有限要素法によるせん断変形を考慮したはりのねじり解析

【研 究 論 文 】 UDC ：624

．

　

Oア2

．

2 ：539

．

385 二539

．

386 ：624

．

072

．

ア』 12 日本 建 築 学 会構 造 系 論 文 報 告 集 第 349 号

・

昭和 60 年 3 月

有 限 要 素 法

に

よ

_る

せ

ん

断

変

形

を

考 慮

し た は り

の

ね じ り

解析

正 会 員

　藤

谷

義

信

＊

’

　 1

．

序 　通 常の は りの ね じ り理論は_， そ りね じ り変形に_伴う せ ん断変形を 無視し て構成さ れ ている

。

その た め， こ の

2

次せ ん断 変 形 を考 慮し たは りのね じ り理 論 とその解 析 法 に_関してい くつ か の研究が_報告され ている

。

　まず， せ ん断変形 を無 視し て ね じ り解 析 を行い， 得ら れ た軸 応 力とつ りあう せ ん断応 力 を求めるいわ ゆる半 逆 法（semi

−inverse

　method _）1）_に

基づ くもの と し て_，稼 農

・

薄木

・

堀 江2｝ ， 荒井

・

柴田 3〕 ， 鈴 木

・

木 村 4［ らの解 析 法 が あ る

。

この う ち

，

稼 農ら2）_は ， せ ん断 変 形 を無 視し たは り理論の_解を第 1近 似 解と し_， こ の応 力 解とっ り あう2 次せ ん断 応 力が得られ るような変 位 場 を再 構 成し

，

これ によ り第 2近 似 解 を求 め

，

以 下 同 様に して逐 次 解 法によ り せん断 変 形を考 慮し たはり のね じり角の収 束 解を求め る方 法を提 案して いる。 荒 井ら 3）_は

_，

_{は り断 面のせ ん断} 剛 性

GA

／z （

G

；せ ん断弾性係 数

，

　

A

；断 面 積）を

，

仮 定 し た せ ん断応 力 分布よ り再 評 価 す る手 法で

，

薄 肉開断 面 はりの ね じ り問題の逐次近似解法 を 提案し て い る

。

鈴 木 ら⇔ は

，

は りの弾 塑 性ね じ り問題に挑 戦し

，

軸 応 力に従 属す る せ ん断 応 力を

，

収れ ん計 算に よ り求め る解 析 法 を 提案し ている。 　 次に

，

せ ん断 変形 を考 慮し たは り の 曲げ理 論の

一

つ に

Timoshenko

は り の理 論5）_{が あるが}

_，

_{こ の理 論を ね じ り} 理 論に拡 張 し たもの とし て

，

西 野

・

長 谷 川

・

名取6）

_，

_川 井1）

_，

_池上

・

_{窪 田}

・

_{藤 谷}S）_{の研 究が あ る} 。 こ の う ち

，

西 野ら6］ は

，

断 面の 回転 角と

，

その角変化 （ね じ れ率）を 独 立 量 と して扱う方 法で， 2次せ ん 断変形 を考 慮し たは りのね じ り理 論 を組み た て ている

。

これ と 同じ仮 定に基 づい て川 井7 ）は

，

剛 体バ _{ネ 要 素}を用い た場 合の定 式 化を 行い

，

池上ら8）は

，

有 限 要素解析の た め の定式 化と

，

薄 肉 開

・

閉 断 面は りの ね じ り解 析 結 果を示してい る。 　その他

，

佐 伯9）_は

_，

_{2次せ ん断変形に よ る ね}

．

_{じ り角を} 付加し た_定式化を行っ て い ぐ と

，

最終 的には

，

通常の は り のね じり理 論のっ りあい方 程 式におい て

，

断 面の ね じ り定 数の み修 正 すれ ばよい ことを示し

，

これに_対応する 奉 _{広 島 大 学 　 助 教授}

・

_工博 　 （昭 和 58 年 1 月

110

日原 稿 受 理日

，

昭 和 59 年 10 月 1日改 訂 原 稿 受理 　日

，

討 論 期 限 昭 和 60年6月 末 日 ｝ 境 界 条件の も とで解 析する方法 を提 案し て い る

。

　ま た， 高畠 1ω は

，

そ り を横 断 面の座 標によ るべ き級 数 で展 開し た材 軸 方向変位関数を周いることにより

，

そ り ね じ りによる 2次せ

・

ん 断変形 を考慮 し た

一

般的な はり理 論 を組み た て て い るQ 　 本 論 文で提 案 する解 析 法は

，

通 常の は りの ねじ り理 論 における材 軸 方 向 変 位 関 数に

，

サンブナンのそ り以 外の

、

そ り分 布 も評 価で きるよ うに

，一

般 的な関 数 を付 加する 方 法である。 実 際の解 析に は有 限 要 素 法 を適 用し

，

は り の長 さ方 向と断 面 内の 要 素 分 割 を 同 時に行うことに よ り

，

は りの ね じ り角 分 布 と各 断 面の付 加そ り分 布 を 求 め ることにな る。 　ここで

，

材軸方向の付加そ り関 数とし て は

，

高畠1°〕の 定 式化にみ ら れ る ような横断 面座標のべ _{き級 数 関 数を付} 加す るの で は な く， 分割要素 節点での材軸方向変位を自 由 度 として残し， 最 適な そ り分 布に追 随す る よ うに して い る

。

また_， 川 井7 ｝， 池 上 ら S〕_の 方 法では_， そ りね じ り に より断 面 内で

一

様なせ ん断 応 力し か求まら ないが， 本 方 法で は分 割 要 素ご とに せ ん断応 力が評 価で きる の で

，

い わ ゆる せ ん断 流れ解が_求め られ る

。

ま た， 稼農ら 2 ｝ ， 荒 井ら3） ， 鈴 木ら 4_{吃 異な り} ， 繰り返 し計 算の 必 要 がな く2次せん断 変 形 を考 慮し たはりの ね じ り角の解 が 得ら れ る

。

さ らに_{， 本}方 法では_{， 荒 井}ら3切 _{定式 化}の_中に み られ る せん断 係 数 x， 西野 ら 6）_の せ ん断 補 正 係 数， 池 上 ら昼｝_{の有 効せ ん断 係 数の よ うな断 面 定 数は必 要な} いが

，

これ は断面 内 分 割 要 素に より

，

断 面 形 状 特 性が自然に評 価さ れ る た めで あ る。本 方 法におい て必要な断 面 定 数は， 通 常のは りのね じ り解 析の場 合と同 様に

，

サンブナン の ね じ り定 数

K

と， そ りね じ り定 数竭の みであ る

。

　し たがっ て

，

本論文で提案す る ねじ り解 析 法で は

，

（1 ） せ ん 断変形による ね じ り変形角の_{増 加}

_，

_（

2

_{） 軸 応 力}と っ り あ う せ ん断 応 力の_{解， （}

3

_{）軸 応力}の せ ん断 遅れ （shearlag 現 象）などが 矛 盾な く得ら れ ることになる。 　本 論 文で は_， こ の方 法に よ る は りのね じ り解 析 解の基 本 的特性を示す と と も に， 建築骨組構造 全 体のね じり解 析お よびね じ り振動 解析へ の応 用を試み た結 果につ い て 報告する。 　

2．

通常の は り の ね じ り理 論11］

一

₄₃

一

NII-Electronic Library Service y _x 1

　 − 一一＿＿＿一＿ ＿

S

一

o

尸一一一一一一一一一一

0 S 丿

＿＿

　

＿

　

＿

　

＿

　　

＿

　

＿

　

＿

　

＿

　

＿

　

＿

　s

α

ノ

／

，

，

．

0 ：_図

」

_l S：_{せん 断 中 心} 図

一

1　は りの座 標 系 z 　 断 面 剛の仮 定の も とで

，

はりが微 小 回 転 角θで ね じ り変 形 をおこす と きの変 位 関 数は次 式で与え られ る （図

一

_{1参 照）} 。 　 　 　疋ノ（Xちy，Z）

＝一

（y

−

_{Ys）θ（Z〕} 　 　 　

y

（X

．

y

，

Z）＝ （X

−

Xs）θ（2）　　

t・

…・

…一 ……

（1） 　 　 　

w

（x，y，z｝

＝

ains（x，y ）θ ’ （z） こ こ に

，

座標系は

，

断 面の図 心 を 原点に

，

x

，

　y 軸を断 面の慣 性主 軸に選び

，

材 軸 方 向に2 _軸を選ぶ。 Xs，　Ys は断 面の せ ん断中心 の座 標

，

ダッ シュ （

’

〉はz に関 す る微 分を表す。 また， Wns 〔x

，

y

〕はせ ん断 中心に関す る サンブ ナンね じ りに よ る断 面のそ り関 数で

，

図心に関 する正規化さ れ た そり関数ain_（x

_，

_{y ）}との問に次の_関係が あ る

。

　 　 　a）

，

tS（x

．

y）

＝

ain（x

，

y）

−

Ys：十XsY

・

…・

…・

……

（2） （1 ）式の_{変位関 数}か らひずみ成分 を求める と_， ε。

＝

εy

＝0

， ε

。

＝

婦 （x，y）θ ” （z） r。y

−

・

，

r． ．

一

（

∂ωP ∂x

−

_y

）

e

’

（・）

，

r…

＝

＝

（

∂ωn 　 　 ÷ ∂y

）

e

’

（z） と な り

，

　 　 　az

；E

　ahe _（x

_，

_y）θ”

（z_）

　　　

喰

一

・

（

咎

一y

画

　

　

　

T・

・

−

G

（

∂ωh 　 　 十 x ∂_y

）

e

’

（・）

…………

_（

₃

_） これ よ り応 力 成分は次 式で表され る

。

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（4） ところ がこ の せん断応 力は

，

サ ンブナンね じ りの応 力で あり

，

こ のせ ん断 応 力式 の中に は

，

ね じ りによって生 ず る軸 応 力σ。とつ り あ うべ きせん断 応 力が無 視さ れて い る。 この せん断 応 力は， 断 面 内で のつ りあい 問題 と して 処理 さ れ， せ ん断 流れ解 析に よっ て計算す るこ とが でき る

。

し か しなが ら

，

こ の計 算法で_得ら れ る せ ん断 応 力解 は近似 解で あり_， また_， この せ ん 断 応 力の軸方 向 応 力 σ2 へ 及 ぼ す 効 果 をと り い れ た 解 析

，

す な わ ち_， shear

−lag

解 析 を 行 うこと がで き ない。 ま た

，

（

1

） 式 の変_{位 関}数を使用す るか ぎり_， 上述の そ り拘束に よっ て 生 ずる せ ん断 変 形エ _ネル ギ

ー

が評 価さ れ ない た め， こ の せ ん断変形のは り全体の ね じ り角に及ぼす影 響を考慮し た解 析を行うことが でき ない

。

　3

．

せ ん断 変 形を考 慮したは りの ね じり解 析 法

一

₄₄

一

　い ま

，

断 面 剛の仮定は その ま ま生か し

，

せん 断 変 形の 効 果を と りいれ たは りの ね じ り解析法 を組み た て る にあ た り

，

著者ら が は りの曲 げ 問 題の場 合に提 案した方 法］2｝ と同 様の 方 法 を 用い

，

次式の よ うに

，

従 来の は り の変 位 関 数に

，

せ ん断変形に よる軸 方 向ゆ がみ Ws（x_，

y，

z＞を 付加し た変位関数を用い る

。

　疋ノ（こt

，

yゐZ｝＝

一

_〔！ノ

ー

Ys）_θ（Z） 　 V（x

，

_Y

，

2_）

；

（x

−

Xs_）θ（2_）

・

・

t・

…

（5） 　

w

（x

_，

_ygz｝

；

alns_（x

_，

_{y ）}θ

’

（z_｝十 14_｛9（x，！ノ，z） 　本論文では

，

建築構造 物 を薄肉 断面は りに置 換して解 析 を 試み ようと す る もの で_， その ため （5 ）式の変 位 関 数 を薄 肉 断 面は りの解 析に便 利な ように （s

，

2） 座 標 系 で書き か え て お く （S 座 標につ い て は図1参 照 ）

。

Us

（翩 昭

号

訃

y

塞

　　　十

ω

一

y。）

9

／

t

＋（  勾

窪］

θ（・）

w

（s

，

2）

＝

ω）ns （8）θ

’

（z）十Ws（8

，

2〕 こ の変 位 関 数か ら， 次の ひずみ成分 が得ら れ る

。

・

・

_{（6 ）}

r

． ．

一

（

警

i

簑

一

〃

書

詈

＋コ。

｛

鑑

）

e

’

（・〕・

讐

　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

…

　（7 ） E2

−

f・・。 。・（・）・e

”

（z）＋

讐

した がっ て

，

は りの有す る ひずみエ _ネル ギ

ー

は

，

以 上の 関 係式 を 用い て次の よ うに表さ れ る。

v −

5

　

　

一

_毒

　 　 　 　1 　 　 　 十

一

　 　 　

2

∬

（・。・ez＋T・

．

・7・z）・

t

・

d

・

dz

∫

（

E

・舮 ＋

G

κe

’

・ ）

d

・

∬［

・

E

・・nse

”

・

E

（

讐

）

2 ・・

（

∂Ws ∂s

）

1

…

d

・

…一 ・

…・

………・

…・

・

_（・） こ こ に_{， 瑠} は せ ん断中心に_関する断 面の そ りモ

ー

メ ン ト

，

κ は_， サン ブナン の ね じ り定 数で

，

薄 肉 断 面で は 次式で表さ れ る

。

　　　

1

留

一

fains

（s）t　t　ds，

　

　　

・−

f

（

讐

一

瓏

・ ・

劉

…

…・

一

（・） 次に

，

は りに作 用す る外 力の な す仮 想 仕 事 δ

W

は，

　

　　

・w

イ

飢

・

（・）・… 　　 　 　 　 十

lM2

みθ十

M

ωδθ

’

_lz

_＝

o

，

t

…

　

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（10） で与え ら れ る

。

こ こに

，

mt （z）は は り の せ ん断 中心軸 に沿っ て作 用する分 布ねじ り モ

ー

メ ン ト

，

雌 _， Mω は

，

は り端 部 （z

＝O

，

1

）に作 用 する ね じ りモ

ー

_{メ ン ト}

_，

_{そ り} モ

ー

メ ン トである

。

したがっ て

，

仮 想 仕 事 方 程式 δ

V 一

δW

＝0

に （8）式と （10）式 を 代 入し

，

部 分 積 分 の演 算 を行うことにより

，

次の よ うなつ _りあい方程 式と N工 工

一

Eleotronio _Library

境 界 条 件が得ら れ る。 　 　∂2Ws 　 　 　 ∂2晩 　 　 　 　

＝

E ω瑠 （s）θ

”

（z｝ 　 ε 　 　 　 　 十E 　 　 ∂s2 　 　 　 　∂z！ ・ ・

L

・_・e

・

・

”

一

・κ・・

∫

・晦

讐

・

d

・

一

・ ・ は り端 部条件

（

・

讐

・

E

・hs

の

・

v

・、

一

・

　

（

EI

器・_θ

”− GKe ’

＋

fE

ωhe

・

_讐

… ＋M_．

）

・・

’

−

o

・

・

_（ll）

・

一

_（12）

瞬

ゲ・

∫

・婦

黔

d

・

一

臨

）

・・一 ・ 勲 断 面 境

辮

・・

響

… s

−

・

一 ・

………・

…

（

13

） さて

，

こ の θ（z）

，

W。　（s

，

2）に関 する連 立 微 積 分 方 程 式 を直接 解くことは困 難であり

，

また

，

実 用 的で な い の で

，

次 節に_{示 す}ように有 限 要 素 法で解 析する方 法 を考え る。 　4

，

せ ん断 変 形 解 析 法の有 限 要 素 法に よ る定 式 化 　いま

，

図

一

2に示 す よ うに_， は りを長さ方 向に要 素 分 割 する だけで な く

，

断 面 内に おい ても分 割 する

。

そ し て

，

長さ方 向に分 割さ れ た要 素 （は り要 素 ）をね じ り変 形 要 素と し_{， 要素}内で ね じり角 θ_（z_）の分布を仮定し，

一

方， 断 面 内で分 割され た要 素 （補 正 要 素 ） をせ ん断 変形 要 素 と し

，

要 素 内で付 加ゆが み Ws（s，z）の分布を それ ぞ れ 次の ように仮 定する。 　θ（z）

＝

（1

− 3

ξ2＋

2

_ξ3）θ_L＋（ξ

一2

ξt＋_ξ3＞

1

θ

1

　 　　　＋（3ξ2

− 2

ξs）θ』＋〔

一

ξ2＋_ξ3）

1

θ

ltt

・

・

一・

…



一・

・

（14） 　

Ws

（s

_．

z｝＝ ＝（

1一

_ξ

X1

一

_η）_レ弓弓 ‘＋（

1一

ξ）η

Wi

丿 　 　 　 十 _ξ（1

一

η）

Wu

十 _ξη

W2J・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（15_） こ こ に_{， ξ}

＝

z〃， rp＝ s／

ls

で， 畠， θ

1

は は り要素両 端 節 点

1，

2の ね じ り角

，

θ｛

，

θ弖は その ね じ れ率

， Wu ，

WIJ

は は り要素節 点

1

の位置に お け る補正要素節点

’

i，

j

の付 加ゆ がみ である。 　 有 限 要 素 法の標 準 的な定 式 化に従っ て

，

（14）

，

（15）式 1 2 は り 要 羈 ト

ー

？

一司

＿

仁争

図

一

2　はり要 素 と補正 要 素 を前 節の仮 想 仕 事 方 程 式に代入 す る と

，一

つ _の補_正要素 に関し て次の よ うな剛 性 方 程 式が導か れ る

。

［

，

1il

：

臨

胴

一

1

畜

｝

一 ・

…………

_・・6・ こ こ に_， 　 　 　 　

Et

　

ls

　　 　［he。］

＝

　 　 　 　

6t

　

　

　

　

　

　

・

陀 剥

一 ・ α

＝2

_{ω ‘}＋ WJ _， β＝ ω ‘＋

2

ω 丿で

，

ω‘

，

ω丿 は補 正 要 素 節 点 位 置の Wns の値で

，

与え られ た は り断 面の サンブ ナン の そ り分布 ωhO（s）を 用いる

。

任意形 状の薄 肉 断面の _{ω 癇（}8） 分 布の

，

有 限 要 素 法に よる有 効な計算法につ い て は すで に著 者が報 告 して いるIS） 。 ま た， 　 　 　 　

Et

　

ls

　 　 　 ［

k

。］

；

　 　 　

612121Z82211

　 　

一

一

α

6

ー

一

一

「

lll

」 ＋

r

−

llL

　2

− 1

　 　

2

− 2

　 　

1

　

2

−

₁

₂

　1　

−

2

ー

m 　 2 yS

「

一

_（17

・

・_） で ある。 また， （16 ）式の ［鰐］マ ト リッ クス は

，

1つ の 補正要 素が はり要 素のね じ り剛 性マ ト リックスに_{寄 与}す る項で

，

1つ の は り要 素 内の全 補 正要 素を重ね る と

，

結 局

，

次 式で表さ れ る通 常の は りの そ り ね じ り剛性マ _ト リックス _［

he

_］と な る。 ［

he

］

一

Σ ［

h

＃］

−

12

葺

∬

LS

）

・

［

　 　

12

　

61

　

−

12 　 61 ・

黔

・

［

　

36

　

31

　

−

36 　 31

412

− 6t

　

12

212　

− 61

412

−

_{3t　 36}

−

lt　

− 31

ー

m 　 ’ 剛

　

4

ll

］

一

_一 ま た

，

同様に

lfe

_｝ベ ク トルも重ね合わさ れ て_，

一

つ の は り要 素の_{等価節点 力}

lfl

と な る。

　　　

1

∫

1

＝ _Σ

vel

＝ _［

Mti，

M

。。i，Mn ，Mt。t］T

…・

…

（17

・

d

） （16）式の _刷 は は り要 素 節点 力ベ ク トル

，

1

耽 ｝は補 正 要 素 節 点力ベ _{ク ト}ル で次の ベク トル を意 味す る

。

一

一

NII-Electronic Library Service

　

1

θ｝＝ ［θ_，’θ_：’薩’θ

1

_］T_’



_｛W_』｝

＝

_［Wl“闕

4

」・W：t・W』’］ T （17

・

d

） 　（16 ）式の 補 正 要 素に関する剛 性 方 程 式を重ね合わ せ ては り金 体の剛 性 方 程 式を作 成す れば

，

次式の形に表 現 す ることがで き る。

鴨

糠

_糊

」

な

i

・

・

…………・

…

_・・

8

_・ この式を解くことに よ り， せ ん断 変 形 を考 慮した は り の ね じり角

1Ue

｝が求ま り

，

ま た

，

付 加ゆ がみ分 布

IU

，｝が 求ま るこ とに よ り， 〔7 ）式お よ び応 力ひずみ関 係を用 い て

，

せ ん断変形 を考 慮し た応 力 分 布が求められ る。 　

5．

せ ん断 変 形を考慮し た は りの ね じり質 量マ トリッ 　 　 ク ス 　せ ん断 変 形の効 果 を とりい れ た薄 肉 断 面は り の

一

つ の 補正要素に関するねじ り の自 由 振動マ トリックス方 程式 は_， （16）式と同様の形で次 式で表さ れ る。

　

　

　

［

，

鷲

1

 

躍

，

　　　　　

［m9 ］ ［Mes _］

_圄

　 　 　

＝0

　 　 　 十

　　　　

［肌 ・・］ 「 ［Ms _］



_叺

_｝ 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

…

　（19） こ の第 2項の質量マ ト リック ス は

，

（6） 式の 変位関 数 をは りの運動エ _ネルギ

ー

式に代 入 することに よ り容易に 導かれ次 式で表され る

。

　 　 　 　 γ

tls

［m ・・］

＝

7

露

・

［

　 　 　 　 　

一

6a 　 　 　

la

　

　

　　

　％

［・ 。］

一

畿

・

［

i

；

1

考

_細

一

_〜

「

一

・

［・，］−

4

［孀 ］

一

、

畿

・

［

　 　 　 41z 　 　 　 13‘ 　 　 　 　

− 31t

　 　156 　

22t

　 　

54

　

− 131

　γ∬冨1 十 　

30

　

gl

・

［

　

36

　 31 　

− 36

　

31

」

 

コ

’

”

_（20

・

_b

_｝

　

　

　

　

　

　

　

　

｛

_楓

罷

］

一一・

一

（20

・

c） こ こ に

，g

は重 力 加速 度， γは材料の密 度である。 　

6．

せ ん断 変 形のね じ り角に及 ぼ す影響

一

₄₆

一

　 　 　 　 M

＝

5 − 一 E

＝

2

．

1×io6kg／，。2 G；E／2（1十ソ〕 ソ

；

0

．

3Mz

＝

lkSc

田

　 　 　 図

一

3 　 　 　 薄 肉 箱 形 断 面

黛

z

1

［

III

］

一

　

F

−

lo

−H

　 　 　 N＝4 （・…

M

A （s】　　　 　 6 1 　

＝

艮

．

5c皿 　

＝

　₄

．

　_5cm4K ω 、

＝

3

・

・5・皿 2 面 断 彫 肉 　 　 　 　 　 　

茎

峯

τ

⊥

　

傷 K

＝

＝

O

．

8567X■0 薄肉 は り の ね じ り解 析 t 1〔s，

＝

15，。 6 　 　

−

5c皿d 　 　 　 2 ω A

＝

】5c田 0 　 　　 　　10 　　 　　 20 　　 　 　 3D 　 　　 　40 　 D

．

0

．

P

．

　 　　 り　 　　 　 　　 　　

■

O　　 　　 　 　　an 　　D

・

e

・

F

・

　 　 　 　図

一

4　先 端ね じり角の解の収束状 態 θ 00

，

40

。

8　　　（h／L｝　1

・

2 00150_{75　　　　（}L）5D 　図

一

5　ね じ り角に及 ぼ す せ ん 断変形の_影響 　 図

一

3に示 す よ うに薄 肉 箱 形 断 面 （閉 断 面 ）お よ び薄 肉

1

形 断 面 （開 断 面）を もつ 片 持ちばり が先 端に ね じ り モ

ー

メン トを受け る場 合の

_，

本 解 析 法に よる解 （先 端の ね じ り角 ）の_収束 性 を 図

一

4に示 す

。

箱 形 断 面の場 合は 補 正 要 素 分 割 （分 割 数1V）の解に及ぼす影 響は少な いが

，

1

形 断 面の よ うな開 断 面の場 合は

，

は り要 素 分 割 （分 割 数 M ）の み な らず

，

補正要 素 分 割も解に大き な影 響を 及 ぼ すことが わ か る。 ま た

，

図

一3

に示 す断 面をもつは りにつ い て

，

はり の長さによ る せ ん断変形の影 響を図

一

5

に示す

。h

は は りせ い_，　

L

は は り長さで_， 本 法による 解を○印で示し， 比 較の た め に文 献

8

）の解 も示し てお N工 工

一

Eleotronio _Library

いた。 縦軸は通常の はり理 論に よ る先端CE

）

ね じ り角の解 （θar ）に対す る本 解 析 解の比で

，

は りが 短い場 合の せ ん断 変 形の_{影 響}をこ の_図より定 量 的に つ か むこと ができ る。 　

7．

立体骨組構 造の薄肉は り置換によるねじ り解 析 　骨 組構造 が規 則 的な組立形 式を備えて い る場 合， エ ネ ルギ

ー

的に_{等 価}な連 続 体に置 換 すること が可 能である。 文 献

14

）に よ る と

，

平面骨 組は

，

次式によ り変 形エ _ネ ルギ

ー

が等 価な平 面 板に 置換さ れ る

。

E

・

t−

lilf

’

_！

・1

_；



Got

一

磁 鷺

、

……・

・

…一

_（

₂₁

_） こ こ に

，E

は骨組の ヤ ング係数

，

（

tc，

　

Ac，1

。）

，

（

1

，

，

　

A

，

，

1，）は骨 組を構 成 する柱

，

は りの そ れ ぞ れの長さ

，

断 面 積， 断 面2次モ

ー

メン トで あ る。

E

。

，

　

G

。

，

　 tは置換さ れ た 平 面板のヤング係数

，

せ ん断弾 性係数

，

板厚である。

　

し た がっ て

，

本 方沫によ る立 体 骨 組のね じ り解 析手順 は次の よ うにな る。 　 1） 骨 組 を 構 成 す る 柱

・

は りの形 状 寸 法 よ り

，

（21） 式を 用い て，

E

。

t

分布，　

G

。

t

分布を もつ 平面板に置 換す る

。

立体骨組は薄 肉 断 面は りに置 換さ れ る

。

　 2） こ の_置換され た連続 体である薄肉は り を， 長さ方 向には

．

り要素に分割しザ さ らに こ の は り要素を補正 要 素 に分割する

。

Eet

，

　G。tの分布 特 性は

，

補正要 素の特 性 と して_考慮する こと がで きる

。

　

3） 1つ の補 正

_要

素につ い て （17

・

a

_，

b

_＞式の ［

hes

］

，

［

hs

］を

，

1つ の は り要 素にっ いて は通 常の は りの ね じ り要 素で あ る （

17，

c_｝式の ［

ke

］を計 算し

，

薄肉は り 全 体の剛 性マ _{ト リ}ッ クス を組み た てる

。

　4） 対 称 性を利 用して

，

1／4ま た は 1／2断 面はりと し て解 析す る場合は

，

ね じ り により対称軸上に軸方向変形 が 生 じ ないの で

，

対称軸 上で

IW

．

1

・＝

O

と す れ ば よい

。

　

5

） 全体の_{剛 性方}程式 （

18

）を解き

，

1Ue

｝

，

　

lu

_。

1

の解 を求め る

。

あ る 補 正 要 素 位 置 に対 応 する骨 組 応力は次の よ うに して計算する ことが できる

。

IUe

_｝の う ちの そ の補 正 要 素 を含むは り要 素 両 端の ね じ り解 ［

b

，

，

θ；

，

a ，

θ

1

］

，

お よ びそ の補 正 要 素まわ り の節 点 変 位 解 ［Wlt

，

　Ww

，

_鵬‘

，

Ww

］ を 用いると， 柱の軸 力

N

， 柱のせん 断 力

Qc

， は りのせ ん断力

Q

，は （7｝

，

（14）

，

（15）式よ り次 式で表さ れる

。

押

イ

滅

d

・

（

・一

善

一

咢

」 ら

・’

_{． ・}

₁

（ω、＋ω，

x

θ

i

一

θ

D

− w

，厂

Ww

＋ 鵬‘＋

WM

Qc

一

_ズ

鋸 ・・

（

・一

　

　

一G

_乱

ら

｛

（W」

−

th

・＋・

i

…

一

・・y・）

　　

　

・

_（

i

，（e・

一

畠）

一

麦

（・｛・ ・；）

）

　　　琢

一Wii

＋・

Wi

_厂 va ・t＋ 附

｝

Q

_イ

G

・7

。

_{z 　・}・

d

・

（

　　　 tss 一 ガ

）

−

9

’ ‘

詐

｛

（r 劬 ・x…

−

_{x …} ，）（

e

− e

，）

　

　

＋

垂

_（

一

_附 四厂 附 脚

｝

・

…・

…一 …

（

22

｝ ／

16

レ

玉

羊

手

4

‡ 千 千

4

墨

眇

廿

鯉

製

表

一

1　 薄肉は りへ _の置 換 部 材 定 数 　 柱 H

−

dO8×4工2 　 ×25）く25

萬謙 旻

1。・ は り H

−

582×300 　 ×12）く17 A

＝

174

．

5 　 　 　 　 5 1

＝

1

．

03XlO 　 　 　 ら　 　 　 　2 E

＝

2

．

］×10k9 ／cm G

ニ

8。

．

7692×、。4kg／、

。

2 　 　 自 宙 度 　352 簿 肉 は り置換定 数 E

。

（106） C6 （LO4） 4

．

1gss 　 　 t

＝

1

．

0 自 由 度 　642A

．

2061 A：断 面 租 1：断 面2次モ

ー

メ ン ト 蛍 位 系 ：c皿

，

kg 図

一

6　 骨 組 構 造 　 Z30

．

4 　（皿） 26

。

6 ノ

＝

3

．

8皿

，

　 ？

＝

3

．

0巴 　 　 　 s M ，

＝

3

・

・XloKk

・

・

22

．

8 ！9

．

0 15

．

2 U

．

4 ゲ

．

6 3

．

8 上端 に お け る θ（×io

”

9

／ 　 　本解 析 解 骨 組 解 析 解 サ ン ブ ナ ン 解 　はり 理論 解 3

．

153

．

14

／

／

／

_／

／

ク

3

．

32　 　 　

・

a

」

／

　

　

　

　

グ

／

グ

グ

Q

− 一一

（F 本 解 析 解

一一一一一

骨 組解 析 解

一・

・

− tt

一

_{サ ンブ ナ ン解}

一・

一 ．

一

_{は り理 論 解} θ （×lo

一

3 ） 00

．

5　　　1

．

0　　　1

，

5　　　2

●

ρ　　　2

・

5　　　3

。

0　　

’

3

．

5 　 図

一

7　骨 組 構 造 （図

一

6）のね じり解 析 結 果 こ こ に

，

（x、

，

yt

）

，

（x，，yj）は は り断面にお け る補 正 要 素の 節 点 座 標で

，

その_他の_記号は すで に本 文 中で定 義し てい る

。

　次に本 方 法による立 体 骨 組の ね じ り解析例を示す

。

図

一6

に示す骨 組 構 造の薄 肉は り置 換 定 数は表

一1

の よ う にな る

。

こ の構 造 物が_{上 端}にね じ りモ

ー

メ ン トを受け る ときの高さ方 向のね じ り角の解 を図

一

7に示す

。

図に は 本 方 法に よ る解

，

有 限 要素法に よ る立 体 骨 組 解 析の解

，

および次 式 ： 　　 　θ（z）

＝Mz ’

z／

G

。K

………・

…一 …・

…

（

23

） で与え ら れ るサンブ ナンねじり解

，

お よ び次式 ： 　 　 　θ（z）

＝

（Mz／

hE

。瑠 ）

NII-Electronic Library Service 　 　 　 　

・

（

−

si【lh　z 十tanh 齔五

・

cosh 　z 十h2

−

　

tanh

　

hL

_） ，　

k ＝

・GoK

／Eo瑠t　L ：はり長さ

・

…

（24）

抄

劭 　 柱

一

一

廾

6

　

　 　 　 　

　

　

ノ

7

厂

　 　 　 　 　 　 ！ 　 　 　 　 　 1

’

　 　 　 　 　 ，

’

　 　 　 　 　 ”

’

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

’

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

”

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

厂

’

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

’

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

”

ω

厂

’ ー ’ 　 卍

■

丶

、

、

、

、

、

、

、

、

、

　 丶 　

、

、

、

、

　 、 　

、

　

、

、

／

　

／

1

一

凸

　

ω 襯 ん断 力 図

一

8 柱の部 材 力の解 析 結 果 で与 えられる は り理 論 解 （通 常の そ り ね じ り解 ） を示し て おい た

。

骨 組 解析におい て は

，

上 端 節 点に等 価な節 点 集中荷重を作用さ せ ること に よ り ね じ り モ

ー

メ ン トを与 え たe 本解析結果 は 骨組 解 析 解 と 良い

一

致 をみて いる

。

図

一8

（の

，

図

一8

（

b

）に柱の軸力と せ ん 断 力の解 析結果 を示す。 こ の図 で 下層 部お よび 隅部の応 力に本 解析解と 骨 組 解 析 解の差がみ られ るが

，

こ れ は （21）式で骨 組 を

h

・

一一

一

36

・

°°

 

「

連 続 体 置 換す る場合

，

こ の部分 が特異 点 （不 連 続 部）で あ る た めであ る。 　

8．

実 際の骨組 構造 の ね じ り振 動 解析例 　図

一

9（a）

，

（

b

）に示す実 在の骨 組 構 造 （文 献 15参 照 ） を前節と同 様の方 法で薄 肉は りに置 換し

，

ね じ り固 有 振 動解析 を行っ た

。

薄 肉は り置 換にあた り

，

外 柱のみ考 慮 し内 柱 を無 視し た場 合 （

CASE

　1 ）

，

_{内 柱 も考 慮し た場} 合 （

CASE

　2_冫

，

お よ び さ らにブレ

ー

スを も 考 慮 し た 場 合 （CASE 　3_）の 3ケ

ー

スを考え た。 この と き

，

ブレ

ー

ス構 面 も前 節と同 様の方 法で平 面 板に置 換し た。

CASE

3の補 正要素 分 割，断 面の そ り分 布を図

一

_9（c_）

_，

_（d_）に

，

薄 肉は り置 換 定 数 を 表

一

2に示 す。 （19）式 を用い た本 2nd LD

齋

9d

、

05 79

、

05 EO

．

．

n2

．

1 2T

．

9Fし 11

．

｛

湖

：5 亡 3td 25F 20円

，

ゆ O

．

卜

OH5 同L n臼

，

7F1し FL ト

ー一一一

36

・

oo

− 一一

「

T

。

卜

．

マ

苒

L

一

T

・

O　

−

0

・

5　　　 0 　　　　0

．

5　　　LO 　 　 ［alねじ 口 角 モ

ー

ド 經 形 モ

ー

ド 図

一

10　固有振動モ

ー

ド 2

”

d 　 ／

　　

1

」

皿

モ

▲本

ー

ド 表

一

2　薄 突は りへの置 換 〔CASE3 ｝ プ レ

ー

ス

竺

工工

Cb）軍 面 図

ロ

位 蛍 ○

竊

　 　 割       分 　 　 5 素 ら 　

リ

ロ 　 し コ   唖 a → 』 要 門 ↑ 　 ↑ ド   怖   贓 　 　 　 ヨ   「     印   　 　   　 （a） 軸 組 図　 　 　 （d｝そり 分 布 図

一9

　実 在ビル7）の ね じ り固 有 振 動 解 析 部 材 定 数 薄 肉 は り 置 換 定 数 　t

＝

1 階 柱 は り 階 面 要 素 E

。

（10b ＞G

。

（1D4 ） 4　

−

　MH

−

428×407 　　 ×20×35 A＝360

．

7 【

＝

艮19000 　　39400 闘

一

600×220 　　　×9×22 直

＝

146

．

81

＝

93800 　　39104

−

7F 　　    

一

 

一

  　　   　　 

　

L8252

，

2952

．

5252

．

5252

．

5762

．

5590

．

817 1

．

8262

．

5942

．

991L4622

．

7682

．

3323

．

086 15　

−

24H

−

4MX405 　 　×18×28 A＝295

．

4 正

コ

92800 　 　 　3監000 臣 600×220 　　　×9×22 A＝

_＝

146

．

81 93800 　　3910 25

一

H

−

400×400 　　　× ⊥3×21 A

＝

2亘8

．

71

＝

66000 　 　 　22400 H

−

500×220 　 　 　 ×9×19 A冪 B4

。

2 ［

＝

83900 　 　3380 15

−

20 　 　 　　1 　 2

檜

3 　4

■

6 　　　　7 　 　 　　8 　　　　

_一

910 U 1

．

4951

．

8802

．

0682

・

0682

．

1012

．

0900

・

630 2

．

OO92

．

8353

．

2593

．

0943

．

1652

．

6292

．

908 　　プレ

ー

ス　4

−

24　 　 A

；

18

．

l

l

繍

， 1

離

護

鑞

ト 21

−

29 　　 　 　1 　2

−

3 　4

−

6 　　 　 　7 　　　　8 　　 　 　91G

−

1弖 L1071

．

392L53 【 1

．

531L5691

．

5560

．

450 L5242

・

1182

．

4201

．

工033

．

a302

．

5872

．

965 鋭位系 ：c口

，

kg 表

一

3　ね じ り固 有周 期の解 折結 果 （sec）

MODE

実

測

値

CASE

　

1CASE

　

2CASE

　

3

1st1

・

7802

．

4041

．

9561

。

936

2nd0

．

6530

．

8480

．

6900

．

681

3rd0

．

3670

・

5140

。

4180

．

412

一

₄₈

一

解 析 法に より得 られたねじり固 有 周 期 を

，

文 献 15＞ 中 の実 測 値 とと もに表

一

3に示す

。CASE

　3の解は実 測 値 と良い対 応 を 示して い る

。

図

一

10（a_＞ ，（

b

）に CASE 　

3

のね じ り角お よび軸 方 向 変 位の固 有 振 動モ

ー

ドの解 析 結 果 を示す

。

　

9．

ま と め 　そ りねじりによ り生 ずる せん断 変 形 を考 慮した は りの ね じ り解 析 法の定 式 化を行い

，

薄 肉 閉

・

開 断 面は り の ね じり変 形の基 本 的 特 性 を調べ た。 ま た

，

本ね じり解 析 法 を薄 肉は り置 換さ れ た骨 組 構 造の解 析 問 題に適 用し

，

他 の方 法によ る解や 実 測 値 と 比較し良い対 応 をみ た

。

　解析デ

ー

タの _{作 成}にあ たっ て

，

現 建 設省土木 研 究 所の 大 久保雅憲氏の協力 を得た。こ こ に感謝の意を表し ま す。 参 考 文 献

1）　TimosherLko　and 　Goodier ：

“

Theory　of　Elasticiしy

”

，

2nd

　 　Edition

，

　Chap

．

12

，

　McGraw

−

Hill

，

1951

．

2） 稼農 知徳

，

薄木征三

，

堀 江　保 1「せ ん断変形 を考 慮し た 　 　薄 肉 断 面 直線ば りの理 論」

，

土 木 学 会論文報告集

，

第282 　 　 号 ；PPl

−

13

_，

1979年2月 3｝ 荒 井 康 幸

，

柴田拓二 ：「

一

般 骨組 内の 開 断 面 立体耐 震 壁 の 　 　 解 析につ い て」

，

日本 建 築学会 論 文 報 告簗

，

第 313号

，

　 　pp　48

−

57

，

昭和5？年3月 4） 鈴 木 敏 郎

，

木 村　衛 ；「捩り外 力の H形 鋼隅柱耐 力に及 　 　ぼ す影 響　そ の 1」

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集，第192号

，

　 　pp　21

−

27

，

昭和47年2月

5） Y

．

C

、

　 Fung ：

“

Foundation　of　So］ld　 Mechanics

”

，

　　 Chap

，

11

，

　Prentice

−

Hall

，

1965

6） 西 野 文 雄

，

長 谷川 彰 夫

，

名取悦朗 ：_「断 面変形 と せ ん断 変 　　 形 を考 慮 した 長 方 形 薄 肉 断 面はりの理 論」

，

土木学 会 論 文

　　 報告集

，

第248号

，

pp　25

−

40

，

工976年4月

7）　T

．

Kawai：

“

Studies　Qn　the　Ultimate　Strength　Analysis

　 　 of　a　Ship　Structures　by　Means　of　a　New　Discrete

　　 Thin

−

WaLled　Beam 　Elements _（1_）

”

，

_{日本 造 船 学 会 論 文}

　　 集

，

第150号

，

pp381

−

388

，

昭和56年12月 8） 池上隆三

，

窪 田 浩 司

，

藤 谷義 信 ：「有 効せん 断 係 数 を用い 　　 た薄肉は りの曲 げお よびね じ りの_{有限 要素解 析 」}

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_日本鋼 　 　 構 造 協 会 第17回 大 会 研 究集 会マ _トリッ クス解析 法 研 究 発 　 　 表論文 集

，

pp　173

−

178

，

_昭和58_年 7_月 9） 佐 伯　昇 ；「二次せ ん断 変 形 を考 慮し た曲げ ね じ り理論と 　　 数 値 計 算 」

，

土 木 学 会 論 文 報 告 集

，

第209号

，

pp　Z7

−

36

，

　　 1973_年1_月 10） 高 畠 秀 雄 ：「薄 肉 開断 面 材の

一

般 理 論」

，

日本 建 築 学 会 論 　　 文 報 告 集

，

第280号

，

pp　27

−

37

，

_{昭 和}54_年6月

ユ1｝T

．

V

．

　

Galambos

：

“

Structural

　

Members

　and　Frames

”

，

　　 Chap

，

2Prentice

−

Hall

、

1968

12） 川 井 忠 彦

，

藤 谷 義 信 ：「梁 理 論の精 密 化に 関 す る 二

・

三の 　 　 試 み （その 4）

，

（そ の 5）」

，

生 産 研 究

，

25巻ll号

，

26巻 　　 6号

，

］973

−

74 13〕 藤 谷 義 信 ：「は り の工学 的 理 論に閧する考 察」

，

広 島 大 学 　　 工学 部研究報告

，

29巻1号

，

ppl27

−

133

_，

1980 14）　日本 建 築 学 会 編 ：「建 築 構 造 物の応 力 解 析」

，

丸 善

．

pp 　 　 125

−

145

，

　工974 15） 建 築 構造 設計シリ

ー

ズ 編 集委員会編 ：_「建築構 造 設計シ 　 　 リ

ー

ズ4　 超 高 層 建 築」

，

丸 善

，

pp　137

−

165

，

1973

SYNOPSIS

UDC ；624

．

Oア2

．

2；539

．

385 ：539

．

386 ：624

．

072

．

7

．

012

　 　　 　　

FORMULATION

　

OF

　

A

　

TORSIONAL

　

ANALYSIS

　

OF

　

BEAMS

　

CONSIDERING

　 　　 　　

THE

　

EFFECT

　

OF

　

SHEAR

　

DEFORMATION

　

BY

　

FIMTE

　

ELEMENT

　

METHOD

by　Dr

．

　YOSHINOBU 　FUJITAM

，

　Assoc

．

，

　Prof

．

，

　Hiroshima

　 U皿iversity

，

　Member　of　A

．

1

．

J．

　

In　this　_paper

，

　the　advanced 　torsional　analysis 　of　

beam

　is　composed 　and 　formulated　by　finite　element 　method

，

which 　analysis 　include　the　effect 　of　shear 　

deformation

　caused 　from　warping 　torsion

．

　

By



using



this　torsional　analysis 　of　

beams，

　the　shear　

deformatio

皿

　

are　evaluated

　

in

　

torsion　problem

　

of thin

−

walled 　open 　section 　and 　closed 　section

．

　

This　computational 　method 　

is

　applied 　to　the　whole 　torsion　analysis 　of　a　

frame

　structure　which 　is　idealized　

by

　a

thin

−

walled 　section 　

beam，

　and 　several 　examples 　show 　gQod　correspondences 　to　the　results 　of　other 　method 　or　to