力ポテン シャルエネルギーと同程度となるので，中心部の半 径をR，その中に含まれる質量をMとして， v2∼ GM R ⇒ M ∼ 1.7 × 1015M_  R 3Mpc   v 1, 500km/s  を得る．N体計算と銀河運動の観測の比較に基づ いたより詳しい計算では，この値はM  1.4 × 1015M_となる[14]．一方，R < 3Mpc内の銀河 約千個の総質量は，平均の質量-光度比の推定値 M/LB  6.43(M/LB)と銀河団の表面輝度の観 測より，総質量の約2%にあたる3.4×1013M_程度 となる．これ以外に銀河間の高温ガスも存在する． その量は，銀河運動の観測とX線観測との比較か ら総質量の約13%にあたる2.2× 1014M_となる． しかし，これらの総和は全質量の15%にしかなら ない．したがって，十分な電磁波を出さない物質， 暗黒物質が銀河団全質量の約85%を占めているこ とになる．実は，少し荒い類似の解析から髪の毛座 銀河団に大量の暗黒物質があることを最初に指摘 したのはツヴィキー(F. Zwicky)で，遙か70年以 上前のことである(1933)．現在では，後ほど触れ るように，銀河から銀河団まですべての系で通常の 原子からなる物質を遙かに上回る量の暗黒物質が 存在していることが知られている[26, 30]． 銀河団同様，銀河群にも大量のガスが付随して いると考えられるが，その温度は十分なＸ線を放出 するには低いことが多く，総量はわかっていない． この銀河群に付随したガスはダークバリオンの有 力な候補と考えられている．

1.4 銀河に付随したダークマター

銀河は，宇宙の基本構成要素となる巨大な星の集 合体で，同時に様々な天体現象の場でもあるが，図

図9: 銀河群Hickson [Gemini Obs. homepage] 9を見てもわかるように，その形態には様々なもの がある．形態の分類法としてはこれまでに様々なも のが提案されているが，最もよく用いられるのは， 図10に示したハッブルによる分類である．この分 類では，銀河は大きく，楕円銀河(E型），渦巻き 銀河(S型），不規則銀河(Irr型）に分類される． 渦巻き銀河の最大の特徴はなんと言っても回転運 動していることである．この回転速度vは中心から の距離rと共に変化するが，円運動を仮定すると， その大きさはほぼその半径内に含まれる質量Mに よる重力と回転の遠心力のバランスで決まる： v2 r = f GM r2 ⇒ GM = f−1rv2. (6) ここで，fは質量分布形状に依存する因子で，１程 度の大きさである．これより，距離の関数としての v（回転曲線）の振る舞いとしては，Mがrより速 く増大する中心部ではrと共に増加するのに対し， Mが一定となる銀河の周辺部やその外では1/r1/2 に比例して減少することが期待される． 図 10: 銀河のハッブル分類 㹂㹋ࡢᐤ୚㸦1):ࣔࢹࣝ㸧 ࣂࣝࢪ ࢹ࢕ࢫࢡ ࢹ࢕ࢫࢡࣂࣝࢪ'0 ኴ㝧㌶㐨 ᅇ㌿㏿ᗘ 図 11: 我々の銀河の回転曲線[27] しかし，実際に渦巻き銀河の回転速度を観測し てみると全く異なる振る舞いをすることがわかる． 例えば，我々の銀河系において，銀河中心よりの距 離が8kpc（太陽軌道に相当）から65kpcまでの範 囲にある銀河ハロー内の青色巨星（水平分枝星）に 対して，その回転速度のSDSS観測による値とバ ルジおよびディスクの星やガスの量から理論的に推 定される値を比較したのが，図11である[27]．こ の図を見ると，銀河の輝く領域の半径∼ 15kpcを 遙かに超えた距離でも回転速度は減少せず，ほぼ 一定値となっていることがわかる．これは，上で述 べた銀河団と同様，光を出さない物質（ダークマ ター）が銀河ハローに大量に存在することを意味 している1．これにより得られた我々の銀河の質量 は1012M_で，ガスや星の割合はその1/4程度とな る．類似の結果が，我々の銀河に付随する球状星団 （後述）の運動や星間水素ガスの出す 21cm電波の ドップラー偏移の解析からも得られている[5]．銀 河の回転曲線のこのような振る舞いは図12に示し たように他の多くの渦巻き銀河でも見られ，このこ とより銀河に付随したダークマターの存在は普遍 的であると考えられている[26, 30]． 1_{ダークマターを導入する代わりに，このずれを銀河サイ} ズのスケールで重力理論がニュートン理論からずれることに より説明する試みもある[16, 17, 18, 4, 25, 24]．この理論は 加速度の次元を持つパラメータa0を持ち，加速度がa0と同 程度以下となるとニュートン理論の値と大きくずれる予言を 与える．この理論は，一個の普遍的なパラメータをうまく選 ぶと，ダークマターなしで多くの銀河の回転曲線を再現する が，銀河団などでは必ずしもうまく行かない．また，単なる 現象論を超え，相対論的領域でも成り立つ普遍的な重力理論 とはなっていない．

図 12: 様々な渦巻き銀河の回転曲線[25] 【問 1.4】  宇宙のVバンドでの光度密度の観 測値は j₀ = (1.7± 0.6) × 108hL_Mpc−3 (7) で与えられる．天体の質量光度比をM/Lと表 すと，銀河に対するM/L比は10h(M/L)_ 程 度となる．これらより，宇宙の平均密度を推定 せよ．（太陽質量はM_= 2· 1033g) 

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宇宙モデルと宇宙進化

前 節 見 た よ う に ，100h−1Mpc 以 下 の ス ケ ー ル で は 宇 宙 は 豊 か で 複 雑 な 階 層 構 造 を も つ が ， 100h−1Mpcを超えるスケールで平均してみると宇 宙は一様である．これは，後述する宇宙マイクロ波 背景放射の観測でも支持されている．また，ハッブ ルの法則は，銀河を座標点としてみると宇宙が一様 等方に膨張していることを意味している(問1.1参 照)．これらの観測事実に基づいて，宇宙全体を近 似的に表すモデルとして作られたのが一様等方膨 張宇宙モデルである．この節では，一般相対性理論 に基づく一様等方宇宙モデルの基本的な特徴を概 観し，それに基づいた宇宙進化の概要について述 べる． t O P t0 t0 t  図 13: ロバートソン−ウォーカー宇宙

2.1 一様等方宇宙モデル

一様等方宇宙モデルの基本仮定は，空間が一様 等方であることである．一般に，相対性理論では時 間と空間は不可分の時空として扱われるが，一様等 方宇宙モデルでは，特別の時間や空間が存在する． これは次のようにして定義される．まず，一様等方 性を３次元的な空間並進と回転という変換（運動） に対する時空構造や物質分布の不変性として捉え る．この見方では，ある時空点Oが与えられると， この変換により点Oを移して得られる時空点の全 体は時空の中の３次元部分空間となる．別の点で同 様の操作をすると，また別の３次元部分空間が得ら れる．このようにして，４次元時空は３次元部分空 間で層状に分解される（図13）．このとき，時間座 標としては，各３次元部分空間上で一定となるもの を取るのが自然である．このように定義された時間 座標tには，目盛り付けの変更t= T (t)(T (t)は任 意の単調関数）の自由度があるが，各３次元部分空 間Σ(t)に垂直な曲線（実は測地線となる）に沿っ て運動する観測者に対してtが固有時となるよう取 れば，tの自由度は時間原点の変更のみとなる．こ のように取った時間座標は，宇宙時間と呼ばれる． 以上の時空の分解において，各３次元部分空間は 当然，一様等方となるが，幾何学的に一様等方な空 間は（局所的に）ユークリッド空間，球面，双曲空 間のいずれかに限られることが数学的に示される．

これら空間は曲がりを表す一個のパラメータkに より特徴付けられ，その計量は ds2 = dr 2 1− kr2 + r2(dθ2+ sin2θdφ2) (8) と表される[31]．ここで，右辺第二項は２次元球面 の計量で，その表面積が4πr2と表面積半径rを動 径座標として用いている．k = 0（平坦）となる ユークリッド空間に対してはrは原点からの距離と 一致するが，３次元球面(k > 0)や３次元双曲空間 (k < 0)に対しては両者は一致しない． これら３次元球面と３次元双曲空間は，それぞ れ４次元ユークリッド空間と４次元ミンコフスキー 時空に次のように超曲面として埋め込むことがで きる： ±(X0₎2_{+ (X}1₎2_{+ (X}2₎2_{+ (X}3₎2 _=±R2 ₍₉₎ このとき，曲率kは半径Rを用いてk = ±1/R2 と表される．この埋め込みにおいて，内部座標系 (r, θ, φ)を

(X1, X2, X3) = r (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) (10) により導入すると， ds2 =±(dX0)2+ (dX1)2+ (dX2)2+ (dX3)2 (11) より(8)が得られる．また，rの代わりに r = Rf (χ/R); f (x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x, k = 0 sin x, k = 1/R2 > 0 sinh x, k =−1/R2< 0 (12) により，動径座標χを導入すると，この計量は ds2 = dσ2_k≡ dχ2+ R2f (χ/R)2(dθ2+ sin2θdφ2) (13) と表される． 以上の議論で各時刻一定面Σ(t)の構造が空間の 曲率で決まることが分かったが，この曲率は時間と 共に変化する．これは宇宙膨張により，空間全体が 引き延ばされるためである．このため，時刻tでの 空間計量は，ある時刻t = t₀での空間曲率をK，そ の時刻を基準にして他の時刻での空間のサイズ（延 び縮）を表す関数をa(t)とすると，一般の時刻tで の空間計量はa(t)2dσ_K2 となる．さらに，時空にお いて空間座標が一定の曲線が各Σ(t)に垂直となる ように選び，時間tをこの曲線に沿う固有時に取る と，時空計量は ds2 =−c2dt2+ a(t)2dσ_K2 (14) と表される(cは真空中の光速）．ここで，dt2の係 数をgtt =−c2と定数に取れるのは，空間的一様性 のおかげである．また，gti = 0(xiは空間座標)と なるのは，空間的等方性のおかげである．実際，gti は空間回転に対してベクトルとして振る舞うので， これがゼロでないと空間に特別の方向があること になり，等方性が破れる． こ の 計 量 はロ バ ー ト ソ ン-ウォー カ ー 計 量 (Robertson-Walker metric)，空 間 の サ イ ズ 変 化 を表す因子 a(t) は宇宙のスケール因子と呼ばれ る．また，スケール因子を除いて空間計量が時 間によらなくなる空間座標は共動座標 (comoving coordinates)という．通常，現在t = t₀での値を a(t₀) = 1とすることが多い． 【問 2.1】  3次元球面および３次元双曲空間 (9)に対して，点(R, 0, 0, 0)から距離χ以下の 点の集合D(χ)の体積V (χ)および表面積S(χ) を求めよ． 

2.2 宇宙膨張と赤方偏移

ロバートソン−ウォーカー計量を用いると，ハッ ブルの法則を直接，宇宙膨張と結びつけることがで きる．まず，空間座標系(χ, θ, φ)において我々が原 点O:χ = 0にいるとすると，一般空間点Pまでの 同時刻tでの距離（固有距離）は d(t) = a(t)χ (15) と表される．このとき，Oに対するPの速度v(t) は v(t) = ˙d(t) = ˙a(t)χ = H(t)d(t) (16) となる．ここで， H(t) := ˙a(t) a(t) (17)

は時刻tにおける空間の膨張率である．これより， 銀河が空間座標一定点に対応するとすると，現在の 時刻t = t₀に対して，ハッブルの法則 v = H₀d, H₀ = ˙a(t0) a(t₀) (18) が得られる．特に，ハッブル定数H₀が現在の時刻 での空間膨張率と一致することが分かる． ただし，この議論には微妙な点がある．それは， 距離と速度の定義である．確かに，幾何学的には 計量から定義される時間一定面内での距離（固有 距離）を使うのは自然に見えるが，物理的には同 時面にある他の点は観測出来ないので，特にこの 方法で定義された速度が実際の観測とは対応する かどうか明らかでない．そこで，まず，共動空間座 標が一定の位置Pにある天体から出た光を原点O にいる我々が観測したときに，赤方偏移が起きるこ とを示そう．基礎となるのは，光線の軌跡を表す方 程式である．原点Oを通過する光線に対しては角 度座標(θ, φ)は一定として良いので，光線の軌跡は ds2_{= 0という条件のみで決まる：} cdt =±adχ. (19) これより，時刻tに出た光線が時刻t₀に原点にい る観測者に届いたとすると， χ =  t0 t cdt a(t) (20) となる． この式から様々な情報を引き出すことができる． まず，光線が出る時刻がdt変化したとき，到達す る時間の変化dt₀は dt a(t) = dt₀ a(t₀) (21) で与えられる．この式で，時間差を周期T ないし 波長λcT で置き換えれば，天体から出た時の（天 体の静止系での）波長をλ，観測者の観測する波長 をλとして， λ = a(t0) a(t) λ (22) を得る．宇宙が膨張していれば，a(t) < a(t₀)とな るので，これは宇宙膨張のために共動座標系に静止 した観測者に対する波長が伝播と共に延びること を意味する．これは宇宙論的赤方偏移と呼ばれる． 5式で導入した赤方偏移パラメータzで表すと，こ の式は z = a(t0) a(t) − 1 (23) となる． この関係式を用いると，赤方偏移パラメータ z を時間 tの代わりに使うことができる．例えば， a(t₀) = 1として，(20)は χ =  z 0 cdz H (24) と表される．ここで，HはH(t)をzの関数と見な したものである．特に，観測者に近い天体（銀河） に対しては，z  1としてzに関して最低次の近 似で， cz = H₀χ (25) を得る．これは，固有距離d = χを距離の定義と して用いたとき，ハッブルの法則に従って銀河から の光が赤方偏移して観測されることを示している． すなわち，速度の人為的な定義の曖昧さなく，ハッ ブルの法則が導かれる．近く(z  1)の天体に対 しては，χ = c(t₀ − t)が成り立つので，χを距離 として用いることも正当化される．ただし，zが１ と比べて無視出来ない大きさになると，距離の定義 には自由度が現れる．また，Hは時間（ないしz） と共に変化するので，もはやハッブルの法則のよう な比例関係は成り立たない．後ほど見るように，こ のことを逆に用いると，Hの時間変化あるいはス ケール因子の時間変化を観測で決定出来る．

2.3 基礎方程式

宇宙はなぜ膨張しているのだろうか，宇宙のサイ ズや姿はこれまでにどのように変化してきたのか， 宇宙の物質はどのようにしてできたのだろうか，こ れらの疑問に答えるためには，宇宙の構造や物質組 成の時間変化を支配する基礎方程式を求め，それを 解かないといけない．ここでは，宇宙が一様等方モ デルで近似できるとする最も単純な場合にそれを 支配する基礎方程式をまとめておこう． 宇宙の構造やその変化を支配する方程式の一つ は，アインシュタイン(Einstein)方程式 Gμν ≡ Rμν − 1 2Rgμν = 8πG c4 Tμν (26)

である．この方程式の左辺は，時空計量gμνのみに 依存していて，空間的に一様等方な時空をあらわ すロバートソン・ウォーカー計量(14)に対しては， ２つの成分 Gtt= 3  ˙a a ₂ +K a2 , (27a) Gi_j =−  2¨a a+  ˙a a ₂ +K a2  δ_ji (27b) のみとなる．したがって，アインシュタイン方程式 の右辺のエネルギー運動量テンソルも同じ成分のみ が残り，２つの時間のみの関数ρ(t), P (t)を用いて， T₀₀= ρ(t), T_ji= P (t)δi_j (28) と表される．このことは，Tμνが空間並進と空間回 転で不変であるということからも導くことができ る．エネルギー運動量テンソルの本来の定義から， ρとP はそれぞれ物質が宇宙を一様に満たしてい るとした場合の全エネルギー密度と全圧力に対応 する． 以上より，結局，空間的に一様等方な宇宙に対す るアインシュタイン方程式は次の２式となる．  ˙a a ₂ = 8πG 3c2 ρ− c2K a2 , (29a) ¨ a a =− 4πG c2 (ρ + 3P ) . (29b) 一方，一般相対性理論では物質のエネルギー運 動量テンソルは局所保存則 ∇νTμν = 0 (30) を満たす．空間的に一様等方な場合，この式はμ = 0 に対応する１つの式 ˙ ρ =−3(ρ + P )˙a a (31) に帰着される．共動座標が一定の領域の体積をV (t)， そこに含まれるエネルギーをE(t)，エントロピー をS(t)，その領域が吸収した熱量をQ(t)とすると， 熱力学の第２法則より，この式は T ˙S≥ ˙Q = ˙E + P ˙V = 0 (32) と書き換えられ，任意の共動領域の間に熱のやり取 りがないことを表している．これは，空間的一様性 と整合的であり，宇宙物質が熱力学平衡にある時期 では，T ˙S = ˙Qより，宇宙のエントロピーが変化し ないことを意味する．しかし，後ほど見るように， 宇宙の物質が熱力学平衡から大きくずれることが 何度かある． 以上３つの式が登場したが，ビアンキ(Bianchi) 恒等式のため，エネルギー方程式は (29a)の下で (29b)と同等となる．そこで，通常はハッブル方程 式(29a)とエネルギー方程式(31)を一様等方宇宙 に対する基礎方程式として用いるが，(29b)もさま ざまな問題で有用である． 【問 2.2】   ニュートン理論において，半径R の質量Mの一様なガス球を考える．このガス球 が一様性を保って膨張するとき，半径と密度の 時間変化を決める方程式を求めよ．ただし，ガ スの圧力は重力に比べて無視できるとする．さ らに，時間t無限大で，膨張速度dR/dtがゼロ に近づく解を求めよ．  【問 2.3】  問2.2で求めたR(t)に対する方程 式の一般解を求めよ． 

2.4 簡単な宇宙モデル

空間的に一様等方な宇宙に対する基礎方程式 (29a)，(31)は，宇宙のスケール因子a(t)と物質の エネルギー密度ρ(t)に対する１階の常微分方程式 系となっていて，圧力が密度により決定される場合 には，初期値からa(t)とρ(t)を一意的に決定する． ここで，a(t)には定数をかける自由度があるので， その現在の値をa(t₀) = 1とおくことができる．こ の場合，必要なのはρ(t)の現在の値ρ₀ = ρ(t₀)の みとなる．この節では，ρ₀の代わりに，現在のハッ ブル定数H₀と密度パラメータと呼ばれる無次元量 ΩM = 8πG 3c2_H2 0 ρ₀ (33) を用いる．ハッブル方程式より，ΩMは，現在の空 間曲率を表す無次元量（曲率パラメータ） ΩK=− c2_K H₀2 (34)

との間に ΩM + ΩK = 1 (35) の関係がある． 以下，このような取り扱いのできる応用重要な いくつかの例を見てみよう． フリードマン(Friedmann)モデル (P = 0) 物 質の圧力がエネルギー密度に比べて無視できる場 合には，(31)より，ρ = ρ₀/a3となるので，ハッブ ル方程式は 1 H₀2  da dt ₂ = ΩM a + ΩK (36) となる．特に，K = 0の場合にはこの方程式は簡 単に解け， a(t) = (t/t₀)2/3, t₀ = 2 3H₀ (37) となる．この解に対応する宇宙モデルはアインシュ タイン・ドジッター(Einstein-de Sitter)モデル と呼ばれる． パラメータ表示が必要となるが，K = 0の場合も 解を具体的に書き下すことができる．まず，K < 0 のときには，ΩK = 1− ΩM > 0で， a = ΩM 1− ΩM sinh2 θ 2, H₀t = ΩM 2(1− ΩM)3/2 (sinh θ− θ) (38) となる．ここで，現在の時刻t₀はa = 1となるθ の値で決まり， H₀t₀ = 1 1− ΩM − ΩM (1− ΩM)1/2 ln1 + √ 1− ΩM √ ΩM . (39) この解に基づくモデルは，３次元双曲空間が非コン パクトなのでしばしば開いた宇宙モデルと呼ばれ る2．このモデルは極限として，ΩM = 0, ΩK = 1 となるモデルを含んでいる．実はこの極限では宇 宙がMinkowski時空の未来の光円錐内部に対応し， 時間一定面はその頂点からのMinkowski距離が一 定の双曲空間となっている．この特殊な宇宙モデル はMilne宇宙モデルと呼ばれる． 2_{正確には，局所的には３次元双曲空間と同型な閉じたコ} ンパクトな３次元空間が無限個存在する． また，K > 0のときの解は，この解をΩM > 1 に解析接続して得られ， a = ΩM ΩM − 1 sin2 θ 2, H₀t = ΩM 2(ΩM − 1)3/2(θ− sin θ) , (40) H₀t₀= 1 ΩM − 1 ΩMtan−1(ΩM − 1)1/2 (ΩM − 1)1/2 − 1 . (41) この解に基づくモデルは，空間が３次元球面となる ので閉じた宇宙モデルと呼ばれる． 図14に示したように，これらの解ではいずれも 最初，t = 0にa = 0から始まり膨張して現在t = t₀ に至る．このように宇宙が空間サイズゼロから急速 に膨張を始める様子はビッグバン，空間サイズがゼ ロとなる出発時点は古典的な時空記述が不可能と なるので初期特異点と呼ばれる．初期特異点，すな わち宇宙の始まりのあるモデルでは，始まりと同時 に出た光円錐の各時刻での半径lH(t)が，宇宙の誕 生後それまでに互いに情報交換できる距離（の2分 の1）を表す．この半径は宇宙のホライズン半径と 呼ばれる． ビッグバンの始まりの頃では，ハッブル方程式に おいて曲率項は物質エネルギー項と比べて無視で きるので，スケール因子の振る舞いは曲率に依存し ない．しかし，時間がたつと振る舞いは曲率によっ て大きく異なってくる．特に，K ≤ 0の場合は時 間とともに膨張は限りなく続くのに対し，閉じた宇 宙モデルでは有限な時間 tm = πΩM (1− ΩM)3/2 1 H₀ (42) で空間サイズは最大となり，その後宇宙は収縮に転 じ，t = 2tmで宇宙は１点につぶれてしまう．この 振る舞いはビッグクランチと呼ばれる． 放射優勢宇宙(P = ρ/3) 後ほど見るように実際 の宇宙では宇宙の初期では高温の光子や相対論的 素粒子が物質のエネルギーの主要部を占め，状態方 程式はP = ρ/3でよく近似できる．このとき，エ ネルギー密度スケール因子への依存性は ρ = ρ0 a4 (43)

F(K<0) F(K=0) F(K>0) AdS dS(K>0) dS(K=0) a t dS(K<0) inflation 図14: さまざまな一様等方宇宙モデルの振る舞い となる．したがって，この時期では空間曲率の寄与 も無視できるので，ハッブル方程式は単純に a2˙a2= 8πGρ0 3c2 (44) となり，解は a =  t t₀ _1/2 ; t₀ = √ 3c 4√2πGρ₀ (45) で与えられる． ドジッター(de Sitter)宇宙 状態方程式P =−ρ に従う物質を考えると，エネルギー方程式よりρは 一定となる．この一定値を ρ =−P = c 4 8πGΛ (46) と表すと，アインシュタイン方程式は Gμν+ Λgμν = 8πG c4 T  μν (47) となる．ここで，T_μν はこの物質成分を除いた物質 のエネルギー運動量テンソルである．この形の方程 式は宇宙項をもつアインシュタイン方程式，Λは宇 宙定数と呼ばれる． 宇宙項以外に物質が存在しない場合，ハッブル方 程式は ˙a2= c 2_Λ 3 a 2_{− c}2_{K (48)} となり，厳密解を容易に求めることができる． H_∗ = c |Λ|/3 (49) とおくと，Λ > 0のとき，解の具体的表式は a = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a₀eH∗t _{; K = 0,} 3K/Λ cosh(H_∗t) ; K > 0, 3|K|/Λ sinh(H_∗t) ; K < 0 (50) で与えられる．各解の振る舞いは，図14において dSという記号のついている曲線で表される．これら の解は，いずれもt→ ∞でK = 0の解に漸近する が，tの小さい領域での振舞いは空間曲率により大 きく異なっている．それにもかかわらず，実はこれ らの解はすべてドジッター時空と呼ばれる同じ時空 に対応していることが示される．正確には，K > 0 の解はこの時空全体を覆うのに対して，K = 0の 解はその半分を，K < 0の解はさらにその一部と 対応する． 反ドジッター宇宙 宇宙項が負の場合，(48)はK < 0のときのみ解を持ち， a = 3|K|/|Λ| sin(H_∗t) (51) と表される．対応する反ドジッター宇宙は，ドジッ ター宇宙と異なり，閉じたフリードマン宇宙と類似 の振る舞いをし，特に必ず有限な寿命をもつ（図14 参照）．この宇宙は，実は反ドジッター時空と呼ば れる特異点を持たない時空の一部分と対応するこ とが示される．

2.5 宇宙の構造と膨張を測量する

2.5.1 光度距離 すでに述べたように，一様等方膨張宇宙モデルで は，観測者からの距離がc/H₀と比べて十分小さい 銀河に対しては，Hubbleの法則が自然に成り立つ． しかし，銀河までの距離がc/H₀に近づくと，銀河 の後退速度と距離の関係は単純な比例関係ではな くなる．また，距離の定義にも任意性が生じる． 実際，例えば数学的に aχを距離と定義しても， それをどのようにして観測するのかがわからない と物理的には意味を持たない．この観点から宇宙物 理学では（原理的に観測可能な）物理量のみに基づ いた距離の定義を用いる．その中で最もよく用いら れるのが，光度距離である．まず，宇宙膨張が無視 できユークリッド幾何学が成り立つときには，天体 の光度L（単位時間あたりに天体が放出するエネル ギー）を距離dの位置にいる観測者が観測した見 かけの明るさF（単位時間に単位面積を通過する エネルギー）の間には，F = L/(4πd2)の関係があ

る．そこで，宇宙膨張や空間が曲がっている一般の 場合に， d2_L= L 4πF (52) により光度距離を定義する．右辺は原理的に測定可 能な物理量のみからなっている． 宇宙モデルが与えられると，この物理的に定義さ れた距離をモデルを記述する数学的座標で表すこと ができる．まず，空間計量が(13)と表される座標系 において，動径座標がχの位置にある天体から時間 dtの間にdEのエネルギーの光が放出されたとする． このとき，光を光子の集まりと見なしdE = ωdN と表すと，光子数dNは伝播の間に変化しないが， 角振動数ωは赤方偏移によりω₀ = ω/(1+z)となる． ここで，zは天体の光の赤方偏移パラメータである． したがって，原点にいる観測者はdE₀ = dE/(1+z) のエネルギーがdt₀ = (1 + z)dtの時間に通過する のを観測する．天体の位置を中心として観測者の 位置を通る球面の面積は，(12)式のf (x)を用いて 4πR2f (χ/R)2と表されるので，結局， F = L 4πR2_{f (χ/R)}2_{(1 + z)}2 ⇒ dL= (1+z)Rf (χ/R) (53) が得られる． ここで，χとzの関係は，一般に，(24)で与え られる．この式において，宇宙モデル（のパラメー タ）が与えられると，Hはa従ってzへの依存性 が定まる．これは，dLがzにどのように依存する かが分かると，それから宇宙のモデルパラメータが 決まることを意味する．例えば，放射（相対論的成 分）の寄与が無視できる現在に近い時期では， H2 H₀2 = ΩM a3 + ΩK a2 +ΩΛ= ΩM(1+z)3+ΩK(1+z)2+ΩΛ (54) となる．ここで，Ω_Λは宇宙項に対する密度パラメー タで，ΩM+ ΩK+ ΩΛ= 1が成り立つ． 【問 2.4】  次の3つのモデルに対して，光度距 離とzの関係を求めよ：Einstein-De Sitter宇宙 モデル: (ΩM, ΩK, ΩΛ) = (1, 0, 0), De Sitter宇 宙モデル： (ΩM, ΩK, ΩΛ) = (0, 0, 1), Milne宇 宙モデル：(ΩM, ΩK, ΩΛ) = (0, 1, 0).  図 15: 地上およびHSTによるIa型超新星を用い た宇宙膨張の観測 【問 2.5】  Einstein-de Sitterモデルを基準に するとき，他の2つのモデルでは，z = 1にあ る天体の等級はどれだけずれるか？  2.5.2 宇宙の加速膨張 このように，zが大きい遠方の天体に対する光度 距離を決定することができれば，宇宙のモデルパラ メータを決定することができる．ここで，問題とな るのが，光度Lをどのように決定するかである．見 かけの明るさFは観測者が直接決定できるが，固 有の明るさであるLは天体の位置に行かないと直 接測定することはできない．したがって，変光星の 場合の光度・周期関係のように他の観測情報から光 度を推定できる明るい天体を探さないといけない． このような天体として着目されたのが，Ia型超新 星である．この超新星は距離の決定できる場合の 観測から最高光度がほぼ一定という特性を持ってい て，さらに光度の時間変化の振る舞いやスペクトル の特徴を考慮すると比較的精密に光度を推定でき ることが知られている． 図15は，地上およびHubble宇宙望遠鏡を用い たIa型超新星により得られた光度距離と赤方偏移 の観測結果である[22]．この図では，縦軸に光度距 離dLの代わりに見かけの等級に対応するその対数 値5 log₁₀(dL/10pc)が目盛られている．また，内側

M Ω 0 0.5 1 Λ Ω 0 0.5 1 1.5 2 SNLS 1st Year BAO Closed Flat Open Accelerating Decelerating No Big Bang 図16: 密度パラメータへの制限 には，Einstein-de Sitterモデル(ΩM = 1, ΩK = Ω_Λ = 0)，Milneモデル(ΩM = ΩΛ = 0, ΩK = 1) および最適モデル ΩM = 0.29, ΩK = 0, Ω_Λ= 0.71 (55) がそれぞれ破線で描かれている．明らかに，宇宙項 がゼロのモデルは観測と合わないことが分かる．こ れは，(29b)より，宇宙の膨張が加速していること を意味している（問2.6参照)．図16に示したよう に，現在では99%以上の確度でΩ_Λ> 0であること が示されている[8]． 【問 2.6】   宇宙膨張の基本方程式を用い て，現在の宇宙膨張の加速度 (d2a/dt2) を密 度パラメータで表せ．また，密度パラメータ (ΩM, ΩK, ΩΛ) = (0.26, 0, 0.74)に対して，加速 度の値を計算せよ． 

2.6 宇宙進化の概要

2.6.1 宇宙の物質組成 この小節では現在の宇宙に存在する物質の種類 と存在量についての知識の現状を整理する， 原子からなる物質 既知物質の中で我々になじみの あるのは，原子核と電子からなる原子である．宇宙 において最も存在量の多い原子（元素）は，水素と ヘリウムで，他の元素の質量比率Zは２パーセン ト以下である．例えば，スペクトル観測と太陽大気 モデルの比較から得られた太陽大気の元素組成は， 重量比率で水素X = 0.74，ヘリウムY = 0.25，他 の重い元素Z = 0.013である[10, 1]．太陽は種族I に分類される中年の星で，（軽元素を除いて）その 大気組成は種族Iの星ができた時の元素組成を代表 するものである．揮発成分を除く重い元素について は，炭素型隕石と呼ばれる隕石の直接分析でもほぼ 同じ組成比が得られている． これに対して，種族Iより古く宇宙年齢に近い年 齢をもつ種族IIに属する星の大気では，種族Iと比 べて重い元素の割合が1/10から1/1000程度しか ない．この違いは，炭素およびそれより重い元素が 星の中での核融合反応に依って作られ，それが新星 爆発・超新星爆発などで宇宙空間のガスに混ざり， そのガスを材料として新たな星が作られるという 過程が繰り返された結果と理解されている[29, 5]． この理解に従うと，重い元素の割合が非常に小さな ガスの組成は最初の星（種族IIIに分類される）が 誕生する前の宇宙物質の元素組成を表すと考えら れる．この考え方に従って，宇宙初期のヘリウムの 割合Ypを求めてみると Yp = 0.244− 0.254 (56) が得られる[20]．この結果は，現在の宇宙に存在す るヘリウムの大部分は星の内部での核融合反応でで きたのではなく，宇宙の初期から存在したことにな る．実は，このヘリウムの起源が宇宙が高温（約10 億度）であった時期での核融合反応(BBN)により説 明できることを示したのがガモフ（George Gamov) で，ビッグバン宇宙モデル誕生の契機となった．後 に述べる宇宙マイクロ波背景放射はこのモデルで 宇宙が初期に高温の熱平衡状態にあったことの証拠 である． 以上は，元素組成に関する情報であるが，原子か らなる物質の総量を推定するのは意外と困難であ る．現在広く用いられている推定値は後ほど述べる WMAPによるCMB観測に基づくもので，密度パ

図17: CMBスペクトル．実線はT = 2.728Kに相 当するPlanck分布を表す理論曲線であるが，観測 値はその上に乗っていて観測誤差は線の太さ以下． ラメータで h2Ω_b = 0.02267+0.00058_−0.00059 (57) となる[13]． 背景放射 宇宙は様々な波長の電磁放射で満ちてい る．それらの中でエネルギーの主要部を占めるのが，

宇宙マイクロ波背景放射(Cosmic Microwave

Back-ground)と呼ばれる温度約2.7Kの熱放射である．上 で述べたように，この放射の存在はG. Gamovによ り予言され，1965年にペンジアス（A.A. Penzias） とウイルソン（R.W. Wilson）により最初に検出さ れた（1978年ノーベル賞受賞）．さらに，1990年 代にはそのスペクトルがマザー（J.C. Mather）を リーダーとするCOBE FIRAS実験により精密に 測られ，非常に良い精度で温度 T_CMB= 2.728± 0.004K (58) のPlanck分布に従うことが示された（図17）[9] （2006年ノーベル賞受賞）．これにより，熱いビッ グバンモデルが確立した．CMBのエネルギー密度 は密度パラメータで表すと， h2Ω_CMB= 2.38× 10−5(T /2.73K)4 (59) で与えられる． CMBは電波の帯域にピーク(波長1.87mm，振 動数160GHz)を持つが，赤外線，可視光，紫外線 でも背景放射が存在する．そのエネルギー密度は h2Ω_IR/opt/UV ∼ 5 × 10−7 (60) 程度で，CMBの1/50程度である．また，X線の 波長帯での背景放射のエネルギー密度はさらに小 さい． h2Ω_X∼ 6 × 10−9 (61) ダークマター 宇宙には，原子や光子など電磁波で 観測できる物質以外に，1節で見たように重力作用 を通してのみ姿を表すダークマターと呼ばれる未 知の物質が大量に存在する．その実体は不明である が，いくつかの方法でその存在量を推定することが できる．まず，最も古くから使われている方法は， 各銀河や銀河団の観測で得られたダークマターと 光学的に観測できる物質の量の比の平均を宇宙全 体に適用するものである．この比としては，すでに 述べた重力質量と光度の比 M/L がしばしば使わ れる．この比に，宇宙の平均の明るさを表す光度密 度j₀（単位体積あたりの光度の平均）を掛ければ， 重力質量の密度が得られる．一般に，M/L比は大 きな系ほど大きくなり，銀河団では赤の波長帯で (M/L)_clusters= (295± 53)h(M/L)_ (62) となる．同じ波長帯での光度密度より，Ω = 1とな るM/L比の値は(M/L)_cr= (1025± 140)hとなる ので，物質の密度パラメータに対する推定値は ΩM = 0.24± 0.14 (63) となる[6]． もう一つの方法は，膨張宇宙における銀河や銀 河団の形成理論に基づくもので，大まかには低密度 の宇宙ほど大きな銀河団が少なく，高密度ではその 逆になるということを利用する．この方法で得られ た密度パラメータに対する制限もM/L比に基づく ものほぼ一致する[3]． ΩM = 0.1− 0.5 (64) 以上の物質密度には，原子からなる物質や小さな質 量をもつニュートリノも含まれているが，その寄与 は10% 以下である． 最後の方法は，CMB，銀河分布観測，Ia型超新 星観測などの宇宙観測情報と宇宙の初期から現在ま

図18: 宇宙の物質組成 での宇宙進化モデルの予言との比較により物質組成 を含む宇宙モデルのパラメータを決定するもので， すでに述べた原子からなる物質やニュートリノと ダークマターの各成文の存在比を与える（後述）． WMAPの5年間の観測に基づく推定値は，宇宙の 物質が原子からなる物質，冷たいダークマター，宇 宙項からなるとするモデルでは h2Ω_CDM= 0.1131± 0.0034 (65) である．これは，上記の他の方法で得られた結果と 整合的となっている[13]． ダークエネルギー 第2.5節で見たように，Ia型超 新星による宇宙膨張の観測は，現在の宇宙が加速膨 張していることを示しており，一様等方宇宙モデル が正しいとすると，P < −ρ/3を満たす負の圧力 をもつエネルギーが宇宙膨張を支配していないと いけない．この奇妙なエネルギーはしばしばダーク エネルギーと呼ばれる．ダークエネルギーの実体が 単に宇宙項あるいは真空のエネルギーとした場合， その割合は Ω_DE = 0.726± 0.015 (66) となる．宇宙膨張を支配するエネルギーの大部分の 実体がまだ不明なのである（図18）． 【問 2.7】  ダークエネルギーの密度をPlanck 単位(G = 1, c = 1, = 1)で表すといくらか？ (t_pl = (G/c5)1/2 = 5.4· 10−44s, 1yr=3· 107s)  2.6.2 熱いビッグバンモデル CMBはエネルギーでは遙かに通常の物質に及ば ないが，実は宇宙のエントロピーの主要部を担って いる．実際，CMBのエントロピー密度は s_CMB= 4 45  kBT c ₃ = 150  T_CMB 2.73K ₃ cm−3 (67) となるので，これを宇宙に存在する陽子の平均個数 密度 nb = 2.46· 10−7  Ωbh2 0.022  cm−3 (68) で割ると，陽子一個あたりのCMBエントロピーは s_CMB/nb 6 · 108 (69) となる．一方，太陽などの恒星がもつ陽子一個あた りのエントロピーは (s/n)star∼ 30 (70) 程度で，CMBのエントロピーの 1/105 以下しか ない． 激しい非可逆過程が宇宙全体で起こらない限り， このCMBに対応する光子ガスのもつエントロピー は保存される．宇宙膨張を考慮するとこれは， a3s_CMB const ⇒ T ∝ 1/a (71) より，光子ガスの温度が宇宙初期ほど高温になるこ とを意味する．光子ガスの温度が1光子の平均エ ネルギーωであることを考慮すると，この結果は 光子の角振動数ωが，宇宙膨張によりω ∝ 1/aに 従って赤方偏移するためと理解することもできる． この温度上昇と共に光子ガスと物質の間で相互作 用が活発になり，ついには物質と光子ガスは同じ温 度を持つようになる．また，それにつれ，宇宙の膨 張速度Hは時間をさかのぼるとどんどん大きくな る．すなわち，宇宙は最初，急速に膨張する熱い火 の玉状態で始まり，宇宙膨張と共に温度が下がり， 膨張速度が減速し現在の姿になったと考えられる． これが熱いビッグバン宇宙モデルである． 熱いビッグバンモデルでは，時間をさかのぼる と，温度の上昇と共に物質がより基本的な構成要 素に分解されてゆく．このため，宇宙のごく初期で は，物質は最も基本的な素粒子からなる高温のプラ

0.1eV 10-4eV 100keV 100eV 100MeV 100GeV 100TeV 1011GeV 108GeV 1014GeV 1017GeV 1020GeV 10-42 1012 1018 [s] 3x1010 [yr] 3x104 106 10-6 1 10-12 10-18 10-24 10-30 10-36 T TBBN T0 =2.734 K Teq _Trec Tdec TQH TWS Trh ? TPQ reheating

Peccei-Quinn symetry breaking

Electroweak phase transition Quark-Hadron transition H Rec BBN Neutrino decoupling 図19: 宇宙の熱史 ズマ状態にある．このプラズマでは，光子を経由し た粒子と反粒子の対生成・対消滅が盛んにおきる： e++ e− ↔ 2γ ↔ u + ¯u, · · · このため，この時期では，少なくとも現在知られて いる素粒子については，粒子と反粒子がほぼ同数存 在することになる．宇宙が膨張し，宇宙の温度がこ れらの粒子の質量以下になると，粒子と反粒子は対 消滅してより軽い粒子・反粒子に変化する． 例えば，これまでに十分な実験的検証が行われ た素粒子の標準モデルによると，宇宙の温度が 100GeVより低くなると，3種類の荷電軽粒子(電 子，ミュー粒子，タウ粒子），対応する3種類の ニュートリノ，6種類のクォーク(u, d, c, s, t, b) とそれらの反粒子および力を媒介するグルオンと 光子が高温宇宙プラズマの主要構成要素となる．宇 宙の温度が強い相互作用を特徴付けるエネルギー スケールΛ∼ 100MeV 以下となると，これらの粒 子のうち，クォークとグルオンは最終的にはそれら の複合体である陽子と中性子へと変化する．このと きの光子数（正確には全エントロピー）と残った核 子数の比が現在のs/nb比(69)に当たる．また，タ ウ粒子やミュー粒子も電子，陽電子へと崩壊する． ただし，ニュートリノは相互作用が弱いため，宇宙 の温度が1MeVに下がるまでに核子や電子との相 互作用が切れ，粒子反粒子が対消滅せずにそのま ま現在まで残ることになる．さらに宇宙の温度が 0.5MeV以下に下がると，陽電子は電子と対消滅し てなくなり，陽子と同数のわずかな数の電子が後に 残される．その後宇宙の温度が10億度程度まで下 がると，残っていた陽子と中性子が結合して重水素 を作り，さらにそれらが反応してヘリウムを作る． これが宇宙初期元素合成(BBN)である． BBNの後には，ダークマターなどの未知の成分 とニュートリノを除くと，陽子，ヘリウム原子核お よび電子からなる完全電離プラズマが残される．宇 宙の温度が7000K以下になると，ヘリウム原子核 は電子と結合して中性のヘリウム原子になる．さ らに宇宙の温度がT_rec  3800K以下になると，陽 子が電子と結びついて水素原子となる．これに伴っ て，自由電子が急速に減少するため光子と物質の相 互作用が弱くなり，T_dec  3000K以下では光子が 物質と相互作用せずに宇宙空間を走るようになる． この現象は宇宙の晴れ上がりと呼ばれる．現在の CMBはこれらの光子が赤方偏移したものを見てい る訳である．以上の宇宙の変化をまとめたのが図 19である[29]． 【問 2.8】  現在のCMBの密度パラメータの 値(59)から，熱放射のエネルギー密度とダーク マターのエネルギー密度が等しくなるときのz と温度，時間を求めよ．  【問 2.9】  物質優勢な宇宙および輻射優勢な 宇宙において，宇宙誕生時を頂点とする光円錐 の宇宙時間tにおける半径lHを時間の関数とし て求めよ．この値と1/Hを比較せよ． 

3

電波で探る宇宙

3.1 Jeans 不安定

重力の無視できる通常の状況では，気体の密度に 変動があると，それらは音波として広がってゆく． 重力が重要となる宇宙現象では，必ずしもこれは成 り立たない．それを見るために，半径Lのガス雲

を考える．一般の流体に対する方程式 μdv dt =−∇P − μ∇φ (72) より，ガス雲が力学的に平衡状態にあるためには， ガス雲の単位体積に働く重力∼ GμM/L2 ≈ Gμ2L と圧力勾配による力∼ P/L ≈ c2_sμ/Lが釣り合う必 要がある： Gμ2L≈ c 2 sμ L (73) これより得られる特徴的な長さ L_J= cs (Gμ)1/2 (74) をこのガス雲のJeans長という．半径がL < L_Jと なるガス雲は膨張し密度勾配が減少する．すると L_Jは増加し，さらにガス雲は膨張を続ける．これ に対して，L > L_Jのガス雲は重力収縮しさらに密 度μが上昇する．密度μが上昇するとLJがさらに 減少し，この収縮は際限なく進むことなる．これは Jeans不安定と呼ばれる． 以上では孤立したガス雲を考えたが，その代わ りに一様なガス雲の密度ゆらぎδμに対して同様 の議論を行うことができる．このときは， 重力が Gδμμ/L2,圧力勾配がc2_sδμ/Lとなるので，結果は δμに依らず，やはり特徴的な長さとしてJeans長 L_Jが得られる．この状況では，ゆらぎの波長 がL_J より短いと，高密度部分の膨張は周りの領域の密度 を上昇させるので，最終的にゆらぎは音波として伝 播する．これに対し，波長がL_Jより長いゆらぎは 重力収縮（Jeans不安定）により限りなく増大する． これは，L < L_Jの場合と異なり，不安定性がさら にゆらぎを増大させる方向に作用するためである． 【問3.1】   宇宙物質が電磁熱放射(r)と物質(b) （電子，陽子プラズマ）の混合気体と見なされる とき，両者の圧力の比Pb/Prを求めよ．ただし， 輻射と物質は同じ温度とする．また，Ω_CMB = 4.8· 10−5, Ω_b = 0.046, kBT_CMB= 2.4· 10−4eV, mp = 940MeV/c2 とせよ．  【問 3.2】  問3.1と同じ仮定の下で，宇宙物質 のエネルギー密度ρと圧力Pをスケール因子の 関数として求めよ．さらに，これを用いて，こ のガスの音速cs= c( ˙P / ˙ρ)1/2をスケール因子の 関数として求めよ．また，原子物質が中性化し て以降の音速を求めよ．  図20: CMBの音波

3.2 宇宙音波

以上のJeans長の概念を膨張宇宙に適用してみ よう．水素再結合時t_rec以前の時期では，放射とプ ラズマは一体となって運動し，その圧力は光子が 担う．したがって，放射優勢な時期での音速はほぼ cs≈ c/ √ 3となり，Jeans長は共動座標で表して χJ := a−1LJ ≈ cs aH ≈ 2ct √ 3a (75) となる．すなわち，χJは（共動座標で表した） Hub-bleホライズン半径c/(aH)に比例して時間と共に 増大する．温度が下がり，次第に陽子のエネルギー 密度が光子と比べて無視できなくなると， c2_s= P˙ ˙ ρ = 1 3 4ρr 4ρr+ ρb (76) より，緩やかにはなるがJeans半径は増大し続ける （共動座標では一定値に近づく）． 温度がさらに下がり，T_rec以下になると水素は中 性化し，原子と光子ガスの力学的相互作用は急速に 弱くなる．特に，水素ガスのJeans長はガス圧Pg = nbkBT のみで決まるようになる．Pg/Pr≈ nb/s≈ 10−9なので，水素中性化により物質のJeans長は 一挙に4/105倍程度に縮んでしまう．

図21: SDSSにより発見されたバリオン音響振動 以上の変化のため，宇宙における共動座標で測 ったJeans 長は水素中性化の頃に最大値 χJ m ∼ 1/(aH)_decをもつ．このため，共動座標での波長が χJ mを超える長波長のゆらぎはJeans不安定によ り成長を続ける．これに対して，χJ mより短いゆ らぎは，χJ ∼ c/(aH)が共動座標での波長λ/a（一 定）を超えると音波として振動を初め，水素の中 性化の後では，水素ガス密度のゆらぎおよびCMB の温度ゆらぎとして現在まで残ることになる（図 20）．これらのうち，水素ガス密度のゆらぎはその 後，水素ガスから銀河ができる際に銀河の分布のゆ らぎを生み出す．銀河分布の主要部分はこの音響振 動と結合しないダークマターの分布により決まる． このため，この水素（バリオン）音響振動(Baryon Acaustic Oscillation)の影響は非常にわずかなも のとなる． このわずかなBAOが，SDSSサーベイにより得 られた宇宙地図の銀河相関の解析により発見され た（図21[8])．この図は，赤方偏移がある範囲にあ る銀河の角度2体相関ξ(s)，すなわち勝手な銀河 を基準として天球上で角半径sの円を考えたとき， その円に含まれる銀河の個数の平均よりのずれの 統計平均をsの関数としてプロットしたものであ る．図を見ると，確かに現在の距離（共動距離）に して100h−1Mpcあたりにふくらみがあるのが見て 取れる． これがBAOに対応することを確認するため，宇 宙晴れ上がり前での宇宙音波の振る舞いをもう少 し詳しく見てみよう．まず，ダークマターの存在も 考慮すると，ダークマタ−のエネルギーが宇宙膨張 を支配する時期での電磁輻射と物質の混合気体を 伝播する波数k/aの音波の方程式は， d2X da2 + k2c2_r a4_H2X ≈ 0; X =  H 1 + wr _1/2 a3ρrΔr (77) となる．ここで，Δrは密度ゆらぎのコントラスト δρr/ρrを表す量である．このWKB解 Δr = A a2  1 + wr crρr _1/2 sin  0 kcr a2_Hda  (78) のt = t_decでの値は，次のように書き換えられる： |Δr|2∝ A2(k) (1 + 103_a)2 sin2  γ k (aH)_dec  (79) ここで， γ =  ₁ 0  2 (1 + x)(4 + 3x) _1/2 dx 0.5 (80) こ れ よ り，宇 宙 晴 れ 上 が り 時 で の 音 波 の 振 幅 |Δr(t_dec)|2は，離散的な波数 kn (aH)_dec = π 2γ(2n− 1)  (2n − 1)π (81) でピークをもつことが分かる． (aH)_decを評価しよう．まず，CMBの最終散乱 面t = t_decで我々が観測できる領域の半径に相当す るt = t_dec時での固有長r_plc(t_dec)と対応する現在 の長さ（共動長）χ_plc(t_dec)は， χ_plc=  t₀ t dt a = 3t0  1− a1/2  (82) より χ_plc(t_dec) 3t₀ = lH(t₀), (83a) r_plc(t_dec) = 3t₀a(t_dec) (83b) よって，r_plc(t_dec)とlH(tdec)の比は r_plc(t_dec) lH(tdec)  t₀a_dec t_dec = z 1/2 dec  33. (84)

この比は(aH)_dec/(aH)₀と等しいので， c

(aH)_dec  c

33H₀  100h